第一章 勾股定理--回顾与练习《勾股定理》单元复习教案 1.会运用勾股定理解决简单问题. 2.会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形. 3.通
过具体的例子,了解逆命题、逆定理的概念,知道原命题成立其逆命题不一定成立.[来#源:z~zstep.co&m%] 通过整理与复习
直角三角形的有关知识,形成直角三角形的性质与判定方法的知识体系. 能灵活运用分类讨论思想和数形结合思想,提高运用勾股定理及其逆定理
解决问题的能力.[中国教^#育出~&版网%] 【重点】 运用勾股定理及其逆定理解决问题.[来~源:zzs&tep.co#%m]
【难点】 会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形.[来^&%源:中教网@~]割补法（算“两次”的等积思想）符合逆定理的三角形直角三角
形特殊至一般三边特殊关系勾股定理逆定理数形结合逆命题主要思想方法勾股定理方程思想方案优选寻求不变量综合运用专题一 用勾股定理计算线
段的长 【专题分析】 用勾股定理计算线段的长这类问题,可以以选择题、填空题或解答题的形式出现,单独考查这一个知识点的情况较少,一般
与其他知识点综合考查. (2014·淮安中考)如图(1)所示,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A,B都是格点,则线
段AB的长度为 ( ) A.5 B.6 C.7 D.25 〔解析〕 如图(2)所示,在Rt△ABC中,AC=4,BC=3,由勾股
定理得AB===5.故选A. [方法归纳] 在解决此类问题时,应善于挖掘图中的隐含条件,即将所求的边放进直角三角形中,并根据图示,
求出直角三角形的两边长,最后就容易根据勾股定理来求第三边了.同时在用勾股定理运算时注意常用的勾股数,如:3,4,5;6,8,10;
9,12,15;8,15,17;7,24,25;9,40,41等等. 【针对训练1】 如图(1)所示,在平面直角坐标系中,长方形O
ABC的顶点A,C的坐标分别为(10,0),(0,4),点D是OA的中点,点P在BC上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点
P的坐标为 .?[来&源:zzs~#tep.@com] 〔解析〕 由题意,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,有三种情况:(1)
如图(2)所示,PD=OD=5,点P在点D的左侧.过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=4.在Rt△PDE中,由勾股定理得DE===3
,∴OE=OD-DE=5-3=2,此时点P坐标为(2,4).(2)如图(3)所示,OP=OD=5.过点P作PE⊥x轴于点E,则PE
=4.在Rt△POE中,由勾股定理得OE===3,此时点P坐标为(3,4).(3)如图(4)所示,PD=OD=5,点P在点D的右侧
.过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=4.在Rt△PDE中,由勾股定理得DE===3,∴OE=OD+DE=5+3=8,此时点P坐标为
(8,4).综上所述,点P的坐标为(2,4)或(3,4)或(8,4).故填(2,4)或(3,4)或(8,4). [易错提示] 如果
一个三角形是等腰三角形,在已知条件中没有说明哪条边为腰时,要注意分类讨论思想在几何图形中的应用,符合题意的等腰三角形有三种情形,注
意不要遗漏.专题二 应用勾股定理建立方程 【专题分析】 应用勾股定理建立方程多见于解决折叠类问题,大多以填空题或选择题的形式出现,
有时也以解答题的形式出现,单独出现时分值在3分左右. (2014·安徽中考)如图所示,Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=
90°,将△ABC折叠,使A点与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为 ( ) A. B. C.4 D.5 〔解析〕 设
BN=x,由折叠的性质可得DN=AN=9-x,∵D是BC的中点,∴BD=3,在Rt△BDN中,x2+32=(9-x)2,解得x=4
.故线段BN的长为4.故选C. [方法归纳] 折叠类问题中一定存在相等的线段或角,要充分挖掘折叠中隐含的数量关系.利用勾股定理建立
方程也是一种常用的方法.[来源:%&zz~step.@com] 【针对训练2】 (2014·青岛中考)如图所示,将长方形ABCD
沿EF折叠,使顶点C恰好落在AB边的中点C''处,若AB=6,BC=9,则BF的长为 ( ) A.4 B.3 C.4.5 D.5
〔解析〕 ∵折叠前后两个图形的对应线段相等,∴CF=C''F,设BF=x.∵BC=9,∴CF=9-x,∴C''F=9-x,又BC''=3
