2019-2020北京初三数学上学期期末汇编：几何综合1．（2019秋?朝阳区期末）已知，点，分别在，边上，且，点在线段上（不与点，重合），
连接．将射线绕点逆时针旋转得到射线，将射线绕点逆时针旋转与射线交于点．（1）根据题意补全图1；（2）求证：①；②（提示：可以在上截
取，连接；（3）点在线段的延长线上，当线段，，满足什么等量关系时，对于任意的点都有，写出你的猜想并证明．2．已知等边，点为上一点，
连接．（1）若点是上一点，且，连接，与的交点为点，在图（1）中根据题意补全图形，直接写出的大小；（2）将绕点逆时针旋转，得到，连接
交于点，在图（2）中根据题意补全图形，用等式表示线段和的数量关系，并证明．3．（2019秋?海淀区期末）在中，，，记，点为射线上的
动点，连接，将射线绕点顺时针旋转角后得到射线，过点作的垂线，与射线交于点，点关于点的对称点为，连接．（1）当为等边三角形时，①依题
意补全图1；②的长为 ；（2）如图2，当，且时，求证：；（3）设，当时，直接写出的长．（用含的代数式表示）4．（2019秋?通州区
期末）如图，于点，为等腰直角三角形，，当绕点旋转时，记，．（1）过点作交射线于点，作射线交射线于点．①依题意补全图形，求的度数；②
当时，求的长．（2）若上存在一点，且，作射线交射线于点，直接写出长度的最大值．5．（2019秋?门头沟区期末）如图，，平分，点在射
线上，，是射线上的两动点，点在点的左侧，且，作线段的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接，．（1）依题意补全图形；（2）判断线段，
之间的数量关系，并证明；（3）连接，设，当和两点都在射线上移动时，是否存在最小值？若存在，请直接写出的最小值；若不存在，请说明理由
．6．（2019秋?密云区期末）已知：在中，，，点为边中点．点为线段上的一个动点（不与点，点重合），连接，将线段绕点顺时针旋转，得
到线段，连接．（1）如图1，若点在线段上．①依据题意补全图1；②求的度数．（2）如图2，若点在线段上，请你补全图形后，直接用等式表
示线段、、之间的数量关系．7．如图，，，分别为射线，上的两个动点，将线段绕点逆时针旋转到，连接交于点．（1）当时，依题意补全图形，
并直接写出的值；（2）写出一个的度数，使得，并证明．8．（2019秋?北京期末）如图，中，，，是线段上一点．过点作，垂足为．将线段
绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．设的度数为．（1）①依题意补全图形．②若，则 ； ；（2）用含的式子表示与之间的数量关系，并证明
．9．（2019秋?东城区期末）在中，，于点，于点，连接．（1）如图1，当为锐角三角形时，①依题意补全图形，猜想与之间的数量关系并
证明；②用等式表示线段，，的数量关系，并证明；（2）如图2，当为钝角时，依题意补全图形并直接写出线段，，的数量关系．10．（201
9秋?西城区期末）是等边三角形，点在的延长线上，以为中心，将线段逆时针旋转得线段，连接，．（1）如图1，若，画出当时的图形，并写出
此时的值；（2）为线段的中点，连接．写出一个的值，使得对于延长线上任意一点，总有，并说明理由．11．如图，在正方形中，是边上的一动
点（不与点，重合），点关于直线的对称点为，连接．连接并延长交射线于点，连接．（1）若，直接写出的大小（用含的式子表示）；（2）求证
：；（3）连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．12．（2019秋?房山区期末）在中，，，以点为圆心、1为半径作圆，设点
为上一点，线段绕着点顺时针旋转，得到线段，连接、．（1）在图1中，补全图形，并证明．（2）连接，若与相切，则的度数为 ．（3）连接
，则的最小值为 ；的最大值为 ．13．（2019秋?平谷区期末）如图，正方形，将边绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．（1）求的度数
；（2）连结，延长交于点．①求证：；②直接用等式表示线段，，的数量关系．14．（2018秋?怀柔区期末）在菱形中，，是一条对角线，
点在边上（与点，不重合），连接，平移，使点移动到点，得到，在上取一点，使，连接，，．（1）依题意补全图1；（2）判断与的数量关系及
的度数，并加以证明；（3）若，菱形的边长为1，请写出求长的思路．（可以不写出计算结果）15．如图1，在正方形中，点在边上，过点作，
且，连接、，点是的中点，连接．（1）用等式表示线段与的数量关系是 ；（2）将图1中的绕点按逆时针旋转，使的顶点恰好在正方形的对角线
上，点仍是的中点，连接、．①在图2中，依据题意补全图形；②求证：．16．（2018秋?北京期末）正方形中，将边所在直线绕点逆时针旋
转一个角度得到直线，过点作，垂足为，连接．（1）当时，设交于点，①如图1，若，则 ；②如图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并
证明；（2）当时（如图，请直接用等式表示线段，，之间的数量关系．17．（2018秋?石景山区期末）在中，，，，过点作直线，将绕点逆
时针旋转得到△，直线，分别交直线于点，．（1）当点，首次重合时，①请在图1中，补全旋转后的图形；②直接写出的度数；（2）如图2，若
