2019北京陈经纶中学初三（上）期中数 学一．选择题（共8小题）1. 下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A. B.
C. D. 2. 把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ）A. B. C. D. 3. 如图，四
边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果∠ADE=120°，那么∠B等于（ ）A. 130°B. 120°C. 80°D
. 60°4. 二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确是（ ）A. a＞0，b＞0，c＞0B. a＜0，b＜
0，c＜0C. a＜0，b＞0，c＜0D. a＞0，b＜0，c＞05. 半径为7的圆，其圆心在坐标原点，则下列各点在圆外的是（
）A. （3，4）B. （4，4）C. （4，5）D. （4，6）6. 如图，把菱形ABOC绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE，则下
列角中不是旋转角的为（ ）A. ∠BOFB. ∠AODC. ∠COED. ∠COF7. 《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中
记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于，寸，寸，
求直径的长.”则A. 寸B. 寸C. 寸D. 寸8. 如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF顶点D、F分别在AC、B
C边上，C、D两点不重合，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是
（ ）A. （A）B. （B）C. （C）D. （D）二．填空题（共8小题）9. 请写出一个开口向上，且对称轴为直线x＝3的二次函
数解析式_____．10. 点M（1，-2）关于原点对称点的坐标是________．11. 如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转
35°，得到，交AC于点D，若，则∠A= °12. 颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它和承德避暑山庄、苏州拙政
园、苏州留园并称为中国四大名园．该园有一个六角亭，如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的面积是_____米2．13.
如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于的方程的解为______．14. 如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，
PO交圆于点C，若∠APB=60°，PC=6，则AC的长为__________．15. 阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给
同学们布置了一道尺规作图题：尺规作图：过圆外一点作圆的切线．已知：P为⊙O外一点．求作：经过点P的⊙O的切线．小敏的作法如下：如图
，（1）连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点C；（2）以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点；（3）作直线
PA，PB．所以直线PA，PB就是所求作的切线．老师认为小敏的作法正确．请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP＝∠OBP＝90°，
其依据是_____；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是_____．16. 如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时
针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2019次得到正方形，如果点的坐标为（1，0），那么点的坐标为________．三．解答
题（共12小题）17. 已知：二次函数图象如图所示，求这个二次函数的表达式．18. 已知二次函数y＝x2﹣6x+8．（1）将y＝x
2﹣6x+8化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）画出这个二次函数的图象；（3）当0≤x≤4时，y的取值范围是 ．19. 如
图，A，D是半圆上的两点，O为圆心，BC是直径，∠D＝35°，求∠OAC的度数．20. 如图，在平面直角坐标系中，△AOB的三个顶
点坐标分别为A（1，0），O（0，0），B（2，2）．以点O为旋转中心，将△AOB逆时针旋转90°，得到△A1OB1．（1）画出△
A1OB1；（2）直接写出点A1和点B1的坐标；（3）求线段OB1的长度．21. 一件轮廓为圆形的文物出土后只留下了一块残片，文物
学家希望能把此件文物进行复原，因此把残片抽象成了一个弓形，如图所示，经过测量得到弓形高CD＝米，∠CAD＝30°，请你帮助文物学家
完成下面两项工作：（1）作出此文物轮廓圆心O的位置（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）求出弓形所在圆的半径.22. 如图，
在等边中，点是边上一点，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转后得到，连接.求证:. 23. 如图，有一块铁片下脚料，其外轮廓中曲线是抛
物线的一部分，要裁出一个等边三角形，使其一个顶点与抛物线的顶点重合，另外两个顶点在抛物线上，求这个等边三角形的边长（结果精确到，）
.24. 如图，割线ABC与⊙O相交于B、C两点，D为⊙O上一点，E为弧BC的中点，OE交BC于F，DE交AC于G，∠ADG＝∠A
GD．（1）求证明：AD是⊙D的切线；（2）若∠A＝60°，⊙O的半径为4，求ED的长．25. 吴京同学根据学习函数的经验，对一个
新函数y＝的图象和性质进行了如下探究，请帮他把探究过程补充完整（1）该函数的自变量x的取值范围是 ．（2）列表：x…﹣2﹣10
123456…y… m﹣1 ﹣5n﹣1…表中m＝ ，n＝ ．（3）描点、连线在下面的格点图中，建立适当的平面直角坐标系xO
y中，描出上表中各对对应值为坐标的点（其中x为横坐标，y为纵坐标），并根据描出的点画出该函数的图象：（4）观察所画出的函数图象，写
