2021北京延庆初二（上）期末数学（教师版）

2021北京延庆初二（上）期末数 学考生须知：1.本试卷共6页，共三道大题，25道小题，满分100分，考试时间120分钟．2.在试卷和答题
卡上认真填写学校名称、姓名和学号．3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔
作答，其他试题用黑色签字笔作答．一、选择题：（共8个小题，每小题3分，共24分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1
. 2020年初，新冠状病毒引发肺炎疫情，全国多家医院纷纷派医护人员驰援武汉．下面四家医院标志得图案，其中是轴对称图形得是（ ）A
. B. C. D. 2. 要使二次根式有意义，x必须满足（ ）A. x≤2B. x≥2C. x＜2D. x＞23. 一个不透明的
盒子中装有3个白球、9个红球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的可能性是（ ）A. B.
C. D. 4. 下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（ ）A. 3，4，8B. 5，6，10C. 5，5，11D. 5，12
，135. 用直角三角板作△ABC的边AB上的高，下列直角三角板位置摆放正确的是（　　　）A. B. C. D. 6. 北京今年6
月某日部分区县的高气温如下表：区县大兴通州平谷顺义怀柔门头沟延庆昌平密云房山最高气温32323032303229323032则这1
0个区县该日最高气温的众数和中位数分别是（　　）A. 32，32B. 32，30C. 30，32D. 32，317. 在Rt△AB
C中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1.点Q在直线BC上，且AQ＝2，则线段BQ的长为（ ）A. B. C. 或D. 或8.
如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可
重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ）A 1，4，5B. 2，3
，5C. 3，4，5D. 2，2，4二、填空题 （共8个小题，每题3分，共24分）9. 要使分式有意义，则的取值范围是______
．10. 9的平方根是_________．11. 化简：＝______________．12. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90
°，AD平分∠BAC，AB＝10，AD＝5，AC＝4，则△ABD的面积为 ____________．13. 如图，在△ABC中，A
B＝AC，D为BC中点，∠BAD＝20°，且AE＝AD，则∠CDE的度数是______．14. 如图，在中，AB的垂直平分线交A于
点D，交BC于点E，若，，则的周长为________．15. 如图，△ABC是等边三角形，边长为2，AD是BC边上的高．E是AC边
中点，点P是AD上的一个动点，则PC＋PE的最小值是_______ ，此时∠CPE的度数是_______．16. 如图，在长方形的
对称轴上找点，使得，均为等腰三角形，则满足条件的点有_________个.三、解答题（本题共52分）17. 计算：．18. 计算：
．19. 如图，已知等边三角形ABC，延长BA至点D，延长AC至点E，使AD=CE，连接CD，BE．求证：△ACD≌△CBE．2
0. 解分式方程：．21. 先化简，再求值：，其中．22. 北京延庆于2020年12月1日6时26分迎来首列高铁G8881停靠标志
着京张高铁延庆支线及市郊铁路S2线正式开通运营，综合交通服务中心（换乘中心）同步投入使用．作为京张高铁支线火车站，延庆综合交通服务
中心是集高铁、市郊铁路、公交、出租车、自行车及停车场等多种形式于一体的综合枢纽．同时，作为北京2022年冬奥会重点交通服务配套设施
，该中心将在冬奥会期间承担观众和部分注册人员的交通转换及服务功能，冬奥会后将服务于延庆区日常活动及通勤，并为游客提供出行便利．小李
计划周末到延庆站参观．为了响应绿色出行号召，他从家到延庆站由驾车改为骑自行车．小李家距离延庆站20千米，在相同路线上，驾车的平均速
度是骑自行车平均速度的4倍，骑自行车所用时间比驾车所用时间多45分钟，求小李驾车的平均速度是多少？23. 已知：如图，线段AB和射
