2018北京朝阳初三（上）期中数 学一、选择题（本题共16分，每小题2分）1.以下是“回收”、“绿色包装”、“节水”、“低碳”四个标志，其
中是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 2.二次函数y＝（x+2）2+3的图象的顶点坐标是（ ）A. （﹣2，3）B
. （2，3）C. （﹣2，﹣3）D. （2，﹣3）3.如图，⊙O的直径为10，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，若OC＝3，则弦A
B的长为（ ）A. 8B. 6C. 4D. 104.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝59°，则∠C等于（ ）
A. 29°B. 31°C. 59°D. 62°5.如图4×4的正方形网格中，△PMN绕某点旋转一定的角度，得到△P1M1N1，其
旋转中心是（ ）A. A点B. B点C. C点D. D点6.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝6，阴
影部分图形的面积为（ ）A. 4πB. 3πC. 2πD. π7.已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x纵坐标y的对应
值如下表：X……﹣10123……Y……30﹣103①物线y＝ax2+bx+c的开口向下；②抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线
x＝﹣1；③方程ax2+bx+c＝0的根为0和2；④当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2以上结论中其中的是（ ）A. ①④B
. ②④C. ②③D. ③④8.如图1，⊙O过正方形ABCD的顶点A、D且与边BC相切于点E，分别交AB、DC于点M、N．动点P在
⊙O或正方形ABCD的边上以每秒一个单位的速度做连续匀速运动．设运动的时间为x，圆心O与P点的距离为y，图2记录了一段时间里y与x
的函数关系，在这段时间里P点的运动路径为（ ）A. 从D点出发，沿弧DA→弧AM→线段BM→线段BCB. 从B点出发，沿线段BC
→线段CN→弧ND→弧DAC. 从A点出发，沿弧AM→线段BM→线段BC→线段CND. 从C点出发，沿线段CN→弧ND→弧DA→线
段AB二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称点P′的坐标是_____．10.平
面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，5为半径作⊙O，则点A（4，3）在⊙O_____（填：“内”或“上“或“外”）11.如图所示
，把一个直角三角尺ACB绕30°角的顶点B顺时计旋转，使得点A落在CB的延长线上的点E处，则∠BCD的度数为_____．12.将抛
物线y＝x2﹣6x+5化成y＝a（x﹣h）2﹣k的形式，则hk＝_____．13.若正六边形的边长为2，则其外接圆的面积为____
_．14.二次函数满足下列条件：①函数有最大值3；②对称轴为y轴，写出一个满足以上条件的二次函数解析式：_____15.圆锥底面半
径为6，高为8，则圆锥的侧面积为_____．16.阅读下面材料：在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：已知：∠ACB是△A
BC的一个内角．求作：∠APB＝∠ACB．小明的做法如下：如图①作线段AB的垂直平分线m；②作线段BC的垂直平分线n，与直线m交于
点O；③以点O为圆心，OA为半径作△ABC的外接圆；④在弧ACB上取一点P，连结AP，BP．所以∠APB＝∠ACB．老师说：“小明
的作法正确．”请回答：（1）点O为△ABC外接圆圆心（即OA＝OB＝OC）的依据是_____；（2）∠APB＝∠ACB的依据是__
___．三、解答题（本原共68分，第17-22题，每小题5分，第23、24、26、28题，每小题5分，第25，27题，每小题5分）
17.如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90，且点B的坐标为（4，2）（1）画出△OAB绕点O逆时针旋转90°后的△OA1B1．（
2）求点B旋转到点B1所经过的路线长（结果保留π）18.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示．（1）确定二次函