出该函数的两条性质：① ；② ．26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+2mx﹣m2+1的对称轴是直线x=1．
（1）求抛物线的表达式；（2）点D（n，y1），E（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，请直接写出n的取值范围；（3）设点M（p，
q）为抛物线上一个动点，当﹣1＜p＜2时，点M关于y轴的对称点都在直线y=kx﹣4的上方，求k的取值范围．27. 已知：在△ABC
中，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）如图1，将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD，连结CD、BD，∠BAC的平分线交BD于
点E，连结CE．①求证：∠AED＝∠CED；②用等式表示线段AE、CE、BD之间的数量关系（直接写出结果）；（2）在图2中，若将线
段AC绕点A顺时针旋转60°得到AD，连结CD、BD，∠BAC的平分线交BD的延长线于点E，连结CE．请补全图形，并用等式表示线段
AE、CE、BD之间的数量关系，并证明．28. 定义：把一个半圆与抛物线的一部分组成的封闭图形称为“蛋圆”．如图，抛物线y＝x2﹣
2x﹣3与x轴交于点A，B，与y轴交于点D，以AB为直径，在x轴上方作半圆交y轴于点C，半圆的圆心记为M，此时这个半圆与这条抛物线
x轴下方部分组成的图形就称为“蛋圆”．（1）直接写出点A，B，C的坐标及“蛋圆”弦CD的长；A ，B ，C ，CD＝
；（2）如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．①求经过点C的“蛋圆”切线的解析式；②求经过点D“
蛋圆”切线的解析式；（3）由（2）求得过点D的“蛋圆”切线与x轴交点记为E，点F是“蛋圆”上一动点，试问是否存在S△CDE＝S△C
DF，若存在请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（4）点P是“蛋圆”外一点，且满足∠BPC＝60°，当BP最大时，请直接写出点
P的坐标．参考答案一．选择题（共8小题）1. 下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【
答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义即可判断.【详解】A既不是轴对称图形也不是中心对称图形；B是中心对称图形
，但不是轴对称图形；C是轴对称图形，但不是中心对称图形；D既是轴对称图形，又是中心对称图形,故选D.【点睛】此题主要考察轴对称图形
与中心对称图形的定义，熟知其定义是解题的关键.2. 把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ）A.
B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可.【详解】解：把抛物线向左平移1个单位
，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为：.故选：C.【点睛】此题考查了抛物线的平移，属于基本题型，熟知抛物线的平移规律是解答的
关键.3. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果∠ADE=120°，那么∠B等于（ ）A. 130°B. 1
20°C. 80°D. 60°【答案】B【解析】【详解】试题分析：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B=∠ADE=120°．故选B．
考点：圆内接四边形的性质．4. 二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确是（ ）A. a＞0，b＞0，c＞0B
. a＜0，b＜0，c＜0C. a＜0，b＞0，c＜0D. a＞0，b＜0，c＞0【答案】D【解析】【分析】首先根据二次函数图象的
开口方向确定a＜0，再根据对称轴在y轴右，可确定a与b异号，然后再根据二次函数与y轴的交点可以确定c＞0．【详解】解：∵抛物线开口
向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴右侧，∴a与b异号，∴b＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，故选D．【点睛】此题主要考查了二次
函数图象与系数的关系，关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），①二次项系数a决定抛物线开口方向和大小．当a＞0时，抛物线
向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y
轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，
c）．5. 半径为7的圆，其圆心在坐标原点，则下列各点在圆外的是（ ）A. （3，4）B. （4，4）C. （4，5）D. （4
，6）【答案】D【解析】【分析】本题可由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时
，点在圆内．【详解】A、d＝5＜r，所以在圆内；B、d＝4＜r，所以在圆内；C、d＝＜r，所以在圆内；D、d＝2＞r，所以在圆外．
故选：D．【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，确定点与圆心的距离与半径的大小关系是解题的关键．6. 如图，把菱形ABOC绕点O
顺时针旋转得到菱形DFOE，则下列角中不是旋转角的为（ ）A. ∠BOFB. ∠AODC. ∠COED. ∠COF【答案】D【解
析】【详解】分析：两对应边所组成的角都可以作为旋转角，结合图形即可得出答案．详解：A.OB旋转后的对应边为OF，故∠BOF可以作为
旋转角，故本选项错误；B.?OA旋转后的对应边为OD，故∠AOD可以作为旋转角，故本选项错误；C.?OC旋转后的对应边为OE，故∠
COE可以作为旋转角，故本选项错误；D.?OC旋转后的对应边为OE不是OF，故∠COF不可以作为旋转角，故本选项正确；故选D.点睛
：考查旋转的性质，对应边与旋转中心之间的夹角就是旋转角.7. 《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，
不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于，寸，寸，求直径的长.”则A. 寸B.