,在Rt△C''BF中,根据勾股定理可得C''F2=BF2+C''B2,即(9-x)2=x2+32,解得x=4,因此BF的长是4.故选A
.专题三 实际问题中应用勾股定理[中国教育出版网&^@%] 【专题分析】 勾股定理应用广泛,题目形式不限,既可以有单独考查该知识
点的题目出现,又可与其他知识点综合进行考查. (2014·东营中考)如图(1)所示,有两棵树,一棵高12米,另一棵高7米,两树相
距12米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,小鸟至少飞行 米.? 〔解析〕 如图(2)所示,过点B作BC⊥AC于C,依题意有
AC=5,BC=12,则AB==13(米).故填13. [方法归纳] 勾股定理的实际应用时遇到求线段长度类问题,通常可以通过构造直
角三角形,从而利用勾股定理求解.[中~国%&教育出^版网] 【针对训练3】 (2014·湘潭中考)如图所示,修公路遇到一座山,于
是要修一条隧道.为了加快施工进度,想在小山的另一侧同时施工.为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上,设想过C点作直线AB的垂线
l,过点B作一直线(在山的旁边经过),与l相交于D点,经测量∠ABD=135°,BD=800米,求在直线l上距离D点多远的C处开挖
?(≈1.414,精确到1米) 解:∵CD⊥AC,∴∠ACD=90°,[www^.zzst@#%ep.c&om] ∵∠ABD=13
5°,∴∠DBC=45°, ∴∠D=45°,∴CB=CD, 在Rt△DCB中,CD2+BC2=BD2,即2CD2=8002, ∴C
D=400≈566(米). 答:在直线l上距离D点566米的C处开挖.专题四 用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形 【
专题分析】 一般以选择题的形式考查,题目较为基础.有时给出含有a,b,c三个字母的等式,以解答题形式出现时难度较大一些,主要是学生
对等式变形较难,或对问题考虑不全面. (2014·滨州中考)下列长度的四组线段中,可以构成直角三角形的是 ( )[来源@:中国
教育出#%版网&] A.4,5,6 B.1.5,2,2.5 C.2,3,4 D.1,,3 〔解析〕 ∵42=16,52=25,6
2=36,∴42+52≠62,∴长为4,5,6的线段不能构成直角三角形;∵1.52=2.25,22=4,2.52=6.25,∴1.
52+22=2.52,∴长为1.5,2,2.5的线段能构成直角三角形.故选B. [方法归纳] 给出三条线段的长度,判定能否构成直角
三角形的步骤:(1)分别计算三条线段长的平方;(2)看是否满足两线段长的平方和等于第三条线段长的平方;(3)做出判断. 【针对训练
4】 已知a,b,c为△ABC的三边,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判定△ABC的形状. 解:∵a2c2-b2c2=a4
-b4, ∴(a4-b4)-(a2c2-b2c2)=0, ∴(a2+b2)(a2-b2)-c2(a2-b2)=0,[来源:z^zs
&@tep.com%] ∴(a2+b2-c2)(a2-b2)=0. 得a2+b2=c2或a=b或a2+b2=c2且a=b, 即△
ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形.专题五 勾股定理与勾股定理的逆定理的综合应用 【专题分析】 勾股定理与勾股定理的逆
定理综合应用题目,难度较大.一般以解答题的形式出现,常常与其他知识点综合起来考查. 如图(1)所示,三块正方形形状的土地面积分别
是74英亩、116英亩、370英亩,三个正方形恰好围着一个池塘.现要将这560英亩的土地拍卖,如果有人能计算出池塘的面积,则池塘不
计入土地面积白白奉送,英国数学家巴尔教授曾经巧妙地解答了这个问题,你能解决吗? 〔解析〕 利用三个正方形的面积可得出相应三角形三边
的平方,进而利用74=52+72,116=42+102,370=92+172,利用勾股定理的逆定理求出即可. 解:如图(2)所示,
∵74=52+72,∴AB是两直角边长分别为5和7的直角三角形的斜边,作出这个直角三角形,得Rt△ABE.同理,作出Rt△BCF,
其中BF=4,FC=10.延长AE,CF交于D,则AD=9,CD=17, 而AC2=370=92+172=AD2+CD2, ∴△A
CD是直角三角形,∠ADC=90°.[来源~:中教^网&%] ∴S△ABC=S△ADC-S△AEB-S△BCF-S长方形EDFB
=×17×9-×7×5-×10×4-4×7 =11(英亩). 即池塘的面积为11英亩. [解题关键] 解决本题的关键是运用勾股定
理和它的逆定理构造新图形.用构造法解题,有助于提高运用数学知识解决实际问题的能力.巴尔教授解决这个问题时首先发现三个正方形的面积7
4,116,370相当于池塘的三条边长的平方,因而联想到勾股定理,得74=52+72,116=42+102,370=92+172.