线BM交于点B．（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）①在射线BM上作一点C，使AC=AB，连接AC；②作∠ABM
的角平分线交AC于D点；③射线CM上作一点E，使CE=CD，连接DE.（2）在（1）所作的图形中，猜想线段BD与DE的数量关系，
并证明之．24. 我们规定用（a，b）表示一对数对．给出如下定义：记，，其中（a ＞ 0，b ＞ 0），将（m，n）与（n，m）称
为数对（a，b）的一对“对称数对”．例如：（4，1）的一对“对称数对”为（，1）和（1，）；（1）数对（9，3）的一对“对称数对”
是 ；（2）若数对（3，y）的一对“对称数对”相同，则y的值为 ；（3）若数对（x，2）的一个“对称数对”是（，1），则x的值
为 ；（4）若数对（a，b）的一个“对称数对”是（，），求ab的值．25. 在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是边BC上的两点，
AD＝AE，点E关于直线AC的对称点是点M，连接AM，DM；（1）如图1，当∠BAC＝60°时；①依题意补全图形；②若∠BAD＝，
则∠AEB＝ ；（用含式子表示）；③求证：DA＝DM；（2）如图2，当∠BAC＝90°时，依题意补全图形，用等式表示线段DC，EC
，AM之间的数量关系，并证明．参考答案考生须知：1.本试卷共6页，共三道大题，25道小题，满分100分，考试时间120分钟．2.在
试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和学号．3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4.在答题卡上，选择题、作图题
用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答．一、选择题：（共8个小题，每小题3分，共24分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合
题意的．1. 2020年初，新冠状病毒引发肺炎疫情，全国多家医院纷纷派医护人员驰援武汉．下面是四家医院标志得图案，其中是轴对称图形
得是（ ）A. B. C. D. 【1题答案】【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．如果一个图形
沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【详解】解：选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，
直线两旁的部分能够互相重合，所以是做轴对称图形；选项A、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相
重合，所以不是做轴对称图形；故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2
. 要使二次根式有意义，x必须满足（ ）A. x≤2B. x≥2C. x＜2D. x＞2【2题答案】【答案】B【解析】【详解】解：
根据二次根式的意义可知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，因此可得x-2≥0，解这个不等式可得x≥2．故选B3. 一个不透明
的盒子中装有3个白球、9个红球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的可能性是（ ）A. B.
C. D. 【3题答案】【答案】A【解析】【分析】先求出球的总数，再由概率公式即可得出结论．【详解】∵一个不透明的盒子中装有3个
白球，9个红球，∴球总数=3+9=12（个），∴这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的可能性=．故选：A．【点睛】本题考查的是可能性
的大小，熟记随机事件的概率公式是解答此题的关键．4. 下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（ ）A. 3，4，8B. 5，6，
10C. 5，5，11D. 5，12，13【4题答案】【答案】D【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c
