2019北京初三一模数学汇编圆一、单选题1．（2019·北京市大兴区德茂学校一模）如图，扇形OAB中，∠AOB=100°，OA=12，C是O
B的中点，CD⊥OB交于点D，以OC为半径的交OA于点E，则图中阴影部分的面积是（ ）A．12π+18B．12π+36C．6π+
18D．6π+362．（2019·北京·清华附中一模）如图，水平地面上有一面积为30cm2的扇形AOB，半径OA＝6cm，且OA与
地面垂直，在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB与地面垂直为止，则点O移动的距离为（ ）A．20cmB．24cmC．10cmD
．30cm3．（2019·北京市昌平区第六中学一模）如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则的长
为（ ）A．B．C．2πD．4．（2019·北京顺义·一模）如图所示圆规，点A是铁尖的端点，点B是铅笔芯尖的端点，已知点A与点B
的距离是2cm，若铁尖的端点A固定，铅笔芯尖的端点B绕点A旋转一周，则作出的圆的直径是（???????）A．1cmB．2cmC．4
cmD．5．（2019·北京·中国人民大学附属中学朝阳学校一模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠ACO＝50°，则∠B的
度数为（??????????）A．60°B．50°C．40°D．30°二、填空题6．（2019·北京·清华附中一模）蜂巢的构造非常
美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所
示，则△ABC是直角三角形的个数有________?．7．（2019·北京顺义·一模）在数学课上，老师提出一个问题“用直尺和圆规作
一个矩形”．小华的做法如下：如图1，任取一点O，过点O作直线l1，l2；如图2，以O为圆心，任意长为半径作圆，与直线l1，l2分别
相交于点A、C，B、D；如图3，连接AB、BC、CD、DA四边形ABCD即为所求作的矩形．老师说：“小华的作法正确”．请回答：小华
的作图依据是______．8．（2019·北京·首都师范大学附属中学一模）已知：正方形 ABCD．求作：正方形 ABCD 的外接圆
． 作法：如图，（1）分别连接 AC，BD，交于点 O；（2）以点 O 为圆心，OA 长为半径作⊙O，⊙O 即为所求作的圆．请回答
：该作图的依据是__________________________________．9．（2019·北京·清华附中一模）如图,在
△ABC中,BC=6,以点A为圆心,2为半径的☉A与BC相切于点D,交AB于点E,交AC于点F,点P是优弧上的一点,且∠EPF=5
0°,则图中阴影部分的面积是___.10．（2019·北京市第十一中学分校一模）如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，
此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是_____．三、解答题11．（2019·北京市昌平区第六中学一模）定义：数学活动课上，乐
老师给出如下定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形．理解：（1）如图1，已知A、B、C在格点（小正方形的顶
点）上，请在方格图中画出以格点为顶点，AB、BC为边的两个对等四边形ABCD；（2）如图2，在圆内接四边形ABCD中，AB是⊙O的
直径，AC=BD．求证：四边形ABCD是对等四边形；（3）如图3，在Rt△PBC中，∠PCB=90°，BC=11，tan∠PBC=
，点A在BP边上，且AB=13．用圆规在PC上找到符合条件的点D，使四边形ABCD为对等四边形，并求出CD的长．12．（2019·
北京·首都师范大学附属中学一模）对于平面内的⊙C和⊙C外一点Q，给出如下定义：若过点Q的直线与⊙C存在公共点，记为点A，B，设，则
称点A（或点B）是⊙C的“K相关依附点”，特别地，当点A和点B重合时，规定AQ=BQ，（或）．已知在平面直角坐标系xoy中，Q(-
1,0)，C(1,0)，⊙C的半径为r．（1）如图1，当时，①若A1(0,1)是⊙C的“k相关依附点”，求k的值．②A2(1+，0