于是作出图,运用勾股定理的逆定理,问题就得以解决. 【针对训练5】 已知△ABC中,AB=13 cm,BC=10 cm,BC边上的
中线AD=12 cm,求证AB=AC.[www.zz&^s#tep.com~] 证明:∵AD为中线,∴BD=DC=5 cm. 在
△ABD中,∵AD2+BD2=169,AB2=169, ∴AD2+BD2=AB2, ∴∠ADB=90°, ∴AC2=AD2+DC2
=169,∴AC=13 cm, ∴AB=AC.专题六 用勾股定理计算最短路径 【专题分析】 此类题目常以选择题或填空题的形式出现,
几何体多以正方体、长方体、圆柱体出现,题目的分值一般在3分左右. 如图所示,圆柱形玻璃杯高为12 cm,底面周长为18 cm,在
杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 c
m.? 〔解析〕 将圆柱侧面展开,将A,C两点放在同一平面内,然后利用勾股定理进行计算.如图所示,将圆柱侧面展开(沿点A竖直剖开)
后,侧面是一个长18 cm,宽12 cm的长方形,作A关于MN的对称点B,连接BC交MN于点P,过点C作AB的垂线交剖开线MA于点
D.由对称性和三角形的三边关系知AP+PC为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离,且AP=BP.由已知和长方形的性质,得DC=9,BD=12.在
Rt△BCD中,由勾股定理得BC===15,∴AP+PC=BP+PC=BC=15,即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15 cm.故填15.
[方法归纳] 在曲面上求两点之间的最短距离,根据“两点之间线段最短”和“化曲面为平面”两种思想,利用勾股定理解决.解决本题时要注
意展开后有一直角边长为9 cm,而不是18 cm.[中国%教&育@出版~网] 【针对训练6】 (2014·枣庄中考)如图(1)所
示的正方体木块棱长为6 cm,沿其相邻三个面的对角线(图中虚线)剪掉一角,得到如图(2)所示的几何体,一只蚂蚁沿着图(2)的几何体
表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为 cm.? 〔解析〕 要求蚂蚁爬行的最短距离,需将图(2)的几何体表面展开,进而根据“两点之间
线段最短”得出结果.部分展开图如图所示,△BCD是等腰直角三角形,△ACD是等边三角形,连接AB,交CD于E,则AB⊥CD.在Rt
△BCD中,CD==6 cm,∴BE=CD=3 cm.在Rt△ACE中,AE==3 cm,∴从顶点A爬行到顶点B的最短距离为(3+
3)cm.故填(3+3).[中国#%教育出^版~网]专题七 数形结合思想 【专题分析】[来源:中国教&育出^版@网~] 勾股定
理是已知三角形是直角三角形(形),得到三角形三边的数量关系(数);勾股定理的逆定理是由三角形三边的数量关系(数),得到这个三角形是
直角三角形(形).二者相互结合,能使抽象的数量关系直观化,有效地分析问题和解决问题. 如图所示,已知四边形ABCD中,∠B=90
°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13.则四边形ABCD的面积是 .?[www.zzs%tep.~#co@m] 〔解析〕
由题意联想勾股数,可连接AC,把四边形的问题转化为三角形的问题.连接AC,在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2=32+42=
25,∴AC=5.在△ACD中,∵AC2+CD2=52+122=169,AD2=132=169,∴AC2+CD2=AD2,∴∠AC
D=90°.∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB·BC+AC·CD=×3×4+×5×12=6+30=36.故填36.
[方法归纳] 勾股定理及其逆定理是沟通代数、几何知识的桥梁,在计算中往往会多次运用这两个定理. 【针对训练7】 有一直立标杆,它的
上部被风吹折,杆顶着地,离杆脚20 cm,修好后又被风吹断,且新断处比前次低了5 cm,标杆顶着地处比前次远10 cm,求标杆的高
. 解:如图所示,设第一次吹断后下段AB的长为x cm,上段BC的长为y cm,则第二次断后下段AD的长为(x-5)cm,上段DE
的长为(y+5)cm. 依题意得 ②-①得10(x+y)=500, ∴x+y=50, 故标杆的高为50 cm.专题八 分类讨论思想
【专题分析】 在研究三角形的高时,应分直角三角形、锐角三角形和钝角三角形三种情况去考虑;在计算中遇到直角边和斜边不能确定的时候,
要考虑分类讨论.常以解答题的形式出现,解决这些问题时,容易遗忘另外的情况,一定要根据题目分类讨论,讨论要全面,不能重复和遗漏.
