2021-2022学年小升初数学精讲精练专题汇编讲义
第16讲 组合图形的周长与面积
知识点一：平面图形的周长和面积计算公式一览表
名称 图形 字母意义[来源:Zxxk.Com] 注意要领 长方形
表示长
表示宽 周长=（长+宽）×2 C=（）×2
面积=长×宽 S= 1求不规则的四边形的周长时，可以用平移的方法，把它变成基本图形，再利用周长公式来计算。
2.要求平行四边形的面积，必须先知道平行四边形的一组底和高。
3.半圆的面积是圆面积的一半，但半圆的周长不等于圆周长的一半。 正方形 表示边长 周长=边长×4 C=4a
面积=边长×边长 S= 平行四边形 表示底
h表示高 面积=底×高
S= 三角形 表示底
h表示高 面积=底×高÷2
S= 梯形 表示上底
表示下底
表示高 面积=（上底+下底）×高÷2
S= 圆 表示半径
表示直径
π表示圆周率 周长=直径×圆周率=半径×圆周率×2
C=
面积=π×半径2 S= 圆环 表示小圆半径
R表示大圆半径 圆环面积=大圆面积-小圆面积
扇形 表示半径
表示圆心角
知识点二：组合图形的周长和面积
实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？
我们可以针对这些图形通过实施平移、旋转、割补、等量代换等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了.
一、精挑细选(共5题；每题2分，共10分)
1．下面三幅图中，正方形一样大，则三个阴影部分的面积（ ）
A．一样大 B．第一幅图最大
C．第二幅图最大 D．第三幅图最大
2．（2021·坪山）如图，甲和乙的周长相比，（ ）。
A．甲长 B．乙长 C．同样长
3．（2021六上·海安期末）一个木匠用32米木围栏材料把一块花园围起来，花园有四种可能的设计，其中不能用32米的木围栏围起来的是（ ）。
A． B．
C． D．
4．（2020·涵江）下图中，阴影部分的面积是（ ）平方厘米。
A．7 B．8 C．8.5 D．9
5．（2021三下·南海期末）下图中，甲、乙两部分（ ）。
A．周长和面积都相等
B．周长不相等，面积相等
C．周长相等，面积不相等
6．如图 阴影部分与空白部分面积的比是1：1。
7．如图所示，阴影部分面积是10×10÷2÷2=25平方单位．
8．用8个1立方厘米的小方块拼成一个正方体．如果拿去一个小方块，它的表面积不变．
9．下面两图中阴影部分的面积相等。(每个小方格的边长表示1cm)
10．（2020六上·赛罕期末）如图所示，圆的直径20cm，阴影部分的面积是 cm2。
11．（2020·海安模拟）如图，在一大一小两个正方形拼成的图形中，阴影部分的面积是50平方厘米，则小正方形的面积是 平方厘米。
12．（2020·广州模拟）下图中三个正方形的边长分别为10厘米、20厘米、30厘米，那么图中阴影部分的面积是 。
13．（2020·相城）图中的阴影部分面积等于 。
14．（2020·金牛）下图中，阴影部分的面积占大长方形的 。
15．（2020·龙华）下图直角梯形中，阴影部分的面积是 平方厘米。
16．（2020·成都模拟）如图，四边形ABCD和CEFG都是正方形，AB=2，EC=4，则阴影部分的面积为
17．（2020五上·红塔期末）下图阴影部分的面积是 cm2。
18．（2020五下·仪征期末）一张正方形纸边长是4厘米，在这个正方形纸里剪半径1厘米的圆，最多能剪 个，剩下部分的面积是 平方厘米。
19．（5分）（2020·成都模拟）如图，三角形ABC是等腰直角三角形，点D是半圆周的中点，BC是半圆的直径，阴影部分的面积是多少？
20．（5分）求下图阴影部分的面积。
21．（5分）如图，在高2米、底宽4米、表面宽2米的楼梯表面铺地毯，则地毯的面积至少是多少平方米？
22．（5分）（2021·十堰）求阴影部分的面积。
23．（5分）（2020六上·岷县期末）求下图中阴影部分的面积（单位：厘米）
24．（10分）
（1）（5分）下图是育才小学操场的跑道，跑道外圈和内圈相差多少米？（两端各是半圆）
（2）（5分）400米的跑步比赛，跑道宽为1.5米，起跑线该依次提前多少米？如果跑道宽是1.25米呢？
25．（5分）把一张长6dm，宽4dm的红纸剪成一个最大的圆，剪掉部分的面积是多少平方分米？
26．（5分）求下图阴影部分的面积．(单位：厘米)(结果用小数表示)
27．（5分）边长分别为4cm和6cm的两个正方形拼在一起(如下图)，阴影部分的面积是多少平方厘米？
28．（5分）（2017六上·宝安期末）求出下列阴影部分的面积．
29．（10分）（2018·浙江模拟）下面两题任意选做一题。
（1）（5分）如图，长方形的长是8厘米，宽6厘米。阴影部分甲比乙大多少平方厘米?