寸C. 寸D. 寸【答案】C【解析】【分析】连接AO，根据垂径定理及勾股定理即可求出半径，即可求出CD的长.【详解】如图，连接A
O，设AO=OD=r，故OE=r-1，∵AB=10，∴AE=5，由AO2=AE2+OE2，即r2=52+( r-1)2，解得r=1
3，故CD=2r=26故选C【点睛】此题主要考查垂径定理，解题的关键是根据勾股定理进行求解.8. 如图，Rt△ABC中，AC=BC
=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，C、D两点不重合，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为
y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（ ）A. （A）B. （B）C. （C）D. （D）【答案】B【解析】【详解】解：
当0＜x≤1时，y=x2，当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，如图，CD=x，则AD=2-x，∵Rt△ABC中，AC=
BC=2，∴△ADM为等腰直角三角形，∴DM=2-x，∴EM=x-（2-x）=2x-2，∴S△ENM=（2x-2）2=2（x-1）
2，∴y=x2-2（x-1）2=-x2+4x-2=-（x-2）2+2，∴y=．故选B．【点睛】本题考查通过看图获取信息，不仅可以解
决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．二．填空题（共8小题）9. 请
写出一个开口向上，且对称轴为直线x＝3的二次函数解析式_____．【答案】y＝x2﹣6x+6（答案不唯一）．【解析】【分析】因为开
口向上，所以a＞0；根据对称轴为x＝3，可知顶点的横坐标为3，纵坐标可任意选择一个数，由顶点式写出二次函数解析式．【详解】依题意取
a＝1，顶点坐标（3，﹣3），由顶点式得y＝（x﹣3）2﹣3．即y＝x2﹣6x+6．故答案为：y＝x2﹣6x+6（答案不唯一）．【
点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线的对称轴、开口方向与抛物线顶点式的关系：顶点式，顶点坐标是，对称轴是时，开口向上，时，开口向
下．10. 点M（1，-2）关于原点对称点的坐标是________．【答案】（-1，2）【解析】【分析】根据关于原点的对称点，横坐
标互为相反数、纵坐标互为相反数，可得答案．【详解】解：平面直角坐标系内，点M（1，-2）关于原点对称点的坐标是（-1，2），故答案
为：(-1，2)．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，平面直角坐标系中任意一点P(x，y)，关于原点的对称点是(-x，-y)
，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．11. 如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到，交AC于点D，若，则∠A=
°【答案】55【解析】【分析】根据旋转的性质可得，，再由直角三角形两锐角互余，即可求解．【详解】解：∵把△ABC绕点C按顺时针方
向旋转35°，得到∴，，∵，∴ ∴∠A=55°．故答案为：55【点睛】本题主要考查了图形的旋转，直角三角形两锐角的关系，熟练掌握
旋转的性质，直角三角形两锐角互余是解题的关键．12. 颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它和承德避暑山庄、苏州拙
政园、苏州留园并称为中国四大名园．该园有一个六角亭，如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的面积是_____米2．【答案
】：6【解析】【分析】首先根据题意画出图形,易得△OBC是等边三角形,继而可得正六边形的边长,由S正六边形＝6S△OBC求得结果即
可．【详解】解：如图所示：连接OB,OC,过点O作OH⊥BC于H∵六边形ABCDEF是正六边形∴∠BOC=×360°＝60°∵OB
＝OC∴△OBC是等边三角形∴BC＝OB＝OC∴BH＝BC＝1∴OH＝∴S正六边形＝6S△OBC＝6××2×＝6故答案为：6．【点
睛】本题主要考查了圆和正多边形，数形结合，求出一个等边三角形面积×6即为所得13. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关
