2019北京回民学校初三（上）期中数 学一．选择题（共8小题）1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C.
D. 2.抛物线y=2(x-3)2-1顶点坐标是（ ）A. （3，1）B. （3，-1）C. （-3，1）D. （-3，-1）3.
若要得到函数y＝(x+1)2+2的图象，只需将函数y＝x2的图象( )A. 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B.
先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C. 先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D. 先向右平移1个单位长度，
再向下平移2个单位长度4.如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=2，那么AB的长是（?）A. 4B. 6
C. 8D. 105.点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x﹣1的图象上，则y1，y
2，y3的大小关系是（ ）A. y1＝y2＞y3B. y3＞y1＝y2C. y1＞y2＞y3D. y1＜y2＜y36.如图，⊙O
是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（ ）A. 40°B. 50°C. 80°D. 100°7.函数y＝ax+1
与y＝ax2+bx+1(a≠0)的图象可能是( )A. B. C. D. 8.已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个
，则k的值为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3二．填空题（共8小题）9.把二次函数y=x2﹣2x+3化成y=a（x﹣h）2+k
的形式为_____．10.如图，在平面直角坐标系中，将线段OA绕原点O逆时针旋转90°，记点A（﹣1，）的对应点为A1，则A1的坐
标为_______________．11.如图，抛物线的对称轴是_____．12.《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系
的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一
寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道尺（1尺＝10寸），则该圆材的直
径为______寸．13.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD=120°，则∠DCE=__________．14.若抛物线y＝
(m+1)x2﹣2x+m2﹣1经过原点，则m＝_____．15.如图，⊙O的半径为4，将⊙O的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆
心O，则折痕AB的长为_____．16.在如图所示的方格纸(1格长为1个单位长度)中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点O按
顺时针方向旋转得到△A''B''C''，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是____________．．三．解答题（共10小题）17.
二次函数的图象的顶点在原点，且过点(2，4)，求这个二次函数的关系式．18.已知抛物线y=x2+bx+3经过点A(﹣1，8)，顶点
M；（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线对称轴与x轴交于点B，连接AB、AM，求△ABM的面积．19.如图，AB是⊙O的弦（非直
径），C、D是AB上的两点，并且AC=BD．求证：OC=OD．20.如图，有长为24m篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且
花圃的长可借用一段墙体(墙体的最大可用长度a＝10m)．(1)如果所围成花圃的面积为45m2，试求宽AB的长；(2)按题目的设计要
求，能围成面积比45m2更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．21.已知的半径是．弦．求圆心到的