，求线段的长；（3）求线段长度的最小值．18．（2018秋?东城区期末）如图，为正方形内一点，点在边上，且，．点为的中点，点为的中
点，连接并延长到点，使得，连接．（1）依题意补全图形；（2）求证：；（3）连接，用等式表示线段和的数量关系并证明．19．已知在中，
，，直线经过点（不经过点或点，点关于直线的对称点为点，连接，．（1）如图1，①求证：点，，在以点为圆心，为半径的圆上．②直接写出的
度数（用含的式子表示）为 ．（2）如图2，当时，过点作的垂线与直线交于点，求证：；（3）如图3，当时，记直线与的交点为，连接．将直
线绕点旋转，当线段的长取得最大值时，直接写出的值．20．（2018秋?朝阳区期末）是正方形的边上一动点（不与，重合），，垂足为，将
绕点旋转，得到，当射线经过点时，射线与交于点．（1）依题意补全图形；（2）求证：；（3）在点的运动过程中，图中是否存在与始终保持相
等的线段？若存在，请写出这条线段并证明；若不存在，请说明理由．21．（2018秋?门头沟区期末）如图，在中，，，是线段延长线上一点
，连接，过点作于．（1）求证：．（2）将射线绕点顺时针旋转后，所得的射线与线段的延长线交于点，连接．①依题意补全图形；②用等式表示
线段，，之间的数量关系，并证明．22．（2018秋?昌平区期末）如图，在中，，，为上一点（与点，不重合），连接，过点作的延长线于．
（1）①在图中作出的外接圆，并用文字描述圆心的位置；②连接，求证：点在上；（2）①延长线段至点，使，连接，根据题意补全图形；②用等
式表示线段与的数量关系，并证明．23．（2018秋?密云区期末）已知中，，，在外侧作射线，点关于射线的对称点为，连接，交射线与点．
（1）依题意补全图1．（2）设，若，求的大小（用含的代数式表示）．（3）如图2，，用等式表示线段，与之间的数量关系．24．（201
8秋?房山区期末）如图，中，，平分，作的垂直平分线交于点，交的延长线于点，交于点，交于点．（1）依题意补全图形；（2）求证：；（3
）试猜想，和之间的数量关系并进行证明．25．（2018秋?丰台区期末）如图，是等边三角形，，分别是，边上的点，且，连接，相交于点．
（1）的度数是 ；（2）如果，那么 ；（3）如果时，请用含的式子表示，的数量关系，并证明．26．（2018秋?平谷区期末）如图，正
方形，将边绕点顺时针旋转，得到线段，连接，，交于点．（1）求的度数；（2）求证：；（3）连接，直接用等式表示线段，，的数量关系．2
7．（2018秋?西城区期末）如图，在中，，，连接，．（1）判断与的数量关系，并证明你的结论；（2）若，，，．①的长为 ；②点，分
别为，的中点，连接，写出求长的思路．28．（2018秋?顺义区期末）如图，在平行四边形中，，，过点作于，连接，，为上一点，且．（1
）求证：；（2）求的长；（3）求的长．29．（2018秋?大兴区期末）如图，在中，，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，将的
两边，分别绕点顺时针旋转，得到射线，，过点作的垂线，分别交射线，于点，．（1）依题意补全图形；（2）若，求的大小（用含的式子表示）
；（3）用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明．2019-2020北京初三数学上学期期末汇编：几何综合参考答案一．解答题（共29
小题）1．【分析】（1）根据题意即可补全图形；（2）①由旋转得，由三角形内角和得出，，即可得出结论；②在上截取，连接，则，，得出，
易证，由证得，即可得出结论；（3）猜想时，对于任意的点都有，在上截取，连接、，则，，得出 是等边三角形，则，，由证得，得出，由三角
形外角性质得出，则，由，，得出，即可得出．【解答】（1）解：根据题意补全图形，如图1所示：（2）证明：①由旋转得：，，，，；②在上
截取，连接，如图2所示：则，，由旋转得：，，，，，在和中，，，；（3）解：猜想时，对于任意的点都有；理由如下：在上截取，连接、，如
图3所示：则，， 是等边三角形，，，在和中，，，，，，，，，．【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质
、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理以及三角
形外角性质是解题的关键．2．【分析】（1）根据全等三角形性质和三角形外角的性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到，根据三
角形的外角的性质得到．根据旋转的性质得到，．根据全等三角形的性质得到，于是得到结论．【解答】（1）补全图形图1，证明：在和中，．是
的一个外角，；（2）补全图形图2，，证明：在和中，，是的一个外角，．是由绕点逆时针旋转得到，，．，．，，，．．在和中，，，，，，且
，．，．【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．3．【分析】（1）①
根据题意画出图形即可．②解直角三角形求出，再利用全等三角形的性质证明即可．（2）作于，于．通过计算证明即可解决问题．（3）如图3中
，作于，于．设，则，，利用相似三角形的性质构建方程求解即可解决问题．【解答】（1）解：①补全图形如图所示．②是等边三角形，，，，，
