2021北京密云初二（下）期末数 学一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个选项是符合题意的．1. 在平面
直角坐标系xOy中，点P（﹣2，7）所在的象限是（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 下列宣传疫情
防控的图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 3. 关于方程x2﹣3x﹣6＝0的根的情况，下列
说法正确的是（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 有一个实数根D. 没有实数根4. 一元二次方程x2﹣6
x+2＝0经过配方后可变形为（ ）A. （x+3）2＝4B. （x+3）2＝7C. （x﹣3）2＝4D. （x﹣3）2＝75.
如图，在M、N、P、Q四个点中，一次函数y＝kx﹣3（k＞0）的图象不可能经过的点是（ ）A 点MB. 点NC. 点PD. 点Q
6. 以2022年北京冬奥会为契机，某学校开展以“弘扬奥林匹克精神，感受冰雪运动魅力”为主题的冰雪嘉年华实践课程．为了解学生掌握滑
雪技巧及滑雪水平等情况，教练分别对甲、乙两名学生10次训练的结果进行了统计，其中每次训练的成绩分别为5分，4分，3分，2分，1分五
档．统计结果如图所示，下列结论正确的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，7. 如图，在菱形ABCD中，AB＝4，点F是CD边
上一点，且DF＝1，点E是BC边上的一个动点，M、N分别是线段AE、AF的中点，连接EF和MN，当点E在BC边上从点B向点C移动时
，线段MN的最小值是（ ）A 1B. 1.5C. 2D. 38. 某学校组织趣味运动会，小明和小亮两人报名参加了“运球往返跑”比
赛，即：两人同时出发，每人用羽毛球拍托着球跑完规定的路程，若途中球不慎掉落，须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．其中，距起点的
距离用y（米）表示，时间用x（秒）表示．如图表示两人比赛过程中y与x的函数关系的图象，以下推断正确的是（ ）A. 运球往返跑的总
路程是50米B. 小亮比小明往返全程所用的时间少3秒C. 返回时小明与小亮平均速度比是3：4D. 小明去时所用时间与返回时间相差7
秒二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 函数中自变量x的取值范围是_______．10. 已知（m+1）x2+5x﹣3＝0是
关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 _____．11. 在疫情防控常态化条件下和防控措施到位的前提下，北京市五一期间共有124
家景区开放，331家乡村民宿开业，广大市民得以安全有序的“逛京城、游京郊”，其中，5月1日至5日的天气及最高气温如下表所示（单位：
℃）． 日期5月1日5月2日5月3日5月4日5月5日天气晴晴多云晴晴最高气温2323252427则这5天最高气温的极差是 ____
_．12. 如图，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠E，点F在AB的延长线上，则∠CBF的度数是__．13. 写一个经过点（1，3）的
一次函数表达式 _____．14. 在?ABCD中，若∠A比∠B2倍多30°，则∠B的度数为 _____．15. 如图，在平面直角
坐标系xOy中，若直线y1＝﹣x+a与直线y2＝bx﹣4相交于点P，则下列结论中：①a＜b；②当0＜x＜1时，y1＜y2＜0；③关
于x，y的方程组的解是；所有正确结论的序号是 _____．16. 一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩
下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作……若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶正边矩形．如
图所示，矩形ABCD中，若AB＝2，BC＝6，则称矩形ABCD为2阶正边矩形．已知矩形MNPO的一组邻边长分别为20和a，且它是3
阶正边矩形，a＜20，则a的值为 _____．三、解答题（共68分，其中17～22题每题5分，23～26题每题6分，27、28题每
题7分）17. 下面是亮亮同学设计的“已知一组邻边构造平行四边形”的尺规作图过程．已知：如图，线段AB、BC．求作：平行四边形AB
CD．作法：①连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点P；②连接BP并延长，在延长线上取一点D，使DP＝BP；③连接AD和CD
