2021北京石景山初二（上）期末数 学一、选择题1. 的算术平方根是（ ）A. 3B. C. D. 92. 下列医院logo设计图案中，是轴
对称图形的是（ ）A. B. C. D. 3. 下列事件中，为必然事件的是（ ）A. 明天早晨，大家能看到太阳从东方冉冉升起B.
成绩一直优秀的小华后天的测试成绩也一定优秀C. 从能被2整除的数中，随机抽取一个数能被8整除D. 从10本图书中随机抽取一本是小说
4. 代数式在实数范围内有意义的条件是（ ）A. B. C. D. 5. 如图所示在中，边上的高线画法正确的是( )A. B.
C. D. 6. 下列式子的变形正确的是（ ）A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ）A. 无理数是开方开不尽的数B
. 一个实数的绝对值总是正数C. 不存在绝对值最小的实数D. 实数与数轴上的点一一对应8. 剪纸是我国传统的民间艺术．如图①，②将
一张纸片进行两次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（ ）A. B. C. D. 二、填空题9
. 一个均匀的正方体，6个面中有1个面是黄色的、2个面是红色的、3个面是绿色的．任意掷一次该正方体，则绿色面朝上的可能性是____
．10. 如果三角形的三边长分别为5，8，a，那么a的取值范围为__．11. 如图，将一副直角三角尺按图③放置，使三角尺①的长直角
边与三角尺②的某直角边在同一条直线上，则图③中的∠1=______°．12. 将分式约分可得____，依据为_____．13. 若
[]表示实数的整数部分，例如：[]=3，则[]=___．14. 如图，D，E分别是AB，AC上的点，AD=AE，请添加一个条件，使
得ABE≌ACD．这个条件可以为_____（只填一个条件即可）．15. 我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，
系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱
下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”示意图如图所示，设绳索AC的长为
尺，木柱AB的长用含的代数式表示为__尺，根据题意，可列方程为___．16. 有效的垃圾分类，可以减少污染、保护地球上的资源．为了
更好地开展垃圾分类工作，某社区居委会对本社区居民掌握垃圾分类知识的情况进行调查．从中随机抽取部分居民进行垃圾分类知识测试，并把测试
成绩分为A，B，C，D四个等次，绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．下面有四个推断：①本次的调查方式是抽样调查，样本容量是40；②
扇形统计图中，表示C等次的扇形的圆心角的度数为72°；③测试成绩为D等次的居民人数占参测总人数的10%；④测试成绩为A或B等次的居
民人数共30人．所有合理推断的序号是______．三、解答题17. 下面是小石设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程
．已知：如图1，直线l及直线l上一点P．求作：直线PQ，使得PQ⊥l．作法：如图2：①以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点
A，B；②分别以点A，B为圆心，以大于AB同样长为半径作弧，两弧在直线l上方交于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小石设计尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接QA，QB．∵QA＝
，PA＝ ，∴PQ⊥l （ ）（填推理依据）．18. 计算：．19. 计算：．20. 解方程：．21. 如图，ABC是等
边三角形，D，E分别是BA，CB延长线上点，且AD=BE．求证：AE = CD．22. 在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长都
是1，请在图中画出2个形状不同的等腰三角形，使它的腰长为，且顶点都在格点上，则满足条件的形状不同的等腰三角形共 个． 23. 已知
，求代数式的值．24. 关于的分式方程的解是负数，求满足条件的整数的最大值．25. 创建文明城市，携手共建幸福美好．某地为美化环境
，计划种植树木4800棵，由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划多20%，结果提前4天完成任务．求原计划每天植树的棵数．26
. 某区为了了解本区内八年级男生的体能情况，从中随机抽取了40名八年级男生进行“引体向上”个数测试，将测试结果绘制成表格如下：个数
123456789101521人数1168114122112 请根据以上表格信息，解答如下问题：（1）分析数据，补全表格信息平均数
众数中位数6（2）在平均数、中位数和众数中，选择一个你认为比较合适的统计量作为该区八年级男生“引体向上”项目测试的“合格标准”，并
说明选择的理由．（3）如果该区现有8000名八年级男生，根据（2）中选定的“合格标准”，估计该区八年级男生“引体向上”项目测试的合
格人数．27. 如图，ABC中，AC=2AB=6，BC=．AC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．（1）求BE的长；（2）延长
DE交AB的延长线于点F，连接CF．若M是DF上一动点，N是CF上一动点，请直接写出CM+MN的最小值为 ．28. 如图，射线AP
∥BQ，分别作∠PAB，∠ABQ的角平分线，这两条射线交于点O，过点O作一条直线分别与射线AP，直线BQ交于点C，D（不与点A，B
重合）．（1）当CD⊥AP时，①补全图形；②若AC=a，BD=b，则AB的长为 (用含a，b的式子表示)．（2）当CD与AP不垂直
时，在备用图中补全图形，探索线段AB，AC，BD之间的数量关系，并证明．参考答案一、选择题1. 的算术平方根是（ ）A. 3B.