，，，，，．，，．故答案为2．（2）作于，于．，．由题意可知．，，，，，，四边形是矩形，，，，，．又，，，，，，，关于点对称，，，
，为中点．垂直平分．．（3）如图3中，作于，于．设，则，，，，四边形是矩形，，，，，，，，，解得，．【点评】本题属于几何变换综合题
，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相
似三角形解决问题，属于中考压轴题．4．【分析】（1）①根据题意作出图形，过点作于点，交的延长线于点．证明四边形是正方形即可解决问题
．②解直角三角形即可解决问题．（2）观察图象可知，当时，是等腰直角三角形，此时的值最大，最大值．【解答】解：（1）①图形如图1所示
．过点作于点，交的延长线于点．，，，，四边形是矩形，，，，，四边形为正方形，．②如图2中，延长交于点．，，，，，．（2）如图3中，
，，，观察图象可知，当时，是等腰直角三角形，此时的值最大，最大值．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质
，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．5．【
分析】（1）根据题意补全图形如图1，（2）结论：．连接，只要证明即可解决问题；（3）连接．只要证明，即可推出，由，推出当时，的值最
小，最小值为，由此即可解决问题．【解答】解：（1）如图1，（2）．证明：如图2中，连接．垂直平分，，，平分，，，，．（3），，，，
，，，，，，，，，，当时，的值最小，最小值为，．【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角
形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．6．【
分析】（1）①根据题意直接画出图形；②先判断出，再判断出，进而判断出，即可得出结论；（2）先判断出，再判断出，判断出，进而得出，最
后用勾股定理即可得出结论．【解答】解：（1）①补全图形如图②解：如图2，过点作边的垂线交延长线于点，，，将线段绕点顺时针旋转，得到
线段，，，，在中，，，，在和中，；（2），理由：如图3，过点作边的垂线交延长线于点，，，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，，，，在中
，，，，在和中，，在中，，．【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的
判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．7．【分析】（1）由题意画出图形，根据旋转的性质可得，，过点作于点，证明，可得，求出的
值即可；（2）．过点作于点，证明，可得出结论．【解答】解：（1）补全图形如下：由旋转的性质可得，，如图1，过点作于点，，，，设，则
，则，，．（2）解：．证明：，．，．如图2，过点作于点，，．，．．．．【点评】本题考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角
形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．8．【分析】（1）①利用旋转直接画出图形，②先求出，
再判断出，得出，再利用等腰直角三角形的性质计算即可得出结论；（2）先判断出，得出，再同（1）②的方法即可得出结论．【解答】解：（1
）①依题意补全图1；②，，，，在中，，，，，．在和中，，，，，，，，由旋转知，，，，，故答案为30，；（2）．证明：，，．同（1）
②的方法知，，，在中，．，，．，，．在和中，，，，，即．【点评】此题是相似形综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全
等三角形的判定和性质，判断出是解本题的关键．9．【分析】（1）①依题意补全图形，由直角三角形的性质得出，即可得出②作，交于，则，得
出，证出是等腰直角三角形，得出，由①得出，证明，得出，，证出是等腰直角三角形，得出，即可得出结论；（2）作，交的延长线于，则，证出
是等腰直角三角形，得出，证明，得出，，得出是等腰直角三角形，证出，即可得出结论．【解答】解：（1）①依题意补全图形，如图1所示：猜
想，理由如下：于点，于点，，，；②，理由如下：作，交于，如图所示：则，，，是等腰直角三角形，，由①得：，在和中，，，，，是等腰直角
三角形，，，；（2）依题意补全图形如图2所示：，理由如下：作，交的延长线于，则，，，是等腰直角三角形，，同①得：，在和中，，，，，
是等腰直角三角形，，，．【点评】本题是四边形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质等
知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．10．【分析】（1）求出，当时，，连接，由旋转的性质得出，得出，证出、、三点共线，
得出，证出是等边三角形，得出即可；（2）延长至，使得，连接，，，证出四边形是平行四边形．得出，．证明．得出，．证出是等边三角形．得
出．即可得出结论．【解答】解：（1）如图1所示：是等边三角形，，，又，，，，，当时，，连接，由旋转的性质得：，，，，，、、三点共线
