立体几何满分突破综合练习20讲

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立体几何 20 讲强化训练第 1 讲 平行与垂直 .................................................. 2第 2 讲 空间向量和空间直角坐标系 .................................... 9第 3 讲 空间中两直线所成的角 ....................................... 16第 4 讲 直线与平面所成的角 ......................................... 20第 5 讲 二面角 ..................................................... 25第 6 讲 体积公式与体积变换 ......................................... 32第 7 讲 外接球与内切球 ............................................. 38

第 8 讲 立体几何范围与最值问题 ..................................... 44第 9 讲 立体几何截面和交线问题 ..................................... 52第 10 讲 立体几何翻折与旋转问题 .................................... 61第 11 讲 非常规空间几何体为载体 .................................... 70第 12 讲 立体几何空间轨迹问题 ...................................... 77第 13 讲 立体几何空间角的大小比较 .................................. 83第 14 讲 立体几何存在性问题 ........................................ 87第 15 讲 立体几何折叠问题 .......................................... 91

第 16 讲 立体几何作图问题 .......................................... 96第 17 讲 立体几何建系繁琐问题 ..................................... 102第 18 讲 两角相等（构造全等）的立体几何问题 ....................... 105第 19 讲 利用传统方法找几何关系建系 ............................... 109第 20 讲 立体几何综合问题 ......................................... 117

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第1讲平行与垂直一．选择题（共11小题）1．对于任意的直线l与平面a，在平面a内必有直线m，使m与(l )A．平行B．垂直C．相交D．互为异面直线2．对于平面?和共面的直线m、n，下列命题中正确的是( )A．若m ??，m n?，则/ /n ?B．若/ /m ?，/ /n ?，则/ /m n

C．若m ??，/ /n ?，则/ /m nD．若m、n与?所成的角相等，则/ /m n3．已知m，n表示两条不同直线，?表示平面，下列说法正确的是( )A．若/ /m n，/ /m ?，则/ /n ? B．若m n?，n ??，则m ??C．若m ??，m n?，则/ /n ? D．若/ /m ?，n ??，则m n?4．设m，n是两条不同的直线，?，?是两个不同的平面( )

A．若m n?，/ /n ?，则m ?? B．若/ /m ?，? ??则m ??C．若/ /m n，n ??则m ?? D．若m n?，n ??，? ??，则m ??5．设a，b是异面直线，则以下四个命题：①存在分别经过直线a和b的两个互相垂直的平面；②存在分别经过直线a和b的两个平行平面；③经过直线a有且只有一个平面垂直于直线b；④经过直线a有且只有一个平面平行于直线b．其中正确的个数有( )A．1 B．2 C．3 D．4

6．已知?，?表示不同平面，则/ /? ?的充分条件是( )A．存在直线a，b，且a，b ??，/ /a ?，/ /b ?B．存在直线a，b，且a ??，b ??，/ /a ?，/ /b ?C．存在平面?，? ??，? ??D．存在直线a，a ??，a ??

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7．在正方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，E为棱CD的中点，则( )A．1 1AE DC? B．1AE BD? C．1 1AE BC? D．1AE AC?8．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )

A．B．C．D．9．如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线/ /MN平面ABC的是( )A．B．

C．D．10．如图是正方体的平面展开图．关于这个正方体，有以下判断：① ED与NF所成的角为60?② / /CN平面AFB③ / /BM DE④平面/ /BDE平面NCF其中正确判断的序号是( )

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A．①③ B．②③ C．①②④ D．②③④11．如图所示，正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的棱长为a，M，N分别为1AB和AC上的点，1 23aAM AN? ?，则MN与平面1 1BBC C的位置关系是( )

A．相交B．平行C．垂直D．不能确定二．填空题（共7小题）12．下列命题：①如果一个平面内有一条直线与另一个平面内的一条直线平行，那么这两个平面平行；②如果一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行；③平行于同一平面内的两个不同平面相互平行；④垂直于同一直线的两个不同平面相互平行．其中的真命题是（把正确的命题序号全部填在横线上）．

13．空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．若AC BD?，则四边形EFGH是．14．棱长为1的正方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，过A，B，C做正方体的截面，则截面的面积是．15．在长方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，经过其对角线1BD的平面分别与棱1AA、1CC相交于E，F两点，则四边形1EBFD的形状为

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16．如图所示是一个正方体的展开图，在原来的正方体中，有下列命题：① AB与EF所在的直线平行；② AB与CD所在的直线异面；③ MN与BF所在的直线成60?角；④ MN与CD所在的直线互相垂直．其中正确的命题是．

17．在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是．18．设有下列四个命题：1p：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．2p：过空间中任意三点有且仅有一个平面．3p：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．4p：若直线l ?平面?，直线m ?平面?，则m l?．则下述命题中所有真命题的序号是．

① 1 4p p?② 1 2p p?③ 2 3p p? ?④ 3 4p p? ??

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三．解答题（共7小题）19．如图，已知P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M为PB的中点，求证：/ /PD平面MAC．

20．如图所示，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M AC?，N FB?，且AM FN?，求证：/ /MN平面BCE．

21．如图，在四棱锥P ABCD?中，底面ABCD是正方形，侧棱PD ?底面ABCD，2PD DC? ?，E是PC的中点，作EF PB?交PB于点F．（1）证明：/ /PA平面EDB；（2）证明：PB ?平面EFD．

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22．如图，ABC?为正三角形，EC ?平面ABC，/ /BD CE，2CE CA BD? ?，N是EA的中点，求证：（1）DE DA?；（2）平面BDN ?平面ECA；（3）平面DEA?平面ECA．

23．如图所示，在三棱柱1 1 1ABC ABC?中，四边形1 1AAB B为矩形，平面1 1AAB B ?平面ABC，点E，F分别是侧面1 1AAB B，1 1BBC C对角线的交点．（1）求证：/ /EF平面ABC；（2）1BB AC?．

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24．如图，正三棱柱1 1 1ABC ABC?的高为6，其底面边长为2．已知点M，N分别是棱1 1AC，AC的中点，点D是棱1CC上靠近C的三等分点．求证：（1）1 / /B M平面1ABN；（2）AD ?平面1ABN．

25．直三棱柱1 1 1ABC ABC?中，1AC BC? ?，90ACB? ?，1 2AA ?，D是1 1AB中点．（1）求证1C D ?平面1AB；（2）当点F在1BB上什么位置时，会使得1AB ?平面1C DF？并证明你的结论．

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第2讲空间向量和空间直角坐标系一．选择题（共8小题）1．如图，在直三棱柱1 1 1ABC ABC?中，若1, ,CA a CB b CC c? ? ????? ???? ??????? ?，则1 (AB ????? )A．a b c? ??? ? B．a b c? ??? ? C．a b c? ? ??? ? D．a b c? ? ??? ?

2．空间四边形ABCD中，若向量( 3AB ? ?????，5，2)，( 7CD ? ?????，1?，4)?点E，F分别为线段BC，AD的中点，则EF????的坐标为( )A．(2，3，3) B．( 2?，3?，3)? C．(5，2?，1) D．( 5?，2，1)?

3．已知直线l的方向向量为( 1a ? ??，0，1)，点(1A，2，1)?在l上，则点(2P，1?，2)到l的距离为( )A．15 B．4 C．17 D．3 24．同时垂直于(2a ??，2，1)，(4b ??，5，3)的单位向量是( )A．1 2 2( , , )3 3 3?B．1 2 2( , , )3 3 3? ?C．1 1 2( , , )3 3 3?D．1 2 2( , , )3 3 3?或1 2 2( , , )3 3 3? ?

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5．已知正四面体ABCD的棱长为1，点E、F分别是AD、DC中点，则(EF AB ????? ????? )A．14 B．14? C．34 D．34?

6．如图所示，已知空间四边形OABC，OB OC?，且3AOB AOC ?? ?? ?，则cos OA? ????，BC ?????的值为( )A．33 B．0 C．12 D．227．三棱柱

1 1 1ABC ABC?的侧棱与底面垂直，1 1AA AB AC? ? ?，AB AC?，N是BC的中点，点P在1 1AB上，且满足1 1 1AP AB?????? ?????，当直线PN与平面ABC所成的角取最大值时，?的值为( )A．12 B．22 C．32 D．2 55

8．点P为底边长为2 3，高为2的正三棱柱表面上的动点，MN是该棱柱内切球的一条直径，则PM PN????? ?????取值范围是( )A．[0，2] B．[0，3] C．[0，4] D．[ 2?，2]

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二．填空题（共6小题）9．由空间向量基本定理可知，空间任意向量p?可由三个不共面的向量, ,a b c?? ?唯一确定地表示为p xa yb zc? ? ??? ? ?，则称(x，y，)z为基底, ,a b c? ??? ?下的广义坐标．特别地，当, ,a b c? ??? ?为单位正交基底时，(x，y，)z为直角坐标．设, ,i j k?? ?分别为直角坐标中x，y，z正方向上的单位向量，则空间直角坐标(1，2，3)在基底, ,i j i j k? ? ? ??? ? ? ?下的广义坐标为．10．在四棱锥P ABCD?中，设向量(4, 2,3)AB? ?????，( 4,1,0)AD? ?????，( 6,2, 8)AP? ? ?????，则顶点P到底面ABCD

的距离为11．在空间直角坐标系O xyz?中，若原点到平面3 2 1x y az? ? ?的距离等于17，则a的值为．12．空间直角坐标系xOy中，过点0(P x，0y，0)z且一个法向量为( , , )n a b c??的平面?的方程为0 0 0( ) ( ) ( ) 0a x x b y y c z z? ? ? ? ? ?，过点0(P x，0y，0)z且方向向量为( , , )( 0)n u v w uvw? ??的直线l的方程为0 0 0x x y y z zu v w? ? ?? ?，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面?的方程为1 0x y z? ? ? ?，直线l是两个平面2 0x y? ? ?与2 1 0x z? ? ?的交线，则直线l与平面?所成角的正弦值为．

13．已知点P是棱长为1的正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的底面1 1 1 1ABC D上一点（包括边界），则PA PC???? ?????的取值范围是．14．将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足1 12 2BP BA BC BD? ? ????? ???? ???? ????，则2| |BP????的值为．

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三．解答题（共10小题）15．已知3 2 4 0a m n p? ? ? ?? ? ? ?，( 1) 8 2b x m n yp? ? ? ?? ? ? ?，且m?、n?、p?不共面，若/ /a b??，求x，y的值．16．已知向量(1a ??，3?，2)，( 2b ? ??，1，1)，点( 3A ?，1?，4)，( 2B ?，2?，2)．（1）求：| 2 |a b? ??；（2）在直线AB上，是否存在一点E，使得OE b????? ?？(O为原点）

17．三棱锥O ABC?中M、N分别是OA、BC的中点，G是ABC?的重心，用基向量OA????、OB????、OC????表示MG?????，OG????．

18．如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点．（1）求证：MN AB?，MN CD?；（2）求MN的长．

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19．如图，在四棱锥M ABCD?中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且AM和AB、AD的夹角都是60?，N是CM的中点，设a AB??????，b AD? ?????，c AM? ??，试以a?，b?，c?为基向量表示出向量BN????，并求BN的长．

20．如图：ABCD为矩形，PA?平面ABCD，1PA AD? ?，2AB ?，M、N分别是PC、AB中点，请选择适当的坐标系证明：MN ?平面PCD．

21．如图，平行四边形ABCD中，60DAB? ? ?，2AB?，4AD ?；将CBD?沿BD折起到EBD?的位置，使平面EBD ?平面ABD．（1）求证：AB DE?；（2）若点F为BE的中点，求直线AF与平面ADE所成角正弦值．

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22．如图四棱锥P ABCD?中，底面ABCD是平行四边形，PG ?平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且4PG ?，13AG GD?，BG GC?，2GB GC? ?，E是BC的中点．（1）求异面直线GE与PC所成的角的余弦值；（2）求点D到平面PBG的距离；（3）若F点是棱PC上一点，且DF GC?，求PFFC的值．

23．如图（1），等腰Rt ABC?中，90ABC? ? ?，4AB ?，以AC边上的中线BD为折痕，将ABD?沿BD折起，构成二面角A BD C? ?，在平面BCD内作CE CD?，且2CE ?，连DE，AE，AC，如图（2）所示．（1）求证：/ /CE平面ABD；（2）如果二面角A BD C? ?为直二面角，求二面角B AC E? ?的余弦值．

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24．如图，平行六面体1 1 1 1ABCD ABC D?中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两夹角为60?．（1）求1AC的长；（2）求1BD与AC夹角的余弦值．

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第3讲空间中两直线所成的角一．选择题（共8小题）1．空间四边形ABCD的两对边3AB CD? ?，E、F分别是AD、BC上的点，且7EF ?，: : 1:2AE ED BF FC? ?，则AB与CD所成角大小为( )A．30? B．45? C．60? D．90?2．在正方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，E、F分别是棱AB、1BB的中点，则1AE与CF所成角的余弦值为( )A．12 B．22 C．215 D．25

3．过正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的顶点A的平面?与直线1AC垂直，且平面?与平面1 1ABB A的交线为直线l，平面?与平面1 1ADD A的交线为直线m，则直线l与直线m所成角的大小为( )A．6? B．4? C．3? D．2?4．已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为( )

A．36 B．63 C．22 D．05．如图，在直三棱柱1 1 1ABC ABC?中，1AB BC AA? ?，90ABC? ? ?，点E、F分别是棱AB、1BB的中点，则直线EF和1BC所成角的度数是( )A．30? B．45? C．60? D．90?

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6．如图，在长方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，2AB ?，3BC ?，1 6AA ?，则异面直线1AB与1BC所成角的大小为( )A．60? B．45? C．30? D．15?

7．在直三棱柱1 1 1ABC ABC?中，1AB BC AA? ?，90ABC? ? ?，点E，F分别是棱AB，1BB的中点，则直线EF和1AC所成角的余弦值是( )A．24 B．23 C．63 D．668．在直三棱柱1 1 1ABC ABC?中，1 2AC AA? ?，90ACB? ? ?，点E，F分别是棱AB，1BB的中点，当二面角1 1C AA B? ?为45?时，直线EF与1BC的夹角为( )A．60? B．45? C．90? D．120?