C. D. 9【答案】B【解析】【分析】根据算术平方根的定义即可求解．【详解】解：3的算术平方根是，故选：B．【点睛】本题考查算术
平方根，掌握算术平方根的定义是解题的关键．2. 下列医院logo设计的图案中，是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案
】B【解析】【分析】根据轴对称图形的概念求解．【详解】A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；故选：B．【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念．
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3. 下列事件中，为必然事件的是（ ）A. 明天早晨，大家能看到太阳从东方冉
冉升起B. 成绩一直优秀的小华后天的测试成绩也一定优秀C. 从能被2整除的数中，随机抽取一个数能被8整除D. 从10本图书中随机抽
取一本是小说【答案】A【解析】【分析】必然发生的事件是必然事件，根据定义解答A．【详解】A、明天早晨，大家能看到太阳从东方冉冉升起
是必然事件；B、成绩一直优秀的小华后天的测试成绩也一定优秀是随机事件；C、从能被2整除的数中，随机抽取一个数能被8整除是随机事件；
D、从10本图书中随机抽取一本是小说是随机事件；故选：A．【点睛】此题考查必然事件定义，熟记定义、理解必然事件与随机事件发生的可能
性的大小是解题的关键．4. 代数式在实数范围内有意义的条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据二次根式中
的被开方数必须是非负数，即可列出不等式进行求解．【详解】解：根据题意得：2x＋1≥0，解得：x≥．故选：D．【点睛】本题考查了二次
根式的意义，掌握二次根式的非负性并能运用不等式准确求解字母的取值范围是解题的关键．5. 如图所示在中，边上的高线画法正确的是(
)A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用高线的概念得出答案．【详解】在中，边上的高线画法正确的是B，故选B．
【点睛】此题主要考查了三角形高线的作法，正确把握相关定义是解题关键．6. 下列式子的变形正确的是（ ）A. B. C. D. 【答
案】C【解析】【分析】根据分式的性质逐一判断即可．【详解】解：A. 不一定正确；B. 不正确；C. 分子分母同时除以2，变形正确；
D. 不正确；故选：C．【点睛】本题考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．7. 下列说法正确的是（ ）A. 无理数是
开方开不尽的数B. 一个实数的绝对值总是正数C. 不存在绝对值最小的实数D. 实数与数轴上的点一一对应【答案】D【解析】【分析】根
据无理数的定义、绝对值的性质、实数与数轴上点的对应关系逐一判断即可．【详解】解：A．无理数是无限不循环小数，该项说法不正确；B．一
个实数的绝对值可以是正数，也可以是零，该项说法不正确；C．绝对值最小的数是0，该项说法不正确；D．实数与数轴上的点一一对应，该项说
法正确；故选：D．【点睛】本题考查实数的相关概念，掌握无理数、绝对值的性质是解题的关键．8. 剪纸是我国传统的民间艺术．如图①，②
将一张纸片进行两次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（ ）A. B. C. D. 【答案】B
【解析】【分析】对于此类问题，只要依据翻折变换，将最后一个图中的纸片按顺序打开铺平即可得到答案．【详解】还原后只有B符合题意，故选
B．【点睛】此题主要考查了剪纸问题，解答此题的关键是根据折纸的方式及剪的位置进行准确分析，可以直观的得到答案．二、填空题9. 一个
均匀的正方体，6个面中有1个面是黄色的、2个面是红色的、3个面是绿色的．任意掷一次该正方体，则绿色面朝上的可能性是____．【答案
】【解析】【分析】根据简单事件的概率公式计算解答．【详解】6个面中有1个面是黄色的、2个面是红色的、3个面是绿色的．任意掷一次该正
方体，则绿色面朝上的可能性是，故答案为：．【点睛】此题考查简单事件的概率，理解事件中绿色发生的可能性大小是解题的关键．10. 如果