，，是等边三角形，，即；（2）．理由如下：延长至，使得，连接，，，如图2所示：为线段的中点，四边形是平行四边形．，．，．是等边三角
形，，．．以为中心，将线段逆时针旋转得到线段，．．在和中，，．，．．是等边三角形．．又，．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质
、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质以及作图等知识；熟练掌握旋转的性质和等边三角形的判定
与性质是解题的关键．11．【分析】（1）由轴对称的性质得出，，由正方形的性质得出，，得出，，由等腰三角形的性质即可得出答案；（2）
由轴对称的性质得出，．得出．由等腰三角形的性质得出．证出，得出即可；（3）过点作交于点，证明是等腰直角三角形，得出，，证明，得出，
即可得出结论．【解答】（1）解：由轴对称的性质得：，，四边形是正方形，，，，，；（2）证明：四边形是正方形，，，点与点关于直线对称
，，．．．，在四边形中，，，；（3）解：线段，，之间的数量关系为，理由如下：过点作交于点，如图所示：四边形是正方形，，，，点与点关
于直线对称，，，是等腰直角三角形，，，在和中，，，，，．【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、
轴对称的性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关
键．12．【分析】（1）补全图形，证明，即可得出结论；（2）分两种情况：①由旋转的性质得，，得出，由切线的性质得出，即可得出答案；
②如图3所示：由旋转的性质得，，得出，由切线的性质得出，即可得出答案；（3）当与相切时，有最小值为1；证明四边形是正方形，得出，，
与相切，点是切点，即的最小值为1；当点在延长线时，有最大值为3；同（1）得，得出，求出，得出，即的最大值为3．【解答】（1）补全图
形如图1所示： 证明：由旋转的性质得：，，，，在和中，，，；（2）解：分两种情况：①如图2所示：由旋转的性质得：，，是等腰直角三角
形，，与相切，，；②如图3所示：由旋转的性质得：，，是等腰直角三角形，，与相切，，；综上所述，与相切，则的度数为或；故答案为：或；
（3）解：当与相切时，有最小值为1；理由如下：如图4所示：与相切，，由旋转的性质得：，，，，，，四边形是平行四边形，四边形是正方形
，，，与相切，点是切点，即的最小值为1；当点在延长线时，有最大值为3，理由如下：如图5所示：同（1）得：，，，，，，即的最大值为3
；故答案为：1；3．【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与
性质、正方形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度．13．【分析】（1）由正方形的性质得出，，由旋转的性质得，，推
出，则，，得出；（2）①连接，，由正方形的对称性可知，易证是等边三角形，得出，，则，证明，即可得出结论；②在上截取，连接，由正方形
的性质得出，，证明，得出，，，得出是等边三角形，得出，由，得出，即可得出．【解答】（1）解：四边形是正方形，，，由旋转的性质得：，
，，，，；（2）①证明：连接，如图1所示：，由正方形的对称性可知，，，，是等边三角形，，，，在和中，，，；②解：在上截取，连接，如
图2所示：四边形是正方形，，，在和中，，，，，，是等边三角形，，，，，．【点评】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、等腰三
角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识；熟练掌握正
方形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．14．【分析】（1）根据题意可补全图形；（2）由平移的性质可得，由菱形的性质可得，
，可得，，可证，可得，，即可求；（3）根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质可求，通过解，可求的长度．【解答】解：（1）补全图形
，如图所示（2），．理由如下：如图，由平移可知，．四边形是菱形，，，，，，，，．，，，，，，，，，．（3）求解思路如下：由，解得，
．在中，由，，解得，．在中，由，，解得，．在中，由，解得，由、、可得，在中，由，，，可解，从而求得长．【点评】本题是四边形综合题，
主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．15．【分析】（1）先判断出
，得到，再判断出，得到，从而得到为等腰直角三角形，即可．（2）①画图2即可；②如图2，连接、，证明得，根据直角三角形斜边中线的性质
得：，由圆的定义可知：点、、、在以点为圆心，长为半径的圆上，，所以是等腰直角三角形，可得结论．【解答】解：（1），理由是：如图1，
连接，，四边形为正方形，，，，，，，，，点是的中点，，，，，，，，，，，，为等腰直角三角形，．故答案为：；（2）①如图2所示，②如
图2，连接、，四边形是正方形，，，平分，，，，，，，点是的中点，，点、、、在以点为圆心，长为半径的圆上，，，，是等腰直角三角形，，