于的方程的解为______．【答案】，【解析】【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组的解为，，于是易得关于x的
方程ax2-bx-c=0的解．【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，∴方程组的解为，，即关于的方程的解为，．故答案为x
1=-2，x2=1．【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是，对称轴直线x=-．也考查
了二次函数图象与一次函数图象的交点问题．14. 如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，PO交圆于点C，若∠APB=60°
，PC=6，则AC的长为__________．【答案】【解析】【分析】如图，设CP交⊙O于点D，连接AD．由切线的性质易证△AOP
是含30度角的直角三角形，所以由三角形的性质求得半径=2；然后在等边△AOD中得到AD=OA=2；最后通过解直角△ACD来求AC的
长度．【详解】解：如图，设CP交⊙O于点D，连接AD．设⊙O的半径为r．∵PA、PB是⊙O的切线，∠APB=60°，∴OA⊥AP，
∠APO=∠APB=30°．∴OP=2OA，∠AOP=60°，∴PC=2OA+OC=3r=6，则r=2，∵∠AOD=60°，AO=
DO，∴△AOD是等边三角形，则AD=OA=2，又∵CD是直径，∴∠CAD=90°，∴∠ACD=30°，∴AC=AD?cot30°
=，故答案为．15. 阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：尺规作图：过圆外一点作圆的切线．已知：
P为⊙O外一点．求作：经过点P的⊙O的切线．小敏的作法如下：如图，（1）连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点C；（2）以
点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点；（3）作直线PA，PB．所以直线PA，PB就是所求作的切线．老师认为小敏的作法
正确．请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP＝∠OBP＝90°，其依据是_____；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据
是_____．【答案】 ①. 直径所对的圆周角是直角 ②. 经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线．【解析】【分析】分别利用圆
周角定理以及切线的判定方法得出答案．【详解】解：连接OA，OB后，可证∠OAP＝∠OBP＝90°，其依据是：直径所对的圆周角是直角
；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是：经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线．故答案为直径所对的圆周角是直角；经
过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线．【点睛】此题主要考查直线与圆的位置关系，解题的关键是熟知圆周角定理以及切线的判定方法.1
6. 如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2019次得到正方形，如果点的坐标为（1
，0），那么点的坐标为________．【答案】【解析】【分析】根据图形可知：点B在以O为圆心,以OB为半径的圆上运动,由旋转可知
：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可得对应点B的坐标，根
据规律发现是8次一循环，可得结论.【详解】∵四边形OABC是正方形，且OA=1，∴B(1,1),连接OB，由勾股定理得：OB=，由
旋转得：OB=OB1=OB2=OB3=…=，∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕
点O逆时针旋转45°,依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=…=45°，∴B1(0,),B2(?1,1),B3(?,0)，…
，发现是8次一循环，所以2019÷8=252…3，∴点B2019的坐标为(?,0)【点睛】本题考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的