，四边形ABCD即为所求作平行四边形．请你根据亮亮同学设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完
成下面的证明，并在括号内填写推理的依据．∵线段AC的垂直平分线交AC于点P；∴ ＝ ，∵DP＝BP；∴四边形ABCD是平行
四边形．（依据： ）．18. 解方程：x2+4x﹣12＝0．19. 如图，平行四边形ABCD中，AC⊥AB，点E为BC边中点，
AD＝6，求AE的长度．20. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k为正整数时，求此时方程的
根．21. 已知一次函数y＝2x+b的图象经过点（3，1）．（1）求一次函数表达式；（2）在坐标系中画出该一次函数的图象；（3）求
该函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积．22. 如图，要使一个边长为6米的正方形花坛的面积增加64平方米后仍为正方形，求这个正方形
花坛的边长应延长多少米？23. 如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，且与AD边相交于点E，∠AEB＝45°．（1）求证
：平行四边形ABCD是矩形；（2）连接CE，若CE，DE＝1，求AD的长．24. “互联网+”的出现，在一定程度上推动了现代物流业
尤其是快递业的发展．小丹打算网购一些物品，并了解到两家快递公司的收费方式．甲公司：物品重量不超过1千克的，需付费20元，超过1千克
的部分按每千克4元计价；乙公司：按物品重量每千克6元计价外加包装费10元．设小丹网购物品的重量为x千克（x为正数），根据题意列表：
物品重量（千克）0.511.52…x甲公司费用（y甲元）202022a…y甲乙公司费用（y乙元）3161922…y乙（1）表格中a
的值为 ；（2）写出y乙与x的函数表达式，并在图中画出y乙的图象；（3）若小丹网购物品的重量为4千克，如果想节省快递费用，结
合函数图象，你认为小丹应选择的快递公司是 ．25. 新修订的《北京市生活垃圾管理条例》于2020年5月1日正式施行．新修订的
分类标准将生活垃圾分为厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物四类．为促使学生更好地了解垃圾分类知识，某校分别从七、八年级随机抽取了
50名学生进行垃圾分类知识测试，并将数据（测试结果）统计后绘制成了如下所示的不完整的频数分布表及直方图．a．七年级垃圾分类知识测试
成绩频数分布表成绩段（单位：分）频数频率30≤x＜4040.0840≤x＜5020.0450≤x＜60m0.1060≤x＜7080
.0670≤x＜80100.2080≤x＜9013n90≤x≤10080.16请根据图表中的信息，解答下列问题．（1）分别写出频数
分布表中m、n的值为：m＝ ；n＝ ．（2）补全频数分布直方图．（3）已知该所学校七年级学生共计400人，若垃圾分类知识测
试的成绩在80分及以上为优秀；请你估计该校七年级学生达到优秀的约有 人．26. 在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与一次函
数y＝kx+2的图象交于点A（1，m）．（1）求m和k的值；（2）将直线y＝x沿y轴向上平移两个单位得到直线l，点P（xp，yp）
为直线l上任意一点，过点P作x轴的垂线交直线y＝x于点C，交一次函数y＝kx+2的图象于点D．①当xp＝﹣1时，判断PC与PD的数
量关系，并说明理由；②当PC≤PD时，结合函数图象，直接写出xp的取值范围．27. 已知：在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的
一点，点E在直线CD的右侧，且满足∠PCE＝90°，CP＝CE，连接DE．（1）依据题意，补全图形；（2）计算∠CDE的度数；（3
）连接EP并延长，分别与AB边和CD边相交于点M和点N，试判断线段PM与NE之间的数量关系，并说明理由．28. 在平面直角坐标系x
Oy中，存在点A（x1，y1）与点B（x2，2），若满足x1+x2＝0，y1﹣y2＝0，其中x1≠x2，则称点A与点B互为反等点．
已知：点C（3，4）和点D（﹣5，4）．（1）下列四个点中，与点C互为反等点是 ；H1（﹣3，﹣4），H2（3，﹣4），H3
（﹣3，4），H4（3，4）．（2）已知直线y＝kx﹣2与线段CD相交于点P，若在线段CD上存在一点Q与点P互为反等点，求k的取值
范围；（3）已知正方形的两条对角线分别与两坐标轴重合，当正方形与线段CD的两个交点互为反等点时，直接写出正方形边长a的取值范围．参