三角形的三边长分别为5，8，a，那么a的取值范围为__．【答案】3 得：8-5 1. 如图，将一副直角三角尺按图③放置，使三角尺①的长直角边与三角尺②的某直角边在同一条直线上，则图③中的∠1=______°．【
答案】105【解析】【分析】利用三角形外角性质求解．【详解】如图，∵∠2=，∠3=，∴∠4=∠2+∠3=，∴∠1=，故答案为：10
5．．【点睛】此题考查三角板的角度计算，三角形外角的性质，观察图形掌握各角度之间的位置关系是解题的关键．12. 将分式约分可得__
__，依据为_____．【答案】 (1). (2). 分式的分子和分母同时除以一个不为0的整式，分式的值不变【解析】【分析】根据
分式的基本性质即可求解．【详解】解：分式的分子和分母同时除以 进行约分，可得，故答案为：；分式的分子和分母同时除以一个不为0的整式
，分式的值不变．【点睛】本题考查分式约分，掌握分式的基本性质是解题的关键．13. 若[]表示实数的整数部分，例如：[]=3，则[]
=___．【答案】4【解析】【分析】根据无理数的估算可得，即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，故答案为：4．【点睛】本题考查无理数的
估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键．14. 如图，D，E分别是AB，AC上的点，AD=AE，请添加一个条件，使得ABE≌ACD
．这个条件可以为_____（只填一个条件即可）．【答案】∠B=∠C（或∠ADC=∠AEB或AB=AC）【解析】【分析】根据已知条件
知两个三角形已经具有∠A=∠A，AD=AE两个条件对应相等，故再添加一组对应角相等或是AB=AC即可得到ABE≌ACD．详解】∵∠
A=∠A，AD=AE，∴当∠B=∠C时，可利用AAS证明ABE≌ACD；当∠ADC=∠AEB时，可利用ASA证明ABE≌ACD；当
AB=AC时，可利用SAS证明ABE≌ACD；故答案为：∠B=∠C（或∠ADC=∠AEB或AB=AC）．【点睛】此题考查添加一个条
件证明三角形全等，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．15. 我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末
，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，
堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”示意图如图所示，设绳索AC的长为尺，木柱
AB的长用含的代数式表示为__尺，根据题意，可列方程为___．【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】设绳索长为x尺，根
据勾股定理即可列出方程．【详解】解：设绳索长为x尺，则木柱长为尺，根据勾股定理可列方程：，故答案为：；．【点睛】本题考查勾股定理的
应用，找准等量关系，列出方程是解题的关键．16. 有效的垃圾分类，可以减少污染、保护地球上的资源．为了更好地开展垃圾分类工作，某社
区居委会对本社区居民掌握垃圾分类知识的情况进行调查．从中随机抽取部分居民进行垃圾分类知识测试，并把测试成绩分为A，B，C，D四个等
次，绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．下面有四个推断：①本次的调查方式是抽样调查，样本容量是40；②扇形统计图中，表示C等次的扇
形的圆心角的度数为72°；③测试成绩为D等次的居民人数占参测总人数的10%；④测试成绩为A或B等次的居民人数共30人．所有合理推断
的序号是______．【答案】①②④【解析】【分析】根据扇形统计图中A等级对应的百分比为，条形统计图中读取其人数为12人，可得样本
容量；利用C等级的人数占样本容量的比例，可得其圆心角度数；测试成绩为D等次的居民人数占参测总人数的百分比为，求解即可；测试成绩为A
或B等次的居民人数共，求解即可．【详解】解：①样本容量为，故①正确；②表示C等次扇形的圆心角的度数为，故②正确；③测试成绩为D等次
的居民人数占参测总人数的百分比为，故③错误；④测试成绩为A或B等次的居民人数共（人），故④正确；故答案为：①②④．【点睛】本题考查