满足a+b=c，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可．【详解】解：A：3+4=25≠8，不能组成直角三角形，不符合题意；B：5
+6=61≠10，不能组成直角三角形，不符合题意；C：5+5=50≠11，不能组成直角三角形，不符合题意；D：5+12=169≠1
3，可以组成直角三角形，符合题意．故选：D．【点睛】此题主要考查了勾股定理的逆定理，要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后
知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．5. 用直角三角板作△AB
C的边AB上的高，下列直角三角板位置摆放正确的是（　　　）A. B. C. D. 【5题答案】【答案】D【解析】【分析】从三角形的
一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，根据高线的定义即可得出结论．【详解】解：A、作出的是△ABC中BC边上的
高线，故本选项错误；B、作出的是△ABC中AC边上的高线，故本选项正确；C、不能作出△ABC中BC边上的高线，故本选项错误；D、作
出的是△ABC中AB边上的高线，故本选项错误；故选D．【点睛】本题考查的是作图-基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．6
. 北京今年6月某日部分区县的高气温如下表：区县大兴通州平谷顺义怀柔门头沟延庆昌平密云房山最高气温3232303230322932
3032则这10个区县该日最高气温的众数和中位数分别是（　　）A. 32，32B. 32，30C. 30，32D. 32，31【6
题答案】【答案】A【解析】【详解】在这一组数据中32是出现次数最多的，故众数是32；处于这组数据中间位置的数是32、32，那么由中
位数的定义可知，这组数据的中位数是32．故选A．7. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1.点Q在直线BC上，且AQ
＝2，则线段BQ的长为（ ）A. B. C. 或D. 或【7题答案】【答案】C【解析】【分析】分Q在CB延长线上和Q在BC延长
线上两种情况分类讨论，求出CQ长，根据线段的和差关系即可求解．【详解】解：如图1，当Q在CB延长线上时，在Rt△ACQ中，，∴BQ
=CQ-BC=；如图2，当Q在BC延长线上时，在Rt△ACQ中，，∴BQ=CQ+BC=；∴BQ的长为或．故选：C【点睛】本题考查了
勾股定理，根据题意画出图形，分类讨论是解题关键．8. 如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方
形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取
的三块纸片的面积分别是（ ）A. 1，4，5B. 2，3，5C. 3，4，5D. 2，2，4【8题答案】【答案】B【解析】【分析】
根据勾股定理，，则小的两个正方形的面积等于大三角形的面积，再分别进行判断，即可得到面积最大的三角形．【详解】解：根据题意，设三个正
方形的边长分别为a、b、c，由勾股定理，得，A、∵1+4=5，则两直角边分别为：1和2，则面积为：；B、∵2+3=5，则两直角边分
别为：和，则面积为：；C、∵3+4≠5，则不符合题意；D、∵2+2=4，则两直角边分别为：和，则面积为：；∵，故选：B．【点睛】本
题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握勾股定理，以及正方形的性质进行解题．二、填空题 （
共8个小题，每题3分，共24分）9. 要使分式有意义，则的取值范围是______．【9题答案】【答案】【解析】【分析】根据分式有意
义的条件可直接列式求解．【详解】解：∵分式有意义，∴，∴；故答案为：．【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条
件是解题的关键．10. 9的平方根是_________．【10题答案】【答案】±3【解析】【分析】根据平方根的定义解答即可．【详解
】解：∵（±3）2=9，∴9的平方根是±3．故答案为±3．【点睛】本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数