考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个选项是符合题意的．1. 在平面直角坐标系xOy中，点
P（﹣2，7）所在的象限是（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】根据各象限内点
的坐标特点解答即可．【详解】解：因为点P（﹣2，7）的横坐标是负数，纵坐标是正数，所以点P在平面直角坐标系的第二象限．故选：B．【
点睛】此题主要考查了点的坐标，解答本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正
负．2. 下列宣传疫情防控的图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】
轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形， 中心对称图形：把一
个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可．【详解】解：A
中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意；B中图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不符合题意；C中图形既是
轴对称图形，又是中心对称图形，故C选项符合题意；D中图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D选项不符合题意，故选：C．【点睛】
本题考查轴对称图形和中心对称图形的定义，理解定义，找准对称轴和对称中心是解答的关键．3. 关于方程x2﹣3x﹣6＝0的根的情况，下
列说法正确的是（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 有一个实数根D. 没有实数根【答案】A【解析】【分析
】根据根的判别式即可求出答案．【详解】解：∵Δ＝（?3）2?4×1×（?6）＝33＞0，∴关于一元二次方程x2﹣3x﹣6＝0有两个
不相等的实数根．故选：A．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0，方程有两个不相等的实数
根；（2）Δ＝0，方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0，方程没有实数根．4. 一元二次方程x2﹣6x+2＝0经过配方后可变形为（
）A. （x+3）2＝4B. （x+3）2＝7C. （x﹣3）2＝4D. （x﹣3）2＝7【答案】D【解析】【分析】利用配方法的
步骤配方即可解答．【详解】解：移项，得：x2﹣6x＝﹣2，配方，得：x2﹣6x+9＝﹣2+9，即（x﹣3）2＝7，故选：D．【点睛
】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解答的关键．5. 如图，在M、N、P、Q四个点中，一次函数y＝kx﹣3（k＞
0）的图象不可能经过的点是（ ）A. 点MB. 点NC. 点PD. 点Q【答案】C【解析】【分析】由条件可判断出直线所经过的象限
，再进行判断即可．【详解】解：y＝kx-3（k>0）中，∵k>0，b=-3，∴一次函数图象一定经过第一、三、四象限，∴一次函数不经
过第二象限，∴其图象不可能经过P点，故选：C．【点睛】本题主要考查一次函数的图象，利用k、b的正负判断一次函数的图象位置是解题的关
键，即在y＝kx＋b中，①k＞0，b＞0，直线经过第一、二、三象限，②k＞0，b＜0，直线经过第一、三、四象限，③k＜0，b＞0，
直线经过第一、二、四象限，④k＜0，b＜0，直线经过第二、三、四象限．6. 以2022年北京冬奥会为契机，某学校开展以“弘扬奥林匹
克精神，感受冰雪运动魅力”为主题的冰雪嘉年华实践课程．为了解学生掌握滑雪技巧及滑雪水平等情况，教练分别对甲、乙两名学生10次训练的
结果进行了统计，其中每次训练的成绩分别为5分，4分，3分，2分，1分五档．统计结果如图所示，下列结论正确的是（ ）A. ，B.
，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】根据折线统计图中的数据，先求出甲、乙两名同学成绩的平均数，再根据数据波动越大，方差越大
即可解答．详解】解：由题意，（分），，∴，由图知，甲的波动大，∴，故选A．【点睛】本题考查折线统计图、平均数和方差，折线统计图能更
清晰的看到各数据的变化趋势，波动越大，方差越大．7. 如图，在菱形ABCD中，AB＝4，点F是CD边上一点，且DF＝1，点E是BC
边上的一个动点，M、N分别是线段AE、AF的中点，连接EF和MN，当点E在BC边上从点B向点C移动时，线段MN的最小值是（ ）A
