小学数学30种典型应用题

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小 学 数 学 30 种 典 型 应 用 题 讲 解小 学 数 学 应 用 题 目 眼 花 缭 乱 千 变 万 化 ？ 抽 丝 剥 茧 、 一 键 归 类 ， 这30 种 就 够 了 ！题 目 中 有 特 殊 的 数 量 关 系 ， 可 以 用 特 定 的 步 骤 和 方 法 来 解 答 的 应 用题 ， 叫 做 典 型 应 用 题 .小 学 阶 段 主 要 研 究 30类 典 型 应 用 题 ：

1、 归 一 问 题2、 归 总 问 题3、 和 差 问 题4、 和 倍 问 题5、 差 倍 问 题6、 倍 比 问 题7、 相 遇 问 题8、 追 及 问 题9、 植 树 问 题10、 年 龄 问 题 11、 行 船 问 题12、 列 车 问 题13、 时 钟 问 题14、 盈 亏 问 题15、 工 程 问 题16、 正 反 比 例 问 题17、 按 比 例 分 配18、 百 分 数 问 题19、 “ 牛 吃 草 ” 问 题20、 鸡 兔 同 笼 问 题 21、 方 阵 问 题22、 商 品 利 润 问 题23、 存 款 利 率 问 题24、 溶 液 浓 度 问 题25 构 图 布 数 问 题26、 幻 方 问 题27、 抽 屉 原 则 问 题28、 公 约 公 倍 问 题29、 最 值 问 题30、 列 方 程 问 题

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1 归 一 问 题【 含 义 】 在 解 题 时 ， 先 求 出 一 份 是 多 少 （ 即 单 一 量 ） ， 然 后 以 单 一 量 为 标 准 ， 求 出 所 要 求的 数 量 。 这 类 应 用 题 叫 做 归 一 问 题 。【 数 量 关 系 】 总 量 ÷ 份 数 ＝ 1份 数 量1份 数 量 × 所 占 份 数 ＝ 所 求 几 份 的 数 量另 一 总 量 ÷ （ 总 量 ÷ 份 数 ） ＝ 所 求 份 数【 解 题 思 路 和 方 法 】 先 求 出 单 一 量 ， 以 单 一 量 为 标 准 ， 求 出 所 要 求 的 数 量 。例 1 买 5支 铅 笔 要 0.6元 钱 ， 买 同 样 的 铅 笔 16支 ， 需 要 多 少 钱 ？解 （ 1） 买 1 支 铅 笔 多 少 钱 ？ 0.6÷ 5＝ 0.12（ 元 ）

（ 2） 买 16支 铅 笔 需 要 多 少 钱 ？ 0.12× 16＝ 1.92（ 元 ）列 成 综 合 算 式 0.6÷ 5× 16＝ 0.12× 16＝ 1.92（ 元 ）答 ： 需 要 1.92 元 。例 2 3台 拖 拉 机 3 天 耕 地 90公 顷 ， 照 这 样 计 算 ， 5台 拖 拉 机 6 天 耕 地 多 少 公 顷 ？解 （ 1） 1台 拖 拉 机 1天 耕 地 多 少 公 顷 ？ 90÷ 3÷ 3＝ 10（ 公 顷 ）（ 2） 5台 拖 拉 机 6天 耕 地 多 少 公 顷 ？ 10× 5× 6＝ 300（ 公 顷 ）列 成 综 合 算 式 90÷ 3÷ 3× 5× 6＝ 10× 30＝ 300（ 公 顷 ）答 ： 5台 拖 拉 机 6 天 耕 地 300公 顷 。

例 3 5 辆 汽 车 4 次 可 以 运 送 100 吨 钢 材 ， 如 果 用 同 样 的 7 辆 汽 车 运 送 105 吨 钢 材 ， 需 要 运几 次 ？解 （ 1） 1辆 汽 车 1次 能 运 多 少 吨 钢 材 ？ 100÷ 5÷ 4＝ 5（ 吨 ）（ 2） 7辆 汽 车 1次 能 运 多 少 吨 钢 材 ？ 5× 7＝ 35（ 吨 ）（ 3） 105吨 钢 材 7 辆 汽 车 需 要 运 几 次 ？ 105÷ 35＝ 3（ 次 ）列 成 综 合 算 式 105÷ （ 100÷ 5÷ 4× 7） ＝ 3（ 次 ）答 ： 需 要 运 3次 。

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2 归 总 问 题【 含 义 】 解 题 时 ， 常 常 先 找 出 “ 总 数 量 ” ， 然 后 再 根 据 其 它 条 件 算 出 所 求 的 问 题 ， 叫 归 总问 题 。 所 谓 “ 总 数 量 ” 是 指 货 物 的 总 价 、 几 小 时 （ 几 天 ） 的 总 工 作 量 、 几 公 亩 地 上 的 总 产量 、 几 小 时 行 的 总 路 程 等 。【 数 量 关 系 】 1份 数 量 × 份 数 ＝ 总 量总 量 ÷ 1份 数 量 ＝ 份 数总 量 ÷ 另 一 份 数 ＝ 另 一 每 份 数 量【 解 题 思 路 和 方 法 】 先 求 出 总 数 量 ， 再 根 据 题 意 得 出 所 求 的 数 量 。例 1 服 装 厂 原 来 做 一 套 衣 服 用 布 3.2米 ， 改 进 裁 剪 方 法 后 ， 每 套 衣 服 用 布 2.8米 。 原 来 做

791套 衣 服 的 布 ， 现 在 可 以 做 多 少 套 ？解 （ 1） 这 批 布 总 共 有 多 少 米 ？ 3.2× 791＝ 2531.2（ 米 ）（ 2） 现 在 可 以 做 多 少 套 ？ 2531.2÷ 2.8＝ 904（ 套 ）列 成 综 合 算 式 3.2× 791÷ 2.8＝ 904（ 套 ）答 ： 现 在 可 以 做 904套 。例 2 小 华 每 天 读 24页 书 ， 12天 读 完 了 《 红 岩 》 一 书 。 小 明 每 天 读 36页 书 ， 几 天 可 以 读 完《 红 岩 》 ？解 （ 1） 《 红 岩 》 这 本 书 总 共 多 少 页 ？ 24× 12＝ 288（ 页 ）（ 2） 小 明 几 天 可 以 读 完 《 红 岩 》 ？ 288÷ 36＝ 8（ 天 ）

列 成 综 合 算 式 24× 12÷ 36＝ 8（ 天 ）答 ： 小 明 8 天 可 以 读 完 《 红 岩 》 。例 3 食 堂 运 来 一 批 蔬 菜 ， 原 计 划 每 天 吃 50 千 克 ， 30 天 慢 慢 消 费 完 这 批 蔬 菜 。 后 来 根 据 大家 的 意 见 ， 每 天 比 原 计 划 多 吃 10千 克 ， 这 批 蔬 菜 可 以 吃 多 少 天 ？解 （ 1） 这 批 蔬 菜 共 有 多 少 千 克 ？ 50× 30＝ 1500（ 千 克 ）（ 2） 这 批 蔬 菜 可 以 吃 多 少 天 ？ 1500÷ （ 50＋ 10） ＝ 25（ 天 ）列 成 综 合 算 式 50× 30÷ （ 50＋ 10） ＝ 1500÷ 60＝ 25（ 天 ）

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答 ： 这 批 蔬 菜 可 以 吃 25天3 和 差 问 题【 含 义 】 已 知 两 个 数 量 的 和 与 差 ， 求 这 两 个 数 量 各 是 多 少 ， 这 类 应 用 题 叫 和 差 问 题 。【 数 量 关 系 】 大 数 ＝ （ 和 ＋ 差 ） ÷ 2小 数 ＝ （ 和 － 差 ） ÷ 2【 解 题 思 路 和 方 法 】 简 单 的 题 目 可 以 直 接 套 用 公 式 ； 复 杂 的 题 目 变 通 后 再 用 公 式 。例 1 甲 乙 两 班 共 有 学 生 98人 ， 甲 班 比 乙 班 多 6人 ， 求 两 班 各 有 多 少 人 ？解 甲 班 人 数 ＝ （ 98＋ 6） ÷ 2＝ 52（ 人 ）乙 班 人 数 ＝ （ 98－ 6） ÷ 2＝ 46（ 人 ）

