2020北京西城初三（上）期末数 学 2020.1考生须知1. 本试卷共8页，共三道大题，28道小题。满分100分。考试时间120分
钟。2. 在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号。3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。4. 在答题卡
上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。5. 考试结束时，将本试卷、答题卡一并交回。一、选择题（本题共16
分，每小题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1. 如图，四边形内接于，若，则的度数是（A）40°（B）80°（
C）100°（D）120°2. 在直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位长度，向上平移一个单位长度，得到抛物线（A）（B）（C）（
D）3. 圆心角是90°，半径为20的扇形的弧长为（A）（B）（C）（D）4. 如图，在中，以为中心，将顺时针旋转35°得到，边，
相交于点，若，则的度数为（A）60°（B）65°（C）72.5°（D）115°5. 如图，AB是的直径，弦于，若30°，，则长为（
A）3（B）（C）（D）26. 下列关于抛物线的说法正确的是（A）抛物线的开口方向向下（B）抛物线与轴交点的坐标为（）（C）当时，
抛物线的对称轴在轴右侧（D）对于任意的实数，抛物线与轴总有两个公共点7. （），（，），（，）三点都在二次函数的图像上，则的大小关
系为（A）（B）（C）（D）8. 如图，，是的中点，是以为圆心，为直径的半圆上的一个动点（点与点可以重合），连接，过作于点.设，，
则下列图像中，能表示与的函数关系的图像大致是二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 函数（0）的图象如图所示，则该函数的最小值
是.10. 如图，在中，点，分别在边，上，添加一个条件使得，添加的一个条件是.11. 如图三个顶点的坐标分别为A（），B（），C（
），以原点为位似中心，画出一个三角形，使它与的相似比为.12. 如图，，两点的坐标分别为（），（，），将线段绕点顺时针旋转得到线段
.若点恰好落在轴的负半轴上，则旋转角为°.13. 在“测量学校教学楼的高度”的数学活动中，小刚同学使用镜面反射法进行测量，如图所示
.若1米，=10米，1.5米，则这个学校教学楼的高度为米.14. 我国魏晋时期的数学家刘徽（263年左右）首创“割圆术”，所谓“割
圆术”就是利用圆内接正多边形无限逼近圆来确定圆周率，刘徽计算出圆周率3.14.刘徽从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可得
圆内接正十二边形，圆内接正二十四边形，，割的越细，圆的内接正多边形就越接近圆.设圆的半径为，圆内接正六边形的周长，计算；圆内接正十
二边形的周长，计算；请写出圆内接正二十四边形的周长，计算.（参考数据：，）15. 在关于的二次函数中，自变量可以取任意实数，下表是
自变量与函数的几组对应值：12345678-3.19-3.10-2.17-2.05-1.100.141.473.48根据以上信息，
关于的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根约等于（结果保留小数点后一位小数）.16. 如图，矩形中，，，是边的中点，点在边
上，设，若以点为圆心，为半径的与线段只有一个公共点，则所有满足条件的的取值范围是.三、解答题（本题共68分，第17—22题，每小题
5分，第23—26题，每小题6分，第27题，第28题，每小题7分）17. 计算：.18. 已知二次函数（1）写出该二次函数图像的对
称轴及顶点坐标，再描点画图；（2）利用图像回答：当取什么值时，.19. 如图，在中，平分，是上一点，且.（1）求证：；（2）若，，
求的值.20. 如图，在正方形中，点在边上，将点绕点逆时针旋转得到点，若点恰好落在边的延长线上，连接，，.（1）判断的形状，并说明
理由；（2）若，则的面积为.21. 某校要组织“风华杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）.（1）如果有4支球队参加比
赛，那么共进行场比赛；（2）如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？22. 如图，AB是的直径，，是的两条切线，切点
分别为，.连接角于点，交于点，连接.（1）求证：；（2）若的半径为5，，求的长.23. 图1是一个倾斜角为的斜坡的横截面，.斜坡顶