数的解析式；（2）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．19.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝
135°，AC＝4，求⊙O的半径长．20.关于x一元二次方程x2+mx+n＝0．（1）当m＝n+2时，利用根的判别式判断方程根的情
况．（2）若方程有实数根，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根．21.如图，PA，PB是⊙O的切线，点A，B为切点，AC
是⊙O的直径，∠ACB=70°，求∠APB的度数.22.某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w（
双）与销售单价x（元）满足w＝﹣2x+80（20≤x≤40），设销售这种手套每天的利润为y（元）．（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？23.如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A（0，4）
、B（4，4）、C（6，2）（1）用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置，并标出M点的坐标；（2）若D点的坐标为（7，0），想一想直
线CD与⊙M有怎样的位置关系，并证明你的猜想．24.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥
AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4，∠F＝30°，求DE的长
．25.如图，Q是弧AB与弦AB所围成的图形的内部的一定点，P是弦AB上一动点，连接PQ并延长交弧AB于点C，连接BC．已知AB＝
6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对函
数y1，y2，随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）确定自变量x的取值范围是 ．（2
）按下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值．x/cm0123456y1/cm5.624.67
3.762.653.184.37y2/cm5.625.595.535.425.194.734.11（3）在同一平面直角坐标系xOy
中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并面出函数y1，y2的图象． （4）结合函数图象，解决问题：当△
APC为等腰三角形时，AP的长度约为 cm．26.在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+m+2的顶点在x轴上．（1
）求抛物线的表达式；（2）点Q是x轴上一点，①若在抛物线上存在点P，使得∠POQ＝45°，求点P的坐标．②抛物线与直线y＝1交于点
E，F（点E在点F的左侧），将此抛物线在点E，F（包含点E和点F）之间的部分沿x轴向左平移n个单位后得到的图象记为G，若在图象G上
存在点P，使得∠POQ＝45°，求n的取值范围．27.已知：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC+∠ADC＝180°（1）如图
①，若∠ACD＝60°，BC＝1，CD＝3，则AC的长为 ；（2）如图②，若∠ACD＝45°，BC＝1，CD＝3，求出AC的长
；（3）如图③，若∠ACD＝30°，BC＝a，CD＝b，直接写出AC的长．28.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，m），
且m≠0，点B的坐标为（n，0），将线段AB绕点B顺时针旋转90°．得到线段BA1，称点A1为点A关于点B的“伴随点”，图1为点A
关于点B的“伴随点”的示意图（1）已知点A（0，4），①当点B的坐标分别为（1，0），（﹣2，0）时，点A关于点B的“伴随点”的坐
标分别为 ， ；②点（x，y）是点A关于点B的“伴随点”，直接写出y与x之间的关系式；（2）如图2，点C的坐标为（﹣3，0
），以C为圆心，为半径作圆，若在⊙C上存在点A关于点B的“伴随点”，直接写出点A的纵坐标m的取值范围．2018北京朝阳初三（上）期