；0的平方根是0；负数没有平方根．11. 化简：＝______________．【11题答案】【答案】【解析】【分析】根据异分母分
式的加减运算法则求解即可．【详解】原式=，故答案为：．【点睛】本题考查分式的加减运算，掌握基本的运算法则是解题关键．12. 如图，
在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，AB＝10，AD＝5，AC＝4，则△ABD的面积为 ____________．【
12题答案】【答案】15【解析】【分析】过D作DE⊥AB垂足为E，根据角平分线定理可得DE=CD=3,然后根据三角形的面积公式计算
即可．【详解】解：如图：过D作DE⊥AB垂足为E，∵∠C=90°，∴在Rt△ACD中，,∵∠C=90°，DE⊥AB，AD平分∠BA
C， ∴DE=CD=3，∴△ABD 的面积为．故答案为：15．【点睛】本题主要考查了角平分线性质定理，勾股定理，正确作出辅助线是解
答本题的关键．13. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝20°，且AE＝AD，则∠CDE的度数是_____
_．【13题答案】【答案】10°【解析】【分析】设∠B＝∠C＝x，∠CDE＝y，分别表示出∠DAE，构建方程解方程即可求解．【详解
】解：设∠B＝∠C＝x，∠EDC＝y，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝x＋y，∵∠DAE＝180 °?2（x＋y）＝180 °
?20 °?2x，∴2y＝20 °，∴y＝10 °，∴∠CDE＝10 °．故答案为：10°【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性
质，还涉及三角形内角和等知识点，需要熟练掌握等腰三角形的判定与性质．14. 如图，在中，AB的垂直平分线交A于点D，交BC于点E，
若，，则的周长为________．【14题答案】【答案】11．【解析】【分析】根据垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的
距离相等，即可得到AE=BE，则，代入即可求解．【详解】解：∵AB的垂直平分线交A于点D，交BC于点E，∴AE=BE，∵，∴，∵，
，∴．故答案为：11．【点睛】本题主要考查的是垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，掌握垂直平分线的性质是解题
的关键．15. 如图，△ABC是等边三角形，边长为2，AD是BC边上的高．E是AC边中点，点P是AD上的一个动点，则PC＋PE的最
小值是_______ ，此时∠CPE的度数是_______．【15题答案】【答案】 ①. ②. 60°【解析】【分析】作点E关于
AD的对称点F，然后连接CF，交AD于点H，连接HE，由轴对称的性质及两点之间线段最短可得CF即为PC+PE的最小值，进而由等边三
角形的性质可求解．【详解】解：作点E关于AD的对称点F，然后连接CF，交AD于点H，连接HE，如图所示：∵△ABC是等边三角形，∴
AB=AC=BC，∠B=∠ACB=∠BAC=60°，∵AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，BD=DC，∵点E是AC的中点，AD垂直平分
EF，∴点F是AB的中点，∴CF⊥AB，CF平分∠ACB，∴∠BCF=30°，∴当点P与点H重合时，根据轴对称的性质及两点之间线段
最短可得此时PC+PE为最小值，即为CF的长，∵BC=2，∴BF=1，在Rt△CBF中，，∴PC+PE的最小值为；∴∠DHC=∠F
HP=60°，∵AD垂直平分EF，∴FH=HE，∴∠FHP=∠PHE=60°，∴∠CHE=60°，即为∠CPE=60°；故答案为；
60°．【点睛】本题主要考查勾股定理、等边三角形性质及轴对称的性质，熟练掌握勾股定理、等边三角形的性质及轴对称的性质是解题的关键．
16. 如图，在长方形的对称轴上找点，使得，均为等腰三角形，则满足条件的点有_________个.【16题答案】【答案】5【解析】
【分析】利用分类讨论的思想，此题共可找到5个符合条件的点：一是作AB或DC的垂直平分线交l于P；二是在长方形内部在l上作点P，使P
A=AB，PD=DC，同理，在l上作点P，使PC=DC，AB=PB；三是如图，在长方形外l上作点P，使AB=BP，DC=PC，同理
，在长方形外l上作点P，使AP=AB，PD=DC．【详解】如图，作AB或DC的垂直平分线交l于P，如图，在l上作点P，使PA=AB