. 1B. 1.5C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】利用三角形中位线性质求解即可.【详解】解：∵M、N分别是线段AE、AF
的中点，∴，∵点E在BC边上从点B向点C移动，∴当点E运动到点C的位置时，EF最小，此时，EF=4-1=3，∴线段MN的最小值为1
.5.故选：B【点睛】此题考查三角形的中位线的性质，知道当点E运动到点C的位置时EF最小是解答此题的关键.8. 某学校组织趣味运动
会，小明和小亮两人报名参加了“运球往返跑”比赛，即：两人同时出发，每人用羽毛球拍托着球跑完规定的路程，若途中球不慎掉落，须捡起并回
到掉球处继续赛跑，用时少者胜．其中，距起点的距离用y（米）表示，时间用x（秒）表示．如图表示两人比赛过程中y与x的函数关系的图象，
以下推断正确的是（ ）A. 运球往返跑的总路程是50米B. 小亮比小明往返全程所用的时间少3秒C. 返回时小明与小亮平均速度的比
是3：4D. 小明去时所用时间与返回时间相差7秒【答案】D【解析】【分析】根据图象中的数据解答即可．【详解】解：A．由图可知，运球
往返的总路程为30+30=60（米），故A错误；B．由图知，小亮往返全程所用时间为40秒，小明往返全程所用时间为37秒，所以小亮比
小明往返全程所用的时间多3秒，故B错误；C．小亮返回的速度为30÷（40-20）=1.5（米/秒），小明返会的速度为30÷（37-
22）=2（米/秒），所以返回时小明与小亮平均速度的比是2：1.5=4：3，故C错误；D．小明去时所用时间为22秒，返回时间为37
-22=15秒，所以小明去时所用时间与返回时间相差7秒，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查一次函数的应用，理解题意，能从图象中获
取有效信息解决问题是解答的关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 函数中自变量x的取值范围是_______．【答案】x≥
4【解析】【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件【详解】解：根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实
数范围内有意义，必须x－4≥0，即x≥4．故答案为：x≥4．10. 已知（m+1）x2+5x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则m的
取值范围是 _____．【答案】m≠﹣1【解析】【分析】根据一元二次方程的一般形式，由二次项的系数a≠0即可解答．【详解】解：∵（
m+1）x2+5x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，∴m+1≠0，解得：m≠﹣1，故答案为：m≠﹣1．【点睛】本题考查一元二次方程的
有关概念，熟知一元二次方程成立的条件是解答的关键．11. 在疫情防控常态化条件下和防控措施到位的前提下，北京市五一期间共有124家
景区开放，331家乡村民宿开业，广大市民得以安全有序的“逛京城、游京郊”，其中，5月1日至5日的天气及最高气温如下表所示（单位：℃
）． 日期5月1日5月2日5月3日5月4日5月5日天气晴晴多云晴晴最高气温2323252427则这5天最高气温的极差是 _____
．【答案】4℃【解析】【分析】根据极差的定义，找出最高温度与最低温度求解即可．【详解】解：最高温度为27，最低温度为23，∴极差为
：27-23=4，故答案为：4℃．【点睛】题目主要考查极差的计算方法，理解极差的定义是解题关键．12. 如图，∠A＝∠ABC＝∠C
＝∠D＝∠E，点F在AB的延长线上，则∠CBF的度数是__．【答案】72【解析】【分析】由于五边形的每个内角都相等，则每个外角也相
等，所以每个外角都为360°÷5=72°即可．【详解】解：∵五边形的每个内角都相等∴五边形的每个外角都相等∴每个外角＝360°÷5
=72°∴∠CBF＝72°故答案为72°．【点睛】本题考查了多边形的外角和特点，掌握多边形外角的定义以及多边形的外角和为360°是
解答本题的关键．13. 写一个经过点（1，3）的一次函数表达式 _____．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】设该一次函数解析
式，再把点（1，3）代入，即可求解．【详解】解：设该一次函数解析式，把点（1，3）代入得：，解得：，∴该函数解析式为．故答案为：（
答案不唯一）【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，熟练掌握利用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．14. 在?ABCD中，若