距离；弦两端在圆上滑动，且保持，的中点在运动过程中构成什么图形，请说明理由．22.已知二次函数y＝x2﹣4x+3．①求出这个二次函
数图象的对称轴和顶点坐标；②求出这个二次函数图象与坐标轴的交点；③直接写出y＞0时x的范围23.已知，如图，在△ADC中，∠ADC
＝90°，以DC为直径作半圆⊙O，交边AC于点F，点B在CD的延长线上，连接BF，交AD于点E，∠BED＝2∠C．（1）求证：BF
是⊙O的切线；（2）若BF＝FC，，求⊙O的半径．24.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．
△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB''C''．（1）在正方形网格中，画出△AB''
C''；（2）计算线段AB在旋转过程中所扫过的面积．25.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣2x2+(m+9)x﹣6的对称轴是x
＝2．（1）求抛物线表达式和顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点A，求点A的坐标；（3）抛
物线y＝﹣2x2+(m+9)x﹣6与y轴交于点C，点A关于平移后抛物线的对称轴的对称点为点B，两条抛物线在点A、C和点A、B之间的
部分（包含点A、B、C）记为图象M．将直线y＝2x﹣2向下平移b（b＞0）个单位，在平移过程中直线与图象M始终有两个公共点，请你写
出b的取值范围 ．26. 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是边AC上任意一点（点E与点A，C不重合），以CE为一
直角边作Rt△ECD，∠ECD=90°，连接BE，AD．（1）若CA=CB，CE=CD①猜想线段BE，AD之间的数量关系及所在直线
的位置关系，直接写出结论；②现将图1中的Rt△ECD绕着点C顺时针旋转锐角α，得到图2，请判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请证
明；若不成立，请说明理由；（2）若CA=8,CB=6，CE=3，CD=4，Rt△ECD绕着点C顺时针转锐角α，如图3，连接BD，A
E，计算的值．参考答案一．选择题（共8小题）1.【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得
解．【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、
是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】此题主
要考查对轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握，即可解题.2.【答案】B【解析】试题分析：本题主要考查的就是二次函数的顶点式，对
于二次函数y=a+k的顶点坐标为(m，k)，根据顶点式就可以得出函数的顶点坐标．点睛：本题主要考查的就是二次函数的顶点坐标，对于二
次函数y=a+k的顶点坐标为(m，k)，解决这种类型的题目需要注意的就是二次函数顶点式的标准模式，括号外面要用加号来进行表示，而不
是减号.在配方成顶点式时则需要注意当二次项系数不是1时需要进行提取二次项系数，将二次项系数转化为1，这个和解方程时不一样，解方程时
是在方程左右两边同时除以二次项系数.3.【答案】B【解析】【分析】找出两抛物线的顶点坐标，由a值不变即可找出结论．【详解】解：∵抛
物线y=（x+1）2+2的顶点坐标为（-1，2），抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），∴将抛物线y=x2先向左平移1个单位长度，
再向上平移2个单位长度即可得出抛物线y=（x+1）2+2．故选B．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，通过平移顶点找出结论是
解题的关键．4.【答案】C【解析】【分析】由于半径OC⊥AB，利用垂径定理可知AB=2AE，又CE=2，OC=5，易求OE，在Rt
△AOE中利用勾股定理易求AE，进而可求AB．【详解】如右图，连接OA，∵半径OC⊥AB，∴AE=BE= AB，∵OC=5，CE=
2，∴OE=3，在Rt△AOE中，AE=，∴AB=2AE=8，故选C．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，垂径定理是:垂直与弦的