（2）（5分）如图，长方形的长是6厘米，宽是4厘米，阴影部分三角形的面积是9平方厘米，求BD的长度。
30．（7分）下面两个图形的面积相等吗？先填空，再说说为什么．
（1）上面的半圆向下平移 格．
（2）两边的半圆分别向上 180°．
（3）（5分）这两个图形的面积相等吗？为什么？
答案解析
1．【答案】A
【完整解答】假设正方形的边长是4， 第一个图形： 4×4-3.14×(4÷2)2 =16-3.14×4 =16-12.56 =3.44 第二个图形： 4×4-3.14×(4÷4)24 =16-3.14×4 =16-12.56 =3.44 第三个图形： 4×4-3.14×424 =16-3.14×4 =16-12.56 =3.44 所以三个阴影部分的面积一样大. 故答案为：A
【思路引导】三个阴影部分的面积都是正方形面积减去内部空白部分的面积，假设出正方形的边长，然后根据正方形和圆面积公式分别计算阴影部分的面积并作出判断即可.
2．【答案】C
【完整解答】解：甲和乙的周长同样长。 故答案为：C。
【思路引导】甲和乙外围分别是长方形的长和宽，中间的折线是长方形共有的，所以甲和乙的周长一样长。
3．【答案】B
【完整解答】解：A项中，（10+6）×2=32米，故能用32米围成； B项中，平行四边形的底是10米，而腰大于6米，所以周长大于32米，故不能用32米围成； C项中，（10+6）×2=32米，故能用32米围成； D项中，（10+6）×2=32米，故能用32米围成。 故答案为：B。
【思路引导】利用平移可以得出，A项和C项中的图形是长是10m，宽是6米的长方形； 长方形的周长=（长+宽）×2； 平行四边形的腰大于高。
4．【答案】B
【完整解答】×4×1+×4×3 =2×1+2×3 =2+6 =8（cm） 故答案为：B。 【思路引导】将阴影部分看成两个三角形，三角形的面积：S=×ah，据此进行计算即可。
5．【答案】C
【完整解答】解：甲、乙两部分周长相等，面积不相等。 故答案为：C。 【思路引导】从图中可以看出，甲、乙两部分外面的周长都是正方形的长和宽，中间折线部分相等，所以这两部分周长相等；而图中甲部分的面积大于乙部分，所以面积不相等。
6．【答案】（1）正
【完整解答】解：阴影部分的面积与空白部分的面积相等，比是1：1，原题说法正确。 故答案为：正确。 【思路引导】阴影部分是2.5个正方形的面积，空白部分也是2.5个正方形的面积，由此判断即可。
7．【答案】（1）正
【完整解答】解：根阴影部分的面积是10×10÷2÷2=25（平方单位），
原题说法正确．
故答案为：正确．
【思路引导】如图，把三角形外部的阴影部分移到中间的空白处，则阴影部分的面积是等于这个等腰直角三角形的面积的一半，据此即可判断．此题考查组合图形的面积的计算方法，本题关键是利用等积变形，把阴影部分转化到小直角三角形中．
8．【答案】（1）正
【完整解答】解：拿走一个小方块，大正方体的表面看似少了三个面，其实又多出来三个面，所以它的表面积是不变的．
故答案为：正确．
【思路引导】由题意知，拼成的正方体长、宽、高应该都是2厘米，即上下各4个小方块，且每个小方块都处在一个角上，每个小方块都有三个面组成大正方体的表面，拿走一个，就少三个面，但又多了三个面，从而题目得解．此题主要考查正方体的表面积，关键是弄清楚少了三个面，又多了三个面．
9．【答案】（1）正
【完整解答】根据分析，作图如下： （1）2×2÷2×2 =4÷2×2 =4（cm2） （2）2×1+2×2÷2 =2+4÷2 =2+2 =4（cm2） 两图中阴影部分的面积相等，原题说法正确. 故答案为：正确.
【思路引导】（1）第一个图的阴影部分可以分成两个底为2厘米，高为2厘米的相等三角形，据此利用三角形的面积公式计算即可；（2）第二个图的阴影部分可以分成一个长为2厘米，宽为1厘米的长方形与一个底是2厘米，高是2厘米的三角形，将两个图形的面积相加即可得到阴影部分的面积，然后比较两个图的阴影部分的面积大小即可.