∠A比∠B的2倍多30°，则∠B的度数为 _____．【答案】50°【解析】【分析】根据平行四边形的两邻角互补求解即可．【详解】解
：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，∵∠A比∠B的2倍多30°，∴∠A=2∠B+30°，∴2∠B
+30°+∠B=180°，∴∠B=50°，故答案为：50°．【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的两邻角互补是解答
的关键．15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，若直线y1＝﹣x+a与直线y2＝bx﹣4相交于点P，则下列结论中：①a＜b；②当0
＜x＜1时，y1＜y2＜0；③关于x，y的方程组的解是；所有正确结论的序号是 _____．【答案】①③【解析】【分析】根据一次函数
的基本性质及二元一次方程组与一次函数交点的关系依次判断即可得．【详解】解：根据图像可得：y1和y2都经过（1，-3），分别代入y1
和y2的解析式可得，a=-2,b=1,由图可得a 错误；由二元一次方程组与一次函数的关系可得，交点即为方程组的解，交点为(1,-3)，∴方程组的解为，故③正确；故答案为：①③．【点
睛】题目主要考查一次函数的基本性质及一次函数与二元一次方程组的关系，理解题意，熟练掌握运用数形结合方法是解题关键．16. 一张矩形
纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作……若在第n次
操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶正边矩形．如图所示，矩形ABCD中，若AB＝2，BC＝6，则称矩形ABCD为2阶正边矩
形．已知矩形MNPO的一组邻边长分别为20和a，且它是3阶正边矩形，a＜20，则a的值为 _____．【答案】5或8或12或15【
解析】【分析】根据n阶正边矩形的概念，分别画出3阶正边矩形的所有情况，分别求出a值即可．【详解】解：如图，MN=a，MQ=20，则
第一次操作后剩下的矩形的两边长度为a，（20－a），第二次操作后剩下的矩形的两边长度为（20－2a），a或（20-a），[a-(2
0-a)]，∵该矩形是3阶正边矩形，∴图（1）中20-2a=2a，则a=5；图（2）中2（20-2a）=a，则a=8；图（3）中2
0-a=2[a-(20-a)]，则a=12；图（4）中[a-(20-a)]=2（20-a），则a=15，故答案为：5或8或12或1
5．【点睛】本题考查图形的剪拼和正方形的性质、矩形的性质，理解新定义，利用分类讨论的思想正确将矩形分割为正方形是解答的关键．三、解
答题（共68分，其中17～22题每题5分，23～26题每题6分，27、28题每题7分）17. 下面是亮亮同学设计的“已知一组邻边构
造平行四边形”的尺规作图过程．已知：如图，线段AB、BC．求作：平行四边形ABCD．作法：①连接AC，作线段AC的垂直平分线，交A
C于点P；②连接BP并延长，在延长线上取一点D，使DP＝BP；③连接AD和CD，四边形ABCD即为所求作平行四边形．请你根据亮亮同
学设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明，并在括号内填写推理的依据．∵线段AC的
垂直平分线交AC于点P；∴ ＝ ，∵DP＝BP；∴四边形ABCD是平行四边形．（依据： ）．【答案】（1）见解析； （
2）AP；CP；对角线互相平分四边形是平行四边形．【解析】【分析】（1）根据题意，依据步骤作图即可得；（2）由平行四边形的判定定理
进行证明即可．【小问1详解】解：根据题意，依据步骤作图即可得：【小问2详解】证明：∵线段AC的垂直平分线交AC于点P，∴AP=CP
，∵DP＝BP；∴四边形ABCD是平行四边形．（依据：对角线互相平分的四边形是平行四边形）．【点睛】题目主要考查基本作图及平行四边
形的判定，理解题意，熟练掌握中垂线及平行四边形的判定是解题关键．18. 解方程：x2+4x﹣12＝0．【答案】x1=﹣6，x2=2
【解析】分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：原方程变形为：（x+6）（x,﹣2）=0，∴x+6=0或x﹣2=0，∴
x1=﹣6，x2=2．【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并能灵活运用是解答的关键．19. 如图，平行四边形
ABCD中，AC⊥AB，点E为BC边中点，AD＝6，求AE的长度．【答案】3【解析】【分析】由平行四边形的性质得出BC＝AD＝6，