中数学参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）1.【答案】C【解析】【分析】根据中心对称图形的定义判断即可.【详解】解：A、
不是中心对称图形，本选项错误；B、不是中心对称图形，本选项错误；C、是中心对称图形，本选项正确；D、不是中心对称图形，本选项错误．
故选：C．【点睛】本题考查中心对称图形的定义，确定中心对称图形的关键是找到对称中心.2. 【答案】A【解析】试题分析：抛物线y=a
（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），直接根据抛物线y=（x+2）2+3写出顶点坐标则可．由于y=（x+2）2+3为抛物线的顶点
式，根据顶点式的坐标特点可知，抛物线的顶点坐标为（﹣2，3）．考点：二次函数的性质．3.【答案】A【解析】【分析】根据勾股定理求出
AC的长，由垂径定理可得AB的长.【详解】解：连接OA，∵OA＝5，OC＝3，OC⊥AB，∴AC＝＝4，∵OC⊥AB，∴AB＝2A
C＝2×4＝8．故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，熟练掌握基础知识是解题关键.4.【答案】B【解析】∵AB是O
的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=59°，∴∠A=90°?∠ABD=31°，∴∠C=∠A=31°故选：B.5. 【答案】B【
解析】试题分析:旋转对称图形是指：把一个图形绕着某一定点旋转一个角度360°/n(n为大于1的正整数)后，与初始的图形重合，这种图
形就叫旋转对称图形，这个定点就叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角。按照定义的要求旋转角度=360°/n。A选项中旋转的角度是0
°，不成立；B项旋转角度是90°，则n=4，所以符合题目，故选B；C选项中，旋转不成立；D项旋转角度得出n不为整数，所以也不成立。
考点：本题考查旋转对称图形，要掌握图形变换的知识。点评：本题难度较大，主要是空间立体要求严格。6.【答案】C【解析】【分析】先求出
△BOC是等边三角形，再根据垂径定理及圆周角定理得到∠CBO＝∠BOD，由S△BCD＝S△BCO将阴影部分面积转化为S扇形OBC，
代入数值求解即可.【详解】解：连接BC，OD，设CD交AB于E． ∵∠BOC＝2∠CDB，∠CDB＝30°，∴∠COB＝60°，∵
OC＝OB，∴△BOC是等边三角形，∴∠CBO＝60°，∵CD⊥AB，CD＝6，∴＝，CE＝ED＝3，∴∠BOC＝∠BOD＝60°
，EO＝，OC＝2，∴∠CBO＝∠BOD，∴BC∥OD，∴S△BCD＝S△BCO，∴S阴＝S扇形OBC＝＝2π．故选：C．【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、垂径定理、圆周角定理及勾股定理，将阴影部分面积转化为扇形面积是解题关键.7.【答案】D【解析】【分析】
根据表格可知x＝1是抛物线对称轴，此时有最小值，与x轴交点坐标为（0,0）（2,0）据此可判断①②③，根据与x轴交点坐标结合开口方
向可判断④.【详解】解：从表格可以看出，函数的对称轴是x＝1，顶点坐标为（1，﹣1），函数与x轴的交点为（0，0）、（2，0），①
物线y＝ax2+bx+c的开口向下．抛物线开口向上，错误；②抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，错误；③方程ax2+
bx+c＝0的根为0和2，正确；④当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2，正确．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质
，解题关键是能够根据表格得到有用信息.8.【答案】C【解析】结合两幅图形分析可知，图2中函数图象的线段部分对应的是点P在⊙O上运动
的情形，曲线部分对应的是点P在正方形的边上运动的情形，在图2中函数图象的最高点分别对应着点P运动到了图1中的B、C两点， 由此可知
与图2中函数图象对应的点P的运动路线有以下两种情况：①点P是从A点出发，沿弧AM→线段BM→线段BC→线段CN：②点P是从D点出发
，沿弧DN→线段NC→线段CB→线段BM.故选C.二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 【答案】（﹣2，3）．【解析】【分析
】根据坐标轴的对称性即可写出.【详解】解：根据中心对称的性质，得点P（2，﹣3）关于原点的对称点P′的坐标是（﹣2，3）．故答案为
