数列中的奇偶项问题一、真题剖析【2020年新课标1卷文科】数列{an}满足an+2+(-1)nan=3n-1，前16项和为540，则a1= _____________二、题型选讲题型一、分段函数的奇偶项求和例1.(2022·南京9月学情【零模】)(本小题满分10分)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，S3=7a1，且a1，a2+2，a3成等差数列．(1)求{an}的通项公式；(2)若bn= an，n为奇数，n，n为偶数，???求数列{bn}的前2n项和T2n．变式1.(2022·江苏南京市金陵中学高三10月月考)已知等差数列{an}前n项和为Sn(n∈N+)，数列{bn}是等比数列，a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5-2b2=a3.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)若cn= 2Sn ,n为奇数bn,n为偶数???，设数列{cn}的前n项和为Tn，求T2n.
变式2.(2022·山东·潍坊一中模拟预测)已知数列an? ?满足a12 + a222 +???+an2n = n2n．(1)求数列an? ?的通项公式；(2)对任意的n∈N?，令bn= 2-n,n为奇数22-n,为偶数???，求数列bn? ?的前n项和Sn．变式3.(2022·湖南省雅礼中学开学考试)(10分)已知数列{an}满足n2 an+12 + 12，为正奇数，2an2 + n2，n为正偶数．???(1)问数列{an}是否为等差数列或等比数列?说明理由．(2)求证：数列a2n2n??? ? ? ?是等差数列，并求数列{a2n}的通项公式．
题型二、含有(-1)n类型例2.【2022·广东省深圳市福田中学10月月考】已知等差数列{an}前n项和为Sn，a5=9，S5=25.(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；(2)设bn=(-1)nSn，求{bn}前n项和Tn.变式1.【2022·广东省深圳市育才中学10月月考】已知数列an? ?的前n项和为Sn，且对任意正整数n，an= 34 Sn+2成立．(1)bn=log2an，求数列bn? ?的通项公式；(2)设cn= -1? ? n+1 n+1bnbn+1，求数列cn? ?的前n项和Tn．
变式2.(2021·山东济宁市·高三二模)已知数列an? ?是正项等比数列，满足a3是2a1、3a2的等差中项，a4=16．(1)求数列an? ?的通项公式；(2)若bn= -1? ? n 2a2n+1log，求数列bn? ?的前n项和Tn．变式3.(2022·湖北·黄冈中学二模)已知数列an? ?中，a1=2,n an+1-an? ? =an+1.(1)求证：数列an+1n??? ? ? ?是常数数列；(2)令bn=(-1)nan,Sn为数列bn? ?的前n项和，求使得Sn≤-99的n的最小值.
题型三、an+an+1类型例3.(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列an? ?满足a1=1，an+an+1=2n；数列bn? ?前n项和为Sn，且b1=1，2Sn=bn+1-1.(1)求数列an? ?和数列bn? ?的通项公式；(2)设cn=an?bn，求cn? ?前2n项和T2n.变式1.(2022·江苏苏州·高三期末)若数列an? ?满足an+m=an+d(m∈N，d是不等于0的常数)对任意n∈N恒成立，则称an? ?是周期为m，周期公差为d的“类周期等差数列”．已知在数列an? ?中，a1=1，an+an+1=4n+1(n∈N)．(1)求证：an? ?是周期为2的“类周期等差数列”，并求a2,a2022的值；(2)若数列bn? ?满足bn=an+1-an(n∈N)，求bn? ?的前n项和Tn．
变式2.(2022·江苏新高考基地学校第一次大联考期中)(10分)已知等差数列{an}满足an+an+1=4n，n∈N．(1)求{an}的通项公式；(2)设b1=1，bn+1= an，n为奇数，-bn+2n，n为偶数，???求数列{bn}的前2n项和S2n．三、追踪训练1. (2022·江苏苏州市八校联盟第一次适应性检测)若数列{an}中不超过f(m)的项数恰为bm(m∈N)，则称数列{bm}是数列{an}的生成数列，称相应的函数f(m)是数列{an}生成{bm}的控制函数．已知an=2n，且f(m)=m，数列{bm}的前m项和Sm，若Sm=30，则m的值为( )A. 9 B. 11 C. 12 D. 142.【2022·广东省深圳市第七高级中学10月月考】(多选题)已知数列an? ?满足an+1 + an = n ?-1? ? n n+1? ?2，其前n项和为Sn，且m+S2019=-1009，则下列说法正确的是( )A. m为定值B. m+a1为定值C. S2019-a1为定值D. ma1有最大值3. (2022·江苏南通市区期中)(多选题)已知数列{an}满足a1=-2，a2=2，an+2-2an=1-(-1)n，则A. {a2n-1}是等比数列B. 5i=1 a2i?1+2? ?? =-10C. {a2n}是等比数列D. 10i=1ai? =524. (2022·江苏海门中学、泗阳中学期中联考)已知数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n+1，则a1+a3+a5+?+a99=．
5. (2021·天津红桥区·高三一模)已知数列an? ?的前n项和Sn满足：Sn=2an+(-1)n，n≥1.(1)求数列an? ?的前3项a1，a2，a3；(2)求证：数列an+ 23 ? -1? ? n??? ? ? ?是等比数列：(3)求数列(6n-3)?an? ?的前n项和Tn.6. (2022·山东烟台·高三期末)已知数列an? ?满足a1=4，an+1= 12 an+n, n=2k-1an-2n, n=2k??? (k∈N)．(1)记bn=a2n-2，证明：数列bn? ?为等比数列，并求bn? ?的通项公式；(2)求数列an? ?的前2n项和S2n．
|
|