)是否为⊙C的“2相关依附点”．（2）若⊙C上存在“k相关依附点”点M，①当r=1，直线QM与⊙C相切时，求k的值．②当时，求r的
取值范围．（3）若存在r的值使得直线与⊙C有公共点，且公共点时⊙C的“相关依附点”，直接写出b的取值范围．13．（2019·北京西
城·一模）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形W，如果以P为端点的任意一条射线与图形W最多只有一个公共点，那么称点P独立于图形
W．（1）如图1，已知点A（-2，0），以原点O为圆心，OA长为半径画弧交x轴正半轴于点?B．在P1（0，4），P2（0，1），P
3（0，-3），P4（4，0）这四个点中，独立于的点是 ；（2）如图2，已知点C（-3，0），D（0，3），E（3，0），点P是直
线l：y=2x+8上的一个动点．若点P独立于折线CD-DE，求点P的横坐标xp的取值范围；（3）如图3，⊙H是以点H（0，4）为圆
心，半径为1的圆．点T（0，t）在y轴上且t＞-3，以点T为中心的正方形KLMN的顶点K的坐标为（0，t+3），将正方形KLMN在
x轴及x轴上方的部分记为图形W．若⊙H上的所有点都独立于图形W，直接写出t的取值范围．14．（2019·北京·中国人民大学附属中学
朝阳学校一模）如图，半圆O的直径AB＝5cm，点M在AB上且AM＝1cm，点P是半圆O上的动点，过点B作BQ⊥PM交PM（或PM的
延长线）于点Q．设PM＝xcm，BQ＝ycm．（当点P与点A或点B重合时，y的值为0）小石根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的
变化而变化的规律进行了探究．下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm1
1.522.533.54y/cm03.7______3.83.32.5______（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对
对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BQ与直径AB所夹的锐角为60°时，PM的长度约为___
___cm．15．（2019·北京市通州区姚村中学一模）如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线上的一点，过⊙O上
一点C作⊙O的切线交DF于点E，CE⊥DF．(1)求证：AC平分∠FAB；(2)若AE＝1，CE＝2，求⊙O的半径．16．（201
9·北京市通州区北关中学一模）已知是的直径，弦与相交，.（Ⅰ）如图①，若为的中点，求和的大小；（Ⅱ）如图②，过点作的切线，与的延长
线交于点，若，求的大小.17．（2019·北京通州·一模）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD与过点C的切线垂直于点D，BD与⊙
O交于点E．（1）求证：BC平分∠DBA；（2）连接AE和AC，若cos∠ABD＝，OA＝m，请写出求四边形AEDC面积的思路．1
8．（2019·北京怀柔·一模）如图，P是⊙O直径BA延长线上一点，过P作PC切⊙O于C，连接AC、BC，若PA＝AO＝2，（1）
求PC的长，求AC的长；（2）求tan∠PCA的值及△PAC的面积．19．（2019·北京丰台·一模）如图，AB是⊙O的直径，CD
切⊙O于点C，AD交⊙O于点E，AC平分∠BAD，连接BE．（Ⅰ）求证：CD⊥ED；（Ⅱ）若CD＝4，AE＝2，求⊙O的半径．20
．（2019·北京东城·一模）在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、
y轴的距离中的最大值，则称P、Q两点为“等距点”，如图中的P、Q两点即为“等距点”．（1）已知点A的坐标为（﹣3，1）①在点E（0
，3）、F（3，﹣3）、G（2，﹣5）中，点A的“等距点”是 ；②若点B在直线y＝x+6上，且A、B两点为“等距点”，则点B的坐标
为 ；（2）直线l：y＝kx﹣3（k＞0）与x轴交于点C，与y轴交于点D．①若T1（﹣1，t1）、T2（4，t2）是直线l上的两点
，且T1、T2为“等距点”，求k的值；②当k＝1时，半径为r的⊙O上存在一点M，线段CD上存在一点N，使得M、N两点为“等距点”，