端与地面的距离为3米.为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头，喷头喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部
分.设喷出水珠的竖直高度为（单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与地面的距离），水珠与喷头的水平距离为（单位：米），与之间近似满足函
数关系（是常数，），图2记录了与的相关数据.（1）求关于的函数关系式；（2）斜坡上有一棵高1.8米的树，它与喷头的水平距离为2米，
通过计算判断从喷出的水珠能否越过这棵树.24. 如图，四边形内接于，，是对角线，点在的延长线上，且.（1）判断与的位置关系，并说明
理由；（2）与的延长线交于点，若，，，求的长.25. 下面给出六个函数解析式：，，，，，.小明根据学习二次函数的经验，分析了上面这
些函数解析式的特点，研究了它们的图象性质.下面是小明的分析研究过程，请补充完整：（1）观察上面这些函数解析式，它们都有共同的特点，
可以表示为形如,其中x为自变量；（2）如图，在平面直角坐标系中，画出了函数的部分图像，用描点法将这个函数的图像补充完整；（3）对于
上面这些函数，下列四个结论：① 函数图象关于轴对称② 有些函数既有最大值，同时也有最小值③ 存在某个函数，当（为正数）时，随的增大
而增大，当时，随的增大而小④ 函数图象与轴公共点的个数只可能是0个或2个或4个所有正确结论的序号是；（4）结合函数图象，解决问题：
若关于的方程有一个实数根为3，则该方程其它的实数根为.26. 在平面直角坐标系中，抛物线.（1）若该抛物线与直线交于两点，点在轴上
.求该抛物线的表达式及点的坐标；（2）横坐标为整数的点称为横整点.①将（1）中的抛物线在两点之间的部分记作（不含两点），直接写出上
的横整点的坐标；②抛物线与直线交于两点，将抛物线在两点之间的部分记作（不含两点），若上恰有两个横整点，结合函数的图象，求的取值范围
.27. 是等边三角形，点在的延长线上，以为中心，将线段逆时针旋转（）得线段，连接，.（1）如图1，若，画出当时的图形，并写出此时
的值；（2）为线段的中点，连接.写出一个的值，使得对于延长线上任意一点，总有，并说明理由.28. 对于给定的，我们给出如下定义：若
点是边上的一个定点，且以为圆心的半圆上的所有点都在的内部或边上，则称这样的圆为边上的点关于的内半圆，并将半径最大的内半圆称为点关于
的最大内半圆.若点是边上的一个动点（不与重合），则在所有的点关于的最大内半圆中，将半径最大的内半圆称为关于的内半圆.（1）在中，，
，① 如图1，点在边上，且，直接写出点关于的最大内半圆的半径长；② 如图2，画出关于的内半圆，并直接写出它的半径长；（2）在平面直
角坐标系中，点的坐标为（），点在直线上运动（不与重合），将OE关于的内半圆半径记为，当时，求点的横坐标的取值范围.2020北京西城
初三（上）期末数学参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）题号12345678答案CA BBCDBA二、填空题（本题共16分
，每小题2分）9101112-1答案不唯一，如：∠AED =∠B答案不唯一，如：120131415161548Rsin7.5°，3
.12答案不唯一，如：5.9 或 5＜x≤6．三、解答题（本题共68分，第17－22题，每小题5分，第23－26题，每小题6分，第
27，28题，每小题7分） 17．解：3 tan 30° + 4 cos45° - 2 sin 60°== ．5分18．解：（1）
对称轴是直线 x=2，顶点是（2，-1）． 的图象，如图． （2）当1＜x＜3时， y＜0．5分19．（1）证明：∵AD 平分∠B
AC，∴∠BAD =∠CAD．∵ BE=BD，∴∠BED =∠BDE． ∴∠AEB =∠ADC． ∴△ABE∽△ACD． （2）解
：∵ △ABE ∽△ACD，∴ ． ∵ BE =BD =1，CD = 2，∴ ． 5分20．（1）△DEF是等腰直角三角形． 证
明：在正方形ABCD中，DA=DC，∠ADC=∠DAB=∠DCB=90°．∵ F落在边BC的延长线上，∴ ∠DCF=∠DAB=90
°．∵ 将点E绕点D逆时针旋转得到点F，∴ DE=DF．∴ Rt△ADE≌ Rt△CDF．∴ ∠ADE =∠CDF．∵ ∠ADC
=∠ADE+∠EDC =90°，∴ ∠CDF +∠EDC =90°，即∠EDF =90°．∴ △DEF是等腰直角三角形． （2）△
DEF的面积为 8．5分21．解：（1）6； （2）设如果全校一共进行36场比赛，那么有x支球队参加比赛．依题意，得 ． 解得