：（﹣2，3）．【点睛】此题主要考查直角坐标系内的坐标变换，解题的关键是熟知直角坐标系的特点.10. 【答案】上．【解析】【分析】
求出点A到圆心的距离，判断即可.【详解】解：∵点A（4，3）到圆心O的距离OA＝＝5，∴OA＝r＝5，∴点A在⊙O上，故答案为：上
．【点睛】本题考查点和圆的位置关系，当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外，当点到圆心的距离等于半径时，点在圆上，当点到圆心的距离小
于半径时，点在圆内.11.【答案】15°．【解析】【分析】根据旋转的性质可得△CBD是等腰三角形，然后求出∠CBD的度数，易得∠B
CD的度数.【详解】解：根据旋转的性质△ABC≌△EDB，BC＝BD，则△CBD是等腰三角形，∠BDC＝∠BCD，∠CBD＝180
°﹣∠DBE＝180°﹣30°＝150°，∠BCD＝（180°﹣∠CBD）＝15°．故答案为15°．【点睛】本题考查了旋转的性质和
等腰三角形的性质，得到△CBD是等腰三角形是解题关键.12. 【答案】﹣12．【解析】【分析】将抛物线化成顶点式，可得h，k的值，
代入计算即可.【详解】解：∵y＝x2﹣6x+5＝x2﹣6x+9﹣4＝（x﹣3）2﹣4，∴h＝3，k＝﹣4，∴hk＝3×（﹣4）＝﹣
12．故答案是：﹣12．【点睛】本题考查了抛物线的顶点式，熟练掌握顶点式的转化是解题关键.13. 【答案】4π【解析】【分析】连接
OE、OD，易得△EOD是等边三角形，可得外接圆半径为2，再根据半径求面积即可.【详解】解：设正六边形的中心为O，连接OE、OD，
∵六边形是正六边形，∴∠EOD＝＝60°，∴△EOD是等边三角形，∴OE＝ED＝2，即它的外接圆半径的长为2，所以其外接圆的面积为
4π，故答案为：4π【点睛】本题考查了圆内接正多边形的性质，求出△EOD是等边三角形是解题关键.14.【答案】y＝﹣x2+3．【解
析】【分析】写出一个满足a＜0，b=0的二次函数解析式即可.【详解】解：∵二次函数的图象具有下列特征：①函数有最大值3；②对称轴为
y轴，∴满足以上条件的一个二次函数的解析式（任写一个符合条件的即可）为y＝﹣x2+3．故答案为：y＝﹣x2+3．【点睛】本题考查二
次函数的图像和性质，根据题意得到a＜0，b=0是解题关键.15. 【答案】60π【解析】分析：利用勾股定理易得圆锥的母线长，那么圆
锥的侧面积=π×底面半径×母线长．解答：解：∵圆锥的底面半径为6，高为8，∴圆锥的母线长为10，∴圆锥的侧面积为π×6×10=60
π．故答案为60π．点评：考查圆锥的计算；得到圆锥的母线长是解决本题的突破点；用到的知识点为：圆锥的母线长，底面半径，高组成以母线
长为斜边的直角三角形．16.【答案】 (1). ①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；②等量代换 (2)
. 同弧所对的圆周角相等【解析】【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质定理以及等量代换即可得出结论．（2）根据同弧所对的圆周角相
等即可得出结论．【详解】（1）如图2中，∵MN垂直平分AB，EF垂直平分BC，∴OA=OB，OB=OC（线段垂直平分线上的点与这条
线段两个端点的距离相等），∴OA=OB=OC（等量代换）故答案是： （2）∵，∴∠APB=∠ACB（同弧所对的圆周角相等）．故答案
是：（1）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等和等量代换；（2）同弧所对的圆周角相等．【点睛】考查作图-复杂作图、线段
的垂直平分线的性质、三角形的外心等知识，解题的关键是熟练掌握三角形外心的性质．三、解答题（本原共68分，第17-22题，每小题5分
，第23、24、26、28题，每小题5分，第25，27题，每小题5分）17.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）
根据旋转的性质作图即可.（2）先求出OB的长，再根据弧长公式计算即可.【详解】解：（1）如图所示，△OA1B1即为所求． （2）∵
OB＝＝，∠BOB1＝90°，∴点B旋转到点B1所经过的路线长为．【点睛】本题考查了旋转作图和弧长的计算，熟练掌握旋转的性质和弧长
公式是解题关键.18.【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+；（2）k＜2．【解析】【分析】根据待定系数法求二次函数的解析式，并根据公式求