答 ： 甲 班 有 52人 ， 乙 班 有 46人 。例 2 长 方 形 的 长 和 宽 之 和 为 18厘 米 ， 长 比 宽 多 2 厘 米 ， 求 长 方 形 的 面 积 。解 长 ＝ （ 18＋ 2） ÷ 2＝ 10（ 厘 米 ）宽 ＝ （ 18－ 2） ÷ 2＝ 8（ 厘 米 ）长 方 形 的 面 积 ＝ 10× 8＝ 80（ 平 方 厘 米 ）答 ： 长 方 形 的 面 积 为 80平 方 厘 米 。例 3 有 甲 乙 丙 三 袋 化 肥 ， 甲 乙 两 袋 共 重 32千 克 ， 乙 丙 两 袋 共 重 30千 克 ， 甲 丙 两 袋 共 重 22千 克 ， 求 三 袋 化 肥 各 重 多 少 千 克 。解 甲 乙 两 袋 、 乙 丙 两 袋 都 含 有 乙 ， 从 中 可 以 看 出 甲 比 丙 多 （ 32－ 30） ＝ 2 千 克 ， 且 甲 是 大

数 ， 丙 是 小 数 。 由 此 可 知甲 袋 化 肥 重 量 ＝ （ 22＋ 2） ÷ 2＝ 12（ 千 克 ）丙 袋 化 肥 重 量 ＝ （ 22－ 2） ÷ 2＝ 10（ 千 克 ）乙 袋 化 肥 重 量 ＝ 32－ 12＝ 20（ 千 克 ）答 ： 甲 袋 化 肥 重 12千 克 ， 乙 袋 化 肥 重 20千 克 ， 丙 袋 化 肥 重 10千 克 。4 和 倍 问 题【 含 义 】 已 知 两 个 数 的 和 及 大 数 是 小 数 的 几 倍 （ 或 小 数 是 大 数 的 几 分 之 几 ） ， 要 求 这 两 个

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数 各 是 多 少 ， 这 类 应 用 题 叫 做 和 倍 问 题 。【 数 量 关 系 】 总 和 ÷ （ 几 倍 ＋ 1） ＝ 较 小 的 数总 和 － 较 小 的 数 ＝ 较 大 的 数较 小 的 数 × 几 倍 ＝ 较 大 的 数【 解 题 思 路 和 方 法 】 简 单 的 题 目 直 接 利 用 公 式 ， 复 杂 的 题 目 变 通 后 利 用 公 式 。例 1 果 园 里 有 杏 树 和 桃 树 共 248棵 ， 桃 树 的 棵 数 是 杏 树 的 3 倍 ， 求 杏 树 、 桃 树 各 多 少 棵 ？解 （ 1） 杏 树 有 多 少 棵 ？ 248÷ （ 3＋ 1） ＝ 62（ 棵 ）（ 2） 桃 树 有 多 少 棵 ？ 62× 3＝ 186（ 棵 ）答 ： 杏 树 有 62棵 ， 桃 树 有 186棵 。

例 2 东 西 两 个 仓 库 共 存 粮 480 吨 ， 东 库 存 粮 数 是 西 库 存 粮 数 的 1.4 倍 ， 求 两 库 各 存 粮 多 少吨 ？解 （ 1） 西 库 存 粮 数 ＝ 480÷ （ 1.4＋ 1） ＝ 200（ 吨 ）（ 2） 东 库 存 粮 数 ＝ 480－ 200＝ 280（ 吨 ）答 ： 东 库 存 粮 280 吨 ， 西 库 存 粮 200吨 。例 3 甲 站 原 有 车 52辆 ， 乙 站 原 有 车 32辆 ， 若 每 天 从 甲 站 开 往 乙 站 28辆 ， 从 乙 站 开 往 甲 站24辆 ， 几 天 后 乙 站 车 辆 数 是 甲 站 的 2倍 ？解 每 天 从 甲 站 开 往 乙 站 28辆 ， 从 乙 站 开 往 甲 站 24辆 ， 相 当 于 每 天 从 甲 站 开 往 乙 站 （ 28－24） 辆 。 把 几 天 以 后 甲 站 的 车 辆 数 当 作 1 倍 量 ， 这 时 乙 站 的 车 辆 数 就 是 2 倍 量 ， 两 站 的 车

辆 总 数 （ 52＋ 32） 就 相 当 于 （ 2＋ 1） 倍 ，那 么 ， 几 天 以 后 甲 站 的 车 辆 数 减 少 为（ 52＋ 32） ÷ （ 2＋ 1） ＝ 28（ 辆 ）所 求 天 数 为 （ 52－ 28） ÷ （ 28－ 24） ＝ 6（ 天 ）答 ： 6天 以 后 乙 站 车 辆 数 是 甲 站 的 2 倍 。5 差 倍 问 题【 含 义 】 已 知 两 个 数 的 差 及 大 数 是 小 数 的 几 倍 （ 或 小 数 是 大 数 的 几 分 之 几 ） ， 要 求 这 两 个

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数 各 是 多 少 ， 这 类 应 用 题 叫 做 差 倍 问 题 。【 数 量 关 系 】 两 个 数 的 差 ÷ （ 几 倍 － 1） ＝ 较 小 的 数较 小 的 数 × 几 倍 ＝ 较 大 的 数【 解 题 思 路 和 方 法 】 简 单 的 题 目 直 接 利 用 公 式 ， 复 杂 的 题 目 变 通 后 利 用 公 式 。例 1 果 园 里 桃 树 的 棵 数 是 杏 树 的 3倍 ， 而 且 桃 树 比 杏 树 多 124棵 。 求 杏 树 、 桃 树 各 多 少 棵 ？解 （ 1） 杏 树 有 多 少 棵 ？ 124÷ （ 3－ 1） ＝ 62（ 棵 ）（ 2） 桃 树 有 多 少 棵 ？ 62× 3＝ 186（ 棵 ）答 ： 果 园 里 杏 树 是 62棵 ， 桃 树 是 186棵 。例 2 爸 爸 比 儿 子 大 27岁 ， 今 年 ， 爸 爸 的 年 龄 是 儿 子 年 龄 的 4倍 ， 求 父 子 二 人 今 年 各 是 多 少

岁 ？解 （ 1） 儿 子 年 龄 ＝ 27÷ （ 4－ 1） ＝ 9（ 岁 ）（ 2） 爸 爸 年 龄 ＝ 9× 4＝ 36（ 岁 ）答 ： 父 子 二 人 今 年 的 年 龄 分 别 是 36岁 和 9 岁 。例 3 商 场 改 革 经 营 管 理 办 法 后 ， 本 月 盈 利 比 上 月 盈 利 的 2倍 还 多 12万 元 ， 又 知 本 月 盈 利 比上 月 盈 利 多 30万 元 ， 求 这 两 个 月 盈 利 各 是 多 少 万 元 ？解 如 果 把 上 月 盈 利 作 为 1 倍 量 ， 则 （ 30－ 12） 万 元 就 相 当 于 上 月 盈 利 的 （ 2－ 1） 倍 ， 因 此上 月 盈 利 ＝ （ 30－ 12） ÷ （ 2－ 1） ＝ 18（ 万 元 ）本 月 盈 利 ＝ 18＋ 30＝ 48（ 万 元 ）

答 ： 上 月 盈 利 是 18万 元 ， 本 月 盈 利 是 48万 元 。6 倍 比 问 题【 含 义 】 有 两 个 已 知 的 同 类 量 ， 其 中 一 个 量 是 另 一 个 量 的 若 干 倍 ， 解 题 时 先 求 出 这 个 倍 数 ，再 用 倍 比 的 方 法 算 出 要 求 的 数 ， 这 类 应 用 题 叫 做 倍 比 问 题 。【 数 量 关 系 】 总 量 ÷ 一 个 数 量 ＝ 倍 数另 一 个 数 量 × 倍 数 ＝ 另 一 总 量【 解 题 思 路 和 方 法 】 先 求 出 倍 数 ， 再 用 倍 比 关 系 求 出 要 求 的 数 。

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例 1 100千 克 油 菜 籽 可 以 榨 油 40千 克 ， 现 在 有 油 菜 籽 3700 千 克 ， 可 以 榨 油 多 少 ？解 （ 1） 3700千 克 是 100千 克 的 多 少 倍 ？ 3700÷ 100＝ 37（ 倍 ）（ 2） 可 以 榨 油 多 少 千 克 ？ 40× 37＝ 1480（ 千 克 ）列 成 综 合 算 式 40× （ 3700÷ 100） ＝ 1480（ 千 克 ）答 ： 可 以 榨 油 1480 千 克 。例 2 今 年 植 树 节 这 天 ， 某 小 学 300 名 师 生 共 植 树 400 棵 ， 照 这 样 计 算 ， 全 县 48000 名 师 生共 植 树 多 少 棵 ？解 （ 1） 48000名 是 300名 的 多 少 倍 ？ 48000÷ 300＝ 160（ 倍 ）（ 2） 共 植 树 多 少 棵 ？ 400× 160＝ 64000（ 棵 ）