直接写出r的取值范围．21．（2019·北京东城·一模）如图，AB与⊙O相切于点A，P为OB上一点，且BP＝BA，连接AP并延长交
⊙O于点C，连接OC．（1）求证：OC⊥OB；（2）若⊙O的半径为4，AB＝3，求AP的长．22．（2019·北京怀柔·一模）如图
，在10×10的网格中，有一格点△ABC(说明：顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形).(1)将△ABC先向右平移5个单位，
再向上平移2个单位，得到△A''B''C''，请直接画出平移后的△A''B''C''；(2)将△A''B''C''绕点C''顺时针旋转90°，得到△A
''''B''''C''，请直接画出旋转后的△A''''B''''C''；(3)在(2)的旋转过程中，求点A''所经过的路线长(结果保留π).参考答案1
．C【分析】连接OD、AD，根据点C为OA的中点可得∠CDO=30°，继而可得△ADO为等边三角形，求出扇形AOD的面积，最后用扇
形AOB的面积减去扇形COE的面积，再减去S空白ADC即可求出阴影部分的面积．【详解】如图，连接OD，BD，∵点C为OB的中点，∴
OC=OB=OD，∵CD⊥OB，∴∠CDO=30°，∠DOC=60°，∴△BDO为等边三角形，OD=OB=12，OC=CB=6，∴
CD=6，∴S扇形BOD==24π，∴S阴影=S扇形AOB﹣S扇形COE﹣（S扇形BOD﹣S△COD）==18+6π，故选C．【点
睛】本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：S=．2．C【分析】结合图形，则O点移动的距离即为优弧AB的长，
根据扇形面积公式进行计算．【详解】解：由题意可得出：点O移动的距离为扇形的弧长，∵面积为30cm2的扇形AOB，半径OA=6cm，
∴30=×l×6，∴扇形弧长为：l=10（cm）．故选C．3．D【详解】分析：先计算圆心角为120°，根据弧长公式=，可得结果．详
解：连接OD，∵∠ABD=30°，∴∠AOD=2∠ABD=60°，∴∠BOD=120°，∴的长== ，故选D．点睛：本题考查了弧长
的计算和圆周角定理，熟练掌握弧长公式是关键，属于基础题．4．C【分析】根据圆的概念的认识进行解答即可．【详解】∵AB=2cm，∴圆
的直径是4cm，故选C．【点睛】本题考查圆的认识，关键是根据圆的概念进行解答．5．C【分析】先根据圆周角定理求出∠ACB的度数，再
由等腰三角形的性质即可得出结论．【详解】∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∵∠ACO＝50°，∴∠BCO＝90°﹣50°＝4
0°．∵OC＝OB，∴∠B＝∠BCO＝40°．故选C．【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．
6．10.【详解】解：如图，AB是直角边时，点C共有6个位置，即有6个直角三角形，AB是斜边时，点C共有4个位置，即有4个直角三角
形，综上所述，△ABC是直角三角形的个数有6+4=10个．7．过圆心的弦为直径，直径所对的圆周角为直角；三个内角都为直角的四边形为
矩形．【分析】利用作图得到AC、BD为直径，根据圆周角定理得到，然后根据三个内角都为直角的四边形为矩形可确定四边形ABCD即为所求
作的矩形．【详解】根据直径所对的圆周角为直角可得到，所以四边形ABCD为矩形．故答案为过圆心的弦为直径，直径所对的圆周角为直角；三
个内角都为直角的四边形为矩形．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质
和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．8．正方形的
对角线相等且互相垂直平分；点到圆心的距离等于圆的半径的点在这个圆上；四边形的四个顶点在同一个圆上，这个圆叫四边形的外接圆．【分析】
利用正方形的性质得到 OA=OB=OC=OD，则以点O为圆心，OA长为半径作⊙O，点B、C、D都在⊙O 上，从而得到⊙O 为正方形
的外接圆．【详解】∵四边形 ABCD 为正方形，∴OA=OB=OC=OD，∴⊙O 为正方形的外接圆．故答案为正方形的对角线相等且互
相垂直平分；点到圆心的距离等于圆的半径的点在这个圆上；四边形的四个顶点在同一个圆上，这个圆叫四边形的外接圆．【点睛】本题考查了作图
﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图
形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．9．6﹣π．【详解】连接AD，∵BC是切线，点D是切点，∴AD
⊥BC，∴∠EAF=2∠EPF=100°，∴S扇形AEF==π，S△ABC=AD?BC=×2×6=6，∴S阴影部分=S△ABC-S
扇形AEF=6-π．故答案为6-π．点睛：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了扇形的面积公式．10．【分析】
根据阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积，即可求解．【详解】解：阴影部分的面积
＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积＝扇形ABB′的面积，则阴影部分的面积是：，故答案为：6
π．【点睛】本题考查扇形的面积等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．11．（1）见解析；（2）见解析；（3）13，12﹣或1
2+．【详解】试题分析：（1）根据对等四边形的定义，进行画图即可；（2）连接AC，BD，证明Rt△ADB≌Rt△ACB，得到AD=
BC，又AB是⊙O的直径，所以AB≠CD，即可解答；（3）根据对等四边形的定义，分两种情况：①若CD=AB，此时点D在D1的位置，
CD1=AB=13；②若AD=BC=11，此时点D在D2、D3的位置，AD2=AD3=BC=11；利用勾股定理和矩形的性质，求出相
关相关线段的长度，即可解答．试题解析：（1）如图1所示（画2个即可）．（2）如图2，连接AC，BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB
=∠ACB=90°，在Rt△ADB和Rt△ACB中，∴Rt△ADB≌Rt△ACB，∴AD=BC，又∵AB是⊙O的直径，∴AB≠CD
，∴四边形ABCD是对等四边形．（3）如图3，点D的位置如图所示：①若CD=AB，此时点D在D1的位置，CD1=AB=13；②若A
D=BC=11，此时点D在D2、D3的位置，AD2=AD3=BC=11，过点A分别作AE⊥BC，AF⊥PC，垂足为E，F，设BE=
x，∵tan∠PBC=，∴AE=x，在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2，即x2+(x)2=132，解得：x1=5，x2-5（
舍去），∴BE=5，AE=12，∴CE=BC-BE=6，由四边形AECF为矩形，可得AF=CE=6，CF=AE=12，在Rt△AF
D2中，FD2=，∴CD2=CF-FD2=12-，CD3=CF+FD2=12+，综上所述，CD的长度为13、12-或12+．考点：
四边形综合题．12．（1）①．②是；（2）①；②的取值范围是；（3）．【分析】（1）①如图1中，连接、．首先证明是切线，根据计算即
可解决问题；②根据定义求出的值即可判断；（2）①如图，当时，不妨设直线与相切的切点在轴上方（切点在轴下方时同理），连接，则，根据定
义计算即可；②如图3中，若直线与不相切，设直线与的另一个交点为（不妨设，点，在轴下方时同理），作于点，则，可得，，推出，可得当时，
，此时，假设经过点，此时，因为点早外，推出的取值范围是；（3）如图4中，由（2）可知：当时，．当时，经过点或，当直线经过点时，，当
直线经过点时，，即可推出满足条件的的取值范围为．【详解】（1）①如图1中，连接、．由题意：，△是直角三角形，，即，是的切线，．②在
上，，是的“2相关依附点”．故答案为，是；（2）①如图2，当时，不妨设直线与相切的切点在轴上方（切点在轴下方时同理），连接，则．，
，，，，，此时；②如图3中，若直线与不相切，设直线与的另一个交点为（不妨设，点，在轴下方时同理），作于点，则，，，，当时，，此时，
假设经过点，此时，点早外，的取值范围是．?（3）如图4中，由（2）可知：当时，．当时，经过点或，当直线经过点时，，当直线经过点时，
，满足条件的的取值范围为．【点睛】本题考查了一次函数综合题、圆的有关知识、勾股定理、切线的判定和性质、点（或点是的“相关依附点”的