距离相等；对应点与旋转中心所连接线段的夹角等于旋转角，也考查了坐标与图形的变化、规律型、点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一
般的探究规律的方法.三．解答题（共12小题）17. 已知：二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的表达式．【答案】．【解析】【分析
】根据函数图象知，该函数经过点（3，0）（﹣1，0）且对称轴为．所以利用待定系数法可求得该二次函数的解析式．【详解】根据函数图象知
，对称轴为，由抛物线的对称性，函数图象与x轴的交点是（3，0），另一个交点为（﹣1，0），设二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣
3）（a≠0），将（0，﹣1）代入，解得：a＝，∴二次函数解析式为y＝（x+1）（x﹣3），即二次函数解析式为．【点睛】本题主要考
查了用待定系数法求二次函数的解析式，根据抛物线与轴的两交点，设交点式．18. 已知二次函数y＝x2﹣6x+8．（1）将y＝x2﹣6
x+8化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）画出这个二次函数的图象；（3）当0≤x≤4时，y的取值范围是 ．【答案】（1）y
＝（x﹣3）2﹣1；（2）详见解析；（3）﹣1≤y≤8．【解析】【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的
平方来凑成完全平方式，把一般式转化为顶点式；（2）确定其对称轴、顶点坐标及与坐标轴的交点坐标后即可确定函数的图象；（3）分别令x＝
0和4求得函数值后即可确定y的取值范围．【详解】（1）y＝x2﹣6x+8＝（x2﹣6x+9）﹣9+8＝（x﹣3）2﹣1；（2）由（
1）题得：对称轴为x＝3，顶点坐标为（3，﹣1），开口向上，x0123456y830-1038描点，连线，故图象为：（4）∵当x＝
0时，y＝8；当x＝4时，y＝0，又∵当x＝3时，y有最小值﹣1，∴当0≤x≤4时，y的取值范围是﹣1≤y≤8，故答案为﹣1≤y≤
8．【点睛】本题考查的是二次函数的性质以及利用顶点式求抛物线的对称轴、顶点坐标的方法，灵活运用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键
．19. 如图，A，D是半圆上的两点，O为圆心，BC是直径，∠D＝35°，求∠OAC的度数．【答案】∠OAC＝55°．【解析】【分
析】首先根据圆周角定理得到∠B的度数，再求出∠ACB的度数，结合三角形内角和或者等腰三角形的性质即可求出∠OAC的度数．【详解】解
法一：解：∵∠D＝35°，∴∠B＝∠D＝35°，∵BC是直径，∴∠BAC＝90°．∴∠ACB＝90°﹣∠ABC＝55°，∵OA＝O
C，∴∠OAC＝∠OCA＝55°．解法二：解：∵∠D＝35°，∴∠AOC＝2∠D＝70°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠
OAC+∠OCA+∠AOC＝180°，∴∠OAC＝55°．【点睛】本题考查同弧所对圆周角和圆心角的关系．利用直径所对的圆周角是直角
这一条件是解题的关键．20. 如图，在平面直角坐标系中，△AOB的三个顶点坐标分别为A（1，0），O（0，0），B（2，2）．以点
O为旋转中心，将△AOB逆时针旋转90°，得到△A1OB1．（1）画出△A1OB1；（2）直接写出点A1和点B1的坐标；（3）求线
段OB1的长度．【答案】（1）作图见解析；（2）A1（0，1），点B1（﹣2，2）．（3） 【解析】【分析】（1）按要求作图.（2
）由（1）得出坐标.（3）由图观察得到，再根据勾股定理得到长度.【详解】解：（1）画出△A1OB1，如图．（2）点A1（0，1），
点B1（﹣2，2）．（3）OB1＝OB＝＝2．【点睛】本题主要考查的是绘图、识图、勾股定理等知识点，熟练掌握方法是本题的解题关键.
21. 一件轮廓为圆形的文物出土后只留下了一块残片，文物学家希望能把此件文物进行复原，因此把残片抽象成了一个弓形，如图所示，经过测
量得到弓形高CD＝米，∠CAD＝30°，请你帮助文物学家完成下面两项工作：（1）作出此文物轮廓圆心O的位置（尺规作图，保留作图痕迹
，不写作法）；（2）求出弓形所在圆的半径.【答案】（1）作图见解析；（2）.【解析】【分析】（1）作AC的垂直平分线交CD的延长线