．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，圆的性质，判断为等腰直角三
角形是解本题的关键，作出辅助线是解本题的难点．16．【分析】（1）①利用正方形的性质得出，进而求出，再利用对顶角相等得出，即可得出
结论；②先利用等式的性质得出，再同①的方法得出，进而判断出，得出，，即可得出结论；（2）先判断出，进而用同①的方法判断出，即可得出
，判断出，得出，，即可得出结论．【解答】（1）①四边形是正方形，，，，，，，，即：，故答案为：35；②．证明：如图2，过点作，交于
点，．四边形为正方形，，，．，，，，，，．在和中，，，，，，．在中，，，．（2）．理由：如图3，过点作，交于点，．四边形为正方形，
，，．，，，，，，．延长交于，，，，在和中，，，，，，．在中，，，．即：．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，直角
三角形的两锐角互余，对顶角相等，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，构造全等三角形是解本题的关键．17．【分析】解
：（1）①根据题意补全图形；②由旋转的性质可得，根据锐角三角函数可求的度数；（2）由题意可证四边形是平行四边形，可得，根据同角的余
角相等可得，根据锐角三角函数可求的长，即可求的长；（3）取中点，连接，根据直角三角形的性质可得，即的值最小时，有最小值，则当点与点
重合时，的值最小，可得的最小值为．【解答】解：（1）①补全图形如图所示：②将绕点逆时针旋转得到△，，的度数为；（2），，且，四边形
是平行四边形．，，，．（3）如图，取中点，连接，点是斜边的中点，，即的值最小时，有最小值，当点与点重合时，的值最小，的最小值为．【
点评】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，锐角三角函数等知识，熟练运用这些性质进行推
理是本题的关键．18．【分析】（1）根据题意可以画出完整的图形；（2）由，点为的中点可知，要证明，只要证明即可，要证明，只要证明即
可，然后根据题目中的条件和全等三角形的判定即可证明结论成立；（3）首先写出线段和的数量关系，然后根据题意作出合适的辅助线，利用全等
三角形的判定和性质、正方形的性质即可证明结论成立．【解答】解：（1）如右图所示；（2）点为线段的中点，在和中，，，为的中点，，，，
；（3）结论：，证明：连接，由（2）可知：，，，，在正方形中，，，又，，又，，，在和中，，，，，，为等腰直角三角形，又，．【点评】
本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．1
9．【分析】（1）①由线段垂直平分线的性质可得，即可证点，，在以点为圆心，为半径的圆上；②由等腰三角形的性质可得，可求的度数；（2
）连接，由题意可证，是等边三角形，可得，，，根据“”可证，可得；（3）取的中点，连接，，，由三角形的三边关系可得，当点，点，点三点
共线时，最长，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求，，，即可求的值．【解答】证明：（1）①如图1，连接，并延长交于点，点关于直线的对
称点为点，，且，，点，，在以点为圆心，为半径的圆上②，，，，，，故答案为：（2）如图2，连接，，是等边三角形，，，，，点关于直线的
对称点为点，，且是等边三角形，，，，且，，，（3）如图3，取的中点，连接，，，在中，，当点，点，点三点共线时，最长，如图，过点作，
，，，，且，，，，点是中点，，，【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的三边
关系，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．20．【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）由旋转性质知，再由知，从而
得证；（3）先证得，再由知，从而得，根据可得答案．【解答】解：（1）补全图形如图所示：（2）由旋转知，四边形是正方形，，，，，，，
；（3），，，，，，由（2）知，，，，．【点评】本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握旋转变换的性质、相似三角形的判定与性质
及正方形的性质等知识点．21．【分析】（1）利用同角的余角即可得出结论；（2）①根据题意补全图形；②过点作角于，进而判断出，即可判
断出，得出，，进而判断出，得出，再判断出，即可得出结论．【解答】解：（1），，，，，，；（2）①由题意补全图形如图所示：②过点作交
于，，，，，由（1）知，，在和中，，，，，在中，，，，由旋转知，，，，，．【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了同角的余角相等，
等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，构造出全等三角形是解本题的关键．22．【分析】（1）①以为直径作圆得
到的外接圆，即的外接圆的圆心为的中点；②根据直角三角形斜边上的中线性质得到，从而可判断点在上；（2）①根据几何语言画出对应的几何图