列 成 综 合 算 式 400× （ 48000÷ 300） ＝ 64000（ 棵 ）答 ： 全 县 48000名 师 生 共 植 树 64000棵 。例 3 凤 翔 县 今 年 苹 果 大 丰 收 ， 田 家 庄 一 户 人 家 4亩 果 园 收 入 11111元 ， 照 这 样 计 算 ， 全 乡800亩 果 园 共 收 入 多 少 元 ？ 全 县 16000亩 果 园 共 收 入 多 少 元 ？解 （ 1） 800亩 是 4亩 的 几 倍 ？ 800÷ 4＝ 200（ 倍 ）（ 2） 800亩 收 入 多 少 元 ？ 11111× 200＝ 2222200（ 元 ）（ 3） 16000亩 是 800亩 的 几 倍 ？ 16000÷ 800＝ 20（ 倍 ）（ 4） 16000亩 收 入 多 少 元 ？ 2222200× 20＝ 44444000（ 元 ）答 ： 全 乡 800亩 果 园 共 收 入 2222200 元 ， 全 县 16000亩 果 园 共 收 入 44444000元 。7 相 遇 问 题

【 含 义 】 两 个 运 动 的 物 体 同 时 由 两 地 出 发 相 向 而 行 ， 在 途 中 相 遇 。 这 类 应 用 题 叫 做 相 遇 问题 。【 数 量 关 系 】 相 遇 时 间 ＝ 总 路 程 ÷ （ 甲 速 ＋ 乙 速 ）总 路 程 ＝ （ 甲 速 ＋ 乙 速 ） × 相 遇 时 间【 解 题 思 路 和 方 法 】 简 单 的 题 目 可 直 接 利 用 公 式 ， 复 杂 的 题 目 变 通 后 再 利 用 公 式 。例 1 南 京 到 上 海 的 水 路 长 392 千 米 ， 同 时 从 两 港 各 开 出 一 艘 轮 船 相 对 而 行 ， 从 南 京 开 出 的

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船 每 小 时 行 28千 米 ， 从 上 海 开 出 的 船 每 小 时 行 21千 米 ， 经 过 几 小 时 两 船 相 遇 ？解 392÷ （ 28＋ 21） ＝ 8（ 小 时 ）答 ： 经 过 8 小 时 两 船 相 遇 。例 2 小 李 和 小 刘 在 周 长 为 400 米 的 环 形 跑 道 上 跑 步 ， 小 李 每 秒 钟 跑 5 米 ， 小 刘 每 秒 钟 跑 3米 ， 他 们 从 同 一 地 点 同 时 出 发 ， 反 向 而 跑 ， 那 么 ， 二 人 从 出 发 到 第 二 次 相 遇 需 多 长 时 间 ？解 “ 第 二 次 相 遇 ” 可 以 理 解 为 二 人 跑 了 两 圈 。因 此 总 路 程 为 400× 2相 遇 时 间 ＝ （ 400× 2） ÷ （ 5＋ 3） ＝ 100（ 秒 ）答 ： 二 人 从 出 发 到 第 二 次 相 遇 需 100秒 时 间 。

例 3 甲 乙 二 人 同 时 从 两 地 骑 自 行 车 相 向 而 行 ， 甲 每 小 时 行 15 千 米 ， 乙 每 小 时 行 13 千 米 ，两 人 在 距 中 点 3 千 米 处 相 遇 ， 求 两 地 的 距 离 。解 “ 两 人 在 距 中 点 3 千 米 处 相 遇 ” 是 正 确 理 解 本 题 题 意 的 关 键 。 从 题 中 可 知 甲 骑 得 快 ， 乙骑 得 慢 ， 甲 过 了 中 点 3千 米 ， 乙 距 中 点 3千 米 ， 就 是 说 甲 比 乙 多 走 的 路 程 是 （ 3× 2） 千 米 ，因 此 ，相 遇 时 间 ＝ （ 3× 2） ÷ （ 15－ 13） ＝ 3（ 小 时 ）两 地 距 离 ＝ （ 15＋ 13） × 3＝ 84（ 千 米 ）答 ： 两 地 距 离 是 84千 米 。8 追 及 问 题

【 含 义 】 两 个 运 动 物 体 在 不 同 地 点 同 时 出 发 （ 或 者 在 同 一 地 点 而 不 是 同 时 出 发 ， 或 者 在 不同 地 点 又 不 是 同 时 出 发 ） 作 同 向 运 动 ， 后 面 的 物 体 追 赶 前 面 的 物 体 ， 这 类 问 题 叫 做 追 及 问题【 数 量 关 系 】 追 及 时 间 ＝ 追 及 路 程 ÷ （ 快 速 － 慢 速 ）追 及 路 程 ＝ （ 快 速 － 慢 速 ） × 追 及 时 间【 解 题 思 路 和 方 法 】 简 单 的 题 目 直 接 利 用 公 式 ， 复 杂 的 题 目 变 通 后 利 用 公 式 。例 1 好 马 每 天 走 120千 米 ， 劣 马 每 天 走 75千 米 ， 劣 马 先 走 12天 ， 好 马 几 天 能 追 上 劣 马 ？

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解 （ 1） 劣 马 先 走 12天 能 走 多 少 千 米 ？ 75× 12＝ 900（ 千 米 ）（ 2） 好 马 几 天 追 上 劣 马 ？ 900÷ （ 120－ 75） ＝ 20（ 天 ）列 成 综 合 算 式 75× 12÷ （ 120－ 75） ＝ 900÷ 45＝ 20（ 天 ）答 ： 好 马 20天 能 追 上 劣 马 。例 2 小 明 和 小 亮 在 200米 环 形 跑 道 上 跑 步 ， 小 明 跑 一 圈 用 40秒 ， 他 们 从 同 一 地 点 同 时 出 发 ，同 向 而 跑 。 小 明 第 一 次 追 上 小 亮 时 跑 了 500米 ， 求 小 亮 的 速 度 是 每 秒 多 少 米 。解 小 明 第 一 次 追 上 小 亮 时 比 小 亮 多 跑 一 圈 ， 即 200米 ， 此 时 小 亮 跑 了 （ 500－ 200） 米 ， 要知 小 亮 的 速 度 ， 须 知 追 及 时 间 ， 即 小 明 跑 500 米 所 用 的 时 间 。 又 知 小 明 跑 200米 用 40秒 ，则 跑 500米 用 ［ 40× （ 500÷ 200） ］ 秒 ， 所 以 小 亮 的 速 度 是

（ 500－ 200） ÷ ［ 40× （ 500÷ 200） ］ ＝ 300÷ 100＝ 3（ 米 ）答 ： 小 亮 的 速 度 是 每 秒 3 米 。例 3 我 人 民 解 放 军 追 击 一 股 逃 窜 的 敌 人 ， 敌 人 在 下 午 16 点 开 始 从 甲 地 以 每 小 时 10 千 米 的速 度 逃 跑 ， 解 放 军 在 晚 上 22 点 接 到 命 令 ， 以 每 小 时 30 千 米 的 速 度 开 始 从 乙 地 追 击 。 已 知甲 乙 两 地 相 距 60千 米 ， 问 解 放 军 几 个 小 时 可 以 追 上 敌 人 ？解 敌 人 逃 跑 时 间 与 解 放 军 追 击 时 间 的 时 差 是 （ 22－ 16） 小 时 ， 这 段 时 间 敌 人 逃 跑 的 路 程 是［ 10× （ 22－ 16） ］ 千 米 ， 甲 乙 两 地 相 距 60千 米 。 由 此 推 知追 及 时 间 ＝ ［ 10× （ 22－ 16） ＋ 60］ ÷ （ 30－ 10） ＝ 120÷ 20＝ 6（ 小 时 ）答 ： 解 放 军 在 6 小 时 后 可 以 追 上 敌 人 。9 植 树 问 题

【 含 义 】 按 相 等 的 距 离 植 树 ， 在 长 度 、 棵 距 、 棵 数 这 三 个 量 之 间 ， 已 知 其 中 的 两 个 量 ， 要求 第 三 个 量 ， 这 类 应 用 题 叫 做 植 树 问 题 。【 数 量 关 系 】 线 形 植 树 （ 两 端 都 种 ） 棵 数 ＝ 长 度 ÷ 棵 距 ＋ 1闭 合 环 形 植 树 棵 数 ＝ 周 长 ÷ 棵 距