顶点坐标的纵坐标，当方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，即直线y=k与抛物线有两个交点，从而得出k的取值．【详解】解：（
1）从图象可以看出：c＝1.5，函数与x轴的交点为（﹣3，0），函数对称轴为x＝﹣1，则：函数表达式为y＝ax2+bx+1.5，将
（﹣3，0），对称轴x＝﹣1代入函数表达式，，解得：a＝﹣，b＝﹣1，即函数的表达式为：y＝﹣x2﹣x+；（2）ax2+bx+c＝
k，即：﹣x2﹣x+﹣k＝0，△＝（﹣1）2﹣4（﹣）（﹣k）＞0，解得：k＜2．【点睛】本题考查了二次函数图象与一元二次方程的关
系，同时还考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，注意抛物线是轴对称图形，根据对称性可以求抛物线上点的坐标，解好本题还要熟练掌握顶
点坐标公式：（-，）；方程ax2+bx+c=k的解的情况由图象与y=k的交点个数确定，反之k的取值也决定了方程解的情况．19.【答
案】⊙O的半径长为2．【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质和圆周角定理可得△AOC是等腰直角三角形，AC＝4，易得OA.【详解】
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，∴∠D＝180°﹣∠ABC＝45°，∴∠AOC＝2∠D＝90°，∵OA＝OC，
且AC＝4，∴OA＝OC＝AC＝2，即⊙O的半径长为2．【点睛】本题主要考查了圆内接四边形和圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形对角互
补是解题关键.20. 【答案】（1）详见解析；（2）x1＝x2＝﹣1．【解析】【分析】（1）根据△＝b2﹣4ac＝n2+4＞0，可
得有两个不相等的实数根；（2）根据有实数根可得△＝m2﹣4n≥0，写出一组符合题意的m，n的值并解方程即可.【详解】解：（1）△＝
b2﹣4ac＝m2﹣4n＝（n+2）2﹣4n＝n2+4，∵n2≥0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程有实数根，∴
△＝m2﹣4n≥0，若m＝2，n＝1，则方程变形为x2+2x+1＝0，解得x1＝x2＝﹣1．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式
，熟知根的情况与判别式的关系是解题关键.21.【答案】∠APB=40°【解析】试题分析：根据PA，PB分别是⊙O的切线得到PA⊥O
A，PB⊥OB，在四边形AOBP中根据内角和定理，就可以求出∠P的度数．试题解析：∵PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，∴PA=
PB，∠PAC=900∴∠PAB=∠PBA∠P=1800-2∠PAB又∵AC是⊙O的直径∴∠ABC=900，∴∠BAC=900-∠
ACB=200∠PAB=900-200=700∴∠P=180o-2×70o=40o.考点：切线的性质．22. 【答案】（1）y=﹣
2x2+120x﹣1600；（2）当销售单价定为每双30元时，每天的利润最大，最大利润为200元．【解析】分析：（1）用每双手套的
利润乘以销售量得到每天的利润； （2）由（1）得到的是一个二次函数，利用二次函数的性质，可以求出最大利润以及销售单价．详解：（1）
y=w（x﹣20） =（﹣2x+80）（x﹣20） =﹣2x2+120x﹣1600； （2）y=﹣2（x﹣30）2+200． ∵2
0≤x≤40，a=﹣2＜0，∴当x=30时，y最大值=200． 答：当销售单价定为每双30元时，每天的利润最大，最大利润为200元
．点睛：本题考查的是二次函数的应用．（1）根据题意得到二次函数．（2）利用二次函数的性质求出最大值．23.【答案】（1）图详见解析
，M（2，0）；（2）直线CD是⊙M的切线，理由详见解析.【解析】【分析】（1）线段AB，BC垂直平分线的交点即为圆心M；（2）由
A（0，4），可得小正方形的边长为1，分别求出MC、CD、MD的长，由勾股定理逆定理可得∠MCD＝90°.【详解】解：（1）如图所
示，点M即为所求，且M（2，0）． （2）直线CD是⊙M的切线，由A（0，4），可得小正方形的边长为1，设过C点与x轴垂直的直线与
x轴的交点为E，连接MC，作直线CD，∴CE＝2，ME＝4，ED＝1，MD＝5，在Rt△CEM中，∠CEM＝90°，∴MC2＝ME
2+CE2＝42+22＝20，在Rt△CED中，∠CED＝90°，∴CD2＝ED2+CE2＝12+22＝5，∴MD2＝MC2+CD