二．填空题（共6小题）9．平面a过正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的棱1AA，/ /a平面1 1BB DD，a?平面ABCD m?，则直线m与直线1BC所成角的正弦值为．10．图，E，F分别是三棱锥P ABC?的棱AP，BC的中点，10PC ?，6AB ?，7EF ?，则异面直线AB与PC所成的角为．

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11．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A BD C? ?，① AB与平面BCD所成角的大小为60?；② ACD?是等边三角形；③ AB与CD所成的角为60?；④ AC BD?；⑤二面角B AC D? ?为120?．则上面结论正确的为．

12．在正四棱柱1 1 1 1ABCD ABC D?中，1AB BC? ?，1 2AA ?，P，Q分别是线段1C D与AC上的动点，则异面直线CD与AC所成角的余弦值为，线段PQ的长度的最小值为．13．如图，长方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，1 2AA AB? ?，1AD ?，点E、F、G分别是1DD、AB、1CC的中点，则异面直线1AE与GF所成的角的余弦值是．

14．如图，长方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，1 2AA AB? ?，1AD ?，E，F，G分别是1DD，AB，1CC的中点，则异面直线1AE与GF所成角为．

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三．解答题（共4小题）15．空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，AD BC?，且4AD ?，6BC ?，求异面直线EF与BC所成角的大小．

16．四面体A BCD?的棱长均为a，E、F分别为棱AD、BC的中点，求异面直线AF与CE所成的角的余弦值．17．长方体

1 1 1 1ABCD ABC D?中，已知AB a?，BC b?，1AA c?，且a b?，求：（1）下列异面直线之间的距离：AB与1CC；AB与1 1AC；AB与1BC．（2）异面直线1D B与AC所成角的余弦值．18．如图所示，在三棱柱1 1 1ABC ABC?中，1AA ?底面ABC，1AB BC AA? ?，90ABC? ? ?，点E、F分别是棱AB、1BB的中点，求异面直线EF和1BC所成的角的余弦值．

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第4讲直线与平面所成的角一．选择题（共2小题）1．正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的棱长为6，点O在BC上，且BO OC?，过点O的直线l与直线1AA，1 1C D分别交于M，N两点，则MN与面1 1ADD A所成角的正弦值为( )A．23 B．32 C．22 D．332．在正方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，点O为底面ABCD的中心，点P为线段1CC的中点，则直线OP与平面

1ABD所成角的大小为( )A．30? B．45? C．60? D．90?3．如图，在长方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，已知2AB ?，1 1BC BB? ?，则直线1AB与平面1 1ABCD所成角的正弦值是．

4．在直角梯形ABCD中，/ /AD BC，90A? ? ?，2AB AD?，若将ABD?沿直线BD折成△A BD?，使得A D BC? ?，则直线A B?与平面BCD所成角的正弦值是．5．已知长方体

1 1 1 1ABCD ABC D?中，4AB BC? ?，1 2CC ?，则直线1BC和平面1 1DBB D所成角的正弦值为．

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6．ABC?和DBC?所在的平面互相垂直，且AB BC BD? ?，60CBA DBC? ?? ? ?，则AD与平面BCD所成角的余弦值为．7．已知ABC?和DBC?所在的平面互相垂直，且AB BC BD? ?，120CBA DBC? ?? ? ?，则AB与平面ADC所成角的正弦值为．8．如图，90BAD? ? ?的等腰直角三角形ABD与正三角形CBD所在平面互相垂直，E是BC的中点，则AE与平面BCD所成角的大小为．

9．P是直角三角形ABC所在平面外一点，已知三角形的边长3AB ?，4BC ?，90ABC? ? ?，4PA PB PC? ? ?，则直线PB与平面ABC所成角的余弦值为．三．解答题（共7小题）10．已知平面a外两点A、B到平面a的距离分别为1和2，A、B两点在平面a内的射影之间的距离为3，求直线AB和平面a所成的角．

11．如图，在直角三角形ABC中，90B? ? ?，P为三角形ABC所在平面外的一点，PA?平面ABC，若1PA?，3AB ?，2 2PC ?．( )I求直线PB与平面ABC所成的角（Ⅱ）求直线PC与平面PAB所成的角．（Ⅲ）求直线AB和平面PAC所成角的正弦值．

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12．如图，在四棱锥A BCDE?中，平面ABC ?平面BCDE，90CDE BED? ?? ? ?，2AB CD? ?，1DE BE? ?，2AC ?，F为AD的中点．（Ⅰ）求证：/ /EF平面ABC；（Ⅱ）求证：AC ?平面BCDE；（Ⅲ）求直线AE与平面ABC所成角的正切值．

13．如图，已知三棱柱1 1 1ABC ABC?的底面是正三角形，侧面1 1BBC C是矩形，M，N分别为BC，1 1BC的中点，P为AM上一点．过1 1BC和P的平面交AB于E，交AC于F．（1）证明：1 / /AA MN，且平面1A AMN ?平面1 1EBC F；（2）设O为△1 1 1ABC的中心．若/ /AO平面1 1EBC F，且AO AB?，求直线1B E与平面1A AMN所成角的正弦值．

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14．如图，已知三棱柱1 1 1ABC ABC?的侧面1 1BCC B为矩形，2AB AC? ?，2BC ?，D，E分别为BC、1 1BC的中点，过BC作平面?分别交1 1AB、1AE、1 1AC于点M、F、N．（1）求证：平面BCNM ?平面1AAED．（2）若Q为线段AD上一点，3AD AQ?，1 / /AQ平面BCNM．则当1| |AQ为何值时直线BM与平面1AAED所成角的正弦值为13．（请说明理由）

15．如图，已知三棱柱1 1 1ABC ABC?的侧棱与底面垂直，1 2AA AB AC? ? ?，2 2BC ?，M，N分别是1CC，BC的中点，点P在直线1 1AB上，且1 1 1AP AB?????? ?????．（Ⅰ）证明：无论?取何值，总有AM PN?；（Ⅱ）当?取何值时，直线PN与平面ABC所成的角?最大？并求该角取最大值时的正切值．

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16．如图，已知三棱柱1 1 1ABC ABC?的侧棱与底面垂直，1 1AA AB AC? ? ?，AB AC?，M、N分别是1CC，BC的中点，点P在线段1 1AB上，且1 1 1AP AB?????? ?????（1）证明：无论?取何值，总有AM PN?；（2）当12? ?时，求直线PN与平面ABC所成角的正切值．

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第5讲二面角一．选择题（共7小题）1．在边长为1的菱形ABCD中，60ABC? ? ?，将菱形沿对角线AC折起，使折起后1BD ?，则二面角B AC D? ?的余弦值为( )

A．13 B．12 C．2 23 D．322．已知矩形ABCD的两边3AB ?，4AD ?，PA?平面ABCD，且45PA?，则二面角A BD P? ?的正切值为( )

A．12 B．13 C．12? D．13?3．在平面?内，已知AB BC?，过直线AB，BC分别作平面?，?，使锐二面角AB? ?? ?为3?，锐二面角BC? ?? ?为3?，则平面?与平面?所成的锐二面角的余弦值为( )A．14 B．34 C．12 D．34

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4．如图，60?的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知4AB ?，6AC ?，8BD ?，则CD的长为( )A．17 B．7 C．2 17 D．9

5．二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知4AB ?，6AC ?，8BD ?，2 17CD ?，则该二面角的大小为( )A．150? B．45? C．60? D．120?6．设二面角a? ?? ?的大小是60?，P是二面角内的一点，P点到?，?的距离分别为1cm，2cm，则点P到棱a的距离是( )A．2 213 cm B．213 cm C．23cm D．4 213 cm

7．正四棱锥相邻两个侧面所成的二面角的平面角为?，侧面与底面的二面角的平面角为?，则2cos cos2? ??的值是( )A．1 B．2 C．1? D．328．已知四棱锥P ABCD?的底面是正方形，PA?平面ABCD，且PA AD?，则平面PAB与平面PCD所成的二面角的度数为．

第27页 共122页

9．如图所示的正方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，过顶点B、D、1C作截面，则二面角1B DC C? ?的平面角的余弦值是．10．将直角三角形ABC沿斜边上的高AD折成120?的二面角，已知直角边4 3, 4 6AB AC? ?，那么二面角A BC D? ?的正切值为．

11．已知二面角a? ?? ?等于120?，二面角内一点P满足，PA ??，A ??，PB ??，B ??．4PA?，6PB ?．则点P到棱a的距离为．三．解答题（共10小题）12．如图，四棱锥V ABCD?中，底面ABCD是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，E、F分别为AB、VC的中点．（1）求证：/ /EF平面VAD；（2）求二面角V AB C? ?的大小．

第28页 共122页

13．如图，在四面体ABCD中，D在平面ABC的射影O为棱AB的中点，E为棱BD的中点，过直线OE作一个平面与平面ACD平行，且与BC交于点F，已知5AC BC? ?，2AO DO? ?．（1）证明：F为线段BC的中点；（2）求平面ACD与平面DOF所成锐二面角的余弦值．

14．已知四棱锥P ABCD?中，底面ABCD是矩形，PA?平面ABCD，1AP AD? ?，2AB ?，E、F分别是AB、PD的中点．（1）求证：/ /AF平面PEC；（2）求PC与平面ABCD所成角的大小；（3）求二面角P EC D? ?的大小．

15．如图所示，四棱锥P ABCD?的底面ABCD是边长为1的菱形，60BCD? ? ?，E是CD的中点，PA?底面ABCD，3PA?．（1）证明：平面PBE ?平面PAB；（2）求异面直线PC与BD所成的角（3）求二面角A BE P? ?的大小．

第29页 共122页

16．如图甲，直角梯形ABCD中，/ /AB CD，2DAB ?? ?，点M、N分别在AB，CD上，且MN AB?，MC CB?，2BC ?，4MB ?，现将梯形ABCD沿MN折起，使平面AMND与平面MNCB垂直（如图乙）．（Ⅰ）求证：/ /AB平面DNC；（Ⅱ）当32DN ?时，求二面角D BC N? ?的大小．

17．如图，正方形ABCD的边长为2，将四条边对应的等腰三角形折起构成一个正四棱锥P ABCD?．（1）当Q为PC为中点时，证明/ /PA平面BDQ；（2）当等腰三角形的腰长为多少时，异面直线PA与BC所成的角为60?；（3）当侧棱与底面所成的角为60?时，求相邻两个侧面所成的二面角的余弦值．

18．已知，PA垂直于正方形ABCD所在平面，且PA AB?．（1）求平面PDC与平面ABCD所成二面角的大小；（2）求二面角B PC D? ?的大小；（3）求二面角A PB C? ?的大小；（4）求平面PAC与平面PCD所成二面角的大小．

第30页 共122页

19．如图，在棱长为2的正方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，1 1AB，1 1AD的中点，点P，Q分别在棱1DD，1BB上移动，且(0 2)DP BQ ? ?? ? ? ?．（Ⅰ）当1? ?时，证明：直线1 / /BC平面EFPQ；（Ⅱ）是否存在?，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出?的值；若不存在，说明理由．

20．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形．（Ⅰ）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；（Ⅱ）用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体1 1 1 1ABCD ABC D?？试画出图形；（Ⅲ）在（Ⅱ）的情形下，设正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的棱1CC的中点为E，求平面1AB E与平面ABCD所成二面角的余弦值．

第31页 共122页

21．如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE ?平面ABCD，90BAD ADC? ?? ? ?，1 12AB AD CD? ? ?．（1）若M为PA中点，求证：/ /AC平面MDE；（2）若平面PAD与PBC所成的锐二面角的大小为3?，求线段PD的长度．

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第6讲体积公式与体积变换一．填空题（共2小题）1．在正三棱锥A BCD?中，E、F是AB、BC的中点，EF DE?，若BC a?，则正三棱锥A BCD?的体积为．2．已知两平行平面?、?间的距离为2 3，点A、B ??，点C、D ??，且4AB ?，3CD ?，若异面直线AB与CD所成角为60?，则四面体ABCD的体积为．

二．解答题（共15小题）3．如图，四棱锥P ABCD?中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，12AB BC AD? ?，90BAD ABC? ?? ? ?．（1）证明：直线/ /BC平面PAD；（2）若PCD?面积为2 7，求四棱锥P ABCD?的体积．

4．如图，在三棱锥P ABC?中，PA AB?，PA BC?，AB BC?，2PA AB BC? ? ?，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（1）求证：PA BD?；（2）求证：平面BDE ?平面PAC；（3）当/ /PA平面BDE时，求三棱锥E BCD?的体积．

第33页 共122页

5．如图四面体ABCD中，ABC?是正三角形，AD CD?．（1）证明：AC BD?；（2）已知ACD?是直角三角形，AB BD?，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE EC?，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．

6．如图，在四棱锥P ABCD?中，/ /AB CD，且90BAP CDP? ?? ? ?（1）证明：平面PAB ?平面PAD．（2）若PA PD AB DC? ? ?，90APD? ? ?，四棱锥P一ABCD的体积为9，求四棱锥P ABCD?的侧面积

7．如图，已知正三棱锥P ABC?的侧面是直角三角形，6PA?，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．

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8．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE CF?，EF交BD于点H，将DEF?沿EF折到△D EF?的位置．（Ⅰ）证明：AC HD? ?；（Ⅱ）若5AB ?，6AC ?，54AE ?，2 2OD??，求五棱锥D ABCFE??体积．

9．如图，三棱锥A BCD?中，AB ?平面BCD，CD BD?．（Ⅰ）求证：CD ?平面ABD；（Ⅱ）若1AB BD CD? ? ?，M为AD中点，求三棱锥A MBC?的体积．

10．如图，ABC?和BCD?所在平面互相垂直，且2AB BC BD? ? ?，120ABC DBC? ?? ? ?，E、F、G分别为AC、DC、AD的中点，连接CG、EF、BG．（1）求证：EF ?平面BCG；（2）求三棱锥D BCG?的体积．

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11．如图，四棱锥P ABCD?中，底面是以O为中心的菱形，PO ?底面, 2, ,3ABCD AB BAD M?? ? ?为BC上一点，且12BM ?．（1）证明：BC ?平面POM；（2）若MP AP?，求四棱锥P ABCD?的体积．

12．如图，四棱锥P ABCD?中，底面ABCD为矩形，PA?平面ABCD，E为PD的中点．（1）证明：/ /PB平面AEC；（2）设1AP ?，3AD ?，三棱锥P ABD?的体积33V ?，求A到平面PBC的距离．