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【 解 题 思 路 和 方 法 】 先 弄 清 楚 植 树 问 题 的 类 型 ， 然 后 可 以 利 用 公 式 。例 1 一 条 河 堤 136米 ， 每 隔 2米 栽 一 棵 垂 柳 ， 头 尾 都 栽 ， 一 共 要 栽 多 少 棵 垂 柳 ？解 136÷ 2＋ 1＝ 68＋ 1＝ 69（ 棵 ）答 ： 一 共 要 栽 69棵 垂 柳 。例 2 一 个 圆 形 池 塘 周 长 为 400米 ， 在 岸 边 每 隔 4米 栽 一 棵 白 杨 树 ， 一 共 能 栽 多 少 棵 白 杨 树 ？解 400÷ 4＝ 100（ 棵 ）答 ： 一 共 能 栽 100 棵 白 杨 树 。例 3 一 个 正 方 形 的 运 动 场 ， 每 边 长 220 米 ， 每 隔 8 米 安 装 一 个 照 明 灯 ， 一 共 可 以 安 装 多 少个 照 明 灯 ？

解 220× 4÷ 8＝ 106（ 个 ）答 ： 一 共 可 以 安 装 106个 照 明 灯 。10 年 龄 问 题【 含 义 】 这 类 问 题 是 根 据 题 目 的 内 容 而 得 名 ， 它 的 主 要 特 点 是 两 人 的 年 龄 差 不 变 ， 但 是 ，两 人 年 龄 之 间 的 倍 数 关 系 随 着 年 龄 的 增 长 在 发 生 变 化 。【 数 量 关 系 】 年 龄 问 题 往 往 与 和 差 、 和 倍 、 差 倍 问 题 有 着 密 切 联 系 ， 尤 其 与 差 倍 问 题 的 解题 思 路 是 一 致 的 ， 要 紧 紧 抓 住 “ 年 龄 差 不 变 ” 这 个 特 点 。【 解 题 思 路 和 方 法 】 可 以 利 用 “ 差 倍 问 题 ” 的 解 题 思 路 和 方 法 。两 个 数 的 差 ÷ （ 几 倍 － 1） ＝ 较 小 的 数

例 1 爸 爸 今 年 35岁 ， 亮 亮 今 年 5岁 ， 今 年 爸 爸 的 年 龄 是 亮 亮 的 几 倍 ？ 明 年 呢 ？解 35÷ 5＝ 7（ 倍 ）（ 35+1） ÷ （ 5+1） ＝ 6（ 倍 ）答 ： 今 年 爸 爸 的 年 龄 是 亮 亮 的 7 倍 ，明 年 爸 爸 的 年 龄 是 亮 亮 的 6倍 。例 2 母 亲 今 年 37岁 ， 女 儿 今 年 7岁 ， 几 年 后 母 亲 的 年 龄 是 女 儿 的 4倍 ？解 （ 1） 母 亲 比 女 儿 的 年 龄 大 多 少 岁 ？ 37－ 7＝ 30（ 岁 ）

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（ 2） 几 年 后 母 亲 的 年 龄 是 女 儿 的 4 倍 ？ 30÷ （ 4－ 1） － 7＝ 3（ 年 ）列 成 综 合 算 式 （ 37－ 7） ÷ （ 4－ 1） － 7＝ 3（ 年 ）答 ： 3年 后 母 亲 的 年 龄 是 女 儿 的 4倍 。例 3 3 年 前 父 子 的 年 龄 和 是 49 岁 ， 今 年 父 亲 的 年 龄 是 儿 子 年 龄 的 4 倍 ， 父 子 今 年 各 多 少岁 ？解 今 年 父 子 的 年 龄 和 应 该 比 3年 前 增 加 （ 3× 2） 岁 ，今 年 二 人 的 年 龄 和 为 49＋ 3× 2＝ 55（ 岁 ）把 今 年 儿 子 年 龄 作 为 1 倍 量 ， 则 今 年 父 子 年 龄 和 相 当 于 （ 4＋ 1） 倍 ， 因 此 ， 今 年 儿 子 年 龄为 55÷ （ 4＋ 1） ＝ 11（ 岁 ）

今 年 父 亲 年 龄 为 11× 4＝ 44（ 岁 ）答 ： 今 年 父 亲 年 龄 是 44岁 ， 儿 子 年 龄 是 11岁 。11 行 船 问 题【 含 义 】 行 船 问 题 也 就 是 与 航 行 有 关 的 问 题 。 解 答 这 类 问 题 要 弄 清 船 速 与 水 速 ， 船 速 是 船只 本 身 航 行 的 速 度 ， 也 就 是 船 只 在 静 水 中 航 行 的 速 度 ； 水 速 是 水 流 的 速 度 ， 船 只 顺 水 航 行的 速 度 是 船 速 与 水 速 之 和 ； 船 只 逆 水 航 行 的 速 度 是 船 速 与 水 速 之 差 。【 数 量 关 系 】 （ 顺 水 速 度 ＋ 逆 水 速 度 ） ÷ 2＝ 船 速（ 顺 水 速 度 － 逆 水 速 度 ） ÷ 2＝ 水 速【 解 题 思 路 和 方 法 】 大 多 数 情 况 可 以 直 接 利 用 数 量 关 系 的 公 式 。

例 1 一 只 船 顺 水 行 320千 米 需 用 8小 时 ， 水 流 速 度 为 每 小 时 15千 米 ， 这 只 船 逆 水 行 这 段 路程 需 用 几 小 时 ？解 由 条 件 知 ， 顺 水 速 ＝ 船 速 ＋ 水 速 ＝ 320÷ 8， 而 水 速 为 每 小 时 15千 米 ，所 以 ， 船 速 为 每 小 时 320÷ 8－ 15＝ 25（ 千 米 ）船 的 逆 水 速 为 25－ 15＝ 10（ 千 米 /小 时 ）船 逆 水 行 这 段 路 程 的 时 间 为 320÷ 10＝ 32（ 小 时 ）答 ： 这 只 船 逆 水 行 这 段 路 程 需 用 32小 时 。

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12 列 车 问 题【 含 义 】 这 是 与 列 车 行 驶 有 关 的 一 些 问 题 ， 解 答 时 要 注 意 列 车 车 身 的 长 度 。【 数 量 关 系 】 火 车 过 桥 ： 过 桥 时 间 ＝ （ 车 长 ＋ 桥 长 ） ÷ 车 速火 车 追 及 ： 追 及 时 间 ＝ （ 甲 车 长 ＋ 乙 车 长 ＋ 距 离 ） ÷ （ 甲 车 速 － 乙 车 速 ）火 车 相 遇 ： 相 遇 时 间 ＝ （ 甲 车 长 ＋ 乙 车 长 ＋ 距 离 ） ÷ （ 甲 车 速 ＋ 乙 车 速 ）【 解 题 思 路 和 方 法 】 大 多 数 情 况 可 以 直 接 利 用 数 量 关 系 的 公 式 。例 1 一 座 大 桥 长 2400 米 ， 一 列 火 车 以 每 分 钟 900米 的 速 度 通 过 大 桥 ， 从 车 头 开 上 桥 到 车 尾离 开 桥 共 需 要 3 分 钟 。 这 列 火 车 长 多 少 米 ？解 火 车 3分 钟 所 行 的 路 程 ， 就 是 桥 长 与 火 车 车 身 长 度 的 和 。

（ 1） 火 车 3 分 钟 行 多 少 米 ？ 900× 3＝ 2700（ 米 ）（ 2） 这 列 火 车 长 多 少 米 ？ 2700－ 2400＝ 300（ 米 ）列 成 综 合 算 式 900× 3－ 2400＝ 300（ 米 ）答 ： 这 列 火 车 长 300米 。例 2 一 列 长 200 米 的 火 车 以 每 秒 8 米 的 速 度 通 过 一 座 大 桥 ， 用 了 2 分 5 秒 钟 时 间 ， 求 大 桥的 长 度 是 多 少 米 ？解 火 车 过 桥 所 用 的 时 间 是 2 分 5 秒 ＝ 125 秒 ， 所 走 的 路 程 是 （ 8× 125） 米 ， 这 段 路 程 就 是（ 200米 ＋ 桥 长 ） ， 所 以 ， 桥 长 为8× 125－ 200＝ 800（ 米 ）