由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝6，∵E为BC的中点，AC⊥AB
，∴AE＝BC＝3．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握平行四边形的性质，由直角三角形斜边上的
中线性质求出AE是解决问题的关键．20. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k为正整数时，求
此时方程的根．【答案】（1）k＜2（2）【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系列出不等式即可求出k的取值范围；
（2）根据（1）中的k的取值范围和k为正整数得出k的值，再解方程即可，【详解】（1）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴
，=8－4k >0.，∴；（2）∵k为正整数，∴k=1，解方程得，．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程.利用
一元二次方程根的判别式与根的关系列出不等式是解题的关键.21. 已知一次函数y＝2x+b的图象经过点（3，1）．（1）求一次函数表
达式；（2）在坐标系中画出该一次函数的图象；（3）求该函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积．【答案】（1）y=2x-5； （2）见
解析； （3）6.25【解析】【分析】（1）将点(3,1)代入函数解析式求解确定b的值，即可确定函数解析式；（2）分别求出函数解析
式与两个坐标轴的交点，然后连接即可；（3）根据（2）中交点及图象得出直角三角形的两直角边长，然后计算面积即可得出结果．【小问1详解
】解：将点(3,1)代入函数解析式得：1=6+b，解得：b=-5，∴一次函数解析式为：y=2x-5；【小问2详解】解：当x=0时，
y=-5，当y=0时，x=2.5，∴一次函数解析式经过(0,-5)，(2.5,0)，坐标系中描出两点，然后连接可得，如图所示：【小
问3详解】由（2）可得，函数图象与坐标轴围成的三角形为直角三角形，根据（2）中交点坐标可得直角边长分别为：2.5，5，∴三角形面积
为：．【点睛】题目主要考查求一次函数的解析式，作函数图象，求交点坐标等，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．22. 如图，要使
一个边长为6米的正方形花坛的面积增加64平方米后仍为正方形，求这个正方形花坛的边长应延长多少米？【答案】延长4米【解析】【分析】设
边长应该延长x米，根据题意，列出方程求解即可．【详解】解：设边长应该延长x米，根据题意可得：(x+6)2=62+64，(x+6)2
=100，∴x+6=10或x+6=-10（舍去）解得：x=4，答：边长应该延长4米．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题
意列出方程是解题关键．23. 如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，且与AD边相交于点E，∠AEB＝45°．（1）求证：
平行四边形ABCD是矩形；（2）连接CE，若CE，DE＝1，求AD的长．【答案】（1）证明见解析； （2）3【解析】【分析】（1）
根据角平分线及平行四边形的性质得出∠ABC=90°，利用矩形的判定定理即可证明；（2）连接CE，由勾股定理及等角对等边得出AB=A
E=2，结合图形即可得出结果．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∵BE平分∠A
BC，∠AEB=45°，∴∠ABE=∠EBC=45°，∴∠ABC=90°，∴四边形ABCD为矩形；【小问2详解】解：连接CE，∵，
DE=1，∴，∴AB=2，由（1）可知∠AEB=∠ABE，∴AB=AE=2，∴AD=2+1=3．【点睛】本题主要考查平行四边形的性
质及矩形的判定，角平分线的定义，勾股定理解三角形及等角对等边等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．24. “互联网+”的出现
，在一定程度上推动了现代物流业尤其是快递业的发展．小丹打算网购一些物品，并了解到两家快递公司的收费方式．甲公司：物品重量不超过1千
克的，需付费20元，超过1千克的部分按每千克4元计价；乙公司：按物品重量每千克6元计价外加包装费10元．设小丹网购物品的重量为x千
克（x为正数），根据题意列表：物品重量（千克）0.511.52…x甲公司费用（y甲元）202022a…y甲乙公司费用（y乙元）31
61922…y乙（1）表格中a的值为 ；（2）写出y乙与x的函数表达式，并在图中画出y乙的图象；（3）若小丹网购物品的重量为