于点O，点O即为所求作的点；（2）在Rt△ACD中，∠CAD=30o，所以∠C=60o，因此△AOC为等边三角形，在Rt△ACD中
求出AC的长即可求出圆的半径长.【详解】解：（1）作图如下：答：点O即为所求作的点.（2）解：连接AO在Rt△ACD中，∠CAD=
30o∴，∠ACD=60o∵AO=CO∴AO=CO=AC=答：此弓形所在圆的半径为.【点睛】本题考查基本几何作图；垂径定理及勾股定
理，掌握相关定理灵活应用是本题的解题关键．22. 如图，在等边中，点是边上一点，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转后得到，连接.求证
:. 【答案】见解析【解析】【分析】根据等边三角形的性质得出，根据旋转的性质得出，根据SAS推出，根据全等得出，根据平行线的判定定
理即可证得答案.【详解】等边中，∴，∵线段绕点按顺时针方向旋转后得到，∴，∴，即, ，∴，在与中，∴(SAS)∴，∴∴【点睛】本题
考查了平行线的判定、等边三角形的性质以及旋转的性质，利用全等三角形的证明是解题的关键.23. 如图，有一块铁片下脚料，其外轮廓中的
曲线是抛物线的一部分，要裁出一个等边三角形，使其一个顶点与抛物线的顶点重合，另外两个顶点在抛物线上，求这个等边三角形的边长（结果精
确到，）.【答案】5.2dm.【解析】【分析】以抛物线的顶点O为坐标原点，过点O作直线AB的平行线和垂线分别作为x轴和y轴，建立平
面直角坐标系，设抛物线解析式为y=ax2（a≠0），利用已知数据求出a的值，再利用等边三角形的性质计算即可．【详解】解：以抛物线的
顶点O为坐标原点，过点O作直线AB的平行线和垂线分别作为x轴和y轴，建立平面直角坐标系．则D（3，-6）设抛物线解析式为y=ax2
（a≠0），∵D（3，-6）在抛物线上代入得：a=?，∴y=?x2，∵△ABO是等边三角形，∴OH=BH，设B(x，?x)，∴?x
=?x2，∴x1=0（舍），x2=，∴BH=，AB=3≈5.2(dm)，答：等边三角形的边长为5.2dm【点睛】本题考查二次函数的
应用及等边三角形的性质，数形结合思想解题是本题的解题关键.24. 如图，割线ABC与⊙O相交于B、C两点，D为⊙O上一点，E为弧B
C的中点，OE交BC于F，DE交AC于G，∠ADG＝∠AGD．（1）求证明：AD是⊙D的切线；（2）若∠A＝60°，⊙O的半径为4
，求ED的长．【答案】（1）见解析；（2）DE＝4．【解析】【分析】（1）要证AD是⊙O的切线，只要连接OD，再证∠ADO＝90°
即可；（2）作OH⊥ED于H，根据垂径定理得到DE＝2DH，根据等边三角形的性质和直角三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明
：连接OD．∵E为BC中点，∴OE⊥BC，∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED，∴∠AGD +∠OED＝∠EGF+∠OED＝90°，
∵∠AGD＝∠ADG，∴∠ADG+∠ODE＝90°，即OD⊥AD，∴AD是⊙O的切线；（2）作OH⊥ED于H，∴DE＝2DH，∵∠
ADG＝∠AGD，∴AG＝AD，∵∠A＝60°，∴∠ADG＝60°，∴∠ODE＝30°，∵OD＝4，∴DH＝OD＝2，∴DE＝2D
H＝4．【点睛】本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点即为半径，再证垂直即可，还考查了垂径定
理，直角三角形的性质．25. 吴京同学根据学习函数的经验，对一个新函数y＝的图象和性质进行了如下探究，请帮他把探究过程补充完整（1
）该函数的自变量x的取值范围是 ．（2）列表：x…﹣2﹣10123456…y… m﹣1 ﹣5n﹣1…表中m＝ ，n＝
．（3）描点、连线在下面的格点图中，建立适当的平面直角坐标系xOy中，描出上表中各对对应值为坐标的点（其中x为横坐标，y为纵坐标）
，并根据描出的点画出该函数的图象：（4）观察所画出的函数图象，写出该函数的两条性质：① ；② ．【答案】（1）一切实数（2
）-，- （3）见解析（4）该函数有最小值没有最大值；该函数图象关于直线x＝2对称【解析】【分析】（1）分式的分母不等于零；（2）
把自变量的值代入即可求解；（3）根据题意描点、连线即可；（4）观察图象即可得出该函数的其他性质．【详解】（1）由y＝知，x2﹣4x
+5≠0，所以变量x的取值范围是一切实数．故答案为一切实数；（2）m＝，n＝，故答案为-，-；（3）建立适当的直角坐标系，描点画出
图形，如下图所示：（4）观察所画出函数图象，有如下性质：①该函数有最小值没有最大值；②该函数图象关于直线x＝2对称．故答案为该函数