13．如图，三棱柱1ABC A? 1 1BC中，CA CB?，1AB AA?，1 60BAA? ? ?．（1）证明：1AB AC?；（2）若2AB CB? ?，1 6AC ?，求三棱锥C A? 1BC的体积．

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14．如图，在三棱柱1 1 1ABC ABC?中，O为AB的中点，CA CB?，1AB AA?，1 60BAA? ? ?．（Ⅰ）证明：AB ?平面1AOC；（Ⅱ）若2AB CB? ?，1OA OC?，求三棱锥1A ABC?的体积．

15．如图，直四棱柱1 1 1 1ABCD ABC D?中，/ /AB CD，AD AB?，2AB ?，2AD ?，1 3AA ?，E为CD上一点，1DE ?，3EC ?（1）证明：BE ?平面1 1BBC C；（2）求三棱锥1 1 1B EAC?的体积．

16．如图，在直四棱柱1 1 1 1ABCD ABC D?中，底面ABCD为梯形，/ /AB CD，60BAD? ? ?，1CD ?，2AD ?，4AB ?，点G在线段AB上，3AG GB?，1 1AA ?．（1）证明：1 / /DG平面1 1BBC C；（2）求点C到平面1DC G的距离．

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17．如图所示，在直四棱柱ABCD A B C D? ? ? ??中，底面ABCD为直角梯形，/ /AB CD，AD AB?．连接BD?，AC，已知2AB ?，4CD ?，3AD ?，E为线段DD?上的一点，且满足E为线段DD?上的一点，且满足23ED DD??．（1）证明：/ /BD?平面EAC；（2）若该四棱柱高为92，AC BD O??，M为OD?的中点，求三棱锥的M ACE?体积．

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第7讲外接球与内切球一．选择题（共14小题）1．在三棱锥P ABC?中，平面PAB ?平面ABC，ABC?是边长为6的等边三角形，且直线PA与平面ABC?所成角的正切值为2．若三棱锥P ABC?的外接球的表面积为52?，则该三棱锥的体积为( )A．6 3 B．12 3 C．6 D．122．已知四棱锥M ABCD?，MA?平面ABCD，AB BC?，180BCD BAD? ?? ? ?，2MA?，2 6BC ?，30ABM? ? ?．若四面体MACD的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )

A．20? B．22? C．40? D．44?3．已知四棱锥S ABCD?，SA?平面ABCD，AB BC?，BCD DAB ?? ?? ?，2SA?，2 63BC ?，二面角S BC A? ?的大小为3?．若四面体SACD的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A．4 2? B．4? C．8? D．16?4．三棱柱1 1 1ABC ABC?的侧棱垂直于底面，且AB BC?，4AB BC? ?，1 6AA ?，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )

A．68? B．32? C．17? D．164?5．三棱柱1 1 1ABC ABC?的侧棱垂直于底面，且2AB BC? ?，1 2AC AA? ?，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A．48? B．32? C．12? D．8?6．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方等于10，三棱柱1 1 1ABC ABC?的侧棱垂直于底面，且2AB BC? ?，AB BC?，

1 2AA ?，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，利用张衡的结论可得该球的表面积为( )A．8 B．8 10 C．12 D．12 10

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7．如图，四面体ABCD中，面ABD和面BCD都是等腰Rt△，2AB ?，2BAD CBD ?? ?? ?，且二面角A BD C? ?的大小为23?，若四面体ABCD的顶点都在球O上，则球O的表面积为( )A．223? B．283? C．2? D．23?

8．如图，四面体ABCD中，面ABD和面BCD都是等腰Rt△，2AB ?，2BAD CBD ?? ?? ?，且二面角A BD C? ?的大小为56?，若四面体ABCD的顶点都在球O上，则球O的表面积为( )A．12 ?? B．20? C．24? D．36 ??

9．在棱长为1的正方体1 1 1 1ABCD ABC D?内有两个球1O，2O相外切，球1O与面1 1ABB A、面ABCD、面1 1ADD A相切，球2O与面1 1BCC B、面1 1CC D D、面1 1 1 1BC D A相切，则两球表面积之和的最大值与最小值的差为( )A．(2 3)?? B．(2 3)2 ?? C．(3 3)?? D．(3 3)2 ??

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10．已知三棱锥P ABC?的所有顶点都在球O的球面上，ABC?满足2 2, 90AB ACB? ? ? ?，PA为球O的直径且4PA?，则点P到底面ABC的距离为( )A．2 B．2 2 C．3 D．2 311．如图，半径为R的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆锥的体积之和为球的体积的38，则这两个圆锥高之差的绝对值为( )

A．2R B．23R C．43R D．R12．已知三棱锥P ABC?所有顶点都在球O的球面上，底面ABC?是以C为直角顶点的直角三角形，2 2AB ?，3PA PB PC? ? ?，则球O的表面积为( )A．9? B．94? C．4? D．?13．已知三棱锥P ABC?的所有顶点都在球O的球面上，ABC?是边长为2的正三角形，PA，PB，PC

两两垂直，则球O的体积为( )A．32? B．3? C．3? D．4 3?14．已知三棱锥P ABC?的所有顶点都在球O的球面上，PC是球O的直径．若平面PCA?平面PCB，PA AC?，PB BC?，三棱锥P ABC?的体积为a，则球O的体积为( )A．2 a? B．4 a? C．23 a? D．43 a?

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二．填空题（共11小题）15．有下列命题：①边长为1的正四面体的内切球半径为612；②正方体的内切球、棱切球（正方体的每条棱都与球相切）、外接球的半径之比为1: 2 : 3；③棱长为1的正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的内切球被平面1ABD截得的截面面积为6?．其中正确命题的序号是（请填所有正确命题的序号）；

16．已知正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的棱长为1，给出下列四个命题：①对角线1AC被平面1ABD和平面1 1BCD三等分；②正方体的内切球、与各条棱相切的球、外接球的表面积之比为1: 2:3；③以正方体的顶点为顶点的四面体的体积都是16；④正方体与以A为球心，1为半径的球在该正方体内部部分的体积之比为6:?其中正确命题的序号为．

17．已知四面体ABCD满足：1AB BC CD DA AC? ? ? ? ?，2BD ?，则四面体ABCD外接球的表面积为．18．在三棱锥P ABC?中，平面PAB ?平面ABC，ABC?是边长为6的等边三角形，PAB?是以AB为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为．19．已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，/ /AD BC，2AB DC AD? ? ?，4BC ?，PA PD?，平面PAD ?平面ABCD，则球O的表面积为

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20．在平行四边形ABCD中，BD CD?，AB BD?，2AB CD? ?，2 2BD ?．沿BD把ABD?翻折起来，形成三棱锥A BCD?，且平面ABD ?平面BCD，则该三棱锥外接球的体积为．21．一个三棱锥A BCD?内接于球O，且3AD BC? ?，4AC BD? ?，13AB CD? ?，则球心O到平面ABC的距离是．22．如图为棱长为1的正方体，若正方体内有两个球相外切且又分别与正方体相切，则两球半径之和为．

23．已知正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的棱长为1，正方体内衣球1O与面ABCD，1 1BCC B，1 1ABB A均相切，正方体内另一球2O与面1 1ADD A，1 1 1 1ABC D，1 1CDDC均相切，且两球外切，那么两球表面积之和的最小值是．24．一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，圆锥圆锥底面面积是这个球面面积的316，设球的半径为R，圆锥底面半径为r．则两个圆锥的体积之和与球的体积之比为．

25．已知三棱锥P ABC?的所有顶点都在球O的球面上，90BAC? ? ?，2 2AB AC? ?，2PA?，PAC PAB? ??，则当球O的表面积最小时，三棱锥P ABC?的体积为．

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三．解答题（共1小题）26．如图所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切，求两球半径之和．

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第8讲立体几何范围与最值问题一．选择题（共34小题）1．在空间中有一棱长为a的正四面体，其俯视图的面积的最大值为( )A．2a B．22a C．234a D．24a2．已知三棱锥P ABC?的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC?满足3AB BC? ?，3AC ?，若该三棱锥体积的最大值为3 34，则其外接球的半径为( )A．1 B．2 C．3 D．23

3．已知三棱锥A BCD?的四个顶点在以AB为直径的球面上，BC CD?，CE BD?于E，1CE ?，若三棱锥A BCD?的体积的最大值为43，则该球的表面积为( )A．12? B．14? C．16? D．18?4．已知球的直径4DC ?，A，B是该球面上的两点，30ADC BDC? ?? ? ?，则三棱锥A BCD?的体积最大值是( )A．2 B．2 3 C．4 D．3 35．如图，正三棱锥P ABC?的侧棱长为a，两侧棱PA、PC的夹角为30?，E、F分别是PA、PC上的动点，则BEF?的周长的最小值是( )

A．2a B．3a C．6a D．5a6．在正三棱锥P ABC?中，PA，PB，PC两两垂直，2PA?，点E在线段AB上，且2AE EB?，过点E作该正三棱锥外接球的截面，则所得截面圆面积的最小值是( )A．89? B．1118? C．512? D．49?7．如图，在棱长为2的正方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，点M是AD的中点，动点P在底面ABCD内（不包括边界）．若1 / /B P平面1ABM，则1C P的最小值是( )

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A．305 B．2 305 C．2 75 D．4 758．在棱长为1的正方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，点1P，2P分别是线段AB，1BD（不包括端点）上的动点，且线段1 2PP平行于平面1 1A ADD，则四面体2 1 1P APB?的体积的最大值是( )A．124 B．112 C．16 D．129．棱长为1的正方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，点1P，2P分别是线段AB，1BD（不包括端点上的动点，且线段1 2PP平行于平面1 1A ADD，则四面体1 2 1PP AB的体积的最大值是( )A．124 B．112 C．16 D．1210．若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球

表面积最小时，它的高为( )A．3 B．2 2 C．2 3 D．3 311．已知正四棱锥S ABCD?中，2 3SA?，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为( )A．1 B．3 C．2 D．312．已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若2AB CD? ?，则四面体ABCD的体积的最大值为( )A．2 33 B．4 33 C．2 3 D．8 3313．如图所示，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O．E，F，G，H

为圆O上的点，EAB?，FBC?，GCD?，HDA?分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起EAB?，FBC?，GCD?，HDA?，使得E，F，G，H重合，得到四棱锥．当正方形ABCD的边长变化时，所得四棱锥体积（单位：3)cm的最大值为( )

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A．3 3 B．8 53 C．3 5 D．16 5314．如图1，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O．点E，F，G，H为圆O上的点，ABE?，BCF?，CDG?，ADH?分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起ABE?，BCF?，CDG?，ADH?，使得E，F，G，H重合得到一个四棱锥P ABCD?（如图2)．当四棱锥P ABCD?的侧面积是底面积的2倍时，异面直线PB与CD所成角的余弦值为( )

A．55 B．22 C．2 55 D．2 3315．如图，在三棱锥P ABC?中，PA?底面ABC，90ACB? ? ?，AE PB?于E，AF PC?于F，若2PA AB? ?，BPC ?? ?，则当AEF?的面积最大时，tan?的值为( )

A．2 B．12 C．2 D．2216．正方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，点P在1AC上运动（包括端点），则BP与1AD所成角的取值范围是( )A．[4?，]3? B．[4?，]2? C．[6?，]2? D．[6?，]3?17．已知AD与BC是四面体ABCD中相互垂直的棱，若6AD BC? ?，且60ABD ACD? ?? ? ?，则四面体

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ABCD的体积的最大值是( )A．18 2 B．36 2 C．18 D．3618．在直四棱柱1 1 1 1ABCD ABC D?中，底面ABCD为菱形，E，F分别是1BB，1DD的中点，G为AE的中点且3FG ?，则EFG?的面积的最大值为( )A．32 B．3 C．2 3 D．9 3419．在正四棱锥S ABCD?中，SO ?平面ABCD于O，2SO ?，底面边长为2，点P，Q分别在线段BD，SC上移动，则PQ两点的最短距离为( )A．55 B．2 55 C．2 D．1

20．已知二面角l? ?? ?为60?，动点P，Q分别在面?，?内，P到?的距离为3，Q到?的距离为2 3，则P，Q两点之间距离最小值为( )A．2 B．2 C．4 D．2 321．如果/ /? ?，AB与AC是夹在平面?与?之间的两条线段，AB AC?且2AB ?，直线AB与平面?所成的角为30?，那么线段AC长的取值范围是( )A．2 3( 3，4 3)3 B．[1，)?? C．2 3(1, )3 D．2 3[ 3，)??22．正三棱柱1 1 1ABC ABC?中，各棱长均为2，M为1AA中点，N为BC的中点，则在棱柱的表面上从点M到点N的最短距离是( )

A．10 B．11 C．4 3? D．4 2?23．在长方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，2AB ?，1 1BC AA? ?，点M为1AB的中点，点P为对角线1AC上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P、Q可以重合），则MP PQ?的最小值为( )A．22 B．32 C．34 D．124．在ABC?中，90ACB? ? ?，2BC ?，3AC ?，点D在斜边AB上，以CD为棱把它折成直二面角A CD B? ?，折叠后AB的最小值为( )A．6 B．7 C．2 2 D．325．在平面四边形ABCD中，2AD AB? ?，5CD CB? ?，且AD AB?，现将ABD?沿着对角线BD翻

折成△A BD?，则在△A BD?折起至转到平面BCD内的过程中，直线AC?与平面BCD所成的最大角为()

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A．30? B．45? C．60? D．90?26．已知三棱锥ABCD中，AB CD?，且AB与平面BCD成60?角．当BCDACDSS??的值取到最大值时，二面角A CD B? ?的大小为( )A．30? B．45? C．60? D．90?27．已知三棱锥P ABC?的所有顶点都在表面积为16?的球O的球面上，AC为球O的直径，当三棱锥P ABC?的体积最大时，设二面角P AB C? ?的大小为?，则sin (? ? )A．23 B．53 C．63 D．7328．在正方体

1 1 1 1ABCD ABC D?中，2AB ?，P是底面正方形ABCD内一点，M是1CC中点若1PA，PM与底面所成角相等，则1tan APA?最大值为( )A．2 B．3 C．3 24 D．3 3429．已知ABC?的顶点A?平面?，点B，C在平面?同侧，且2AB ?，3AC ?，若AB，AC与?所成角分别为3?，6?，则线段BC长度的取值范围为( )