4千克，如果想节省快递费用，结合函数图象，你认为小丹应选择的快递公司是 ．【答案】（1）24（2）y乙=6x+10，（x≥0
），画函数图象见解析； （3）甲【解析】【分析】（1）根据甲公司的收费方式，即可求解；（2）根据“乙公司的费用=快递重量×单价+包
装费用”即可写出y乙与x的函数表达式；（3）根据函数图象直接回答即可.【小问1详解】解：根据甲公司：物品重量不超过1千克的，需付费
20元，超过1千克的部分按每千克4元计价可知：a=20+（2-1）×4=20+4=24（元）故答案为：24；【小问2详解】解：由题
意得：y乙=6x+10，（x≥0），画图，如下：【小问3详解】解：由图象可知，网购物品的重量为4千克，y1 ，故答案为：甲.【点睛】本题考查了一次函数的应用、一次函数的图象以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据数量关系，
找出y乙与x的函数表达式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征找出y乙与x的函数图象经过的两点坐标；（3）观察函数图象解决问题．2
5. 新修订的《北京市生活垃圾管理条例》于2020年5月1日正式施行．新修订的分类标准将生活垃圾分为厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和
可回收物四类．为促使学生更好地了解垃圾分类知识，某校分别从七、八年级随机抽取了50名学生进行垃圾分类知识测试，并将数据（测试结果）
统计后绘制成了如下所示的不完整的频数分布表及直方图．a．七年级垃圾分类知识测试成绩频数分布表成绩段（单位：分）频数频率30≤x＜4
040.0840≤x＜5020.0450≤x＜60m0.1060≤x＜7080.0670≤x＜80100.2080≤x＜9013n
90≤x≤10080.16请根据图表中的信息，解答下列问题．（1）分别写出频数分布表中m、n的值为：m＝ ；n＝ ．（2）
补全频数分布直方图．（3）已知该所学校七年级学生共计400人，若垃圾分类知识测试的成绩在80分及以上为优秀；请你估计该校七年级学生
达到优秀的约有 人．【答案】（1）5；0.26； （2）见解析； （3）168【解析】【分析】（1）根据总人数乘以频率即为满
足条件的人数，代入计算即可得；（2）求出八年级在60到70分数段的人数，然后补全统计图即可；（3）先求出抽取七年级优秀的人数，然后
利用总人数乘以比例即可得．【小问1详解】解：∵七年级抽取50人，∴m=50×0.1=5，n=，故答案为：5；0.26；【小问2详解
】解：在60到70分数段的人数为：50-2-3-6-12-8-10=9，补全统计图如图所示：【小问3详解】解：在80分以上的有8+
13=21人，∴人，故答案为：168．【点睛】题目主要考查统计表与条形统计图，理解题意，从图表中获取相关信息是解题关键．26. 在
平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与一次函数y＝kx+2的图象交于点A（1，m）．（1）求m和k的值；（2）将直线y＝x沿y轴向上
平移两个单位得到直线l，点P（xp，yp）为直线l上任意一点，过点P作x轴的垂线交直线y＝x于点C，交一次函数y＝kx+2的图象于
点D．①当xp＝﹣1时，判断PC与PD的数量关系，并说明理由；②当PC≤PD时，结合函数图象，直接写出xp的取值范围．【答案】（1
）m=1，k=﹣1； （2）①PC=PD，理由见解析；②xp≤﹣1或xp≥1【解析】【分析】（1）将点A分别代入y＝x与y＝kx+
2求解即可；（2）①根据函数图象平移规律“上加下减”得到直线l的表达式，进而求出点P、C、D坐标，求得PC和PD即可解答；②由平行
线间的平行线相等知，PC的长不变，结合图象和①中结论即可求解．【小问1详解】解：将点A（1，m）代入y=x中得：m=1，则点A坐标
为（1，1），将点A（1，1）代入y=kx+2中得：1=k+2，∴k=﹣1；【小问2详解】解：①直线y＝x沿y轴向上平移两个单位得
到直线l的表达式为y=x+2，∴当xp＝﹣1时，yp＝﹣1+2=1，∴点P坐标为（﹣1，1），由题意知：点C和点D的横坐标为﹣1，
点D在一次函数y=﹣x+2的图象上，点C在直线y=x上，∴点C的坐标为（﹣1，﹣1），点D坐标为（﹣1，3），∴PC=1﹣(﹣1)
=2，PD=3﹣1=2，∴PC=PD；②根据题意直线y=x和直线l平行，PC垂直x轴，∴PC=2，当点P坐标为（1，3）时，点C和
点D与点A重合，则PD=PC=2，由图可知，当PC≤PD时， xp的取值范围为xp≤﹣1或xp≥1．【点睛】本题考查一次函数图象上
点的坐标特征、坐标与图形、一次函数图象的平移、平行线的性质，会利用数形结合思想解答是解题的关键．27. 已知：在正方形ABCD中，