10．【答案】114
【完整解答】解：20÷2=10（厘米） 1.14×10×10=114（平方厘米） 故答案为：114。
【思路引导】外圆内方：正方形和圆之间的面积=1.14×半径的平方。
11．【答案】100
【完整解答】50×2=100（平方厘米） 故答案为：100。 【思路引导】据图可得阴影部分是一个三角形，以小正方形的一个边为底，三角形的高也等于小正方形的边长；根据三角形的面积公式和正方形的面积公式，可知：小正方形的面积是阴影三角形面积的2倍。
12．【答案】600平方厘米
【完整解答】解：（10+30）×（10+20+30）÷2-（10+20）×10÷2-30×30÷2 =40×60÷2-30×10÷2-450 =1200-150-450 =600（平方厘米） 故答案为：600平方厘米。 【思路引导】阴影部分的面积可以看作是一个梯形面积减去梯形内部空白部分两个三角形的面积，根据公式结合图中数据计算即可。
13．【答案】32
【完整解答】解：5×5+7×7-（5+7）×7÷2 =25+49-42 =32 故答案为：32。 【思路引导】图中阴影部分的面积是两个正方形的面积和减去图中空白部分三角形的面积，三角形的底是（5+7），高是7，根据正方形和三角形面积公式计算即可。
14．【答案】
【完整解答】解：阴影部分的面积占大长方形的。 故答案为：。
【思路引导】长方形的面积=长×宽，三角形的面积=底×高÷2，本题中阴影部分的面积=长方形的面积-三角形的面积，观察图形可得长方形的长=三角形的底，长方形的宽=三角形的高，据此即可得出答案。
15．【答案】15
【完整解答】解：阴影部分的面积=（4+7）×4÷2-7×2÷2 =11×4÷2-14÷2 =22-7 =15（平方厘米） 故答案为：15。
【思路引导】阴影部分的面积=梯形的面积-三角形的面积，梯形的面积=（上底+下底）×高÷2，三角形的面积=底×高÷2，代入数值计算即可。
16．【答案】10
【完整解答】如图，补成长方形，并进行点标注， 将图形扩大成一个边长为6的大正方形。 S阴影=6×6-×2×2-×4×6-×4×6 =36-2-12-12 =34-12-12 =24-12 =10。 所以阴影部分的面积是10。 故答案为：10。 【思路引导】将图中AB边与EF边延长交于点O，将AD边与GF边延长交于点P，即可得到一个边长为2+4的大正方形AOFP，阴影部分的面积=大正方形AOFP的面积-小正方形ABCD面积的一半-三角形DPF的面积-三角形BOF的面积，接下来根据正方形的面积=边长×边长，三角形的面积=底×高÷2计算即可。
17．【答案】24
【完整解答】解：阴影部分的面积=4×4÷2+8×4÷2 =16÷2+32÷2 =8+16 =24（cm2）。 故答案为：24。
【思路引导】观察图形可得阴影部分是由一个底是4cm、高是4cm的三角形和一个底是8厘米，高是4里面的三角形组成的，再根据三角形的面积=底×高÷2计算即可得出答案。
18．【答案】4；3.44
【完整解答】解：如图所示： 所以最多能剪4个圆。 4×4-3.14×12×4 =16-12.56 =3.44（平方厘米） 故答案为：4；3.44。 【思路引导】圆的直径是1×2=2厘米，首先看正方形的边长等于几个圆的直径，即4÷2=2，所以圆的个数为2×2；接下来再用正方形的面积（边长×边长）-圆的面积（π×半径的平方）×圆的个数，即可得出剩下部分的面积。
19．【答案】解： 故图所示，延长AB，并过D点作BC的平行线，使他们交于一点E， 因为BC=AB，所以BC=10，所以BE=DE=5 AB：AE=10：（10+5）=2：3 所以BF：ED=2：3，所以BF=，OF= 然后连接圆心和D点， 那么阴影部分的面积是10×÷2+×52×3.14-5×÷2=32.125。
【思路引导】如图所示，先利用比例关系求出BF的值，进而可以得到OF的值，那么阴影部分的面积=S△ABF+S圆O-S△OFD。
20．【答案】解：5×3-5×3÷2 =15-7.5 =7.5(平方分米)
【思路引导】平行四边形面积=底×高，三角形面积=底×高÷2，用平行四边形面积减去空白部分三角形面积即可求出阴影部分的面积.