2，∴∠MCD＝90°，又∵MC为半径，∴直线CD是⊙M的切线．【点睛】本题考查了垂径定理、切线的性质和勾股定理逆定理等，根据垂径
定理确定圆心的位置是解题关键.24.【答案】（1）详见解析；（2）DE＝2．【解析】【分析】（1）连接OD，AD，根据D、O是BC
、AC的中点，可得OD是△ABC的中位线，OD∥AB，∠ODE＝90°.（2）先证明四边形OGED是矩形，由∠AOG＝∠F＝30°
，得DE＝OG＝2.【详解】解：（1）连接OD，AD，∵AC是⊙O直径，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴点D是BC的中点，∵O是AC
的中点，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴∠ODE＝∠BED＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线
；（2）过点O作OG⊥AB于点G，∴∠AEF＝∠AGO＝90°，∴OG∥EF，四边形OGED是矩形，∴∠AOG＝∠F＝30°，∵O
A＝4，∴AG＝2，由勾股定理可知：OG＝2，∴DE＝OG＝2． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质、矩形的判定和性质以及含30°角
的直角三角形的性质，能够灵活运用所学知识进行推理是解题关键.25.【答案】（1）0≤x≤6；（2）3；（3）详见解析；（4）3或4
.91或5.77．【解析】【分析】（1）由AB＝6可得0≤x≤6；（2）PA＝6时,通过表格可得AB＝6，BC＝4.37，AC＝4
.11，由勾股定理逆定理可得∠ACB＝90°，所以AB是直径，当x＝3时，PA＝PB＝PC＝3；（3）根据表格中的数据，描点连线画
图即可；（4）当PA＝PC或PA＝AC或PC＝AC时，根据函数图像可得x即AP的长.【详解】解：（1）∵AB＝6cm，∴自变量x的
取值范围是0≤x≤6；故答案为：0≤x≤6；（2）∵PA＝6时，AB＝6，BC＝4.37，AC＝4.11，∴AB2＝AC2+BC2
，∴∠ACB＝90°，∴AB是直径．当x＝3时，PA＝PB＝PC＝3，∴y1＝3，故答案为3．（3）函数图象如图所示： （4）观察
图象可知：当x＝y，即当PA＝PC或PA＝AC时，x＝3或4.91，当y1＝y2时，即PC＝AC时，x＝5.77，综上所述，满足条
件的x的值为3或4.91或5.77．故答案为3或4.91或5.77．【点睛】本题是圆、三角形、函数的综合题，读懂题意，能够从表格中
获取有用数据是解题关键.26.【答案】（1）y＝x2﹣4x+4；（2）①点P的坐标为（1，1）或（4，4）；②在图象G上存在点P，
使得∠POQ＝45°，n的取值范围为0≤n≤4．【解析】【分析】（1）根据抛物线顶点在x轴上，列式计算可得m的值；（2）由∠POQ
＝45°，作直线y＝x，交抛物线y＝x2﹣4x+4于点P，联立解析式求出P点坐标即可；（3）分两种情况考虑：当点P，Q在y轴右侧时
与点P，Q在y轴左侧时，列出不等式求解即可.【详解】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣4x+m+2的顶点在x轴上，∴＝0，解得：m＝2，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+4．（2）①作直线y＝x，交抛物线y＝x2﹣4x+4于点P，如图1所示．联立直线OP及抛物线的表
达式成方程组，得：，解得：，，∴点P的坐标为（1，1）或（4，4）．②当y＝1时，x2﹣4x+4＝1，解得：x1＝1，x2＝3，∴
点E的坐标为（1，1），点F的坐标为（3，1）．分两种情况考虑：（i）当点P，Q在y轴右侧时，∵抛物线y＝x2﹣4x+4与直线y＝
x交于点（1，1），∴当1≤3﹣n≤3时，图象G上存在点P，使得∠POQ＝45°，解得：0≤n≤2；（ii）当点P，Q在y轴左侧时
，同①可得出，抛物线y＝x2﹣4x+4与直线y＝﹣x交于点（﹣1，﹣1）或（﹣4，﹣4），∴当﹣1≤3﹣n≤1时，图象G上存在点P
，使得∠POQ＝45°，解得：2≤n≤4．综上所述：若在图象G上存在点P，使得∠POQ＝45°，n的取值范围为0≤n≤4． 【点睛
】本题考查二次函数的图像和性质，正确理解∠POQ＝45°的意义，运用数形结合的思想解决问题是解题关键.27.【答案】（1）4；（2
）AC＝2；（3）AC＝（a+b）．【解析】【分析】（1）延长CD至M，使DM＝BC，连接AM，证明△ABC≌△ADM，可得△AC