扇形统计图与条形统计图信息关联，读取两个统计图中相关信息是解题的关键．三、解答题17. 下面是小石设计的“过直线上一点作这条直线的
垂线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l及直线l上一点P．求作：直线PQ，使得PQ⊥l．作法：如图2：①以点P为圆心，任意长为半
径作弧，交直线l于点A，B；②分别以点A，B为圆心，以大于AB的同样长为半径作弧，两弧在直线l上方交于点Q；③作直线PQ．所以直线
PQ就是所求作的直线．根据小石设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接
QA，QB．∵QA＝ ，PA＝ ，∴PQ⊥l （ ）（填推理的依据）．【答案】（1）见解析；（2）QB，PB，等腰三角
形底边上的中线与底边上的高互相重合．【解析】【分析】（1）根据作图过程即可补全图形；（2）根据等腰三角形的性质即可完成证明．【详解
】解：（1）补全的图形如图2所示：（2）证明：连接QA，QB．∵QA＝QB，PA＝PB，∴PQ⊥l （等腰三角形底边上的中线与底边
上的高互相重合）．故答案为：QB；PB；等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合．【点睛】本题考查了作图-基本作图、等腰三角形的
性质，解决本题的关键掌握等腰三角形的性质．18. 计算：．【答案】0【解析】【分析】根据立方根定义、平方根定义、零指数幂定义依次化
简再计算加减法．【详解】=3-4+1=0．【点睛】此题考查实数的计算，掌握立方根定义、平方根定义、零指数幂定义是解题的关键．19.
计算：．【答案】【解析】【分析】根据二次根式混合运算的运算顺序，先算乘除，再将二次根式化成最简二次根式，最后合并同类二次根式即可
得出结果．【详解】解：．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式混合运算的相关运算法则是解题的关键．20. 解方程：．【
答案】【解析】【分析】方程两边同时乘以分母的最简公分母，将分式方程整理成一元一次方程，求解即可．【详解】解：方程两边同时乘以可得：
，整理得：，解得，经检验，是分式方程的解．【点睛】本题考查解分式方程，掌握分式方程的求解方法是解题的关键，最后要记得验根．21.
如图，ABC是等边三角形，D，E分别是BA，CB延长线上的点，且AD=BE．求证：AE = CD．【答案】证明见解析【解析】【分析
】通过证明≌即可得证．【详解】解：∵ABC是等边三角形，D，E分别是BA，CB延长线上的点，∴，，在和中，，∴≌，∴．【点睛】本题
考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．22. 在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，请在图中画出
2个形状不同的等腰三角形，使它的腰长为，且顶点都在格点上，则满足条件的形状不同的等腰三角形共 个． 【答案】画图见解析，5【解析】
【分析】根据等腰三角形定义作图即可求解．【详解】解：如图，和是腰长为的等腰三角形，作图如下：，可画出满足条件的形状不同的等腰三角形
有、、、、共5种．【点睛】本题考查等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的定义是解题的关键．23. 已知，求代数式的值．【答案】，【解析
】【分析】先根据分式的运算法则进行化简，然后整体代入即可求解．【详解】解：原式，∵，∴原式．【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握整
体代入思想是解题的关键．24. 关于的分式方程的解是负数，求满足条件的整数的最大值．【答案】-4【解析】【分析】先解分式方程，求出
x=2+m，根据方程的解是负数，且，列得2+m<0且，求解即可．【详解】解：3x-m=2（x+1）3x-m=2x+2x=2+m，∵
方程的解是负数，且，∴2+m<0且，解得m<-2且m-3．∴满足条件的整数的最大值-4．【点睛】此题考查已知分式方程的解求未知数的
取值范围，正确解分式方程且掌握分母不等于零是解题的关键．25. 创建文明城市，携手共建幸福美好．某地为美化环境，计划种植树木480