答 ： 大 桥 的 长 度 是 800米 。例 3 一 列 长 225 米 的 慢 车 以 每 秒 17 米 的 速 度 行 驶 ， 一 列 长 140 米 的 快 车 以 每 秒 22 米 的 速度 在 后 面 追 赶 ， 求 快 车 从 追 上 到 追 过 慢 车 需 要 多 长 时 间 ？解 从 追 上 到 追 过 ， 快 车 比 慢 车 要 多 行 （ 225＋ 140） 米 ， 而 快 车 比 慢 车 每 秒 多 行 （ 22－ 17）米 ， 因 此 ， 所 求 的 时 间 为（ 225＋ 140） ÷ （ 22－ 17） ＝ 73（ 秒 ）答 ： 需 要 73秒 。

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13 时 钟 问 题【 含 义 】 就 是 研 究 钟 面 上 时 针 与 分 针 关 系 的 问 题 ， 如 两 针 重 合 、 两 针 垂 直 、 两 针 成 一 线 、两 针 夹 角 为 60度 等 。 时 钟 问 题 可 与 追 及 问 题 相 类 比 。【 数 量 关 系 】 分 针 的 速 度 是 时 针 的 12倍 ，二 者 的 速 度 差 为 11/12。通 常 按 追 及 问 题 来 对 待 ， 也 可 以 按 差 倍 问 题 来 计 算 。【 解 题 思 路 和 方 法 】 变 通 为 “ 追 及 问 题 ” 后 可 以 直 接 利 用 公 式 。例 1 从 时 针 指 向 4 点 开 始 ， 再 经 过 多 少 分 钟 时 针 正 好 与 分 针 重 合 ？解 钟 面 的 一 周 分 为 60格 ， 分 针 每 分 钟 走 一 格 ， 每 小 时 走 60格 ； 时 针 每 小 时 走 5格 ， 每 分

钟 走 5/60＝ 1/12格 。 每 分 钟 分 针 比 时 针 多 走 （ 1－ 1/12） ＝ 11/12格 。 4点 整 ， 时 针 在 前 ，分 针 在 后 ， 两 针 相 距 20格 。 所 以分 针 追 上 时 针 的 时 间 为 20÷ （ 1－ 1/12） ≈ 22（ 分 ）答 ： 再 经 过 22分 钟 时 针 正 好 与 分 针 重 合 。例 2 四 点 和 五 点 之 间 ， 时 针 和 分 针 在 什 么 时 候 成 直 角 ？解 钟 面 上 有 60 格 ， 它 的 1/4 是 15 格 ， 因 而 两 针 成 直 角 的 时 候 相 差 15 格 （ 包 括 分 针 在 时针 的 前 或 后 15 格 两 种 情 况 ） 。 四 点 整 的 时 候 ， 分 针 在 时 针 后 （ 5× 4） 格 ， 如 果 分 针 在 时 针后 与 它 成 直 角 ， 那 么 分 针 就 要 比 时 针 多 走 （ 5× 4－ 15） 格 ， 如 果 分 针 在 时 针 前 与 它 成 直 角 ，那 么 分 针 就 要 比 时 针 多 走 （ 5× 4＋ 15） 格 。 再 根 据 1分 钟 分 针 比 时 针 多 走 （ 1－ 1/12） 格 就

可 以 求 出 二 针 成 直 角 的 时 间 。（ 5× 4－ 15） ÷ （ 1－ 1/12） ≈ 6（ 分 ）（ 5× 4＋ 15） ÷ （ 1－ 1/12） ≈ 38（ 分 ）答 ： 4点 06分 及 4 点 38分 时 两 针 成 直 角 。例 3 六 点 与 七 点 之 间 什 么 时 候 时 针 与 分 针 重 合 ？解 六 点 整 的 时 候 ， 分 针 在 时 针 后 （ 5× 6） 格 ， 分 针 要 与 时 针 重 合 ， 就 得 追 上 时 针 。 这 实 际上 是 一 个 追 及 问 题 。

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（ 5× 6） ÷ （ 1－ 1/12） ≈ 33（ 分 ）答 ： 6点 33分 的 时 候 分 针 与 时 针 重 合 。14 盈 亏 问 题【 含 义 】 根 据 一 定 的 人 数 ， 分 配 一 定 的 物 品 ， 在 两 次 分 配 中 ， 一 次 有 余 （ 盈 ） ， 一 次 不 足（ 亏 ） ， 或 两 次 都 有 余 ， 或 两 次 都 不 足 ， 求 人 数 或 物 品 数 ， 这 类 应 用 题 叫 做 盈 亏 问 题 。【 数 量 关 系 】 一 般 地 说 ， 在 两 次 分 配 中 ， 如 果 一 次 盈 ， 一 次 亏 ， 则 有 ：参 加 分 配 总 人 数 ＝ （ 盈 ＋ 亏 ） ÷ 分 配 差如 果 两 次 都 盈 或 都 亏 ， 则 有 ：参 加 分 配 总 人 数 ＝ （ 大 盈 － 小 盈 ） ÷ 分 配 差

参 加 分 配 总 人 数 ＝ （ 大 亏 － 小 亏 ） ÷ 分 配 差【 解 题 思 路 和 方 法 】 大 多 数 情 况 可 以 直 接 利 用 数 量 关 系 的 公 式 。例 1 给 幼 儿 园 小 朋 友 分 苹 果 ， 若 每 人 分 3 个 就 余 11个 ； 若 每 人 分 4个 就 少 1 个 。 问 有 多 少小 朋 友 ？ 有 多 少 个 苹 果 ？解 按 照 “ 参 加 分 配 的 总 人 数 ＝ （ 盈 ＋ 亏 ） ÷ 分 配 差 ” 的 数 量 关 系 ：（ 1） 有 小 朋 友 多 少 人 ？ （ 11＋ 1） ÷ （ 4－ 3） ＝ 12（ 人 ）（ 2） 有 多 少 个 苹 果 ？ 3× 12＋ 11＝ 47（ 个 ）答 ： 有 小 朋 友 12人 ， 有 47个 苹 果 。例 2 修 一 条 公 路 ， 如 果 每 天 修 260 米 ， 修 完 全 长 就 得 延 长 8 天 ； 如 果 每 天 修 300 米 ， 修 完

全 长 仍 得 延 长 4 天 。 这 条 路 全 长 多 少 米 ？解 题 中 原 定 完 成 任 务 的 天 数 ， 就 相 当 于 “ 参 加 分 配 的 总 人 数 ” ， 按 照 “ 参 加 分 配 的 总 人 数＝ （ 大 亏 － 小 亏 ） ÷ 分 配 差 ” 的 数 量 关 系 ， 可 以 得 知原 定 完 成 任 务 的 天 数 为（ 260× 8－ 300× 4） ÷ （ 300－ 260） ＝ 22（ 天 ）这 条 路 全 长 为 300× （ 22＋ 4） ＝ 7800（ 米 ）答 ： 这 条 路 全 长 7800 米 。

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例 3 学 校 组 织 春 游 ， 如 果 每 辆 车 坐 40人 ， 就 余 下 30人 ； 如 果 每 辆 车 坐 45人 ， 就 刚 好 坐 完 。问 有 多 少 车 ？ 多 少 人 ？解 本 题 中 的 车 辆 数 就 相 当 于 “ 参 加 分 配 的 总 人 数 ” ， 于 是 就 有（ 1） 有 多 少 车 ？ （ 30－ 0） ÷ （ 45－ 40） ＝ 6（ 辆 ）（ 2） 有 多 少 人 ？ 40× 6＋ 30＝ 270（ 人 ）答 ： 有 6 辆 车 ， 有 270人 。15 工 程 问 题【 含 义 】 工 程 问 题 主 要 研 究 工 作 量 、 工 作 效 率 和 工 作 时 间 三 者 之 间 的 关 系 。 这 类 问 题 在 已知 条 件 中 ， 常 常 不 给 出 工 作 量 的 具 体 数 量 ， 只 提 出 “ 一 项 工 程 ” 、 “ 一 块 土 地 ” 、 “ 一 条 水 渠 ” 、