形；②利用圆周角定理得到，再证明，从而可判断，所以，然后利用得到．【解答】解：（1）①如图，圆心的位置在线段的中点；②证明：为直角
三角形，点为线段的中点，，点在上；（2）①如图，②．证明如下：，，，，，，，，．【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基
本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性
质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形外心．23．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）首先证明，理由等腰三角形
的性质即可解决问题．（3）结论：．想办法证明是等腰直角三角形即可解决问题．【解答】（1）解：所画图形，如图所示．（2）点关于射线的
对称点为，，，，，．（3）结论：结论：．理由：，垂直平分线段，，，，是等腰直角三角形，，．【点评】本题考查作图轴对称变换，等腰三角
形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．24．【分析】（1）根据要求画出图形即可；（2）只要证明，即可解决问题；（3
）猜想：，连接，只要证明，即可解决问题；【解答】（1）解：补全图形如图； （2）证明：平分，，，，即．（3）猜想：证明：连接，为的
垂直平分线，，，，是角平分线，，，，，．【点评】本题属于三角形综合题，考查了线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判
定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是，学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．25．【分析】（1）易证，可
得，根据外角等于不相邻两个内角的和即可解题．（2）如图1中，当时，由题意可知：，．利用等腰三角形的性质即可解决问题；（3）设，，．
，由，推出，设，利用相似三角形的性质，列出关系式即可解决问题；【解答】解：（1）是等边三角形，，，在和中，，，，故答案为：．（2）
如图1中，当时，由题意可知：，．是等边三角形，，，，，，，．故答案为1．（3）设，，．，，，，设，，，，①，，，，，②，①②得到：
，．【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质的等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，
学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．26．【分析】（1）根据三角形的外角定理得：；（2）连接，证明，得，再证明，可得结论；（3）
过作于，设，则，，还可以表示的长，可得结论．【解答】解：（1）四边形是正方形，，由旋转得：，，是等边三角形，，，，；（2）连接，是
等边三角形，，，，四边形是正方形，，，，，，，，，，，；（3），理由是：过作于，，是等腰直角三角形，，，，设，则，，，，，．【点评】本题属于四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理的应用，三角形全等的性质和判定，等边三角形的性质等，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，解题时注意勾股定理、等边三角形性质以及参数的灵活运用．27．【分析】（1）根据证明即可；（2）①如图1中，作交的延长线于．想办法证明是等腰直角三角形，求出，即可解决问题；②如图2中，连接，，，作交的延长线于．想办法求出，，根据计算即可．【解答】解：（1）结论：，理由：，，，即，在与中，，，；（2）①如图1中，作交的延长线于．，，，，，在中，，故答案为．（2）如图2中，连接，，，作交的延长线于．在中，，在中，，在中，根据，可得，求出，，根据计算即可．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．28．【分析】（1）可通过证明，，证得；（2）根据平行线的性质得出，进而利用锐角三角函数关系求出的长即可；（3）利用，进而得出，求出的长即可．【解答】（1）证明：在平行四边形中，，，．，，，，；（2）解：，，．，，，故，则；（3）解：由（1）知，，．【点评】本题主要考查了三角形的判定和性质以及平行四边形的性质等知识点，得出是解题关键．29．【分析】（1）根据旋转的特征补全图形；（2）根据旋转得出，，最后用三角形的外角的性质即可得出结论；（3）借助（2）的结论判断出，得出，再用勾股定理得出，，即可得出结论．【解答】（1）补全的图形如图所示：（2）解由旋转可知，，，，，，，，，，，（3），与之间的数量关系为，理由：由（2）可知，，，，，．在中，，，，，在中，，，【点评】此题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，判断出，是解本题的关键． 1 / 1 |
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