已知Rt△ABC中,两边的长分别是3,5,求第三边的长. 〔解析〕 已知的两边可能是直角边,也可能一条是直角边而另一条是斜边,因此
需要分类讨论. 解:当已知两条边是直角边时,由勾股定理得第三条边的长为=; 当已知两条边中有一条是直角边而另一条是斜边时,第三边长
为=4. ∴第三边的长为或4. [易错提示] 在利用勾股定理时不可盲目,需要明确哪条边是斜边,否则会遗漏情况,造成丢解的错误.[中
国~@&教育出#版网] 【针对训练8】 如图所示的是一块长、宽、高分别为6厘米、4厘米、3厘米的长方体木块.一只蚂蚁要从木块上的
一定点A处,沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物,那么它需要爬行的最短路径的长是 ( ) A.(3+2)厘米 B
.厘米 C. 厘米 D.9厘米 〔解析〕 这个问题是个空间问题,应该把其平面化.所以将长方体展开是解决本题的关键.分三种情况:(
1)如图(1)所示,可得AB2=102+32=109.(2)如图(2)所示,可得AB2=72+62=85.(3)如图(3)所示,可
得AB2=42+92=97.比较可以发现沿图(2)的爬行路径路程最短,为厘米.故选C.专题九 建模思想 【专题分析】 能运用勾股定
理解决简单的实际问题,建立直角三角形的模型,将其转化为数学问题.勾股定理中的直角三角形三边满足a2+b2=c2(c为斜边长),这本
身就是一个等量关系,所以在有关的计算中设未知数列方程是我们解决问题的一种方法.以解答题的形式出现较多,常常找到或构建直角三角形,根
据勾股定理直接计算或建立方程计算.[来@源&:中国教育出版网#~] 如图所示,AB为一棵大树,在树上距地面10米的D处有两只猴
子,它们同时发现C处有一筐苹果,一只猴子从D往上爬到树顶A又沿滑绳AC滑到C处,另一只猴子从D滑到B,再由B跑到C.已知两只猴子所
经路程都是15米.试求大树AB的高度. 〔解析〕 由题意不妨设AD=x米,则AC=(15-x)米,又BD=10米,∴BC=15-1
0=5(米),Rt△ABC的三边满足勾股定理,因此可列方程解得AD,进而求AB的长. 解:设AD=x米,则AC=(15-x)米,
又BD=10米,∴BC=15-10=5(米), 在Rt△ABC中,根据勾股定理得AB2+BC2=AC2, ∴(10+x)2+52=
(15-x)2,解得x=2.[来~源:@^#中教网] ∴大树AB的高度为10+2=12(米). 【针对训练9】 如图所示的是长为
40 cm,宽为16 cm的长方形纸片,M点为一边上的中点,沿过M的直线翻折.若中点M所在边的一个顶点不能落在对边上,那么M点在
(填“长”或“宽”)上,若M点所在边的一个顶点能落在对边上,那么折痕长度为 cm.? 〔解析〕 若中点M所在边的一个顶点不能落在对
边上,通过折叠就可发现答案.过M作ME⊥AD于E,可得出四边形ABME为长方形,利用长方形的性质得到AE=BM,AB=EM.分两种
情况考虑:(1)如图(1)所示,过M作ME⊥AD于E,G在AB上,B''落在AE上,可得四边形ABME为长方形,∴EM=AB=16,
AE=BM,又∵BC=40,M为BC的中点,∴由折叠可得B''M=BM=MC=20.在Rt△EMB''中,根据勾股定理得B''E==12,∴AB''=AE-B''E=20-12=8.设AG=x,则GB''=GB=16-x.在Rt△AGB''中,根据勾股定理得GB''2=AG2+AB''2,即(16-x)2=x2+82,解得x=6,∴GB=16-6=10,在Rt△GBM中,根据勾股定理得GM==10(cm).(2)如图(2)所示,过M作ME⊥AD于E,G在AE上,B''落在ED上,可得四边形ABME为长方形,∴EM=AB=16,AE=BM,又BC=40,M为BC的中点,∴由折叠可得B''M=BM=MC=20.在Rt△EMB''中,根据勾股定理得B''E==12,∴AB''=AE+B''E=20+12=32.设AG=A''G=y,则GB''=AB''-AG=32-y,A''B''=AB=16.在Rt△A''B''G中,根据勾股定理得A''G2+A''B''2=GB''2,即y2+162=(32-y)2,解得y=12,∴AG=12,∴GE=AE-AG=20-12=8,在Rt△GEM中,根据勾股定理得GM==8(cm).综上,折痕MG=10 cm或8 cm.[来^%源:中教网#~] 〔答案〕 宽 10或8 |
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