定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会考虑特殊位置解决问题，属于中考压轴题．13．（1）P2，P3；（2
）xP＜-5或xP＞-．（3）-3＜t＜1-或1+＜t＜7-．【分析】（1）根据点P独立于图形W的定义即可判断；（2）求出直线DE
，直线CD与直线y=2x+8的交点坐标即可判断；（3）求出三种特殊位置时t的值，结合图象即可解决问题.【详解】（1）由题意可知：在
P1（0，4），P2（0，1），P3（0，-3），P4（4，0）这四个点中，独立于的点是P2，P3．（2）∵C（-3，0），D（0
，3），E（3，0），∴直线CD的解析式为y=x+3，直线DE的解析式为y=-x+3，由，解得，可得直线l与直线CD的交点的横坐标
为-5，由，解得，可得直线l与直线DE的交点的横坐标为-，∴满足条件的点P的横坐标xp的取值范围为：xP＜-5或xP＞-．（3）如
图3-1中，当直线KN与⊙H相切于点E时，连接EH，则EH=EK=1，HK=，∴OT=KT+HK-OH=3+-4=-1，∴T（0，
1-），此时t=1-，∴当-3＜t＜1-时，⊙H上的所有点都独立于图形W．如图3-2中，当线段KN与⊙H相切于点E时，连接EH．O
T=OH+KH-KT=4+-3=1+，∴T（0，1+），此时t=1+，如图3-3中，当线段MN与⊙H相切于点E时，连接EH．OT=
OM+TM=4-+3=7-，∴T（0，7-），此时t=7-，∴当1+＜t＜7-时，⊙H上的所有点都独立于图形W．综上所述，满足条件
的t的值为-3＜t＜1-或1+＜t＜7-．【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，一次函数的应用，点P独立于图形W的定义等知识
，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决实际问题.14．（1）4，0；（2）见解析；（3）1.1或3
.7【分析】（1）当x=2时，PM⊥AB，此时Q与M重合，BQ=BM=4，当x=4时，点P与B重合，此时BQ=0．（2）利用描点法
画出函数图象即可；（3）根据直角三角形30度角的性质，求出y=2，观察图象写出对应的x的值即可；【详解】（1）当x＝2时，PM⊥A
B，此时Q与M重合，BQ＝BM＝4，当x＝4时，点P与B重合，此时BQ＝0．故答案为4，0．（2）函数图象如图所示：（3）如图，在
Rt△BQM中，∵∠Q＝90°，∠MBQ＝60°，∴∠BMQ＝30°，∴BQ＝BM＝2，观察图象可知y＝2时，对应的x的值为1.1
或3.7．故答案为1.1或3.7．【点睛】本题考查圆的综合题，垂径定理，直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用所解题的关键是理解题
意，学会用测量法、图象法解决实际问题.15．（1）证明见解析；（2）【分析】（1）连接OC，根据切线的性质和圆周角定理，得出∠OC
A=∠OAC与∠CAE=∠OCA，然后根据角平分线的定义可证明；（2）由圆周角定理得到∠BCA=90°，由垂直的定义，可求出∠CE
A=90°，从而根据两角对应相等的两三角形相似可证明△ACB∽△AEC，再根据相似三角形的对应边成比例求得AB的长，从而得到圆的半
径.【详解】(1)证明：连接OC.∵CE是⊙O的切线，∴∠OCE =90°∵CE⊥DF，∴∠CEA=90°，∴∠ACE+∠CAE=
∠ACE+∠OCA=90°，∴∠CAE=∠OCA ?∵OC＝OA，∴∠OCA=∠OAC.∴∠CAE=∠OAC，即AC平分∠FAB?
(2)连接BC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB =∠AEC =90°. 又∵∠CAE=∠OAC，∴△ACB∽△AEC,∴. ∵AE
＝1，CE＝2，∠AEC =90°，∴ ∴，∴⊙O的半径为．点睛：本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，平行线的性质和判定，勾股定
理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定定理是解决问题的关键．16．（1）52°，45°；（2）26°【详解】分析：（Ⅰ）运
用直径所对的圆周角是直角以及圆周角的度数等于它所对弧的度数求解即可；（Ⅱ）运用圆周角定理求解即可.详解：（Ⅰ）∵是的直径，∴.∴.