“ 一 件 工 作 ” 等 ， 在 解 题 时 ， 常 常 用 单 位 “ 1” 表 示 工 作 总 量 。【 数 量 关 系 】 解 答 工 程 问 题 的 关 键 是 把 工 作 总 量 看 作 “ 1” ， 这 样 ， 工 作 效 率 就 是 工 作 时 间的 倒 数 （ 它 表 示 单 位 时 间 内 完 成 工 作 总 量 的 几 分 之 几 ） ， 进 而 就 可 以 根 据 工 作 量 、 工 作 效 率 、工 作 时 间 三 者 之 间 的 关 系 列 出 算 式 。工 作 量 ＝ 工 作 效 率 × 工 作 时 间工 作 时 间 ＝ 工 作 量 ÷ 工 作 效 率工 作 时 间 ＝ 总 工 作 量 ÷ （ 甲 工 作 效 率 ＋ 乙 工 作 效 率 ）【 解 题 思 路 和 方 法 】 变 通 后 可 以 利 用 上 述 数 量 关 系 的 公 式 。例 1 一 项 工 程 ， 甲 队 单 独 做 需 要 10 天 完 成 ， 乙 队 单 独 做 需 要 15 天 完 成 ， 现 在 两 队 合 作 ，

需 要 几 天 完 成 ？解 题 中 的 “ 一 项 工 程 ” 是 工 作 总 量 ， 由 于 没 有 给 出 这 项 工 程 的 具 体 数 量 ， 因 此 ， 把 此 项 工程 看 作 单 位 “ 1” 。 由 于 甲 队 独 做 需 10天 完 成 ， 那 么 每 天 完 成 这 项 工 程 的 1/10； 乙 队 单 独 做需 15天 完 成 ， 每 天 完 成 这 项 工 程 的 1/15； 两 队 合 作 ， 每 天 可 以 完 成 这 项 工 程 的 （ 1/10＋ 1/15） 。由 此 可 以 列 出 算 式 ： 1÷ （ 1/10＋ 1/15） ＝ 1÷ 1/6＝ 6（ 天 ）答 ： 两 队 合 作 需 要 6天 完 成 。例 2 一 批 零 件 ， 甲 独 做 6 小 时 完 成 ， 乙 独 做 8 小 时 完 成 。 现 在 两 人 合 做 ， 完 成 任 务 时 甲 比

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乙 多 做 24个 ， 求 这 批 零 件 共 有 多 少 个 ？解 设 总 工 作 量 为 1， 则 甲 每 小 时 完 成 1/6， 乙 每 小 时 完 成 1/8， 甲 比 乙 每 小 时 多 完 成 （ 1/6－ 1/8） ， 二 人 合 做 时 每 小 时 完 成 （ 1/6＋ 1/8） 。 因 为 二 人 合 做 需 要 ［ 1÷ （ 1/6＋ 1/8） ］ 小 时 ，这 个 时 间 内 ， 甲 比 乙 多 做 24个 零 件 ， 所 以（ 1） 每 小 时 甲 比 乙 多 做 多 少 零 件 ？24÷ ［ 1÷ （ 1/6＋ 1/8） ］ ＝ 7（ 个 ）（ 2） 这 批 零 件 共 有 多 少 个 ？7÷ （ 1/6－ 1/8） ＝ 168（ 个 ）答 ： 这 批 零 件 共 有 168个 。

解 二 上 面 这 道 题 还 可 以 用 另 一 种 方 法 计 算 ：两 人 合 做 ， 完 成 任 务 时 甲 乙 的 工 作 量 之 比 为 1/6∶ 1/8＝ 4∶ 3由 此 可 知 ， 甲 比 乙 多 完 成 总 工 作 量 的 4－ 3 / 4＋ 3 ＝ 1/7所 以 ， 这 批 零 件 共 有 24÷ 1/7＝ 168（ 个 ）例 3 一 件 工 作 ， 甲 独 做 12小 时 完 成 ， 乙 独 做 10小 时 完 成 ， 丙 独 做 15小 时 完 成 。 现 在 甲 先做 2 小 时 ， 余 下 的 由 乙 丙 二 人 合 做 ， 还 需 几 小 时 才 能 完 成 ？解 必 须 先 求 出 各 人 每 小 时 的 工 作 效 率 。 如 果 能 把 效 率 用 整 数 表 示 ， 就 会 给 计 算 带 来 方 便 ，因 此 ， 我 们 设 总 工 作 量 为 12、 10、 和 15 的 某 一 公 倍 数 ， 例 如 最 小 公 倍 数 60， 则 甲 乙 丙 三人 的 工 作 效 率 分 别 是

60÷ 12＝ 5 60÷ 10＝ 6 60÷ 15＝ 4因 此 余 下 的 工 作 量 由 乙 丙 合 做 还 需 要（ 60－ 5× 2） ÷ （ 6＋ 4） ＝ 5（ 小 时 ）答 ： 还 需 要 5小 时 才 能 完 成 。 也 可 以 用 （ 1-1/122） /（ 1/10+1/15）16 正 反 比 例 问 题【 含 义 】 两 种 相 关 联 的 量 ， 一 种 量 变 化 ， 另 一 种 量 也 随 着 变 化 ， 如 果 这 两 种 量 中 相 对 应 的两 个 数 的 比 的 比 值 一 定 （ 即 商 一 定 ） ， 那 么 这 两 种 量 就 叫 做 成 正 比 例 的 量 ， 它 们 的 关 系 叫 做

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正 比 例 关 系 。 正 比 例 应 用 题 是 正 比 例 意 义 和 解 比 例 等 知 识 的 综 合 运 用 。两 种 相 关 联 的 量 ， 一 种 量 变 化 ， 另 一 种 量 也 随 着 变 化 ， 如 果 这 两 种 量 中 相 对 应 的 两 个 数 的积 一 定 ， 这 两 种 量 就 叫 做 成 反 比 例 的 量 ， 它 们 的 关 系 叫 做 反 比 例 关 系 。 反 比 例 应 用 题 是 反比 例 的 意 义 和 解 比 例 等 知 识 的 综 合 运 用 。【 数 量 关 系 】 判 断 正 比 例 或 反 比 例 关 系 是 解 这 类 应 用 题 的 关 键 。 许 多 典 型 应 用 题 都 可 以 转化 为 正 反 比 例 问 题 去 解 决 ， 而 且 比 较 简 捷 。【 解 题 思 路 和 方 法 】 解 决 这 类 问 题 的 重 要 方 法 是 ： 把 分 率 （ 倍 数 ） 转 化 为 比 ， 应 用 比 和 比例 的 性 质 去 解 应 用 题 。正 反 比 例 问 题 与 前 面 讲 过 的 倍 比 问 题 基 本 类 似 。

例 1 修 一 条 公 路 ， 已 修 的 是 未 修 的 1/3， 再 修 300米 后 ， 已 修 的 变 成 未 修 的 1/2， 求 这 条 公路 总 长 是 多 少 米 ？解 由 条 件 知 ， 公 路 总 长 不 变 。原 已 修 长 度 ∶ 总 长 度 ＝ 1∶ （ 1＋ 3） ＝ 1∶ 4＝ 3∶ 12现 已 修 长 度 ∶ 总 长 度 ＝ 1∶ （ 1＋ 2） ＝ 1∶ 3＝ 4∶ 12比 较 以 上 两 式 可 知 ， 把 总 长 度 当 作 12份 ， 则 300 米 相 当 于 （ 4－ 3） 份 ，从 而 知 公 路 总 长 为 300÷ （ 4－ 3） × 12＝ 3600（ 米 ）答 ： 这 条 公 路 总 长 3600 米 。例 2 张 晗 做 4道 应 用 题 用 了 28分 钟 ， 照 这 样 计 算 ， 91分 钟 可 以 做 几 道 应 用 题 ？

解 做 题 效 率 一 定 ， 做 题 数 量 与 做 题 时 间 成 正 比 例 关 系设 91分 钟 可 以 做 X 应 用 题 则 有 28∶ 4＝ 91∶ X28X＝ 91× 4 X＝ 91× 4÷ 28 X＝ 13答 ： 91分 钟 可 以 做 13道 应 用 题 。例 3 孙 亮 看 《 十 万 个 为 什 么 》 这 本 书 ， 每 天 看 24页 ， 15天 看 完 ， 如 果 每 天 看 36页 ， 几 天就 可 以 看 完 ？解 书 的 页 数 一 定 ， 每 天 看 的 页 数 与 需 要 的 天 数 成 反 比 例 关 系

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设 X 天 可 以 看 完 ， 就 有 24∶ 36＝ X∶ 1536X＝ 24× 15 X＝ 10答 ： 10天 就 可 以 看 完 。例 4 一 个 大 矩 形 被 分 成 六 个 小 矩 形 ， 其 中 四 个 小 矩 形 的 面 积 如 图 所 示 ， 求 大 矩 形 的 面 积 。A 25 2036 B 16解 由 面 积 ÷ 宽 ＝ 长 可 知 ， 当 长 一 定 时 ， 面 积 与 宽 成 正 比 ， 所 以 每 一 上 下 两 个 小 矩 形 面 积 之比 就 等 于 它 们 的 宽 的 正 比 。 又 因 为 第 一 行 三 个 小 矩 形 的 宽 相 等 ， 第 二 行 三 个 小 矩 形 的 宽 也

