人教A版（2019）必修第一册第五章5.1课时2弧度制练习题学校:___________姓名：___________班级：_________
__一、多选题1．已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角的弧度数可能是（?）A．1B．4C．2D．3二、单选题2．终边与直
线重合的角可表示为（?）A．B．C．D．3．下列角中与终边相同的角是（?）A．B．C．D．4．下列说法正确的是（?）A．长度等于半
径的弦所对的圆心角为1弧度B．若，则C．若角的终边过点，则D．当时，5．已知一个母线长为的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，则该圆锥的
侧面积为（?）A．B．C．D．6．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力
的瞬间（如图）．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为，肩宽约为，“弓”所在圆的半径约为，则掷铁
饼者双手之间的距离约为（参考数据：，）（?） A．1.012mB．1.768mC．2.043mD．2.945m三、填空题7．化为
弧度，结果是______.8．已知扇形的周长为，面积为，则扇形的半径为________.9．折扇最早出现于公元五世纪的中国南北朝时
代，《南齐书》上说：“褚渊以腰扇障日．”，据《通鉴注》上的解释，“腰扇”即折扇．一般情况下，折扇可以看作从一个圆面中剪下的扇形制作
而成，设扇形的弧长为l，扇形所在的圆的半径为r，当l与r的比值约为2.4时，折扇看上去的形状比较美观.若一把折扇所在扇形的半径为3
0cm，在保证美观的前提下，此折扇所在扇形的面积是_______．10．设地球半径为R，地球上北纬30°圈上有A，B两点，点A在西
经10°，点B在东经110°，则点A和B两点东西方向的距离是___________.四、解答题11．将下列各角化成的形式，并指出它
们是第几象限的角：（1）；（2）；（3）；（4）．12．根据角度制和弧度制的转化，已知条件：，(1)把表示成的形式；(2)求，使与
的终边相同，且．13．已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的面积．14．已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.(1
)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；(2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角；(3)若扇形周
长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？15．已知扇形的周长为c，当扇形的圆心角为多少弧度时，扇形的面积
最大．16．某商场共有三层楼，在其圆柱形空间内安装两部等长的扶梯Ⅰ、Ⅱ供顾客乘用，如图，一顾客自一楼点A处乘Ⅰ到达二楼的点B处后，
沿着二楼地面上的弧逆时针步行至点C处，且C为弧的中点，再乘Ⅱ到达三楼的点D处，设圆柱形空间三个楼面圆的中心分别为O，，，半径为8m
，相邻楼层的间距为4m，两部电梯与楼面所成角的正弦值均为.(1)求此顾客在二楼地面上步行的路程；(2)求异面直线AB和CD所成角的
余弦值.17．某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，
米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度．(1)求关于的函数解析式；(2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大?并
求出最大值．参考答案：1．AB【分析】利用扇形的弧长与面积公式建立方程组求解，再利用圆心角公式.【详解】设扇形的半径为，弧长为，面
积为S，圆心角为，则，，解得，或，，则或1．故C，D错误.故选：AB．2．A【分析】根据终边相同的角的概念，简单计算即可.【详解】
终边与直线重合的角可表示为．故选：A.3．D【分析】由角度制与弧度制的互化公式得到，结合终边相同角的表示，即可求解.【详解】由角度
制与弧度制的互化公式，可得，与角终边相同的角的集合为，令，可得，所以与角终边相同的角是.故选：D.4．D【分析】利用弧度制、三角函
数值的正负、三角函数的定义和三角函数线的应用逐一判断选项即可.【详解】对于A，长度等于半径的弦所对的圆心角为弧度，A错误；对于B，
若，则，B错误；对于C，若角的终边过点，则，C错误；对于D，当时，，D正确.故选D.5．D【分析】根据扇形的圆心角、弧长和半径的关
系以及扇形的面积求解.【详解】解：将圆心角化为弧度为：，设圆锥底面圆的半径为由圆心角、弧长和半径的公式得：，即由扇形面积公式得：所