0棵，由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划多20%，结果提前4天完成任务．求原计划每天植树的棵数．【答案】200【解析】【
分析】设原计划每天植树x棵，则实际每天植树棵，根据工作时间＝工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前4天完成任务列出方程即可求解．
【详解】解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树棵，根据题意可得：，解得，经检验得是分式方程的解，答：原计划每天植树200棵．【点
睛】本题考查分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．26. 某区为了了解本区内八年级男生的体能情况，从中随机抽
取了40名八年级男生进行“引体向上”个数测试，将测试结果绘制成表格如下：个数123456789101521人数1168114122
112 请根据以上表格信息，解答如下问题：（1）分析数据，补全表格信息平均数众数中位数6（2）在平均数、中位数和众数中，选择一个你
认为比较合适的统计量作为该区八年级男生“引体向上”项目测试的“合格标准”，并说明选择的理由．（3）如果该区现有8000名八年级男生
，根据（2）中选定的“合格标准”，估计该区八年级男生“引体向上”项目测试的合格人数．【答案】（1）5，5；（2）5个，因为大部分学
生都能达到；（3）4800【解析】【分析】（1）根据众数和中位数的定义即可求解；（2）根据中位数或众数比较接近大部分同学的成绩，故
选中位数或众数比较合适；（3）利用样本估计总体列式求解即可．【详解】解：（1）由统计表可知做5个的人数最多，故众数为5；第20和第
21个人做的个数都为5，所以中位数为5；（2）选择中位数5个比较合适，因为大部分学生都能达到；（3）（人），∴估计该区八年级男生“
引体向上”项目测试的合格人数为4800人．【点睛】此题主要考查了中位数和众数的定义以及利用样本估计总体，熟练掌握中位数和众数的定义
是解题关键．27. 如图，ABC中，AC=2AB=6，BC=．AC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．（1）求BE的长；（2）
延长DE交AB的延长线于点F，连接CF．若M是DF上一动点，N是CF上一动点，请直接写出CM+MN的最小值为 ．【答案】（1）；（
2）【解析】【分析】（1）利用勾股定理逆定理可得ABC是直角三角形，，连接AE，根据线段垂直平分线的性质可得，在中利用勾股定理列出
方程即可求解；（2）根据题意画出图形，若使的值最小，则A，M，N共线，且，利用全等三角形的判定与性质即可求解．【详解】解：（1）连
接AE，，∵，，∴，∴ABC是直角三角形，，∵DE垂直平分AC，∴，在中，，即，∴，解得；（2）∵DE垂直平分AC，M是DF上一动点，∴，∴，若使的值最小，则A，M，N共线，且，如图，，在和中，，∴≌，∴．【点睛】本题考查勾股定理逆定理、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，灵活运用以上基本性质定理是解题的关键．28. 如图，射线AP∥BQ，分别作∠PAB，∠ABQ的角平分线，这两条射线交于点O，过点O作一条直线分别与射线AP，直线BQ交于点C，D（不与点A，B重合）．（1）当CD⊥AP时，①补全图形；②若AC=a，BD=b，则AB的长为 (用含a，b的式子表示)．（2）当CD与AP不垂直时，在备用图中补全图形，探索线段AB，AC，BD之间的数量关系，并证明．【答案】（1）①补全图形见解析；②；（2）【解析】【分析】（1）①根据题目描述补全图形即可；②过点O作，根据角平分线的性质可得，利用三角形全等的判定与性质得到，同理可得，即可求解；（2）过点O作，通过证明≌，得到，利用线段和差即可求解．【详解】解：（1）①补全图形如下：；②过点O作，，∵AO平分，，，∴，，又∵AO为公共边，∴≌，∴，同理可得，∴；（2）如图，过点O作，，由（1）可知，，又∵，，∴≌，∴，∴．【点睛】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解题的关键． 1 / 1 |
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