A．[2 3?，1] B．[1，7] C．[ 7，7 2 3]? D．[1，7 2 3]?30．如图，空间直角坐标系Oxyz中，正三角形ABC的顶点A，B分别在xOy平面和z轴上移动．若2AB ?，则点C到原点O的最远距离为( )

A．3 1? B．2 C．3 1? D．331．棱长为2的正方体1 1 1 1ABCD ABC D?在空间直角坐标系中移动，但保持点A、B分别在x轴、y轴上移

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动，则点1C到原点O的最远距离为( )A．2 2 B．2 3 C．5 D．432．如图在棱长为2的正方体1 1 1 1ABCD ABC D?中E为BC的中点，点P在线段1D E上，点P到直线1CC的距离的最小值为( )

A．5 B．2 55 C．52 D．5533．若点A，B，C是半径为2的球面上三点，且2AB ?，则球心到平面ABC的距离最大值为( )A．22 B．32 C．2 D．334．二面角l? ?? ?的平面角为120?，在面?内，AB l?于B，2AB ?在平面?内，CD l?于D，3CD ?，1BD ?，M是棱l上的一个动点，则AM CM?的最小值为( )A．6 B．32 C．26 D．5二．多选题（共1小题）35．已知三棱锥A BCD?中，BC CD?，2AB AD? ?，1BC ?，3CD ?，则( )

A．三棱锥的外接球的体积为43?B．三棱锥的外接球的体积为83?C．三棱锥的体积的最大值为36D．三棱锥的体积的最大值为3三．填空题（共14小题）36．已知三棱锥A BCD?满足3AB BD DC CA? ? ? ?，则该三棱锥体积的最大值为．37．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC?为等边三角形且其面积为9 3，则三棱锥D ABC?体积的最大值为．

38．点P在正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的侧面1 1BCC B及其边界上运动，并保持1AP BD?，若正方体边长为2，则| |PB的取值范围是．

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39．如图，在棱长为2的正方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，点M是AD中点，动点P在底面ABCD内（不包括边界），使四面体1ABMP体积为23，则1C P的最小值是．40．棱长为1的正方体ABCD EFGH?如图所示，M，N分别为直线AF，BG上的动点，则线段MN长

度的最小值为．41．如图，在棱长为1的正方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，点P是线段1BD上的动点．当PAC?在平面1DC，1BC，AC上的正投影都为三角形时，将它们的面积分别记为

1S，2S，3S．( )i当33BP ?时，1S 2S（填“?”或“?”或“?”)；1 2 3( )ii S S S? ?的最大值为．42．在棱长为1的正方体

1 1 1 1ABCD ABC D?中，点M是棱AD的中点，点P是线段1CD上的动点，点Q是线段CM上的动点，设直线PQ与平面ABCD所成的角为?，则tan?的最大值为．43．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D，E，F为圆O上的点，DBC?，ECA?，FAB?分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC?，ECA?，FAB?，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当所得三棱

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锥体积（单位：3)cm最大时，ABC?的边长为( )cm．44．在棱长为1的正方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，E为线段1BC的中点，F是棱1 1C D上的动点，若点P为线段1BD上的动点，则PE PF?的最小值为．

45．在正方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，M为棱1AA的中点，且9 2MC ?，点P为底面1 1 1 1ABC D所在平面上一点，若直线PM，PC与底面1 1 1 1ABC D所成的角相等，则动点P的轨迹所围成的几何图形的面积为．46．如图，在棱长为2的正方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，E为BC的中点，点P在线段1D E上，点Q在线段1CC上，则线段PQ长的最小值为．

47．如图，正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的棱长为a，点E为1AA的中点，在对角面1 1BB D D上取一点M，使AM ME?最小，其最小值为．

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48．已知正四面体ABCD的棱长为1，M为AC的中点，P在线段DM上，则2( )AP BP?的最小值为．49．在棱长均为1的正四面体ABCD中，M为AC的中点，P为DM上的动点，则PA PB?的最小值为．四．解答题（共1小题）50．如图所示，正三棱锥A BCD?的底面边长为a，侧棱长为2a，点E，F分别为AC、AD上的动点，求截面BEF?周长的最小值和这时点E，F的位置第9讲立体几何截面和交线问题

一．选择题（共13小题）1．在棱长为2的正方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，E，F分别为1 1AD，1 1DC的中点，则过B，E，F三点的平面截该正方体，所得截面的周长为( )A．5 2 B．6 2 C．2 2 13? D．2 4 13?2．已知圆2 2:( 2) 4M x y? ? ?，过点(1,1)的直线中被圆M截得的最短弦长为2 2，类比上述方法：设球O是棱长为4的正方体的外接球，过该正方体的棱的中点作球O的截面，则最小截面的面积为( )A．3? B．4? C．5? D．6?3．已知正方体

1 1 1 1ABCD ABC D?的棱长为2，M为1CC的中点，若AM ?平面?，且B?平面?，则平面?截正方体所得截面的周长为( )A．3 2 2 5? B．4 4 2? C．2 2 2 5? D．6 24．正方体1 1 1 1ABCD ABC D?棱长为4，M，N，P分别是棱1 1AD，1A A，1 1DC的中点，则过M，N，P三点的平面截正方体所得截面的面积为( )

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A．2 3 B．4 3 C．6 3 D．12 35．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面?所成的角都相等，则?截此正方体所得截面面积的最大值为( )A．3 34 B．2 33 C．3 24 D．326．体积为18 3的正三棱锥A BCD?的每个顶点都在半径为R的球O的球面上，球心O在此三棱锥内部，且: 2:3R BC ?，点E为线段BD上一点，且2DE EB?，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是( )

A．[4?，12 ]? B．[8?，16 ]? C．[8?，12 ]? D．[12?，16 ]?7．圆锥的母线长为2，其侧面展开图的中心角为?弧度，过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为2；则?的取值范围是( )A．[ 2 ,2 )? ? B．[ , 2 ]? ? C．{ 2 }? D．2[ , )2? ?8．如图，已知四面体ABCD为正四面体，1AB ?，E，F分别是AD，BC中点．若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面?去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为( )

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A．14 B．24 C．34 D．19．设四棱锥P ABCD?的底面不是平行四边形，用平面?去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面(? )

A．不存在B．只有1个C．恰有4个D．有无数多个10．如图，在棱长为1的正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的对角线1AC上任取一点P，以A为球心，AP为半径作一个球．设AP x?，记该球面与正方体表面的交线的长度和为( )f x，则函数( )f x的图象最有可能的是()

A．B．

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C．D．11．如图，正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的棱长为3，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于( )

A．56? B．23? C．? D．76?12．已知三棱锥P ABC?的棱AP、AB、AC两两垂直，且长度都为3，以顶点P为球心2为半径作一个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于( )A．23? B．56? C．? D．32?13．已知底面为正方形的四棱锥O ABCD?，各侧棱长都为2 3，底面面积为16，以O为球心，以2为半径作一个球，则这个球与四棱锥O ABCD?相交部分的体积是( )A．29? B．89? C．169? D．43?二．多选题（共2小题）

14．如图，在正方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，M，N，P，Q分别是所在棱的中点，则下列结论正确的是( )

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A．点1C，1D到平面PMN的距离相等B．PN与QM为异面直线C．90PNM? ? ?D．平面PMN截该正方体的截面为正六边形15．如图，棱长为2的正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的内切球为球O，E、F分别是棱AB和棱1CC的中点，G在棱BC上移动，则下列结论成立的有( )

A．存在点G，使OD垂直于平面EFGB．对于任意点G，/ /OA平面EFGC．直线EF的被球O截得的弦长为2D．过直线EF的平面截球O所得的所有圆中，半径最小的圆的面积为2?三．填空题（共17小题）16．正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的棱长为4，E，F分别是BC和1 1C D的中点，经过点A，E，F的平面把正方体1 1 1 1ABCD ABC D?截成两部分，则截面的周长为．17．如图正方体

1 1 1 1ABCD ABC D?的棱长为2，P为BC的中点，Q为线段1CC的中点，过点A，P，Q的平面?截该正方体所得的截面的周长为．

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18．已知正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的棱长为2，M为1CC的中点，若AM ?平面?，且B?平面?，则平面?截正方体所得截面的周长为．19．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O，2O，过直线1 2OO的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为．20．正方体1 1 1 1ABCD ABC D?棱长为4，M，N，P分别是棱1 1AD，1A A，1 1DC的中点，则过M，N，P三点的平面截正方体所得截面的面积为．21．已知棱长为2的正方体1 1 1 1ABCD ABC D?，球O与该正方体的各个面相切，则平面1ACB截此球所得的截面的面积为．

22．球O为正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的内切球，2AB ?，E，F分别为棱AD，1CC的中点，则直线EF被球O截得的线段长为．23．如图，动点P在正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的对角线1BD上，过点P作垂直于平面1 1BB D D的直线，与正方体表面相交于M，N两点，设BP x?，MN y?，则函数( )y f x?的图象大致是．（在横线上填上正确的序号，多选少选都不得分）

24．如图，正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的棱长为3，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和? ?( )GF EF?等于．

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25．已知正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的棱长为1，以顶点A为球心，2 33为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于．26．已知正三棱锥P ABC?侧棱长为1，且PA、PB、PC两两垂直，以顶点A为球心，2 33为半径作一个球，则球面与正三棱锥的表面相交得到一条封闭的曲线，则这条封闭曲线的长度为．27．以棱长为2的正方体中心点O为球心，以(1 3)r r? ?为半径的球面与正方体的表面相交得到若干个圆（或圆弧）的总长度的取值范围是．28．正方体1 1 1 1ABCD ABC D?棱长为2，以其体对角线的交点O为球心，213为半径的球与正方体表面的交

线长为．29．已知正方体的棱长为4，以该正方体的一个顶点为球心，以4 2为球的半径作球面，则该球面被正方体表面所截得的所有弧长的和为．30．如图，正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段1CC上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）①当10 2CQ? ?时，S为四边形②当12CQ ?时，S为等腰梯形

③当34CQ ?时，S与1 1C D的交点R满足1 1 13C R ?④当3 14 CQ? ?时，S为四边形⑤当1CQ ?时，S的面积为62

31．如图，正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段1CC上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，若10 2CQ? ?，则S的面积取值范围是．

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32．如图，正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段1CC上的动点，过点A，P，Q的平面截正方体所得的截面为S，当1CQ ?时，S的面积为．四．解答题（共5小题）33．如图，在正三棱锥A BCD?中，30BAC? ? ?，AB a?，平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC

、CA于点E、F、G、H．（1）判定四边形EFGH的形状，并说明理由．（2）设P是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC ?平面EFGH，请给出证明．

34．如图所示，在正方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，点G在棱1 1DC上，且1 1 114DG DC?，点E、F、M分别是棱1AA、AB、BC的中点，P为线段1B D上一点，4AB ?．（Ⅰ）若平面EFP交平面1 1DCC D于直线l，求证：1/ /l AB；（Ⅱ）若直线1B D ?平面EFP．( )i求三棱锥1B EFP?的表面积；( )ii试作出平面EGM与正方体1 1 1 1ABCD ABC D?各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱1 1AD交于点Q，求三棱锥Q EFP?的体积．

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35．如图，在棱长都等于1的三棱锥A BCD?中，F是AC上的一点，过F作平行于棱AB和棱CD的截面，分别交BC，AD，BD于E，G，H．（1）证明截面EFGH是矩形；（2）F在AC的什么位置时，截面面积最大，说明理由．

36．如图，已知三棱柱1 1 1ABC ABC?中，1AA ?底面ABC，90BAC? ? ?，1 1AA ?，3AB ?，2AC ?，E，F分别为棱1CC，BC的中点．（1）求异面直线EF与1AB所成角的大小；（2）若G为线段1AA的中点，试在图中作出过E，F，G三点的平面截该棱柱所得的多边形，并求该截面分三棱柱成两部分（较小部分与较大部分）的体积的比值．

37．已知三棱锥A BCD?中，ABC?与BCD?均为等腰直角三角形，且90BAC? ? ?，6BC CD? ?，E为AD上一点，且CE ?平面ABD．（1）求证：AB CD?；（2）过E作一平面分别交AC，BC，BD于F，G，H，若四边形EFGH为平行四边形，求多面体ABEFGH的表面积．

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第10讲立体几何翻折与旋转问题一．选择题（共9小题）1．把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，对于下列结论：① AC BD?；② ADC?是正三角形；③ AB与CD成60?角；④ AB与平面BCD成60?角．则其中正确结论的个数是( )A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，已知四面体ABCD为正四面体，1AB ?，E，F分别是AD，BC中点．若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面?去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面

积最大值为( )A．14 B．24 C．34 D．1

3．矩形ABCD中，3AB ?，1BC ?，将ABC?与ADC?沿AC所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线AD与直线BC成的角范围（包含初始状态）为( )A．[0, ]6? B．[0, ]3? C．[0, ]2? D．2[0, ]3?

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4．已知矩形ABCD，1AB ?，2BC ?．将ABD?沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中( )A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直5．在Rt ABC?中，2C ?? ?，1AC ?，3BC ?，D是AB边上的动点，设BD x?，把BDC?沿DC翻折为△B DC?，若存在某个位置，使得异面直线B C?与AD所成的角为3?，则实数x的取值范围是( )

A．3 30 2x ?? ? B．3 3 22 x? ? ? C．2 30 2x ?? ? D．2 2 22 x? ? ?6．如图，在Rt ABC?中，1AC ?，BC x?，D是斜边AB的中点，将BCD?沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB AD?，则x的取值范围是( )A．(0，3] B．2( 2，2] C．( 3，2 3] D．(2，4]

7．如图，在直二面角A BD C? ?中，ABD?、CBD?均是以BD为斜边的等腰直角三角形，取AD中点E，将ABE?沿BE翻折到△1ABE，在ABE?的翻折过程中，下列不可能成立的是( )A．BC与平面1ABE内某直线平行B．/ /CD平面1ABEC．BC与平面1ABE内某直线垂直D．1BC AB?

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8．如图，在ABC?中，90ACB? ? ?，CAB ?? ?，M为AB的中点．将ACM?沿着CM翻折至△A CM?，使得A M MB? ?，则?的取值不可能为( )A．9? B．6? C．5? D．3?