，同理，在l上作点P，使PC=DC，如图，在长方形外l上作点P，使AB=BP，同理，在长方形外l上作点P，使PD=DC，故答案为:
5.【点睛】考查等腰三角形的判定与性质，注意分类讨论思想在解题中的应用.三、解答题（本题共52分）17. 计算：．【17题答案】【
答案】【解析】【分析】先根据二次根式化简，绝对值意义，立方根定义，二次根式性质化简，再计算即可．【详解】解：＝＝【点睛】本题考查了
二次根式的混合运算，绝对值的化简，实数的混合运算等知识，熟知相关知识是解题关键．18. 计算： ．【18题答案】【答案】【解析】【
分析】先化简二次根式，然后再进行二次根式的加减乘除运算即可．【详解】解：＝＝．【点睛】本题主要考查二次根式混合运算，熟练掌握二次根
式的混合运算是解题的关键．19. 如图，已知等边三角形ABC，延长BA至点D，延长AC至点E，使AD=CE，连接CD，BE．求证：
△ACD≌△CBE．【19题答案】【答案】见解析【解析】【分析】根据等边三角形的性质求得AC=BC，∠DAC=∠BCE，再根据SA
S证明△ACD≌△CBE．【详解】证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠CAB=∠ACB=60°，∴∠DAC=∠BCE=1
20°，在△ACD和△CBE中，∵AD=CE，∴△ACD≌△CBE（SAS）．【点睛】考查了全等三角形的判定定理、等边三角形的性质
，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．20. 解分式方程：．【20题答案】【答案】．【解析】【分析】方程两边都乘最简公分母，可
把分式方程转换为整式方程求解．【详解】解：去分母得：，去括号得：，解得，检验：当时，∴原方程的根是．【点睛】本题考查了解分式方程，
解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．21. 先化简，再求值：，其中．【21
题答案】【答案】；【解析】【分析】先化简分式得，再通过方程得，即得结果【详解】解：＝＝ ＝ ∵∴原式=【点睛】本题考查分式的化简求
值，能得到分式准确的最简结果是解题的关键22. 北京延庆于2020年12月1日6时26分迎来首列高铁G8881停靠标志着京张高铁延
庆支线及市郊铁路S2线正式开通运营，综合交通服务中心（换乘中心）同步投入使用．作为京张高铁支线火车站，延庆综合交通服务中心是集高铁
、市郊铁路、公交、出租车、自行车及停车场等多种形式于一体的综合枢纽．同时，作为北京2022年冬奥会重点交通服务配套设施，该中心将在
冬奥会期间承担观众和部分注册人员的交通转换及服务功能，冬奥会后将服务于延庆区日常活动及通勤，并为游客提供出行便利．小李计划周末到延
庆站参观．为了响应绿色出行号召，他从家到延庆站由驾车改为骑自行车．小李家距离延庆站20千米，在相同路线上，驾车的平均速度是骑自行车
平均速度的4倍，骑自行车所用时间比驾车所用时间多45分钟，求小李驾车的平均速度是多少？【22题答案】【答案】km/h【解析】【分析
】根据驾车速度是骑自行车速度的4倍可以分别分别设出自行车速度为x，驾车速度为4x，根据两种交通方式的时间差为45分钟列分式方程解题
即可．【详解】解：设骑自行车的平均时速为km/h，则驾车的平均时速为km/h， 由题意得： 解得 经检验：是所列方程的解，且符合
实际问题的意义． 当时， 答：小李驾车的平均时速为km/h．【点睛】此题考查分式方程的实际应用，难度一般，注意解分式方程时要检验，
列方程时注意单位要化统一．23. 已知：如图，线段AB和射线BM交于点B．（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）①
在射线BM上作一点C，使AC=AB，连接AC；②作∠ABM 的角平分线交AC于D点；③在射线CM上作一点E，使CE=CD，连接DE
.（2）在（1）所作的图形中，猜想线段BD与DE的数量关系，并证明之．【23题答案】【答案】（1）画图见解析；（2）证明见解析.【
解析】【详解】试题分析：（1）①以点A为圆心，AB的长为半径画圆弧交射线BM与点C，连接AC；②以点B位圆心画一段圆弧分别交AB、
BC于两点，然后分别以这两个点位圆心，画两段半径相等的圆弧并交于一点，连接此点与B点并延长交AC于点D；③以点C位圆心，CD的长为
半径画圆弧交射线CM于点E，连接DE；（2）猜想BD=DE，要证明DE=BD，即要证明∠1=∠3，有题目已知条件不难得出∠1=∠4