又∴，∴.由为的中点，得.∴.∴.（Ⅱ）如图，连接.∵切于点，∴，即.由，又，∴是的外角，∴.∴.又，得.∴.点睛：本题考查了圆周
角定理，切线的性质以及等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．17．（1）证明见解析；（2）S梯形AEDC＝m2．解题思路
见解析.【分析】（1）如图1中，连接OC，由CD是⊙O的切线，推出OC⊥CD，由BD⊥CD，推出OC∥BD，推出∠OCB＝∠CBD
，由OC＝OB，推出∠OCB＝∠OBC，即可推出∠CBO＝∠CBD；（2）如图连接AC、AE．易知四边形AEDC是直角梯形，求出C
D、AE、DE利用梯形面积公式计算即可．【详解】（1）证明：如图1中，连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∵BD⊥CD，∴
OC∥BD，∴∠OCB＝∠CBD，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠CBO＝∠CBD，∴BC平分∠DBA（2）解：如图连接A
C、AE．∵cos∠ABD＝，∴∠ABD＝60°，由（1）可知，∠ABC＝∠CBD＝30°，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，
∠ABC＝30°，AB＝2m，∴BC＝AB?cos30°＝m，在Rt△ABE中，∵∠AEB＝90°，∠BAE＝30°，AB＝2m，
∴BE＝AB＝m，AE＝m，在Rt△CDB中，∵∠D＝90°，∠CBD＝30°，BC＝m，∴CD＝BC＝m，BD＝m，∴DE＝DB
﹣BE＝m．∴S梯形AEDC＝?（CD+AE）?DE＝m2．【点睛】本题考查切线的性质、解直角三角形、角平分线的定义、解直角三角形
特殊角三角函数、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题.18．（1）PC＝2；AC＝2，
（2）tan∠PCA＝；△PAC的面积为：．【分析】（1）连接OC，根据PA＝AO＝2，可知PO＝2OC，所以∠P＝30°，所以∠
POC＝60°，从而可知△AOC是等边三角形，根据等边三角形的性质可知AC＝2，最后根据含30度角的直角三角形求出OP，即可得出结
论；（2）由（1）易知∠PCA＝30°，从而可求出tan∠PCA，易知CA是△PCO的中线，所以△PAC的面积等于△PCO的面积的
一半．【详解】解：（1）连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴∠PCO＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵PA＝AO＝C
O＝2，∴PO＝2+2＝4，∴PO＝2OC，∴∠P＝30°，∴∠POC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴AC＝2，在Rt△OCP
中，OP＝2OC＝4，根据勾股定理得，PC＝2（2）由（1）可知：∠ACO＝60°，∠PCO＝90°，∴∠PCA＝30°，∴tan
∠PCA＝；∵A是PO的中点，∴CA是△PCO的中线，∵△PCO的面积为：×2×2＝2，∴△PAC的面积为：×2＝．【点睛】本题考
查圆的综合问题，涉及三角形面积公式，含30度角的直角三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，需要学生灵活运用所学知识．19．（
Ⅰ）见解析；（Ⅱ）⊙O的半径为．【分析】（Ⅰ）连接OC，根据CD切⊙O于点C得出OC⊥DC，由OA=OC，得出∠OAC=∠OCA，
则可证明∠OCA=∠DAC，证得OC∥AD，根据平行线的性质即可证明；（Ⅱ）根据圆周角定理证得∠AEB=90°，根据垂径定理证得E
F=BF，进而证得四边形EFCD是矩形，从而证得BE=8，然后根据勾股定理求得AB，即可求得半径．【详解】解：（Ⅰ）证明：连接OC
，交BE于F，由DC是切线得OC⊥DC；又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠OAC．∴∠OCA
＝∠DAC，∴OC∥AD，∴∠D＝∠OCD＝90°即CD⊥ED．（Ⅱ）∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵∠D＝90°，∴∠