9．在斜边长为5的等腰直角三角形ABC中，点D在斜边AC（不含端点）上运动，将CBD?沿BD翻折到△1C BD位置，且使得三棱锥1C ABD?体积最大，则AD长为( )A．2 B．52 C．3 D．4

二．填空题（共7小题）10．将边长为2，锐角为60?的菱形ABCD沿较短对角线BD折成四面体ABCD，点E，F，G分另AC，BD，BC的中点，则下列命题中正确的是．（将正确的命题序号全填上）① / /EF AB；② EF是异面直线AC与BD的公垂线；③ / /CD平面EFG；④ AC垂直于截面BDE．11．在ABC?中，已知2 3AB ?，2 6BC ?，45ABC? ? ?，D是边AC上一点，将ABD?沿BD折起，得到三棱锥A BCD?，若该三棱锥的顶点A在底面BCD的射影M在线段BC上，设BM x?，则x的取值范围为．

12．如图，矩形ABCD中，2AB AD?，E为边AB的中点，将ADE?沿直线DE翻折成△1ADE．若M为线段1AC的中点，则在ADE?翻折过程中，下列命题正确的是．（写出所有正确的命题的编号）①线段BM的长是定值；②点M在某个球面上运动；③存在某个位置，使1DE AC?；

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④存在某个位置，使/ /MB平面1ADE．13．如图，在ABC?中，90ACB? ? ?，CAB ?? ?，M为AB的中点，将ACM?沿着CM翻折至△A CM?，使得A M MB? ?，则?的取值可能为（填上正确的所有序号）① 9? ② 7? ③ 6? ④ 3?

14．如图，矩形ABCD中，3AB ?，4BC ?，沿对角线BD将ABD?折起得到△1ABD，且点1A在平面BCD上的射影O落在BC边上，记二面角1C AB D? ?的平面角的大小为?，则sin?的值等于．15．已知ABC?中，90C? ? ?，tan 2A?，M为AB的中点，现将ACM?沿CM折成三棱锥P CBM?，当二面角P CM B? ?大小为60?时，ABPB ?．

16．已知直角梯形ABCD，AB AD?，CD AD?，2 2 2AB AD CD? ? ?，沿AC折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的体积为；当三棱锥外接球的体积最小时，三棱锥的体积为．三．解答题（共15小题）17．如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC?折起，使点C

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到达点P的位置，且PF BF?．（1）证明：平面PEF ?平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．18．如图，在矩形ABCD中，2, 2 3AB AD? ?，ABPCDFEE，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕

把CDF?折起，点C到达点P的位置，使1PE ?．（1）证明：平面PEF ?平面ABFD；（2）求二面角P DF E? ?的正弦值．

19．如图，四边形ABCD中，/ /AD BC，90BAD? ? ?，2AB BC? ?，2 2AD ?，E，F分别是线段AD，CD的中点．以EF为折痕把DEF?折起，使点D到达点P的位置，G为线段PB的中点．（1）证明：平面/ /GAC平面PEF；（2）若平面PEF ?平面ABCFE，求直线AG与平面PAC所成角的正弦值．

20．已知D，E分别为边AB，AC上的一点，/ /DE BC且| | (0 1)| |ADAB ? ?? ? ?，如图所示，将ADE?沿DE

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折起为△1ADE，使A点位于1A点的位置，连接1A A，1AB，1AC．（1）当12? ?时，记平面1ABC与平面1ADE的交线为l，证明：1l AA?；（2）若ABC?为直角三角形，2ABC ?? ?，且将ADE?沿DE折成直二面角，求当?为何值时，平面1ABC与平面1ADE所成的二面角为3?．

21．如图所示，等边三角形ABC的边长为3，点D，E分别是边AB，AC上的点，满足1AD ?，DE AB?．将ADE?沿DE折起到△1ADE的位置，使二面角1A DE B? ?为直二面角，连接1AB，1AC．（1）求二面角1C AB D? ?的余弦值；（2）线段1AE上是否存在点P，使得直线CP与平面1ABC所成的角为60?？若存在，求出1AP的长；若不存在，请说明理由．

22．已知直角三角形ABC中，6AC ?，3BC ?，90ABC? ? ?，点D，E分别是边AC，AB上的动点（不含A点），且满足32ADAE ?（图1)．将ADE?沿DE折起，使得平面ADE ?平面BCDE，连结AB、AC（图2)．( )I求证：AD ?平面BCDE；( )II求四棱锥A BCDE?体积的最大值．

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23．等边三角形ABC的边长为3，点D，、E分别是边AB、AC上的点，且满足12AD CEDB EA? ?．将ADE?沿DE折起到△1ADE的位置，使二面角1A DE B? ?成直二面角，连接1AB、1AC．（1）求证：1AD ?平面BCED；（2）求

1AE与平面1ABC所成角的正弦值．（3）在线段BC上是否存在点P，使直线1PA与平面1ABD所成的角为60?？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．24．如图1，ABC?是等腰直角三角形，3 2AB AC? ?，D，E分别是AC，AB上的点，2CD BE? ?将ADE?沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥A BCDE??，使得2 3A B A C? ?? ?．（1）证明：平面A BC? ?平面BCD；（2）求A B?与平面A CD?所成角的余弦值．

25．如图1，ABC?是等腰直角三角形3 2AB AC? ?，D，E分别是AC，AB上的点，2CD BE? ?．将ADE?沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥A BCDE??，使得2 3A B AC? ? ? ?．（1）证明：平面A BC? ?平面BCD；

（2）求A B?与平面ACD?所成角的正弦值．26．已知如图一Rt ABC?，4AC BC? ?，90ACB? ? ?，D，E分别为AC，AB的中点，F在BC上，且

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3BF FC?，G为DC中点，将ADE?沿DE折起，BEF?沿EF折起，使得A，B重合于一点（如图二），设为P，（1）求证：EG ?平面PDF；（2）求二面角C PF E? ?的大小．

27．等边ABC?的边长为3，点D，E分别为AB，AC上的点，且满足2AE BDEC DA? ?（如图① )，将ADE?沿DE折起到△1ADE的位置，使二面角1A DE B? ?成直二面角，连接1AB，1AC（如图② )．（1）求证：1AD ?平面BCED；（2）在线段BC上是否存在点P（不包括端点），使直线1PA与平面1ABD所成的角为60?？若存在，求出1AP的长，若不存在，请说明理由．

0x?28．等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足12AD CEDB EA? ?（如图1)．将ADE?沿DE折起到△1ADE的位置，使二面角1A DE B? ?成直二面角，连结1AB、1AC（如图2)．

（1）求证：1AD ?平面BCED；（2）在线段BC上是否存在点P，使直线1PA与平面1ABD所成的角为60?？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．

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29．等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足12AD CEDB EA? ?（如图1)．将ADE?沿DE折起到△1ADE的位置，使二面角1A DE B? ?成直二面角，连结1AB、1AC（如图2)．（Ⅰ）求证：

1AD ?平面BCED；（Ⅱ）若点P在线段BC上，52PB ?，求直线1PA与平面1ABD所成的角．30．如图，ABC?中，2AB ?，1BC ?，90ABC? ? ?，D，E分别为AB，AC上的点，/ /DE BC，将ADE?沿DE折到△A DE?的位置，使平面A DE? ?平面BCED．（1）当D为AB的中点时，设平面A BC?与平面A DE?所成的二面角的平面角为(0 )2?? ?? ?，直线A C?与平面A DE?所成角为?，求tan( )? ??的值；（2）当D点在AB边上运动时，求四棱锥A BCED??体积的最大值．

31．等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足12AD CEDB EA? ?（如图1)．将ADE?沿DE折起到△1ADE的位置，使二面角1A DE B? ?成直二面角，连结1AB、1AC（如图2)．（Ⅰ）求证：1AD ?平面:BCED

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（Ⅱ）在线段BC上是否存在点P，使直线1PA与平面1ABD所成的角的正弦值为32？若存在，求出PB的长，若不存在，请说明理由．第11讲非常规空间几何体为载体一．选择题（共1小题）1．如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，4AC BC? ?，4 2PA?，则二面角A PB C? ?的大小的正弦值为( )

A．22 B．23 C．63 D．33二．解答题（共19小题）2．如图，AB是圆的直径，PA?圆所在的平面，C是圆上的点．（Ⅰ）求证：平面PAC ?平面PBC；（Ⅱ）若2AB ?，1AC ?，1PA?，求二面角P BC A? ?的大小．

3．如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆0上异于A，B的点，（1）求证：BC ?平面PAC；（2）设Q，M分别为PA，AC的中点，问：对于线段OM上的任一点G，是否都有/ /QG平面PBC？并说明理由．

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4．如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且1PO OB? ?，（Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证：AC ?平面PDO；（Ⅱ）求三棱锥P ABC?体积的最大值；（Ⅲ）若2BC ?，点E在线段PB上，求CE OE?的最小值．

5．如图所示，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A、B的点，PO垂直于圆O所在平面，且1PO OB? ?．（1）D为线段AC的中点，求证：AC ?平面PDO；（2）当三棱锥P ABC?的体积最大时，求异面直线PB与AC所成的角．6．如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且6PO OB? ?．D

为线段AC的中点，（Ⅰ）求证：平面PAC ?平面PDO；（Ⅱ）若点E在线段PB上，且2PE EB?，求三棱锥E POC?体积的最大值．

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7．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120?得到的，G是弧DF的四等分点，且靠近F．（1）设P是?CE上的一点，且AP BE?，求CBP?的大小；（2）当3AB ?，2AD ?时，求二面角E AG C? ?的余弦值的大小．

8．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转150?得到的，（1）设P是?CE上一点，且AP BE?，若BC中点为H，求证：平面APH ?平面ABC；（2）若2AB AD? ?，G为?DF上的一点，且60GAD? ? ?，求二面角E AG C? ?的余弦值．

9．如图，已知四棱锥P ABCD?，PAD?是以AD为斜边的等腰直角三角形，/ /BC AD，CD AD?，2 2PC AD DC CB? ? ?，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：/ /CE平面PAB；（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．

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10．如图，在平行六面体1 1 1 1ABCD ABC D?中，1AA ?平面ABCD，且2AB AD? ?，1 3AA ?，120BAD? ? ?．（1）求异面直线1AB与1AC所成角的余弦值；（2）求二面角1B AD A? ?的正弦值．11．在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O?直径，FB是圆台的一条母线．

（1）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：/ /GH面ABC；（2）已知1 22EF FB AC? ? ?，AB BC?，求二面角F BC O? ?的余弦值．12．如图，已知圆柱内有一个三棱锥A BCD?，AD为圆柱的一条母线，DF，BC为下底面圆O的直径，2AD CD? ?

，1BD ?．（Ⅰ）在圆柱的上底面圆内是否存在一点E，使得/ /EF平面ABC？证明你的结论．（Ⅱ）设点M为棱AC的中点，2DN NC????? ????，求平面ABD与平面BMN所成锐二面角的余弦值．

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13．如图，已知圆柱内有一个三棱锥A BCD?，AD为圆柱的一条母线，DF，BC为下底面圆O的直径，2AD BC? ?．（Ⅰ）在圆柱的上底面圆内是否存在一点E，使得/ /EF平面ABC？证明你的结论．（Ⅱ）设点M为棱AC的中点，2DN NC????? ????，求四棱锥B ADNM?体积的最大值．

14．如图，在三棱台DEF ABC?中，2AB DE?，G，H分别为AC，BC的中点．（Ⅰ）求证：/ /BD平面FGH；（Ⅱ）若CF ?平面ABC，AB BC?，CF DE?，45BAC? ? ?，求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小．

15．如图，在四棱柱1 1 1 1ABCD ABC D?中，侧棱1A A?底面ABCD，AB AC?，1AB ?，1 2AC AA? ?，

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5AD CD? ?，且点M和N分别为1BC和1D D的中点．（1）求证：/ /MN平面ABCD；（2）求平面1ACD与平面1ACB的夹角的余弦值；（3）设E为棱1 1AB上的点，若直线NE和平面ABCD的夹角的正弦值为13，求线段1AE的长．

16．如图，在四棱锥A EFCB?中，AEF?为等边三角形，平面AEF ?平面EFCB，/ /EF BC，4BC ?，2EF a?，60EBC FCB? ?? ? ?，O为EF的中点．（Ⅰ）求证：AO BE?；（Ⅱ）求二面角F AE B? ?的余弦值；（Ⅲ）若直线CA与平面BEA所成的角的正弦值为2 65，求实数a的值．

17．如图，在四棱锥A EFCB?中，AEF?为等边三角形，平面AEF ?平面EFCB，/ /EF BC，4BC ?，2EF a?，60EBC FCB? ?? ? ?，O为EF的中点．（Ⅰ）求证：AO BE?．（Ⅱ）求二面角F AE B? ?的余弦值；（Ⅲ）若BE ?平面AOC，求a的值．

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18．如图，在四棱锥P ABCD?中，平面PAD ?平面ABCD，PA PD?，PA PD?，AB AD?，1AB ?，2AD ?，5AC CD? ?．（1）求证：PD ?平面PAB；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（3）设(0 1)AM AP? ??????? ???? ? ?，是否存在实数?使得/ /BM平面PCD？若存在，求?的值；若不存在，说明理由．

19．如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED ?平面ABCD，/ /EF AB，2AB ?，1BC EF? ?，6AE ?，3DE ?，60BAD? ? ?，G为BC的中点．（1）求证：/ /FG平面BED；（2）求证：BD ?平面AED；（3）求点F到平面BED的距离．

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20．已知：平行四边形ABCD中，45DAB? ? ?，2 2 2AB AD? ?，平面AED ?平面ABCD，AED?为等边三角形，/ /EF AB，2EF ?，M为线段BC的中点．（1）求证：直线/ /MF平面BED；（2）求证：平面BED ?平面EAD；（3）求直线BF与平面BED所成角的正弦值．第12讲立体几何空间轨迹问题

一．选择题（共14小题）1．已知正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的棱长为1，在正方体的侧面1 1BCC B上的点P到点A距离为2 33的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是( )A．B．

C．D．2．如图，在正方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，P是侧面1 1BBC C内一动点，若P到直线BC与直线1 1C D的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是( )

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A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线3．如图，在棱长为1的正方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，P为棱1 1AB中点，点Q在侧面1 1DCC D内运动，若PBQ PBD? ??，则动点Q的轨迹所在曲线为( )

A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线4．在棱长为3的正方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，E是1AA的中点，P是底面ABCD所在平面内一动点，设1PD，PE与底面ABCD所成的角分别为1?，2 1(? ?，2?均不为0)，若1 2? ??，则三棱锥1 1P BBC?体积的最小值是( )A．92 B．52 C．32 D．545．如图，在正方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，E是1AA的中点，P为地面ABCD内一动点，设1PD、PE与地面ABCD所成的角分别为

1?、2 1(? ?、2?均不为0)，若1 2? ??，则动点P的轨迹为哪种曲线的一部分( )A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线

6．如图，在四棱锥P ABCD?中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD ?底面ABCD，

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M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP MC?，则点M在正方形ABCD内的轨迹为( )A．B．

C．D．7．如图，在长方形ABCD中，3AB ?，1BC ?，E为线段DC上一动点，现将AED?沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为()A．32 B．2 33 C．2? D．3?