直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧?.5.【答案】A【解析】【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x=1，图象开口向下，
在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，据二次函数图象的对称性可知，P1（-1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，可判断y1=y2＞
y3．【详解】解：∵y=-x2+2x-1=-（x-1）2，∴对称轴为x=1，P2（3，y2），P3（5，y3）在对称轴的右侧，y随
x的增大而减小，∵3＜5，∴y2＞y3，根据二次函数图象的对称性可知，P1（-1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，故y1=y2
＞y3，故选A．【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进
行推理是解此题的关键．6.【答案】B【解析】试题分析：∵OB＝OC，∠OCB＝40°，∴∠BOC＝180°－2∠OCB＝100°，
∴由圆周角定理可知：∠A＝∠BOC＝50°．故选B．7.【答案】C【解析】【详解】当a＞0时，函数y=ax2+bx+1（a≠0）的
图象开口向上，函数y=ax+1的图象应在一、二、三象限，故可排除D；当a＜0时，函数y=ax2+bx+1（a≠0）图象开口向下，函
数y=ax+1的图象应在一二四象限，故可排除B；当x=0时，两个函数的值都为1，故两函数图象应相交于（0，1），可排除A．正确的只
有C．故选C．8.【答案】D【解析】详解】解：如图：利用顶点式及取值范围，可画出函数图象会发现：当x=3时，y=k成立的x值恰好有
三个.故选：D.二．填空题（共8小题）9.【答案】y=（x﹣1）2+2【解析】【详解】y=x2?2x+3=x2?2x+1+2=(x
?1)2+2，所以,y=(x?1)2+2.故答案为y=(x?1)2+2.10.【答案】（-，-1）【解析】【分析】根据旋转的性质即
可得出结论.【详解】如图，根据题意过点A作AB⊥y轴于点B，过点A1作A1C⊥y轴于点C，依题意得：=OA，∠AO=90.∴∠AO
B+∠=90.∵AB⊥y轴, A1C⊥y轴,∴,∠AOB+∠OAB=90.∴∠∠OAB.在和中 ∴,∴OC=AB=1,∵点在第三象
限，∴的坐标为（-，1）.故答案为（-，1）.点睛：本题考查了旋转的基本性质，正确理解旋转前后的两个图形是全等形及全等形的对应边相
等是解题的关键.11.【答案】直线x＝1【解析】【分析】根据抛物线与x轴的交点关于对称轴对称是解答此题的关键．【详解】∵抛物线与x
轴的交点是（﹣1，0），（3，0），∴抛物线的对称轴是x==1．故答案为：直线x=1．【点睛】此题主要考查对抛物线对称轴的理解，根
据与坐标轴的交点即可解题.12.【答案】26．【解析】【分析】设的半径为，在中，，则有，解方程即可.【详解】设的半径为．在中，，则
有，解得，∴的直径为26寸，故答案为26．【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于
中考常考题型.13.【答案】120°【解析】【分析】根据圆周角定理求出∠BCD的度数，再由平角的定义即可求得∠DCE的度数．【详解
】∵∠BOD=120°，∴∠BCD=∠BOD=60°．∴∠DCE=180°–60°=120°．故答案为120°．【点睛】本题考查了
圆周角定理，熟练运用圆周角定理求得∠BCD的度数是解决问题的关键.14.【答案】1【解析】【分析】把原点坐标代入抛物线解析式，得到
关于m的一元二次方程，再根据抛物线解析式的二次项系数不等于0，解方程求出m的值即可．【详解】∵抛物线y=（m+1）x2﹣2x+m2
﹣1经过原点，∴m2﹣1=0，∴m=±1，∵y=（m+1）x2﹣2x+m2﹣1是抛物线解析式，∴m+1≠0，∴m≠﹣1，∴m=1．
故答案为1．【点睛】此题主要考查根据抛物线的性质求参数的值，熟练掌握，即可解题.15.【答案】4【解析】【分析】过O作垂直于AB的
半径OC，设交点为D，根据折叠的性质可求出OD的长；连接OA，根据勾股定理可求出AD的长，由垂径定理知AB=2AD，即可求出AB的