相 等 。 因 此 ，A∶ 36＝ 20∶ 16 25∶ B＝ 20∶ 16解 这 两 个 比 例 ， 得 A＝ 45 B＝ 20所 以 ， 大 矩 形 面 积 为 45＋ 36＋ 25＋ 20＋ 20＋ 16＝ 162答 ： 大 矩 形 的 面 积 是 162.17 按 比 例 分 配 问 题【 含 义 】 所 谓 按 比 例 分 配 ， 就 是 把 一 个 数 按 照 一 定 的 比 分 成 若 干 份 。 这 类 题 的 已 知 条 件 一般 有 两 种 形 式 ： 一 是 用 比 或 连 比 的 形 式 反 映 各 部 分 占 总 数 量 的 份 数 ， 另 一 种 是 直 接 给 出 份数 。

【 数 量 关 系 】 从 条 件 看 ， 已 知 总 量 和 几 个 部 分 量 的 比 ； 从 问 题 看 ， 求 几 个 部 分 量 各 是 多 少 。总 份 数 ＝ 比 的 前 后 项 之 和【 解 题 思 路 和 方 法 】 先 把 各 部 分 量 的 比 转 化 为 各 占 总 量 的 几 分 之 几 ， 把 比 的 前 后 项 相 加 求出 总 份 数 ， 再 求 各 部 分 占 总 量 的 几 分 之 几 （ 以 总 份 数 作 分 母 ， 比 的 前 后 项 分 别 作 分 子 ） ， 再按 照 求 一 个 数 的 几 分 之 几 是 多 少 的 计 算 方 法 ， 分 别 求 出 各 部 分 量 的 值 。例 1 学 校 把 植 树 560 棵 的 任 务 按 人 数 分 配 给 五 年 级 三 个 班 ， 已 知 一 班 有 47 人 ， 二 班 有 48人 ， 三 班 有 45人 ， 三 个 班 各 植 树 多 少 棵 ？解 总 份 数 为 47＋ 48＋ 45＝ 140

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一 班 植 树 560× 47/140＝ 188（ 棵 ）二 班 植 树 560× 48/140＝ 192（ 棵 ）三 班 植 树 560× 45/140＝ 180（ 棵 ） 答 ： 一 、 二 、 三 班 分 别 植 树 188棵 、 192棵 、 180棵 。例 2 用 60厘 米 长 的 铁 丝 围 成 一 个 三 角 形 ， 三 角 形 三 条 边 的 比 是 3∶ 4∶ 5。 三 条 边 的 长 各 是多 少 厘 米 ？解 3＋ 4＋ 5＝ 12 60× 3/12＝ 15（ 厘 米 ）60× 4/12＝ 20（ 厘 米 ）60× 5/12＝ 25（ 厘 米 ）答 ： 三 角 形 三 条 边 的 长 分 别 是 15厘 米 、 20厘 米 、 25厘 米 。

例 3 从 前 有 个 牧 民 ， 临 死 前 留 下 遗 言 ， 要 把 17只 羊 分 给 三 个 儿 子 ， 大 儿 子 分 总 数 的 1/2，二 儿 子 分 总 数 的 1/3， 三 儿 子 分 总 数 的 1/9， 并 规 定 不 许 把 羊 宰 割 分 ， 求 三 个 儿 子 各 分 多 少只 羊 。解 如 果 用 总 数 乘 以 分 率 的 方 法 解 答 ， 显 然 得 不 到 符 合 题 意 的 整 数 解 。 如 果 用 按 比 例 分 配 的方 法 解 ， 则 很 容 易 得 到1/2∶ 1/3∶ 1/9＝ 9∶ 6∶ 29＋ 6＋ 2＝ 17 17× 9/17＝ 917× 6/17＝ 6 17× 2/17＝ 2答 ： 大 儿 子 分 得 9 只 羊 ， 二 儿 子 分 得 6 只 羊 ， 三 儿 子 分 得 2 只 羊 。18 百 分 数 问 题

【 含 义 】 百 分 数 是 表 示 一 个 数 是 另 一 个 数 的 百 分 之 几 的 数 。 百 分 数 是 一 种 特 殊 的 分 数 。 分数 常 常 可 以 通 分 、 约 分 ， 而 百 分 数 则 无 需 ； 分 数 既 可 以 表 示 “ 率 ” ， 也 可 以 表 示 “ 量 ” ， 而百 分 数 只 能 表 示 “ 率 ” ； 分 数 的 分 子 、 分 母 必 须 是 自 然 数 ， 而 百 分 数 的 分 子 可 以 是 小 数 ； 百分 数 有 一 个 专 门 的 记 号 “ %” 。在 实 际 中 常 用 到 “ 百 分 点 ” 这 个 概 念 ， 一 个 百 分 点 就 是 1%， 两 个 百 分 点 就 是 2%。

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【 数 量 关 系 】 掌 握 “ 百 分 数 ” 、 “ 标 准 量 ” “ 比 较 量 ” 三 者 之 间 的 数 量 关 系 ：百 分 数 ＝ 比 较 量 ÷ 标 准 量标 准 量 ＝ 比 较 量 ÷ 百 分 数【 解 题 思 路 和 方 法 】 一 般 有 三 种 基 本 类 型 ：（ 1） 求 一 个 数 是 另 一 个 数 的 百 分 之 几 ；（ 2） 已 知 一 个 数 ， 求 它 的 百 分 之 几 是 多 少 ；（ 3） 已 知 一 个 数 的 百 分 之 几 是 多 少 ， 求 这 个 数 。例 1 仓 库 里 有 一 批 化 肥 ， 用 去 720千 克 ， 剩 下 6480 千 克 ， 用 去 的 与 剩 下 的 各 占 原 重 量 的 百分 之 几 ？

解 （ 1） 用 去 的 占 720÷ （ 720＋ 6480） ＝ 10%（ 2） 剩 下 的 占 6480÷ （ 720＋ 6480） ＝ 90%答 ： 用 去 了 10%， 剩 下 90%。例 2 红 旗 化 工 厂 有 男 职 工 420人 ， 女 职 工 525人 ， 男 职 工 人 数 比 女 职 工 少 百 分 之 几 ？ 解 本题 中 女 职 工 人 数 为 标 准 量 ， 男 职 工 比 女 职 工 少 的 人 数 是 比 较 量 所 以 （ 525－ 420） ÷ 525＝0.2＝ 20%或 者 1－ 420÷ 525＝ 0.2＝ 20%答 ： 男 职 工 人 数 比 女 职 工 少 20%。

例 3 红 旗 化 工 厂 有 男 职 工 420人 ， 女 职 工 525人 ， 女 职 工 比 男 职 工 人 数 多 百 分 之 几 ？ 解 本题 中 以 男 职 工 人 数 为 标 准 量 ， 女 职 工 比 男 职 工 多 的 人 数 为 比 较 量 ， 因 此（ 525－ 420） ÷ 420＝ 0.25＝ 25%或 者 525÷ 420－ 1＝ 0.25＝ 25%答 ： 女 职 工 人 数 比 男 职 工 多 25%。19 “ 牛 吃 草 ” 问 题【 含 义 】 “ 牛 吃 草 ” 问 题 是 大 科 学 家 牛 顿 提 出 的 问 题 ， 也 叫 “ 牛 顿 问 题 ” 。 这 类 问 题 的 特

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点 在 于 要 考 虑 草 边 吃 边 长 这 个 因 素 。【 数 量 关 系 】 草 总 量 ＝ 原 有 草 量 ＋ 草 每 天 生 长 量 × 天 数【 解 题 思 路 和 方 法 】 解 这 类 题 的 关 键 是 求 出 草 每 天 的 生 长 量 。例 1 一 块 草 地 ， 10头 牛 20天 可 以 把 草 吃 完 ， 15头 牛 10天 可 以 把 草 吃 完 。 问 多 少 头 牛 5 天可 以 把 草 吃 完 ？解 草 是 均 匀 生 长 的 ， 所 以 ， 草 总 量 ＝ 原 有 草 量 ＋ 草 每 天 生 长 量 × 天 数 。 求 “ 多 少 头 牛 5 天可 以 把 草 吃 完 ” ， 就 是 说 5 天 内 的 草 总 量 要 5 天 吃 完 的 话 ， 得 有 多 少 头 牛 ？ 设 每 头 牛 每 天吃 草 量 为 1， 按 以 下 步 骤 解 答 ：（ 1） 求 草 每 天 的 生 长 量