有最小值没有最大值；该函数图象关于直线x＝2对称【点睛】本题综合考查了二次函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键．2
6. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+2mx﹣m2+1的对称轴是直线x=1．（1）求抛物线的表达式；（2）点D（n，y
1），E（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，请直接写出n的取值范围；（3）设点M（p，q）为抛物线上的一个动点，当﹣1＜p＜2时
，点M关于y轴的对称点都在直线y=kx﹣4的上方，求k的取值范围．【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x2+2x．（2）当n＜﹣1
或n＞3时，y1＜y2． （3）∴k的取值范围是﹣2≤k≤1．【解析】【详解】试题分析：（1）由抛物线的对称轴方程可求得m=1，从
而可求得抛物线的表达式；（2）将x=3代入抛物线的解析式，可求得y2=3，将y=3代入抛物线的解析式可求得x1=-1，x2=3，由
抛物线的开口向下，可知当n<-1或n>3时，y1 称点都在直线y=kx-4的上方，求出最大与最小两个关于k的方程，即可求得k的取值范围．解：（1）∵抛物线的对称轴是,∴,∴,∴．（
2）将x=3代入抛物线的解析式得y=?32+2×3=?3,将y=?3代入得：?x2+2x=?3,解得：x1=?1,x2=3.∵a=
?1<0，∴当n3时,y1 过点时，可得.综上所述，的取值范围是．点睛：本题主要考查用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的增减性、二次函数与一次函数的图象关
系.本题的难点在第三问中，而利用数形结合是解题的关键.27. 已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）如图1，将线
段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD，连结CD、BD，∠BAC的平分线交BD于点E，连结CE．①求证：∠AED＝∠CED；②用等式
表示线段AE、CE、BD之间的数量关系（直接写出结果）；（2）在图2中，若将线段AC绕点A顺时针旋转60°得到AD，连结CD、BD
，∠BAC的平分线交BD的延长线于点E，连结CE．请补全图形，并用等式表示线段AE、CE、BD之间的数量关系，并证明．【答案】（1
）①证明见解析；②BD＝2CE+AE，理由见解析；（2）补图见解析，2CE﹣AE＝BD，证明见解析.【解析】【分析】(1)①由旋转
的性质可得AC=AD,∠DAC=60°,由”SAS”可证△ABE≌ACE,可得∠3=∠4=15°,由三角形外角的性质可得结论;②过
点A作AH⊥BD于点H,由等腰三角形的性质和直角三角形性质可得BD=2BH=2(BE+EH)=2BE+AE=2EC+AE;(2)以
A为顶点,AE为一边作∠EAF=60°,AF交DB延长线于点F,通过证明△CAE≌△DAF和△BAE≌△CAE,可得CE=DF,B
E=CE,即可得2CE-AE=BD.【详解】证明：（1）①∵将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD，∴AC＝AD，∠DAC＝60
°∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝150°，且AB＝AC＝AD∴∠3＝∠5＝15°∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AE平分∠BAC
∴∠1＝∠2＝45°，∠ABC＝∠ACB＝45°又∵AE＝AE，∴△ABE≌△ACE（SAS）∴∠3＝∠4＝15°∴∠6＝∠7＝3
0°∴∠DEC＝∠6+∠7＝60°∵∠AED＝∠3+∠1＝60°∴∠AED＝∠CED②BD＝2CE+AE理由如下：过点A作AH⊥B
D于点H，∵∠EBC＝∠ECB∴BE＝CE，∵∠AED＝60°，AH⊥BD∴AE＝2EH∵AB＝AD，AH⊥BD∴BD＝2BH＝2
（BE+EH）＝2BE+AE＝2EC+AE（2）补全图形如图，2CE﹣AE＝BD理由如下：如图2，以A为顶点，AE为一边作∠EAF
＝60°，AF交DB延长线于点F．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AE平分∠BAC∴∠BAE＝∠CAE＝45°，∠ABC＝∠ACB