长度．【详解】解：过O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OA，Rt△OAD中，OD=CD=OC=2，OA=4，根据勾股定理，得：A
D= =2 ，由垂径定理得，AB=2AD=4，故答案 ：4．【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、矩形的性质，掌握翻转变换是一种对称
变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．16.【答案】90°【解析】【分析】根据旋转角的概念
找到∠BOB′是旋转角，从图形中可求出其度数即可．【详解】根据旋转角的概念：对应点与旋转中心连线的夹角，可知∠BOB′是旋转角，且
∠BOB′＝90°，故答案为90°．【点睛】本题主要考查了旋转角的概念，解题的关键是根据旋转角的概念找到旋转角．三．解答题（共10
小题）17.【答案】y=x2【解析】【分析】根据题意可直接设y=ax2把点（2，4）代入得=1，所以y=x2．【详解】设二次函数的
关系式为y=ax2（a≠0），将点（2，4）代入得4=a×22解得a=1，故二次函数为y=x2．【点睛】此题主要考查根据二次函数图
象的性质求解析式，熟练掌握，即可解题.18.【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）.【解析】【分析】(1)把点A的坐标代入函数解
析式，列出关于系数b的方程，通过解方程求得b的值即可；(2)由(1)中函数解析式得到对称轴为x=2，然后结合三角形的面积公式进行解
答即可．【详解】解：(1)∵抛物线y=x2+bx+3经过点A(﹣1，8)，∴8=(-1)2﹣b+3，解得b=﹣4，∴所求抛物线的表
达式为y=x2﹣4x+3；(2)作AH⊥BM于点H，∵由抛物线y=x2﹣4x+3解析式可得，点M的坐标为(2，﹣1)，点B的坐标为
(2，0)，∴BM=1，∵对称轴为直线x=2，∴AH=3，∴△ABM的面积.故答案为：(1)y=x2﹣4x+3；(2).【点睛】本
题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点问题.19.【答案】见解析【解析】【详解】证法一：分别连接OA、OB．∵OB
=OA∴∠A=∠B．又∵AC=BD，∴△AOC≌△BOD，∴OC=OD，证法二：过点O作OE⊥AB于E，∴AE=BE．∵AC=BD
，∴CE=ED，∴△OCE≌△ODE，∴OC=OD．【点睛】本题考查了全等三角形，此类试题属于难度较小的试题，此类试题的解答点就在
于根据自己的意向中进一步选择更好的做答方式20.【答案】（1）AB长为5米（2）最大面积为【解析】【分析】（1）利用矩形的面积公式
列出方程求解即可；（2）求出花圃面积与AB长度的函数关系式，根据二次函数的性质和AB长度取值范围求出面积的最大值．【详解】设的长为
米，根据题意列方程得：，化为解得，，当时，，不合题意，舍去，当时，，如果要围成面积为米的花圃，的长是米；设花圃的面积为，由题意可得
：，，，∵墙体的最大可用长度，∴，∴，∵对称轴，开口向下，∴当时，花圃面积最大，当时，.【点睛】考查二次函数的应用，一元二次方程的
应用，熟练掌握二次函数求最值的方法是解题的关键.21.【答案】（1）3；（2）在运动过程中，点运动的轨迹是以为圆心，为半径的圆【解
析】【分析】（1）利用垂径定理，然后根据勾股定理即可求得弦心距OD的长；（2）根据圆的定义即可确定．【详解】解：连接，作于．就是圆
心到弦的距离．在中，∵∴是弦的中点在中，，,圆心到弦的距离为．由知：是弦的中点中点在运动过程中始终保持∴据圆的定义，在运动过程中，
点运动的轨迹是以为圆心，为半径的圆．【点睛】考查垂径定理，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键.22.【答案】①对称轴是直线x=
2，顶点坐标为(2，﹣1)；②(0，3)，(1，0)，(3，0)；③x＜1或x＞3【解析】【分析】①将题目中的函数解析式化为顶点式
即可求得二次函数图象的对称轴和顶点坐标；②根据题目中的函数解析式可以求得这个二次函数的图象与坐标轴的交点；③根据题目中的函数解析式
和二次函数的性质可以得到y＞0时x的范围．【详解】①∵二次函数y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴该函数图象的对称轴是直线x=
2，顶点坐标为（2，﹣1）；②当x=0时，y=3，当y=0时，0=x2﹣4x+3=（x﹣3）（x﹣1），得x1=3，x2=1，即该