x1 = 9，x2 = -8（不合题意，舍去）．所以 x = 9．答：如果全校一共进行36场比赛，那么有9支球队参加比赛．5分2
2．证明：（1）∵ PB，PC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C．∴ PB=PC，∠BPO =∠CPO． ∴ PO⊥BC，BE=C
E．∵ OB =OA，∴ OE =AC． （2）∵ PB是⊙O的切线，∴ ∠OBP =90°．由（1）可得 ∠BEO =90°，O
E =AC =3．∴ ∠OBP= ∠BEO =90°．∴ 在Rt△BEO中，OE =3，OB =5，∴ BE =4．∴ PB=．5
分23．（1）解：在Rt△ABC中，， BC=3，∴ AC=6．∴ 点B的坐标为（6，3）．∵ B（6，3），E（4，4）在抛物线
上，∴ 解得 ∴ y关于x的函数关系式为． （2）当x＝2时，＝3＞1+1.8，所以水珠能越过这棵树．6分24．解：（1）相切．
证明：连接BD，如图．∵ 四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD =90°，∴ BD是⊙O的直径，即点O在BD上．∴ ∠BCD = 9
0°．∴ ∠CED +∠CDE = 90°．∵ ∠CED =∠BAC．又 ∵∠BAC =∠BDC，∴ ∠BDC +∠CDE = 9
0°，即∠BDE = 90°．∴ DE⊥OD于点D．∴ DE是⊙O的切线． （2） 如图，BD与AC交于点H．∵ DE∥AC，
∴ ∠BHC =∠BDE= 90°．∴ BD⊥AC．∴ AH= CH．∴ BC = AB =4，CD = AD =2．∵ ∠FAD
=∠FCB= 90°，∠F =∠F，∴ △FAD∽△FCB．∴ ．∴ CF=2AF．设 AF = x，则DF= CF-CD=2
x-2．在Rt△ADF中，， ∴ ．解得 ，（舍去）．∴ ．6分25．解：（1）① ，（a，b，c是常数，）． （2）图象如图1
所示． 图1 图2（3）①③．（4）如图2，-1，0．6分26．解：（1）∵ 抛物线y = x2 - 2 m x - 2m
- 2与直线y = 2交于A，B两点，点B在y轴上，图1∴ 点B的坐标为（0，2）．∴ -2m - 2= 2． ∴ m = -2．
∴ 抛物线的表达式为 y = x2 + 4 x + 2．∵ A，B两点关于直线x = -2对称，∴ 点A的坐标为（-4，2）．
（2）① y = x2 + 4 x + 2的图象，如图1所示． G1上的横整点分别是（-3，-1），（-2，-2），（-1，-
1）．② 对于任意的实数m，抛物线y = x2 - 2 m x - 2m – 2与直线y = - x -2总有一个公共点（-1，-
1），不妨记为点C．当m≤-1时，若G2上恰有两个横整点，则横整点的横坐标为-3，-2，如图2. ∴ -2≤． 当m＞-1时，若G
2上恰有两个横整点，则横整点的横坐标为0，1，如图3.∴ ≤1． 图2 图3综上，G2恰有两个横整点，m的取值范围是-2≤
或≤1．6分27．解：（1）如图．当BQ∥AP时，n = 60．（2）n = 120． 证明：延长PM至N，使得MN=PM，连
接BN，AN，QN，如图．∵ M为线段BQ的中点，∴ 四边形BNQP是平行四边形．∴ BN∥PQ，BN=PQ． ∴ ∠NBP=60
°．∵ △ABC是等边三角形，∴ AB=AC，∠ABC =∠ACB = 60°．∴ ∠ABN=∠ACP =120°．∵ 以P为中心
，将线段PC逆时针旋转120°得到线段PQ，∴ PQ =PC．∴ BN =PC．∴△ABN≌△ACP．∴∠BAN =∠CAP，AN
=AP．∴∠NAP =∠BAC = 60°．∴ △ANP是等边三角形．∴ PN=AP．又 MP=PN， ∴ MP=AP．7分图12
8．解：（1）① ．② BC关于△ABC的内半圆，如图1，BC关于△ABC的内半圆半径为1．（2）过点E作EF⊥OE，与直线交于点
F，设点M是OE上的动点， i）当点P在线段OF上运动时（P不与O重合），OE关于△OEP的内半圆是以M为圆心，分别与OP，PE相切的半圆，如图2．∴ 当 ≤R ≤1时，t 的取值范围是≤t≤3． 图2 图3ii）当点P在OF的延长线上运动时，OE关于△OEP的内半圆是以M为圆心，经过点E且与OP相切的半圆，如图3．∴ 当 R=1 时，t的取值范围是 t ≥3．iii)当点P 在OF的反向延长上运动时（P不与O重合），OE关于△OEP的内半圆是以M为圆心，经过点O且与EP相切的半圆，如图4.∴ 当≤R ＜1时，t的取值范围是t ≤． 图4综上，点P在直线上运动时（P不与O重合），当≤R ≤1时，t的取值范围是 t ≤ 或t ≥ ．7分 1 / 1 |
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