，∠3=∠4，即可证明.试题解析：（1）如图所示：（2）BD= DE.证明：∵BD平分∠ABC ，∴∠1=∠ABC ，∵ AB =
AC ，∴∠ABC=∠4，∴∠1=∠4，∵CE=CD ，∴∠2=∠3，∵∠4=∠2＋∠3，∴∠3=∠4，∴∠1=∠3，∴BD=
DE .点睛：（1）掌握尺规作图作角平分线的方法；（2）掌握等腰三角形的性质.24. 我们规定用（a，b）表示一对数对．给出如下定
义：记，，其中（a ＞ 0，b ＞ 0），将（m，n）与（n，m）称为数对（a，b）的一对“对称数对”．例如：（4，1）的一对“对
称数对”为（，1）和（1，）；（1）数对（9，3）的一对“对称数对”是 ；（2）若数对（3，y）的一对“对称数对”相同，则y的值
为 ；（3）若数对（x，2）的一个“对称数对”是（，1），则x的值为 ；（4）若数对（a，b）的一个“对称数对”是（，），求ab
的值．【24题答案】【答案】（1）与 ；（2） ；（3）1 ；（4）或【解析】【分析】（1）根据“对称数对”的定义代入计算即可；
（2）先将数对(3，y)的一对“对称数对”表示出来，根据“数对(3，y)的一对“对称数对”相同”，可得y的值；（3）先将数对(x，
2)的一对“对称数对”表示出来，根据“数对(x，2)的一个“对称数对”是(，1)”，即可得出x的值；（4）先将数对(a，b)的一对
“对称数对”表示出来，根据“数对(a，b)的一个“对称数对”是(，)”分两种情况进行讨论，分别得出a，b的值，然后得出ab的值．【
详解】解：（1）由题意得m=，n=，∴数对(9，3)的一对“对称数对”是与；（2）由题意得m=，n=，∴数对(3，y）的一对“对称
数对”为与，∵数对(3，y）一对“对称数对”相同，∴∴；（3）∵数对(x，2)的一对“对称数对”是与而数对(x，2)的一个“对称数
对”是（，1），∴，∴x=1；（4）∵数对(a，b)的一对“对称数对”是与，而数对(a，b)的一个“对称数对”是(，)，∴①，解得
∴；②，解得，∴，综上所述，或．【点睛】本题考查了实数的运算，“对称数对”的定义．理解题意是解题的关键．25. 在△ABC中，AB
＝AC，D，E分别是边BC上的两点，AD＝AE，点E关于直线AC的对称点是点M，连接AM，DM；（1）如图1，当∠BAC＝60°时
；①依题意补全图形；②若∠BAD＝，则∠AEB＝ ；（用含的式子表示）；③求证：DA＝DM；（2）如图2，当∠BAC＝90°时，依
题意补全图形，用等式表示线段DC，EC，AM之间的数量关系，并证明．【25题答案】【答案】（1）①见解析；② 60°＋；③见解析；
（2）；见解析【解析】【分析】（1）①根据题意可直接进行作图；②由题意易得△ABC是等边三角形，则有∠B=∠C=60°，由AD=A
E，则有∠ADE=∠AED，然后问题可求解；③由②易得∠DAM=60°，由轴对称的性质可得AD=AE=AM，进而可得△ADM是等边三角形，然后问题可求证；（2）由题意易证△DMC是直角三角形，则有，进而可证△ADM是等腰直角三角形，则有，从而等量代换即可求解．【详解】（1）解：①由题意可得如图所示：②解：∵∠BAC=60°，AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∵AD=AE，∠BAD＝，∴∠ADE=∠AEB=60°＋故答案为60°＋；③证明：由②可得∠BAD=∠EAC，∵∠BAC=60°，∴∠BAD+∠DAC=60°，∵点E关于直线AC的对称点是点M，∴AC垂直平分EM，∴AE=AM，∠EAC=∠MAC，∴∠MAC=∠BAD，DA＝MA，∴∠MAC+∠DAC=60°，∠DAM＝60°，∴△ADM是等边三角形，∴DA＝DM；（2）由题意可得如图所示： 线段DC，EC，AM之间的数量关系：证明：∵点E关于直线AC的对称点是点M，∴AC垂直平分EM，∴AE=AM，∠EAC=∠MAC，∴∠MAC=∠BAD，DA＝MA，∵∠BAC=90°，∴∠DAM=90°，∴△DAM是等腰直角三角形，∴，∵AC垂直平分EM，∴EC=CM，∵∠ACB=45°，∴∠ACB=∠ACM=45°，∴∠MCD=90°，∴在Rt△DMC中，，∴．【点睛】本题主要考查勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定、轴对称的性质，熟练掌握勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定、轴对称的性质是解题的关键． 1 / 1