点P是对角线BD上的一点，点E在直线CD的右侧，且满足∠PCE＝90°，CP＝CE，连接DE．（1）依据题意，补全图形；（2）计算
∠CDE的度数；（3）连接EP并延长，分别与AB边和CD边相交于点M和点N，试判断线段PM与NE之间的数量关系，并说明理由．【答案
】（1）图见解析； （2）45°； （3）PM=NE，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）过点P作PF⊥C
D于F，过E作EG⊥CD于G，根据根据正方形的性质得出∠BDC=45°，∠BCD=∠ADC=∠A=90°，易证PF=DF和∠FCP
=∠GEC，根据全等三角形的判定与性质证明得到CF=GE=DG，证明△DGE为等腰直角三角形即可求解；（3）过P作PH⊥AD于H，
过M作MI⊥PH于I，易证四边形HPFD为正方形和四边形AMHI为矩形，可证得HD=DF，MI=AH，MI∥GE，进而证得MI=G
E，∠IMP=∠GEN，再证明即可证得结论.【小问1详解】解：补全图形如图（1）所示：【小问2详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BDC=∠ADB=45°，∠BCD=∠ADC=∠A=90°，AD=CD，如图（2），过点P作PF⊥CD于F，过E作EG⊥CD于
G，则∠PFD=∠PFC=∠CGE=∠DGE=90°，PF∥GE，∴∠ECG+∠GEC=90°，又∠FCP+∠ECG=90°，∴∠
FCP=∠GEC，又∠PFC=∠CGE，CP=CE，∴△CPF≌△ECG（AAS），∴GE=CF，CG=PF，∵∠BDC=45°，
∠PFD=90°，∴∠DPF=∠BDC=45°，∴PF=DF，即CG=DF，∴CF=FG+CG=FG+DF=DG，∴DG=GE，又
∠DGE=90°，∴∠CDE=45°；【小问3详解】解：PM=NE，理由如下：如图（2），过P作PH⊥AD于H，过M作MI⊥PH于
I，则∠PHA=∠PHD=∠MIH=∠MIP=90°，又∠ADC=∠A=∠PFD=90°，∴ 四边形HPFD为正方形，四边形AMI
H为矩形，∴MI=AH，DF=HD，MI∥AD∥PF， ∴MI=AH=AD-HD=CD-DN=CF，MI∥GE，∴MI=GE，∠I
MP=∠GEN，又∠MIP=∠EGN=90°，∴△MIP≌△EGN（ASA），∴PM=NE.【点睛】本题考查正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、等角的余角相等等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，灵活添加辅助线解决问题是解答的关键.28. 在平面直角坐标系xOy中，存在点A（x1，y1）与点B（x2，2），若满足x1+x2＝0，y1﹣y2＝0，其中x1≠x2，则称点A与点B互为反等点．已知：点C（3，4）和点D（﹣5，4）．（1）下列四个点中，与点C互为反等点的是 ；H1（﹣3，﹣4），H2（3，﹣4），H3（﹣3，4），H4（3，4）．（2）已知直线y＝kx﹣2与线段CD相交于点P，若在线段CD上存在一点Q与点P互为反等点，求k的取值范围；（3）已知正方形的两条对角线分别与两坐标轴重合，当正方形与线段CD的两个交点互为反等点时，直接写出正方形边长a的取值范围．【答案】（1）H3； （2）； （3）.【解析】【分析】（1）根据题中反等点的定义依次计算判断即可得；（2）根据题意可得点P的横坐标x的取值范围为且，理解点C的反等点在线段CD上，将点(-3,4)，(3,4)分别代入一次函数解析式y=kx-2，求解即可确定k的取值范围；（3）根据题意，作出相应图形，找出临界点，然后依据正方形的性质及勾股定理求解即可得．【小问1详解】解：∵3+（-3）=0，4-4=0，∴H3(-3,4)与点C（3，4）互为反等点，故答案为：H3；【小问2详解】解：由于点P与点Q互为反等点，P、Q为线段CD上的反等点，∴点P的横坐标x的取值范围为且，由（1）可得点C的反等点在线段CD上，∴将点(-3,4)，(3,4)分别代入一次函数解析式y=kx-2，解得：k=-2，k=2，∴k的取值范围为：且；【小问3详解】解：如图所示，∵正方形与线段CD的两个交点互为反等点，∴正方形变长最长时经过点(3,4)与(-3,4)两点，∵正方形的两条对角线分别与两坐标轴重合，∴∠OAE=∠OAB=45°，∠AFD=∠AFC=90°，∴AF=NF=CF=3，根据题意可得，线段CD与y轴的交点为F（0，4），∴OF=4，∴OA=OF+AF=7，∴EO=OA=OB=7，∴；当正方形的一个顶点恰好与点F重合时，∴，此时只有一个交点，∴．【点睛】题目主要考查一次函数的基本性质，正方形的基本性质及勾股定理解三角形等，理解题中新的定义是解题关键． 1 / 1 |
|