＝45°．∵将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD，∴AC＝AD，∠DAC＝60°∴∠DAE＝∠DAC﹣∠CAE＝15°，AB＝
AD∴∠ABD＝∠ADB，∠BAD＝30°∴∠ABD＝∠ADB＝75°∴∠AED＝∠ADB﹣∠DAE＝60°∵∠EAF＝60°又∵
∠EAF＝60°，∴∠F＝60°∴△AEF是等边三角形．∴AE＝AF＝EF．∵AC＝AD，∠CAE＝∠DAF＝45°，AE＝AF，
∴△CAE≌△DAF（SAS）．∴CE＝DF．∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAE＝45°，AE＝AE，∴△BAE≌△CAE（SAS）
．∴BE＝CE．∴BE＝CE．∵DF+BE﹣EF＝BD，∴2CE﹣AE＝BD【点睛】本题考查旋转中三角形的性质,主要在于掌握三角形
的全等与相似.28. 定义：把一个半圆与抛物线的一部分组成的封闭图形称为“蛋圆”．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B
，与y轴交于点D，以AB为直径，在x轴上方作半圆交y轴于点C，半圆的圆心记为M，此时这个半圆与这条抛物线x轴下方部分组成的图形就称
为“蛋圆”．（1）直接写出点A，B，C的坐标及“蛋圆”弦CD的长；A ，B ，C ，CD＝ ；（2）如果一条直线与
“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．①求经过点C的“蛋圆”切线的解析式；②求经过点D的“蛋圆”切线的解析式；（3
）由（2）求得过点D的“蛋圆”切线与x轴交点记为E，点F是“蛋圆”上一动点，试问是否存在S△CDE＝S△CDF，若存在请求出点F的
坐标；若不存在，请说明理由；（4）点P是“蛋圆”外一点，且满足∠BPC＝60°，当BP最大时，请直接写出点P的坐标．【答案】（1）
A（﹣1，0），B（3，0），C（0，），CD＝3+；（2）①；②y＝﹣2x﹣3；（3）F′（，），F′′（，）；（4）点P的坐标为（1，2）．【解析】【分析】（1）根据抛物线与一元二次方程的关系以及勾股定理解答；（2）运用待定系数法求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式；运用二元二次方程组、一元二次方程根的判别式求出过点D的“蛋圆”切线的解析式；（3）根据题意求出点E的坐标，根据同底等高的两个三角形面积相等解答；（4）根据∠BPC＝60°保持不变，点P在一圆弧上运动和直径是最大的弦进行解答即可．【详解】（1）当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，当x＝0时，y＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），OD＝3，如图1，连接MC，由题意得，OM＝1，MC＝2，∴OC＝，∴C（0，），CD＝3+，故答案为：（﹣1，0）；（3，0）；（0，）；3+；（2）①如图2，NC⊥CM，∵∠CMO=∠NMC，∴，∴，即，∴，∴N的坐标为（﹣3，0），设NC的解析式为，∴，∴，∴经过点C的“蛋圆”切线的解析式为：，②过点D的“蛋圆”切线的解析式为：y＝kx﹣3，由，得：x2﹣（2+k）x＝0，即：，∵直线与抛物线只有一个交点，∴，即k＝﹣2，∴经过点D的“蛋圆”切线的解析式为：y＝﹣2x﹣3．（3）如图3，∵经过点D的“蛋圆”切线的解析式为：y＝﹣2x﹣3，∴E点坐标为（，0），∵S△CDE＝S△CDF，∴F点的横坐标为，在Rt△MQF1中，，∴，把x＝代入y＝x2﹣2x﹣3，可求得y＝．∴F′（，），F′′（，）；（4）如图4，∵∠BPC＝60°保持不变，因此点P在一圆弧上运动．此圆是以K为圆心（K在BC的垂直平分线上，且∠BKC＝120°），BK为半径．当BP为直径时，BP最大．∵B（3，0），C（0，），∴OB=，OC， ∴，∵BP为直径，∴∠PCB＝90°，∵∠BPC＝60°∴ ，，即：，∴，过点P作PR⊥y轴于点R，∵∠RCP+∠PCB+∠OCB＝180，∴∠RCP+∠OCB＝90，∠OBC+∠OCB＝90，∴∠RCP＝∠OBC，∴∴∴∴PR＝1，RC＝．所以点P的坐标为（1，2）．【点睛】本题考查的是圆与二次函数知识的综合运用，正确理解“蛋圆”的概念、掌握圆周角定理、二次函数的图象和性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，注意辅助线的作法要正确． 1 / 1 |
|