M为等边三角形，等量代换可得AC＝CM＝CD+DM＝CD+BC＝4；（2）延长CD至N，使DN＝BC，连接AN，证明△ABC≌△A
DN，△ACN为等腰直角三角形，可得AC＝（CD+BC）＝2；（3）延长CD至H，使DH＝BC，连接AH，作AE⊥CD于E，由（2
）可知，AC＝AH，CE＝（a+b），在Rt△ACE中可求出AC＝（a+b）.【详解】解：（1）延长CD至M，使DM＝BC，连接A
M，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADM+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADM，在△ABC和△ADM中，，∴△ABC≌△A
DM（SAS）∴AM＝AC，∵∠ACD＝60°，AM＝AC，∴△ACM为等边三角形，∴AC＝CM＝CD+DM＝CD+BC＝4，故答
案为：4；（2）延长CD至N，使DN＝BC，连接AN，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADN+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠
ADN，由（1）得，△ABC≌△ADN，∴AN＝AC，∵∠ACD＝45°，AN＝AC，∴△ACN为等腰直角三角形，∴AC＝（CD+
BC）＝2；（3）延长CD至H，使DH＝BC，连接AH，作AE⊥CD于E，由（2）可知，AC＝AH，∴CE＝（a+b），在Rt△A
CE中，∠AEC＝90°，∠ACD＝30°，∴CE＝AC，∴AC＝（a+b）×＝（a+b）．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性
质以及等腰三角形的判定和性质，能够根据题意作出常用辅助线是解题关键.28.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，m），且m≠
0，点B的坐标为（n，0），将线段AB绕点B顺时针旋转90°．得到线段BA1，称点A1为点A关于点B的“伴随点”，图1为点A关于点
B的“伴随点”的示意图（1）已知点A（0，4），①当点B的坐标分别为（1，0），（﹣2，0）时，点A关于点B的“伴随点”的坐标分别
为 ， ；②点（x，y）是点A关于点B的“伴随点”，直接写出y与x之间的关系式；（2）如图2，点C的坐标为（﹣3，0），以
C为圆心，为半径作圆，若在⊙C上存在点A关于点B的“伴随点”，直接写出点A的纵坐标m的取值范围．【答案】（1）①（5，1），（2，
﹣2）；②P1（x，y）是点A关于点B的“伴随点”，y与x之间的关系式为y＝x﹣4；（2）m≤﹣1或m≥1．【解析】【分析】（1）①构造全等三角形求出点A1坐标即可；②取N（4，0），则OA＝ON，作A1M⊥x轴于M，在△ABO≌△BA1M的条件下可得出△A1MN是等腰直角三角形，所以点A1在经过点N，与x轴的夹角为45°的直线上时，P1（x，y）是点A关于点B的“伴随点”，易得关系式为y＝x﹣4；（2）结合②中关系式，可得当直线y＝x﹣m与⊙C有交点时，在⊙C上存在点A关于点B的“伴随点”，可求出 m的范围.【详解】解：（1）①如图1中，作A1M⊥x轴于M． ∵AB＝BA1，∠AOB＝∠A1MB＝90°，易证∠ABO＝∠A1，∴△ABO≌△BA1M（AAS）∴OA＝BM，OB＝A1M，当A（0，4），B（1，0）时，BM＝4，A1M＝1，OM＝5，∴A1（5，1），当A（0，4），B（﹣2，0）时，同法可得A1（2，﹣2）．故答案为（5，1），（2，﹣2）．②如图2中，取N（4，0），则OA＝ON，作A1M⊥x轴于M． ∵△ABO≌△BA1M，∴OA＝BM＝ON，OB＝A1M，∴OB＝MN＝A1M，∴△A1MN是等腰直角三角形，∴∠A1NM＝45°，∴点A1在经过点N，与x轴的夹角为45°的直线上，易知这条直线的解析式为y＝x﹣4，∴P1（x，y）是点A关于点B的“伴随点”，y与x之间的关系式为y＝x﹣4；（2）如图3中， 由（1）可知，A（0，m）关于B的“伴随点”A1（x，y），y与x之间的关系式：y＝x﹣m，由题意可知，当直线y＝x﹣m与⊙C有交点时，在⊙C上存在点A关于点B的“伴随点”，易知相切时m＝±1，观察图象可知，满足条件的m的范围为：m≤﹣1或m≥1．【点睛】本题考查了全等三角形的应用、直线与圆的位置关系、一次函数的综合应用等，综合性较强，难度较大，属于中考压轴题. 1 / 1 |
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