8．已知平行六面体1 1 1 1ABCD ABC D?，1AA与平面1 1 1 1ABC D垂直，且AD AB?，E为1CC中点，P在对角面1 1BB D D所在平面内运动，若EP与AC成30?角，则点P轨迹为( )A．圆B．抛物线C．双曲线D．椭圆9．在正方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，E为1AA的中点，点P在其对角面1 1BB D D内运动，若EP总与直线AC成等角，则点P的轨迹有可能是( )A．圆或圆的一部分B．抛物线或其一部分C．双曲线或其一部分D．椭圆或其一部分

10．如图，长方体ABCD A B C D? ? ? ? ?中，2AB BC? ?，3AA??，上底面A B C D? ? ? ?的中心为O?，当点E在线段CC?上从C移动到C?时，点O?在平面BDE上的射影G的轨迹长度为( )

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A．23? B．33 ? C．3? D．36?11．如图，若三棱锥A BCD?的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到点A的距离之比为正常数?，且动点P的轨迹是抛物线，则二面角A BC D? ?平面角的余弦值为( )

A．? B．21 ?? C．1? D．211 ??12．如图，正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的棱长为1，点M在棱AB上，且13AM ?，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线1 1AD的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是( )

A．圆B．抛物线C．双曲线D．直线13．一光源P在桌面A的正上方，半径为2的球与桌面相切，且PA与球相切，小球在光源P的中心投影下在桌面产生的投影为一椭圆，如图所示，形成一个空间几何体，且正视图是Rt PAB?，其中6PA ?，则该椭圆的长轴长为( )

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A．6 B．8 C．4 3 D．314．平面?、?、?两两互相垂直，点A ??，点A到?、?的距离都是3，P是?上的动点，P到?的距离是到点A距离的2倍，则点P的轨迹上的点到?的距离的最小值是( )A．3 3? B．3 2 3? C．6 3? D．3二．填空题（共7小题）15．已知正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的棱长为1，在正方体的侧面1 1BCBC上到点A距离为2 33的点的集合形成一条直线，那么这条曲线的形状是，它的长度

是．若将“在正方体的侧面1 1BCC B上到点A距离为2 33的点的集合”改为在正方体表面上与点P的距离为2 33的点的集合”那么这条曲线的形状又是，它的长度又是．16．已知正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的棱长为1，动点P在正方体的表面上运动，且与点A的距离为33．动点P的集合形成一条曲线，这条曲线在平面1 1ABB A上部分的形状是；此曲线的周长是．

17．如图，已知正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的棱长为( 2)a a ?，长度为2的线段MN的一个端点M在1DD上运

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动，另一端点N在底面ABCD上运动，则MN的中点P的轨迹（曲面）与共一顶点D的三个面所围成的几何体的体积为．18．正方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，E、F分别是棱1 1AB，BC上的动点，且1AE BF?，P为EF的中点，则

点P的轨迹是．19．在长方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，8AB ?，6BC ?，在线段BD，1 1AC上各有一动点P，Q，则PQ的中点M的轨迹图形的面积为．20．如图，在棱长为2的正四面体A BCD?中，E、F分别为直线AB、CD上的动点，且| | 3EF ?．若记EF中点P的轨迹为L，则| |L等于．（注:| |L表示L的测度，在本题，L为曲线、平面图形、空间几何体时，| |L分别对应长度、面积、体积．)

21．点M为正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的内切球O球面上的动点，点N为1 1BC上一点，1 12NC NB?，DM BN?，若球O的体积为9 2?，则动点M的轨迹的长度为．

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第13讲立体几何空间角的大小比较一．选择题（共17小题）1．如图，已知ABC?，D是AB的中点，沿直线CD将ACD?折成△ACD?，所成二面角A CD B?? ?的平面角为?，则( )

A．ADB ?? ? ? B．ADB ?? ? ? C．ACB ?? ? ? D．ACB ?? ? ?2．如图，已知正四面体D ABC?（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点，AP PB?，2BQ CRQC RA? ?，分别记二面角D PR Q? ?，D PQ R? ?，D QR P? ?的平面角为?、?、?，则( )

A．? ? ?? ? B．? ? ?? ? C．? ? ?? ? D．? ? ?? ?3．如图，正四面体ABCD中，P、Q、R在棱AB、AD、AC上，且AQ QD?，12AP CRPB RA? ?，分别记二面角A PQ R? ?，A PR Q? ?，A QR P? ?的平面角为?、?、?，则( )

A．? ? ?? ? B．? ? ?? ? C．? ? ?? ? D．? ? ?? ?

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4．已知四棱锥S ABCD?的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为?，SE与面ABCD所成的角为?，二面角S AB C? ?的平面角为?，则( )A．? ? ?? ? B．? ? ?? ? C．? ? ?? ? D．? ? ?? ?

5．设三棱锥V ABC?的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点）．记直线PB与直线AC所成角为?，直线PB与平面ABC所成角为?，二面角P AC B? ?的平面角为?，则( )A．? ??，? ?? B．? ??，? ?? C．? ??，? ?? D．? ??，? ??6．如图，三棱锥V ABC?的底面ABC是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点），记直线PB与直线AC所成角为?，二面角P AC B? ?的平面角为?，则? ??不可能是( )

A．34? B．23? C．2? D．3?7．如图，P是ABC?边AB上一点，将ACP?沿CP折成直二面角A CP B?? ?，要使| |A B?最短，则CP是()A．ABC?中AB边上的中线B．ABC?中AB边上的高线

C．ABC?中ACB?的平分线D．要视ABC?的具体情况而定8．如图，正四棱锥P ABCD?．记异面直线PA与CD所成角为?，直线PA与面ABCD所成角为?，二面

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角P BC A? ?的平面角为?，则( )A．? ? ?? ? B．? ? ?? ? C．? ? ?? ? D．? ? ?? ?9．已知正四面体P ABC?，Q为ABC?内的一点，记PQ与平面PAB、PAC，PBC所成的角分别为?、?、?，则下列恒成立的是( )

A．2 2 2sin sin sin 2? ? ?? ? ?B．2 2 2cos cos cos 2? ? ?? ? ?C．2 2 2tan tan tan 1? ? ?? ? ?D．2 2 21 1 1 1tan tan tan? ? ?? ? ?10．已知三棱锥S ABC?的底面ABC为正三角形，SA SB SC? ?，平面SBC、SCA、SAB与平面ABC所成的锐二面角分别为1?、2?、3?，则( )A．1 2? ?? B．1 2? ?? C．2 3? ?? D．2 3? ??

11．如图，已知三棱锥D ABC?满足AC AB BC? ?，D在底面的投影O为ABC?的外心，分别记直线DO与平面ABD、ACD、BCD所成的角为?，?，?，则( )

A．? ? ?? ? B．? ? ?? ? C．? ? ?? ? D．? ? ?? ?12．在四棱锥P ABCD?中，底面ABCD是边长为2的正方形，AD?侧面PCD，120PDC? ? ?，若侧面PAB，PBC，PAD与底面ABCD所成的二面角分别为?，?，?，则下列的结论成立的是( )

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A．? ? ?? ? B．? ? ?? ? C．? ? ?? ? D．? ? ?? ?13．如图，三棱锥S ABC?中，SA SB SC? ?，90ABC? ? ?，AB BC?，E，F，G分别是AB，BC，CA的中点，记直线SE与SF所成的角为?，直线SG与平面SAB所成的角为?，平面SEG与平面SBC所成的锐二面角为?，则( )

A．? ? ?? ? B．? ? ?? ? C．? ? ?? ? D．? ? ?? ?14．已知三棱柱1 1 1ABC ABC?的所有棱长均相等，侧棱1AA ?平面ABC．过1AB作平面?与1BC平行，设平面?与平面1 1ACC A的交线为l，记直线l与直线AB，BC，CA所成锐角分别为?，?，?，则这三个角的大小关系为( )

A．? ? ?? ? B．? ? ?? ? C．? ? ?? ? D．? ? ?? ?15．已知长方体1 1 1 1ABCD ABC D?的底面AC为正方形，1AA a?，AB b?，且a b?，侧棱1CC上一点E满足1 3CC CE?，设异面直线1A B与1AD，1A B与1 1D B，AE与1 1D B的所成角分别为?，?，?，则( )A．? ? ?? ? B．? ? ?? ? C．? ? ?? ? D．? ? ?? ?16．如图，矩形ABCD中，1AB?，3BC ?，F是线段BC上一点且满足1BF ?，E是线段FC上一动点，把ABE?沿AE折起得到△1AB E，使得平面1B AC ?平面ADC，分别记1B A，1B E与平面ADC所成角为?，?，平面1B AE与平面ADC所成锐角为?，则( )

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A．? ? ?? ? B．? ? ?? ? C．? ? ?? ? D．? ? ?? ?17．如图，矩形中ABCD，1AB?，3BC ?，E是线段BC（不含点)C上一动点，把ABE?沿AE折起得到△AB E?，使得平面B AC? ?平面ADC，分别记B A?，B E?与平面ADC所成角为?，?，平面B AE?与平面ADC所成锐角为?，则( )

A．? ? ?? ? B．2? ?? C．2? ?? D．tan 2tan? ??第14讲立体几何存在性问题一．解答题（共12小题）1．在四棱锥P ABCD?中，PD ?平面ABCD，/ /AB DC，AB AD?，1DC AD? ?，2AB ?，45PAD? ? ?，E是PA的中点，F在线段AB上，且满足0CF BD ????? ?????．（Ⅰ）求证：/ /DE平面PBC；（Ⅱ）求二面角F PC B? ?的余弦值；

（Ⅲ）在线段PA上是否存在点Q，使得FQ与平面PFC所成角的余弦值是63，若存在，求出AQ的长；若不存在，请说明理由．

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2．如图，已知长方形ABCD中，2AB ?，1AD ?，M为DC的中点．将ADM?沿AM折起，使得平面ADM ?平面ABCM．（1）求证：AD BM?；（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E AM D? ?的余弦值为55．

3．如图，在四棱锥P ABCD?中，底面ABCD为菱形且60DAB? ? ?，O为AD中点．（Ⅰ）若PA PD?，求证：平面POB ?平面PAD；（Ⅱ）若平面PAD ?平面ABCD，且2PA PD AD? ? ?，试问在线段PC上是否存在点M，使二面角M BO C? ?的大小为30?，如存在，求PMPC的值，如不存在，说明理由．4．如图，在四棱锥S ABCD?中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA?底面ABCD，AB垂直于AD

和BC，M为棱SB上的点，3SA AB? ?，2BC ?，1AD ?．（1）若M为棱SB的中点，求证：/ /AM平面SCD；（2）当SM MB?，3DN NC?时，求平面AMN与平面SAB所成的锐二面角的余弦值．

5．如图，在直三棱柱1 1 1ABC ABC?中，平面1ABC ?侧面1 1ABB A，且1 2AA AB? ?．

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（1）求证：AB BC?；（2）若直线AC与平面1ABC所成的角为6?，请问在线段1AC上是否存在点E，使得二面角A BE C? ?的大小为23?，请说明理由．

6．如图，在直三棱柱1 1 1ABC ABC?中，平面1ABC ?侧面1 1A ABB，且1 2AA AB? ?．（1）求证：AB BC?；（2）若直线AC与平面1ABC所成的角为6?，求锐二面角1A AC B? ?的大小．

7．如图，在平行四边形ABCD中，1AB ?，2AD ?，3ABC ?? ?，四边形ACEF为矩形，平面ACEF ?平面ABCD，1AF ?，点M在线段EF上运动，且EM EF??????? ????．（1）当12? ?时，求异面直线DE与BM所成角的大小；（2）设平面MBC与平面ECD所成二面角的大小为(0 )2?? ?? ?，求cos?的取值范围．

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8．如图，在四棱锥P ABCD?中，PD ?平面ABCD，四边形ABCD是菱形，6AC ?，6 3BD ?，E是PB上任意一点．（1）求证：AC DE?；（2）当AEC?面积的最小值是9时，在线段BC上是否存在点G，使EG与平面PAB所成角的正切值为2？若存在，求出BG的值，若不存在，请说明理由．

9．在四棱柱1 1 1 1ABCD ABC D?中，底面ABCD是正方形，且1 2BC BB? ?，1 1 60A AB A AD? ?? ? ?．（1）求证：1BD CC?；（2）若动点E在棱1 1C D上，试确定点E的位置，使得直线DE与平面1BDB所成角的正弦值为714．

10．如图，五面体ABCDE中，正ABC?的边长为1，AE ?平面ABC，/ /CD AE，且12CD AE?．( )I设CE与平面ABE所成的角为?，( 0)AE k k? ?，若[ , ]6 4? ???，求k的取值范围；（Ⅱ）在( )I和条件下，当k取得最大值时，求平面BDE与平面ABC所成角的大小．

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11．如图，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，90ADC BAD? ?? ? ?．F为PA中点，2PD ?，1 12AB AD CD? ? ?．四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点N．（Ⅰ）求证：/ /AC平面DEF；（Ⅱ）求二面角A BC P? ?的大小；（Ⅲ）在线段EF上是否存在一点Q，使得BQ与平面BCP所成角的大小为6?？若存在，求出Q点所在的位置；若不存在，请说明理由．

12．如图，在四边形ABCD中，/ /AB CD，30ABD? ? ?，2 2 2AB CD AD? ? ?，DE ?平面ABCD，/ /EF BD，且2BD EF?．（Ⅰ）求证：平面ADE ?平面BDEF；（Ⅱ）若二面角C BF D? ?的大小为60?，求CF与平面ABCD所成角的正弦值．第15讲立体几何折叠问题

一．解答题（共13小题）1．如图，矩形ABCD中，2 4AD AB? ?，E为BC的中点，现将BAE?与DCE?折起，使得平面BAE及平面DEC都与平面ADE垂直．