以圆锥的侧面积为.故选：D.6．B【分析】由题意分析得到这段弓形所在的弧长，结合弧长公式求出其所对的圆心角，双手之间的距离，求得其
弦长，即可求解.【详解】如图所示，由题意知“弓”所在的弧 的长，其所对圆心角，则两手之间的距离．故选：B．7．【解析】根据角度制与
弧度制的关系，转化即可.【详解】,,,故答案为：【点睛】本题主要考查了弧度制与角度制的转化，属于容易题.8．cm【分析】由题意设扇
形的半径为cm，弧长为cm，由扇形的周长、面积可得，解出后，验证即可得解.【详解】设扇形的半径为cm，弧长为cm，圆心角为，∵，∴
，∴，即，解得或，当时，，则，不合题意，舍去；当时，，则，符合题意.故答案为：cm.【点睛】本题考查了扇形弧长及面积公式的应用，考
查了运算求解能力，属于基础题.9．1080【分析】首先求出弧长，再根据扇形面积公式计算可得；【详解】解：依题意，，所以，所以；故答
案为：10．【分析】求出的长度，确定的大小，再由弧长公式求得A,B两地的东西方向的距离.【详解】如图示，设为北纬30°圈的圆心，地
球球心为O，则 ,故,即北纬30°圈的圆的半径为，由题意可知,故点A和B两点东西方向的距离即为北纬30°圈上的的长，故的长为,故答
案为：11．（1），第三象限；（2），第一象限；（3），第一象限；（4），第三象限．【分析】先将各个角化为指定形式，根据通过终边相
同的角的概念判断出角所在象限.【详解】（1），因为的角终边在第三象限，所以是第三象限角；（2），因为的角终边在第一象限，所以是第一
象限角；（3），因为的角终边在第一象限，所以是第一象限角；（4），因为的终边在第三象限，所以是第三象限角.12．(1)；(2).【
分析】(1)先把角度数化成弧度数，再表示成符合要求的形式.(2)由(1)可得，再按给定范围求出k值作答.(1)依题意，，所以.(2
)由(1)知，，而，则，解得，所以.13．80π【分析】先求出弧长，再利用扇形的面积公式直接求解.【详解】设扇形弧长为l，因为圆心
角rad，所以扇形弧长，于是，扇形的面积S＝l·r＝×8π×20＝80π.14．（1）；（2）；（3）【分析】（1）根据扇形的弧长
公式进行计算即可．（2）根据扇形的周长公式以及面积公式建立方程关系进行求解（3）根据扇形的扇形公式结合基本不等式的应用进行求解即可
．【详解】(1)α＝60°＝rad，∴l＝α·R＝×10＝ (cm).(2)由题意得解得 (舍去)，故扇形圆心角为.(3)由已知得
，l＋2R＝20.所以S＝lR＝ (20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5时，S取得最大值25，此时l＝
10，α＝2.【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式和面积公式的应用，根据相应的弧长公式和面积公式建立方程关系是解决本题的关键．15．
当扇形的圆心角为时，扇形的面积最大.【解析】设扇形的半径为，弧长为，利用周长公式，求得，代入扇形的面积公式，结合二次函数的性质，即
可求解.【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，即，由扇形的面积公式，代入可得，当时，即时，面积取得最小值，此时，面积的最小值为.【点
睛】本题主要考查了扇形的周长，弧长公式，以及扇形的面积公式的应用，其中解答中熟记扇形的弧长公式和面积公式，准确运算是解答的关键，着
重考查了推理与运算能力，属于基础题.16．(1)(2)【分析】（1）过点B作一楼地面的垂线，垂足为，则落在圆柱底面圆上，结合题意计
算出的大小，再利用扇形的弧长公式即可得出结果.（2）建立空间直角坐标系，求出异面直线AB和CD的方向向量，再由异面直线所成角的向量
公式代入即可得出答案.（1）如图，过点B作一楼地面的垂线，垂足为，则落在圆柱底面圆上，连接，则即为BA在圆柱下底面上的射影，故即为
电梯Ⅰ与楼面所成的角，所以.因为，所以，在中，，所以是等腰直角三角形，连接，B，，则，因为，所以的长为，故此顾客在二楼地面上步行的
路程为.（2）连接，由（1）可知OA，，所在直线两两互相垂直.以O为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系
，如图所示，则，，，，所以，.设异面直线AB和CD所成角为，则，故异面直线AB和CD所成角的余弦值为.17．(1)；(2)当时，y的值最大，最大值为．【分析】(1)根据弧长公式和周长列方程得出关于的函数解析式；(2)根据面积公式求出关于的函数表达式，根据二次函数性质可得的最大值．(1)根据题意，弧的长度为米，弧的长度米，，．(2)依据题意，可知，化简得：，，当，．∴当时，y的值最大，且最大值为．答案第11页，共22页试卷第11页，共33页答案第11页，共22页试卷第11页，共33页 |
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