AEB＝∠D，∴BE∥CD，∵OC⊥CD，∴OC⊥BE，∴EF＝BF，∵OC∥ED，∴四边形EFCD是矩形，∴EF＝CD＝4，∴B
E＝8，∵AE＝2，∴AB＝＝＝2∴⊙O的半径为．【点睛】本题考查了圆的切线的性质，圆周角定理的推论，垂径定理以及勾股定理的应用．
运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．20．（1）①E、F；②（﹣3，
3）；（2）①k的值为1或2；②≤r≤3．【分析】（1）①找到x、y轴距离最大为3的点即可；②先分析出直线上的点到x、y轴距离中有
3的点，再根据“等距点”概念进行选择即可；（2）先求出C、D点坐标以及CD长度，分析出N点到坐标轴距离中最小距离为，从而确定r的最
小值，根据CD长度确定r的最大值．【详解】（1）①∵点A（﹣3，1）到x、y轴的距离中最大值为3，∴与A点是“等距点”的点是E、F
．②点B在直线y＝x+6上，当点B坐标中到x、y轴距离其中至少有一个为3的点有（3，9）、（﹣3，3）、（﹣9，﹣3），这些点中与
A符合“等距点”的是（﹣3，3）．故答案为①E、F；②（﹣3，3）；（2）∵T1（﹣1，t1）、T2（4，t2）是直线l上的两点，
∴t1＝﹣k﹣3，t＝4k﹣3．∵k＞0，∴|﹣k﹣3|＝k+3＞3，4k﹣3＞﹣3．依据“等距点”定义可得：当﹣3＜4k﹣3＜4
时，k+3＝4，解得k＝1；当4k﹣3≥4时，k+3＝4k﹣3，解得k＝2．综上所述，k的值为1或2．②∵k＝1，∴y＝x﹣3与坐
标轴交点C（0，﹣3）、D（3，0），线段CD＝3．N点在CD上，则N点到x、y轴的距离最大值中最小数为，若半径为r的⊙O上存在一
点M与N是“等距点”，则r最小值为，r的最大值为CD长度3．所以r的取值范围为≤r≤3．故答案为E、F；（﹣3，3）【点睛】本题主
要考查了一次函数图象的性质以及圆的性质，此题属于阅读理解类型题目，首先读懂“等距点”的定义，而后根据概念解决问题，难度较大，需要有
扎实的基础，培养了阅读理解、迁移运用的能力．21．（1）详见解析；（2）AP＝．【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠BAP＝∠BPA，可证∠BAP+∠PAO＝90°，∠C+∠CPO＝90°，结论得证；（2）作BD⊥AP于点D，先求出OB，OP的长，再求出CP长，根据△BPD∽△CPO，得出比例线段，求PD的长，则AP可求．【详解】（1）证明：∵AB＝BP，∴∠BAP＝∠BPA，∵AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥BA，∴∠BAO＝90°，即∠BAP+∠PAO＝90°，∵OA＝OC，∴∠PAO＝∠C，∵∠BPA＝∠CPO，∴∠C+∠CPO＝90°，∴∠COP＝90°，即CO⊥BO；（2）解：如图，作BD⊥AP于点D，在Rt△ABO中，AB＝3，OA＝4，则BO＝5，OP＝2，在Rt△CPO中，PO＝2，CO＝4，则CP＝2，∵BA＝BP，∴AD＝PD，由（1）知∠COP＝90°，∵∠BDP＝90°，∠BPD＝∠CPO，∴△BPD∽△CPO，∴，即，∴PD＝，∴AP＝2PD＝．【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．22．（1）见解析，（2）见解析，（3）π【分析】（1）将三个顶点分别向右平移5个单位，再向上平移2个单位得到对应点，再首尾顺次连接即可得；（2）作出点A′，B′绕点C顺时针旋转90°得到的对应点，再首尾顺次连接可得；（3）根据弧长公式计算可得．【详解】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求．（2）如图所示，△A″B″C′即为所求．（3）∵A′C′＝＝，∠A′C′A″＝90°，∴点A′所经过的路线长为＝π，故答案为π．【点睛】本题主要考查作图﹣旋转变换和平移变换，解题的关键是熟练掌握旋转和平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点，也考查了弧长公式． 25 / 25 |
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