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（1）求证：/ /BC平面ADE；（2）求二面角A BE C? ?的余弦值．2．如图，在直角梯形ABCD中，/ /AD BC，AB BC?，且2 4BC AD? ?，E，F分别为线段AB，DC的中点，沿EF把AEFD折起，使AE CF?，得到如下的立体图形．（1）证明：平面AEFD?平面EBCF；（2）若BD EC?，求二面角F BD C? ?的余弦值．

3．如图1，在平行四边形1 1ABB A中，1 60ABB? ? ?，4AB?，1 2AA ?，C、1C分别为AB、1 1AB的中点，现把平行四边形1 11ABB A沿1CC折起如图2所示，连接1BC、1B A、1 1B A．（1）求证：1 1AB CC?；（2）若1 6AB ?，求二面角1 1C AB A? ?的正弦值．

4．如图1所示，在等腰梯形ABCD中，, 3, 15, 3 3BE AD BC AD BE? ? ? ?．把ABE?沿BE折起，使得6 2AC ?，得到四棱锥A BCDE?．如图2所示．

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（1）求证：面ACE ?面ABD；（2）求平面ABE与平面ACD所成锐二面角的余弦值．5．如图1，菱形ABCD的边长为12，60BAD? ? ?，AC与BD交于O点．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B ACD?，点M是棱BC的中点，6 2DM ?．（Ⅰ）求证：平面ODM ?平面ABC；（Ⅱ）求二面角M AD C? ?的余弦值．

6．如图1，已知在菱形ABCD中，120B? ? ?，E为AB的中点，现将四边形EBCD沿DE折起至EBHD，如图2．

（1）求证：DE ?面ABE；（2）若二面角A DE H? ?的大小为23?，求平面ABH与平面ADE所成锐二面角的余弦值．7．如图1，四边形ABCD中AC BD?，2 2 2 2CE AE BE DE? ? ? ?，将四边形ABCD沿着BD折叠，得到图2所示的三棱锥A BCD?，其中AB CD?．（Ⅰ）证明：平面ACD ?平面BAD；（Ⅱ）若F为CD中点，求二面角C AB F? ?的余弦值．

第94页 共122页

8．如图1，在直角梯形ABCD中，/ /AD BC，AB BC?，BD DC?，点E是BC边的中点，将ABD?沿BD折起，使平面ABD?平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．（Ⅰ）求证：AB?平面ADC；（Ⅱ）若1AD?，二面角C AB D? ?的平面角的正切值为6，求二面角B AD E? ?的余弦值．

9．如图所示，在平行四边形ABCD中，4AB?，2 2BC ?，45ABC? ? ?，点E是CD边的中点，将DAE?沿AEE折起，使点D到达点P的位置，且2 6PB ?．（1）求证：平面PAE ?平面ABCE；（2）若平面PAE和平面PBC的交线为l，求二面角B l E? ?的余弦值．

10．已知长方形ABCD中，1AB?，2AD ?，现将长方形沿对角线BD折起，使AC a?，得到一个四面体A BCD?，如图所示．（1）试问：在折叠的过程中，异面直线AB与CD，AD与BC能否垂直？若能垂直，求出相应的a值；若不垂直，请说明理由．

第95页 共122页

（2）当四面体A BCD?体积最大时，求二面角A CD B? ?的余弦值．11．如图，在长方形ABCD中，AB ??，2AD?，E、F为线段AB的三等分点，G、H为线段DC的三等分点．将长方形ABCD卷成以AD为母线的圆柱W的半个侧面，AB、CD分别为圆柱W上、下底面的直径．

（1）证明：平面ADHF ?平面BCHF；（2）求二面角A BH D? ?的余弦值．

12．在菱形ABCD中，2AB?且60ABC? ? ?，点M，N分别是棱CD，AD的中点，将四边形ANMC沿着AC转动，使得EF与MN重合，形成如图所示多面体，分别取BF，DE的中点P，Q．（1）求证：/ /PQ平面ABCD；（2）若平面AFEC ?平面ABCD，求多面体ABCDFE的体积．

13．已知等腰直角△S AB?，4S A AB? ? ?，S A AB? ?，C，D分别为S B?，S A?的中点，将△S CD?沿CD折到SCD?的位置，2 2SA?，取线段SB的中点为E．

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( )I求证：/ /CE平面SAD；（Ⅱ）求二面角A EC B? ?的余弦值．第16讲立体几何作图问题一．解答题（共15小题）1．如图，三棱柱1 1 1ABC ABC?的各棱长均相等，1AA ?底面ABC，E，F分别为棱1AA，BC的中点．（1）过1FA作平面?，使得直线/ /BE平面?，若平面?与直线1BB交于点H，指出点H所在的位置，并说明理由；

（2）求二面角1B FH A? ?的余弦值．2．如图，三棱柱

1 1 1ABC ABC?中，1 1 1 1 60B A A C A A? ?? ? ?，1 4AA AC? ?，2AB ?，P，Q分别为棱1AA，AC的中点．（1）在平面ABC内过点A作/ /AM平面1PQB交BC于点M，并写出作图步骤，但不要求证明；（2）若侧面1 1ACC A ?侧面1 1ABB A，求直线1 1AC与平面1PQB所成角的正弦值．

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3．如图，在四棱锥P ABCD?中，PA?底面ABCD，AD AB?，/ /DC AB，1PA?，2AB ?，2PD BC? ?．（1）求证：平面PAD ?平面PCD；（2）试在棱PB上确定一点E，使截面AEC把该几何体分成的两部分PDCEA与EACB的体积比为2:1；（3）在（2）的条件下，求二面角E AC P? ?的余弦值．

4．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，ADE?，BCF?均为等边三角形，/ /EF AB，12EF AD AB? ?．（1）过BD作截面与线段FC交于点N，使得/ /AF平面BDN，试确定点N的位置，并予以证明；（2）在（1）的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．5．如图，三棱柱

1 1 1ABC ABC?中，四边形1 1AC CA为菱形，1 1 1 1 60B A A C A A? ?? ? ?，4AC ?，2AB ?，平面1 1ACC A ?平面1 1ABB A，Q在线段AC上移动，P为棱1AA的中点．（1）若Q为线段AC的中点，H为BQ中点，延长AH交BC于D，求证：/ /AD平面1B PQ；（2）若二面角1 1B PQ C? ?的平面角的余弦值为1313，求点P到平面1BQB的距离．

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6．如图，在底边为等边三角形的斜三棱柱1 1 1ABC ABC?中，1 3AA AB?，四边形1 1BC CB为矩形，过1AC作与直线1BC平行的平面1ACD交AB于点D．（Ⅰ）证明：CD AB?；（Ⅱ）若1AA与底面1 1 1ABC所成角为60?，求二面角1 1B AC C? ?的余弦值．

7．如图，四棱锥P ABCD?中，底面ABCD为梯形，/ /AB DC，1 12BC DC AB? ? ?．O是AB的中点，PO ?底面ABCD．O在平面PAD上的正投影为点H，延长PH交AD于点E．（1）求证：E为AD中点；（2）若90ABC? ? ?，2PA?，在棱BC上确定一点G，使得/ /HG平面PAB，并求出OG与面PCD所成角的正弦值．

8．四棱锥P ABCD?中，底面ABCD是边长为2的菱形，23DAB ?? ?，AC BD O??，且PO ?平面ABCD，

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3PO ?，点F，G分别是线段PB，PD上的中点，E在PA上，且3PA PE?．（Ⅰ）求证：/ /BD平面EFG；（Ⅱ）求直线AB与平面EFG的成角的正弦值；（Ⅲ）请画出平面EFG与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤．

9．在等腰直角EBC?中，A，D分别为EB，EC的中点，2AD ?，将EBC?沿AD折起，使得二面角E AD B? ?为60?．（1）作出平面EBC和平面EAD的交线l，并说明理由；（2）二面角E CD B? ?的余弦值．

10．如图，在三棱锥P ABC?中，PA，AB，AC两两垂直，3PA AB AC? ? ?，平面/ /?平面PAB，?且与棱PC，AC，BC分别交于1P，1A，1B三点．（1）过A作直线l，使得l BC?，1 1l PA?，请写出作法并加以证明；（2）若?将三棱锥P ABC?分成体积之比为8:19的两部分（其中，四面体1 1 1PABC的体积更小），D为线段1BC的中点，求四棱锥1 1 1A PPDB?的体积．

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11．如图，在三棱锥P ABC?中，PA，AB．AC两两垂直，PA AB AC? ?，平面/ /a平面PAB，?且与棱PC．AC．BC分别交于1P，1A，1B三点．（1）过A作直线l，使得l BC?，1 1l PA?，请写出作法并加以证明；（2）若?将三棱锥P ABC?分成体积之比为8:19的两部分（其中，四面体1 1 1PABC的体积更小），D为线段1tB C的中点，求直线1PD与平面1 1PAB所成角的正弦值．

12．如图，在三棱柱1 1 1ABC ABC?中，2AB AC? ?，90BAC? ? ?，1BC AC?．（Ⅰ）证明：点1C在底面ABC上的射影H必在直线AB上；（Ⅱ）若二面角1C AC B? ?的大小为60?，1 2 2CC ?，求1BC与平面1 1AAB B所成角的正弦值．

13．如图，在四棱锥P ABCD?中，侧棱PD ?底面ABCD，底面ABCD为长方形，且1PD CD? ?，E是PC

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的中点，作EF PB?交PB于点F．（1）证明：PB ?平面DEF；（2）若三棱锥A BDP?的体积为13，求二面角F DE B? ?的正弦值．

14．在如图所示的几何体中，/ /DE AC，AC ?平面BCD，2 4AC DE? ?，2BC ?，1DC ?，60BCD? ? ?．（1）证明：BD ?平面ACDE；（2）过点D作一平行于平面ABE的截面，画出该截面，说明理由，并求夹在该截面与平面ABE之间的几何体的体积．

15．如图，在四棱锥P ABCD?中，/ /AD BC，2 2AB AD BC? ? ?，PB PD?，3PA?．（1）求证：PA BD?；（2）若PA AB?，2 2BD ?，E为PA的中点．( )i过点C作一直线l与BE平行，在图中画出直线l并说明理由；( )ii求平面BEC将三棱锥P ACD?分成的两部分体积的比．

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第17 讲 立体几何建系繁琐问题一、解答题1．如图，已知三棱柱? 1 1 1ABC ABC的底面是正三角形，侧面1 1BBCC是矩形，M，N分别为BC，1 1BC的中点，P为AM上一点．过1 1BC和P的平面交AB于E，交AC于F．（1）证明：1 / /AA MN，且平面?1AAMN平面1 1EBC F；（2）设O为△1 1 1ABC的中心．若/ /AO平面1 1EBC F，且?AO AB，求直线1BE与平面1AAMN所成角的正弦值．

2． 如图，在锥体 ?P ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且? ? ?60DAB ， ? ? 2PA PD ， ? 2PB ，E ，F 分别是BC，PC 的中点

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（1）证明： ?AD 平面DEF（2）求二面角 ? ?P AD B的余弦值．

3． 如图，?AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E 为·AC的中点，点B和点C 为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F 满足 ? ? 5FB FD a， ? 6EF a．（1）证明： ?EB FD；（2）已知点Q，R为线段FE ，FB上的点， ? 23FQ FE， ? 23FR FB，求平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值．

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4．《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右．它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知在三棱锥 ?P ABC 中， ?PA平面ABC ．（1）从三棱锥 ?P ABC 中选择合适的两条棱填空： BC ? ，则三棱锥 ?P ABC 为“鳖臑”；（2）如图，已知 ?AD PB，垂足为D， ?AE PC ，垂足为E ，? ? ?90ABC ．

（ⅰ）证明：平面 ?ADE 平面PAC；（ⅱ）设平面ADE与平面ABC 的交线为l，若 ? 2 3PA ， ? 2AC ，求二面角 ? ?E l C的大小．

5． 已知四面体ABCD， ?AD CD，? ? ? ? ?120ADB CDB ，且平面 ?ABD 平面BCD．（Ⅰ）求证： ?BD AC；（Ⅱ）求直线CA与平面ABD所成角的大小．

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6． 已知四面体ABCD，? ? ? ? ?120ADB CDB ，且平面 ?ABD 平面BCD．（Ⅰ）若 ?AD CD，求证： ?BD AC；（Ⅱ）求二面角 ? ?B CD A的正切值．

第18讲两角相等（构造全等）的立体几何问题一．解答题（共12小题）

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1．如图，在三棱锥A BCD?中，ABC?是等边三角形，90BAD BCD? ?? ? ?，点P是AC的中点，连接BP，DP（1）证明：平面ACD ?平面BDP；（2）若6BD ?，3cos 3BPD? ??，求三棱锥A BCD?的体积．

2．如图，在三棱锥A BCD?中，ABC?是等边三角形，AB AD?，CB CD?，点P是AC的中点，记BPD?、ABD?的面积分别为1S、2S，二面角A BD C? ?的大小为?，证明：（1）平面ACD ?平面BDP；（2）2 21 2222cos S SS? ??．

3．如图，在三棱锥A BCD?中，ABC?是等边三角形，90BAD BCD? ?? ? ?，点P是AC的中点，连接BP，DP．（1）证明：平面ACD ?平面BDP；（2）若6BD ?，且二面角A BD C? ?为120?，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值．

4．如图，在三棱锥A BCD?中，ABD?和BDC?均为等腰直角三角形，且90BAD BDC? ?? ? ?，已知侧面ABD与底面BDC垂直，点E是AC的中点，点F是BD的中点，点G在棱BC上，且4BC BG?，点M是AG

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上的动点．（1）证明：BC MF?；（2）当/ /MF平面ACD时，求二面角G MF E? ?的余弦值．

5．如图，在三棱锥D ABC?中，ABC?为等边三角形，DAC DAB? ??，BCD?面积是ABC?面积的两倍，点M在侧棱AD上．（1）若BM AD?，证明：平面ACD ?平面BCM；（2）若二面角D BC A? ?的大小为23?，且M为AD的中点，求直线BM与平面ACD所成角的正弦值．6．如图，四棱锥F ABCD?中，底面ABCD为边长是2的正方形，E，G分别是CD、AF的中