函数图象与坐标轴的交点为（0，3），（1，0），（3，0）；③∵二次函数y=x2﹣4x+3的图象开口向上，与x轴的交点为（1，0）
，（3，0），∴y＞0时x的取值范围是x＜1或x＞3．【点睛】此题主要考查根据二次函数图象的性质和解析式求解坐标以及自变量的取值范
围，熟练掌握，即可解题.23.【答案】（1）见解析；（2）⊙O的半径是3．【解析】【分析】（1）欲证BF是圆O的切线，只需证明OF
⊥BF；（2）根据角与角间的数量关系推知△AEF的等边三角形．所以易求AD=2．则通过解直角△ADC来求直径CD的长度．【详解】（
1）证明：连接OF．∵∠OFB=180°﹣∠B﹣∠BOF=180°﹣∠B﹣2∠C=180°﹣∠B﹣∠BED=90°，∴OF⊥BF，
∴BF是⊙O的切线；（2）解：∵BF=FC，∴∠B=∠FCB，∵∠BED=2∠C，∴∠BDE+∠B=3∠C=90°，∴∠B=∠C=
30°，∴∠AFE=60°，∠BED=60°，∴△AEF是等边三角形，则EF=AE=．∴AD=2．又∵∠C=30°，∴CD=6，∴
⊙O的半径是3．【点睛】此题主要考查圆的切线的判定以及解直角三角形，熟练掌握，即可解题.24.【答案】（1）画图见解析；（2）面积
为．【解析】试题分析：（1）根据旋转的性质得出对应点旋转后位置进而得出答案；（2）利用勾股定理得出AB=5，再利用扇形面积公式求出
即可．解：（1）如图所示：△AB′C′即为所求；（2）∵AB==5，∴线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积为：=π．考点：
作图-旋转变换；扇形面积的计算．25.【答案】（1）y=﹣2x2+8x﹣6，顶点坐标（2，2）；（2）A ()；（3）．【解析】【
分析】（1）根据抛物线的对称轴公式求出m的值，进而求出抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）先求出平移后的抛物线解析式，然后求出交点坐
标；（3）根据图象即可写出b的取值范围．【详解】（1）∵抛物线y=﹣2x2+（m+9）x﹣6的对称轴是x=2，∴．∴m=﹣1．∴抛
物线的表达式为y=﹣2x2+8x﹣6．∴y=﹣2（x﹣2）2+2．∴顶点坐标为（2，2）．（2）由题意得，平移后抛物线表达式为y=
﹣2（x﹣3）2+2，∵﹣2（x﹣2）2=﹣2（x﹣3）2，∴．∴A ()．（3）点A坐标为()，则点B的坐标为，设直线y=2x﹣
2向下平移b（b＞0）个单位经过点B，则y=2x﹣2﹣b，故=7﹣2﹣b，解得b=，设直线y=2x﹣2向下平移b（b＞0）个单位经
过点A，=5﹣2﹣b，b=，由，消去y得到：2x2﹣10x+14﹣b=0，由题意：△=0，∴100﹣8（14﹣b）=0，∴b=，观
察图象可知：平移过程中直线与图象M始终有两个公共点，则．【点睛】此题主要考查抛物线的对称轴、解析式求解以及坐标和一次函数综合问题，
熟练掌握，即可解题.26. 【答案】（1）①BE=AD，BE⊥AD；②见解析；（2）125．【解析】试题分析：根据三角形全等的判定
与性质得出BE=AD，BE⊥AD；设BE与AC的交点为点F，BE与AD的交点为点G，根据∠ACB=∠ECD=90°得出∠ACD=∠
BCE，然后结合AC=BC，CD=CE得出△ACD≌△BCE，则AD=BE，∠CAD=∠CBF，根据∠BFC=∠AFG，∠BFC+∠CBE=90°得出∠AFG+∠CAD=90°，从而说明垂直；首先根据题意得出△ACD∽△BCE，然后说明∠AGE=∠BGD=90°，最后根据直角三角形的勾股定理将所求的线段转化成已知的线段得出答案．试题解析：（1）①解：BE=AD，BE⊥AD②BE=AD，BE⊥AD仍然成立证明：设BE与AC的交点为点F，BE与AD的交点为点G，如图1．∵∠ACB=∠ECD=90°， ∴∠ACD=∠BCE∵AC=BC CD=CE∴△ACD≌△BCE ∴AD=BE ∠CAD=∠CBF∵∠BFC=∠AFG ∠BFC+∠CBE=90° ∴∠AFG+∠CAD=90° ∴∠AGF=90°∴BE⊥AD（2）证明：设BE与AC的交点为点F，BE的延长线与AD的交点为点G，如图2．∵∠ACB=∠ECD=90°， ∴∠ACD=∠BCE∵AC=8，BC=6，CE=3，CD=4 ∴△ACD∽△BCE∴∠CAD=∠CBE∵∠BFC=∠AFG ∠BFC+∠CBE=90° ∴∠AFG+∠CAD=90° ∴∠AGF=90°∴BE⊥AD∴∠AGE=∠BGD=90°∴，．∴．∵，，∴考点：三角形全等与相似、勾股定理． 1 / 1 |
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