21．【答案】解：2×4+2×2 =8＋4 =12（平方米）
答：地毯的面积至少是12平方米。
【思路引导】地毯的面积至少=高×底面宽＋高×表面宽。
22．【答案】解：如图： 8×6=48
【思路引导】看图可知，图中A、B的面积相等，所以阴影部分的总面积实际就是右边平行四边形的面积，所以用底乘高即可求出阴影部分的总面积。
23．【答案】解：阴影部分的面积=10×8÷2+8×8-3.14×82× =40+64-3.14×16 =104-50.24 =53.76（平方厘米）
【思路引导】阴影部分的面积=直角三角形的面积（一条直角边是10厘米，另一条直角边是8厘米）+边长是8厘米的正方形的面积-个半径是8厘米的圆的面积，直角三角形的面积=两条直角边的乘积÷2，正方形的面积=边长×边长，圆的面积=π×圆的半径的平方，代入数值计算即可。
24．【答案】（1）3.14×50-3.14×(50-1.5×2)=3.14×50-3.14×(50-3)=3.14×50-3.14×47=157-147.58=9.42（米)
答：跑道内圈和外圈相差9.42米。
（2）解：400米的跑道，跑道宽为1.5米，起路线应依次提前：1.5×2×π=9.42（米）； 跑道宽为1.25米，应依次提前：1.25×2×π=7.85（米）. 答：跑道宽为1.5米，起路线应依次提前9.42米，跑道宽为1.25米，应依次提前7.85米。
【思路引导】（1）根据题意可知，要求外圈和内圈相差多少米，用跑道外圈的周长-相邻跑道内圈的周长=外圈和相邻内圈的差，据此列式解答； （2）根据题意可知，400米跑道相邻跑道起跑线相差=跑道宽×2×π，据此列式解答.
25．【答案】解： 答：剪掉部分的面积是11.44平方分米。
【思路引导】剪成的最大圆的直径与长方形的宽相等，用长方形面积减去圆的面积就是剪掉部分的面积，长方形面积=长×宽，圆面积：S=πr2。
26．【答案】解：3.14×42-66 =50.24-36 =14.24(平方厘米)
【思路引导】正方形面积=边长×边长，圆面积：S=πr2，由此用圆面积减去正方形面积即可求出阴影部分的面积。
27．【答案】解：阴影部分面积为 答：阴影部分的面积是14平方厘米.
【思路引导】阴影部分的面积是两个正方形的面积之和减去空白部分两个三角形的面积，由此计算即可.
28．【答案】解：第一个图形阴影部分的面积
3.14×（42﹣22）
=3.14×12
=37.68
答：第一个图形阴影部分的面积是37.68．
第二个图形阴影部分的面积
8×8﹣3.14×（8÷2）2
=64﹣3.14×16
=64﹣50.24
=13.76（平方厘米）
答：第二个图形阴影部分的面积是13.76平方厘米
【思路引导】图形一根据求圆环的面积公式求出阴影部分的面积，图形二根据用边长8厘米的正方形面积减去直径为8厘米的圆形的面积，依此进一步得解．
29．【答案】（1）解：甲：8×8×3.14× -S=(50.24-S)cm2 乙：6×8-S=(48-S)cm2 ，S甲-S乙=(50.24-S)-(48-S)=2.24cm2 答：阴影部分甲比乙大2.24平方厘米.
（2）解：设BD长度为x. 4x÷2=9 2x=9 x=4.5 答：BD的长度是4.5cm.
【思路引导】(1)甲的面积加上空白部分的面积就是扇形面积，乙的面积加上空白部分的面积就是长方形面积，所以甲比乙大的部分也可以看作是扇形面积与长方形面积的差；(2)三角形ABD和三角形BCD的底都是BD，高的和是4厘米，因此可以直接用BD的长度乘4再除以2来求阴影部分的面积，这样就能求出BD的长度.
30．【答案】（1）5
（2）平移3格再旋转
（3）解：两个图形的面积相等，
因为经过平移、旋转后得到的两个长方形，
图形一：长方形的宽占4格，长占5格，
那么面积就占了：4×5=20（格），
图形二：长方形的宽占4格，长占6格，
面积就占了：4×6=24（格），
图形一的面积小于图形二的面积，
答：平移3格再旋转180°；图形一的面积小于图形二的面积，因为经过平移、旋转后得到的两个长方形，根据长方形的面积公式可计算出图形一的面积占20格，图形二的面积占24格，所以图形一的面积小于图形二的面
【思路引导】根据图可知，①上面的半圆向下平移5格，就可得到一个长方形，长方形的宽占4格，长占5格，那么根据长方形的面积公式可计算出这个图形的面积占（4×5）格；②将图形中的第二个图两边的半圆分别向上平移3格再旋转180°，也可得到一个长方形，长方形的宽占4格，长占6格，面积就占（4×6）格；这两个图形经过平移、旋转后得到的图形都是长方形，根据长方形的面积公式进行计算然后再进行比较即可得到答案．解答此题的关键是将图形进行平移、旋转，将图形转化我们学过的图形，再根据图形的面积公式进行计算、比较即可．
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