点，4AF ?，FAE BAE? ??，且二面角F AE B? ?的大小为90?．（1）求证：AE BG?；（2）求二面角B AF E? ?的余弦值．

7．如图，四棱锥E ABCD?中，四边形ABCD是边长为2的菱形，45DAE BAE? ?? ? ?，60DAB? ? ?．

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（Ⅰ）证明：平面ADE ?平面ABE；（Ⅱ）当直线DE与平面ABE所成的角为30?时，求平面DCE与平面ABE所成锐二面角的余弦值．8．如图所示，在四棱锥E ABCD?中，底面四边形ABCD是边长为4的菱形，60DAB? ? ?，对角线AC与BD相交于O点，ECD ECB? ??，2 3EC ?．

（1）证明：BD AE?；（2）若直线CE与平面ABCD所成角为60?，问在线段DE上是否存在一点F，使二面角F AC D? ?的余弦值为2 1313？若存在，求出DFFE的值：若不存在，请说明理由．

9．如图，在四面体ABCD中，已知60ABD CBD? ?? ? ?，2AB BC? ?，（1）求证：AC BD?；（2）若平面ABD?平面CBD，且52BD ?，求二面角C AD B? ?的余弦值．

10．已知如图，平面ABD?平面BCD，90BAD BCD? ?? ? ?，45ABD? ? ?，30CBD? ? ?．（Ⅰ）异面直线AB、CD所成的角为?，异面直线AC、BD所成的角为?，求证：? ??；（Ⅱ）求二面角B AC D? ?的余弦值的绝对值．

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11．如图，BD是四边形ABCD的外接圆O?的直径，PA?平面ABCD，E为PD的中点，已知60ABD CBD? ?? ? ?，2PA BD? ?．（1）求证：/ /CE平面PAB；（2）求平面PCE与平面BCD所成锐角二面角的余弦值．

12．已知四面体ABCD，120ADB CDB? ?? ? ?，且平面ABD?平面BCD．（Ⅰ）若AD CD?，求证：BD AC?；（Ⅱ）求二面角B CD A? ?的正切值．第19讲利用传统方法找几何关系建系

一．解答题（共20小题）1．如图：长为3的线段PQ与边长为2的正方形ABCD垂直相交于其中心( )O PO OQ?．（1）若二面角P AB Q? ?的正切值为3?，试确定O在线段PQ的位置；

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（2）在（1）的前提下，以P，A，B，C，D，Q为顶点的几何体PABCDQ是否存在内切球？若存在，试确定其内切球心的具体位置；若不存在，请说明理由．

2．在四棱锥P ABCD?中，E为棱AD的中点，PE ?平面ABCD，/ /AD BC，90ADC? ? ?，2ED BC? ?，3EB ?，F为棱PC的中点．（Ⅰ）求证：/ /PA平面BEF；（Ⅱ）若二面角F BE C? ?为60?，求直线PB与平面ABCD所成角的正切值．

3．如图（1），在等腰梯形CDEF中，CB，DA是梯形的高，2AE BF? ?，2 2AB ?，现将梯形沿CB，DA折起，使/ /EF AB且2EF AB?，得一简单组合体ABCDEF如图（2）示，已知M，N分别为AF，BD的中点．（Ⅰ）求证：/ /MN平面BCF；（Ⅱ）若直线DE与平面ABFE所成角的正切值为22，则求平面CDEF与平面ADE所成的锐二面角大小．

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4．三棱柱1 1 1ABC ABC?中，AB AC?，2AB AC? ?，侧面1 1BCC B为矩形，1 23A AB ?? ?，二面角1A BC A? ?的正切值为12．（Ⅰ）求侧棱1AA的长；（Ⅱ）侧棱1CC上是否存在点D，使得直线AD与平面1ABC所成角的正切值为63，若存在，判断点的位置并证明；若不存在，说明理由．

5．如图，在四棱锥P ABCD?中，底面四边形ABCD内接于圆O，AC是圆O的一条直径，PA?平面ABCD，2PA AC? ?，E是PC的中点，DAC AOB? ??（1）求证：/ /BE平面PAD；（2）若二面角P CD A? ?的正切值为2，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．

6．如图，四棱锥P ABCD?中，底面ABCD是边长为2的菱形，且120ABC? ? ?，PD AB?，平面PAB ?平面ABCD，点E，F为棱PB，PC中点，二面角F AD C? ?的平面角的余弦值为3 1313．（1）求棱PA的长；（2）求PD与平面ADFE所成角的正切值．

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7．在如图所示的几何体中，平面ACE ?平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，90ACB? ? ?，/ /EF BC，2 2AC BC EF? ? ?，2AE EC? ?．（Ⅰ）求证：AE EF?；（Ⅱ）求平面ABF与平面BDE所成的锐二面角的正切值；（Ⅲ）若点G在线段DE上，求直线CG与平面ABF所成的角的正弦值的取值范围；并求该正弦值取最大值时，多面体ABCDFG的体积．

8．如图，在多面体1 1 1ABC ABC?中，侧面1 1AAB B ?底面1 1 1ABC，四边形1 1AAB B是矩形，1 1 1 1AC AB?，1 1 1 120B AC? ? ?，1 1/ /BC BC，1 1 2BC BC?．（1）求证：1 1 1AC BC?；（2）当二面角1 1C AC B? ?的正切值为2时，求11 1AAAB的值．

9．如图，已知五面体ABCDE，其中ABC?内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC ?平面ABC．（Ⅰ）证明：AD BC?（Ⅱ）若4AB ?，2BC ?，且二面角A BD C? ?所成角?的正切值是2，试求该几何体ABCDE的体积．

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10．如图所示，PA?平面ABCD，CAB?为等边三角形，PA AB?，AC CD?，M为AC中点．（Ⅰ）证明：/ /BM平面PCD；（Ⅱ）若PD与平面PAC所成角的正切值为62，求二面角C PD M? ?的正切值．

11．在等腰梯形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，4AB ?，2CD ?，2AD BC? ?，现将梯形AEFD沿EF折起，并记平面AEFD与平面BEFC所成二面角的平面角为?，BE中点为G．（1）当60? ? ?时，求证：AG ?平面AEFC；（2）当三棱锥D CFG?的体积取得最大值时，求DG与平面AEFD所成角的正切值．

12．已知直角三角形ABE，AB BE?，2 4AB BE? ?，C，D分别是AB，AE上的动点，且/ /CD BE，将ACD?沿CD折起到位置1ACD，使平面1ACD与平面BCD所成的二面角1A CD B? ?的大小为?，设

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CDBE ??，(0,1)??．（1）若2?? ?且1A E与平面BCD所成的角的正切值为22，求二面角1A DE B? ?的大小的正切值；（2）已知12? ?，G为1A E的中点，若1BG AD?，求cos?的取值．13．已知ABC?和DBC?是两个有公共斜边的直角三角形，并且2AB AD AC a? ? ?，6CD a?．（1）若P是AC边上的一点，当PBD?的面积最小时，求二面角P BD A? ?的平面角的正切值；（2）能否找到一个球，使A，B，C，D都在该球面上，若不能，请说明理由；若能，求该球的内接圆柱的表面积的最大值．

14．如图，已知四棱锥P ABCD?，底面ABCD为菱形，2AB?，120BAD? ? ?，PA?平面ABCD，M，N分别是BC，PC的中点．（Ⅰ）证明：AM ?平面PAD；（Ⅱ）若H为45ADH? ? ?上的动点，2PA?与平面PA?所成最大角的正切值为62，求二面角M AN C? ?的余弦值．

15．在三棱锥A BCD?中，AB?平面BCD，BC CD?，点E在棱AC上，且BE AC?．

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（1）试证明：BE ?面ACD；（2）若2AB BC CD? ? ?，过直线BE任作一个平面与直线AD相交于点P，得到三棱锥A BCD?的一个截面BEP?，求BEP?面积的最小值；（3）若2AB BC CD? ? ?，求二面角B AD C? ?的正弦值．

16．如图1所示，在边长为12的正方形1 1ADD A中，点B，C在线段AD上，且3AB?，4BC ?，作1 1/ /BB AA，分别交1 1AD，1AD于点1B，P，作1 1/ /CC AA，分别交1 1AD，1AD于点1C，Q，将该正方形沿1BB，1CC折叠，使得1DD与1AA重合，构成如图2所示的三棱柱1 1 1ABC ABC?．（1）求证：AB?平面1 1BCC B；（2）若点E为四边形BCQP内一动点，且二面角E AP Q? ?的余弦值为33，求| |BE的最小值．

17．如图，在边长为4的菱形ABCD中，60DAB? ? ?．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF AC?，EF AC O??．沿EF将CEF?翻折到PEF?的位置，使平面PEF ?平面ABFED，点Q满足( 0)AQ QP? ?? ????? ????．（1）求证：BD?平面POA；（2）求PB的最小值，并探究此时直线OQ与平面PBD所成的角是否一定大于4?？

18．在Rt ABC?中，4AC ?，3BC ?，90C? ? ?，D，E分别为AC，AB边上的点，且/ /DE BC，沿DE

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将ADE?折起（记为△1 )ADE，使二面角1A DE B? ?为直二面角．（1）当E点在何处时，1A B的长度最小，并求出最小值；（2）当1A B的长度最小时，求二面角1A BE C? ?的大小．19．如图，在四棱锥P ABCD?中，PD?面ABCD，四边形ABCD是菱形，6AC ?，6 3BD ?，E是PB

上任意一点（1）求证：AC DE?；（2）当AEC?面积的最小值是9时，求PD的长（3）在（2）的条件下，在线段BC上是否存在点G，使EG与面PAB所成角的正切值为2？若存在，求出BG的值，若不存在，说明理由．

20．如图，在四棱锥P ABCD?中，底面ABCD为菱形，PA?平面ABCD，2AB?，60ABC? ? ?，E，F分别是BC，PC的中点．（Ⅰ）证明：AE PD?；（Ⅱ）设H为线段PD上的动点，若线段EH长的最小值为5，求直线PD与平面AEF所成的角的余弦值．

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第20讲立体几何综合问题一．解答题（共14小题）1．如图，直线AQ ?平面?，直线AQ ?平行四边形ABCD，四棱锥P ABCD?的顶点P在平面?上，7AB ?，3AD ?，AD DB?，AC BD O??，/ /OP AQ，2AQ ?，M，N分别是AQ与CD的中点．（1）求证：/ /MN平面QBC；（2）求二面角M CB Q? ?的余弦值．

2．如图，四边形ABCD为菱形，120ABC? ? ?，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE ?平面ABCD，DF ?平面ABCD，2BE DF?，AE EC?．( )I证明：平面AEC ?平面AFC；( )II求二面角B CE F? ?的余弦值．

3．如图，四棱锥S ABCD?中，/ /AB CD，BC CD?，侧面SAB为等边三角形．2AB BC? ?，1CD SD? ?．（1）证明：SD ?平面SAB（2）求AB与平面SBC所成角的正弦值．

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4．如图，四棱锥S ABCD?中，底面ABCD为矩形，SD ?底面ABCD，2AD ?，2DC SD? ?，点M在侧棱SC上，60ABM? ? ?．（Ⅰ）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S AM B? ?的余弦值．

5．如图，四棱锥P ABCD?的底面ABCD为直角梯形，/ /BC AD，且2 2 2AD AB BC? ? ?，90BAD? ? ?，PAD?为等边三角形，平面ABCD?平面PAD；点E、M分别为PD、PC的中点．（1）证明：/ /CE平面PAB；（2）求三棱锥M BAD?的体积；（3）求直线DM与平面ABM所成角的正弦值．

6．如图，在平行四边形ABCD中，1AB?，2AD?，3ABC ?? ?，四边形ACEF为矩形，平面ACEF ?平面ABCD，1AF ?，点M在线段EF上运动，且EM EF??????? ????．（1）当12? ?时，求异面直线DE与BM所成角的大小；

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（2）设平面MBC与平面ECD所成二面角的大小为(0 )2?? ?? ?，求cos?的取值范围．7．如图，在四棱锥P ABCD?中，侧面PAD?底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，其中/ /AB CD，90CDA? ? ?，2 2CD AB? ?，3AD?，5PA?，2 2PD ?，点E在棱AD上且1AE ?，点F为棱PD

的中点．在棱AD上且1AE ?，点F位棱PD的中点．（1）证明：平面BEF ?平面PEC；（2）求二面角A BF C? ?的余弦值的大小．

8．如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE BCF?和一个正四棱锥P ABCD?组合而成，AD AF?，2AE AD? ?．（Ⅰ）证明：平面PAD?平面ABFE；（Ⅱ）求正四棱锥P ABCD?的高h，使得二面角C AF P? ?的余弦值是2 23．

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9．如图，在四棱锥A BCFE?中，四边形EFCB为梯形，/ /EF BC，且34EF BC?，ABC?是边长为2的正三角形，顶点F在AC上的射影为点G，且3FG ?，212CF ?，52BF ?．（1）证明：平面FGB?平面ABC；（2）求二面角E AB F? ?的余弦值．

10．如图，在斜三棱柱1 1 1ABC ABC?中，侧面1 1ACC A与侧面1 1CBBC都是菱形，1 1 1 60ACC CC B? ?? ? ?，2AC ?．( )I求证：1 1AB CC?；( )II若1 6AB ?，求平面1 1 1ABC和平面1ACB所成锐二面角的余弦值．

11．在如图所示的空间几何体中，平面ACD ?平面ABC，ACD?与ACB?是边长为2的等边三角形，2BE ?，BE和平面ABC所成的角为60?，且点E在平面ABC上的射影落在ABC?的平分线上．（1）求证：/ /DE平面ABC；（2）求二面角E BC A? ?．

12．如图，在四面体ABCD中，已知60ABD CBD? ?? ? ?，2AB BC? ?，（1）求证：AC BD?；

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（2）若平面ABD?平面CBD，且52BD ?，求二面角C AD B? ?的余弦值．13．三棱柱1 1 1ABC ABC?的底面ABC是等边三角形，BC的中点为O，1AO ?底面ABC，1AA与底面ABC所

成的角为3?，点D在棱1AA上，且32AD ?，2AB?．（1）求证：OD ?平面1 1BBC C；（2）求二面角1 1B BC A? ?的平面角的余弦值．

14．如图，将矩形ABCD沿AE折成二面角1D AE B? ?，其中E为CD的中点，已知2AB?，1BC ?．1 1BD CD?，1F为1D B的中点．（1）求证：/ /CF平面1AD E；（2）求AF与平面1BD E所成角的正弦值．

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