因 为 ， 一 方 面 20天 内 的 草 总 量 就 是 10头 牛 20天 所 吃 的 草 ， 即 （ 1× 10× 20） ； 另 一 方 面 ，20天 内 的 草 总 量 又 等 于 原 有 草 量 加 上 20天 内 的 生 长 量 ， 所 以1× 10× 20＝ 原 有 草 量 ＋ 20天 内 生 长 量同 理 1× 15× 10＝ 原 有 草 量 ＋ 10天 内 生 长 量由 此 可 知 （ 20－ 10） 天 内 草 的 生 长 量 为1× 10× 20－ 1× 15× 10＝ 50因 此 ， 草 每 天 的 生 长 量 为 50÷ （ 20－ 10） ＝ 5（ 2） 求 原 有 草 量原 有 草 量 ＝ 10天 内 总 草 量 － 10内 生 长 量 ＝ 1× 15× 10－ 5× 10＝ 100

（ 3） 求 5 天 内 草 总 量5 天 内 草 总 量 ＝ 原 有 草 量 ＋ 5 天 内 生 长 量 ＝ 100＋ 5× 5＝ 125（ 4） 求 多 少 头 牛 5 天 吃 完 草因 为 每 头 牛 每 天 吃 草 量 为 1， 所 以 每 头 牛 5 天 吃 草 量 为 5。因 此 5天 吃 完 草 需 要 牛 的 头 数 125÷ 5＝ 25（ 头 ）答 ： 需 要 5 头 牛 5 天 可 以 把 草 吃 完 。例 2 一 只 船 有 一 个 漏 洞 ， 水 以 均 匀 速 度 进 入 船 内 ， 发 现 漏 洞 时 已 经 进 了 一 些 水 。 如 果 有 12

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个 人 淘 水 ， 3小 时 可 以 淘 完 ； 如 果 只 有 5人 淘 水 ， 要 10小 时 才 能 淘 完 。 求 17人 几 小 时 可 以淘 完 ？解 这 是 一 道 变 相 的 “ 牛 吃 草 ” 问 题 。 与 上 题 不 同 的 是 ， 最 后 一 问 给 出 了 人 数 （ 相 当 于 “ 牛数 ” ） ， 求 时 间 。 设 每 人 每 小 时 淘 水 量 为 1， 按 以 下 步 骤 计 算 ：（ 1） 求 每 小 时 进 水 量因 为 ， 3 小 时 内 的 总 水 量 ＝ 1× 12× 3＝ 原 有 水 量 ＋ 3小 时 进 水 量10小 时 内 的 总 水 量 ＝ 1× 5× 10＝ 原 有 水 量 ＋ 10小 时 进 水 量所 以 ， （ 10－ 3） 小 时 内 的 进 水 量 为 1× 5× 10－ 1× 12× 3＝ 14因 此 ， 每 小 时 的 进 水 量 为 14÷ （ 10－ 3） ＝ 2

（ 2） 求 淘 水 前 原 有 水 量原 有 水 量 ＝ 1× 12× 3－ 3小 时 进 水 量 ＝ 36－ 2× 3＝ 30（ 3） 求 17人 几 小 时 淘 完17人 每 小 时 淘 水 量 为 17， 因 为 每 小 时 漏 进 水 为 2， 所 以 实 际 上 船 中 每 小 时 减 少 的 水 量 为 （ 17－ 2） ， 所 以 17人 淘 完 水 的 时 间 是30÷ （ 17－ 2） ＝ 2（ 小 时 ）答 ： 17人 2 小 时 可 以 淘 完 水 。20 鸡 兔 同 笼 问 题【 含 义 】 这 是 古 典 的 算 术 问 题 。 已 知 笼 子 里 鸡 、 兔 共 有 多 少 只 和 多 少 只 脚 ， 求 鸡 、 兔 各 有

多 少 只 的 问 题 ， 叫 做 鸡 兔 同 笼 问 题 。【 数 量 关 系 】假 设 全 都 是 鸡 ， 则 有兔 数 ＝ （ 实 际 脚 数 － 2× 鸡 兔 总 数 ） ÷ （ 4－ 2）假 设 全 都 是 兔 ， 则 有鸡 数 ＝ （ 4× 鸡 兔 总 数 － 实 际 脚 数 ） ÷ （ 4－ 2）【 解 题 思 路 和 方 法 】 解 答 此 类 题 目 一 般 都 用 假 设 法 ， 可 以 先 假 设 都 是 鸡 ， 也 可 以 假 设 都 是

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兔 。 如 果 先 假 设 都 是 鸡 ， 然 后 以 兔 换 鸡 ； 如 果 先 假 设 都 是 兔 ， 然 后 以 鸡 换 兔 。 这 类 问 题 也叫 置 换 问 题 。 通 过 先 假 设 ， 再 置 换 ， 使 问 题 得 到 解 决 。例 1 长 毛 兔 子 芦 花 鸡 ， 鸡 兔 圈 在 一 笼 里 。 数 数 头 有 三 十 五 ， 脚 数 共 有 九 十 四 。 请 你 仔 细 算一 算 ， 多 少 兔 子 多 少 鸡 ？解 假 设 35只 全 为 兔 ， 则鸡 数 ＝ （ 4× 35－ 94） ÷ （ 4－ 2） ＝ 23（ 只 ）兔 数 ＝ 35－ 23＝ 12（ 只 ）也 可 以 先 假 设 35只 全 为 鸡 ， 则兔 数 ＝ （ 94－ 2× 35） ÷ （ 4－ 2） ＝ 12（ 只 ）

鸡 数 ＝ 35－ 12＝ 23（ 只 ）答 ： 有 鸡 23只 ， 有 兔 12只 。21 方 阵 问 题【 含 义 】 将 若 干 人 或 物 依 一 定 条 件 排 成 正 方 形 （ 简 称 方 阵 ） ， 根 据 已 知 条 件 求 总 人 数 或 总物 数 ， 这 类 问 题 就 叫 做 方 阵 问 题 。【 数 量 关 系 】 （ 1） 方 阵 每 边 人 数 与 四 周 人 数 的 关 系 ：四 周 人 数 ＝ （ 每 边 人 数 － 1） × 4每 边 人 数 ＝ 四 周 人 数 ÷ 4＋ 1（ 2） 方 阵 总 人 数 的 求 法 ：

实 心 方 阵 ： 总 人 数 ＝ 每 边 人 数 × 每 边 人 数空 心 方 阵 ： 总 人 数 ＝ （ 外 边 人 数 ） － （ 内 边 人 数 ）内 边 人 数 ＝ 外 边 人 数 － 层 数 × 2（ 3） 若 将 空 心 方 阵 分 成 四 个 相 等 的 矩 形 计 算 ， 则 ：总 人 数 ＝ （ 每 边 人 数 － 层 数 ） × 层 数 × 4【 解 题 思 路 和 方 法 】 方 阵 问 题 有 实 心 与 空 心 两 种 。 实 心 方 阵 的 求 法 是 以 每 边 的 数 自 乘 ； 空心 方 阵 的 变 化 较 多 ， 其 解 答 方 法 应 根 据 具 体 情 况 确 定 。

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例 1 在 育 才 小 学 的 运 动 会 上 ， 进 行 体 操 表 演 的 同 学 排 成 方 阵 ， 每 行 22人 ， 参 加 体 操 表 演 的同 学 一 共 有 多 少 人 ？解 22× 22＝ 484（ 人 ）答 ： 参 加 体 操 表 演 的 同 学 一 共 有 484人 。例 2 有 一 个 3层 中 空 方 阵 ， 最 外 边 一 层 有 10人 ， 求 全 方 阵 的 人 数 。解 1010－ （ 10－ 3× 2） （ 10－ 3× 2） ＝ 84（ 人 ）答 ： 全 方 阵 84人 。例 3 有 一 队 学 生 ， 排 成 一 个 中 空 方 阵 ， 最 外 层 人 数 是 52 人 ， 最 内 层 人 数 是 28 人 ， 这 队 学生 共 多 少 人 ？

解 （ 1） 中 空 方 阵 外 层 每 边 人 数 ＝ 52÷ 4＋ 1＝ 14（ 人 ）（ 2） 中 空 方 阵 内 层 每 边 人 数 ＝ 28÷ 4－ 1＝ 6（ 人 ）（ 3） 中 空 方 阵 的 总 人 数 ＝ 14× 14－ 6× 6＝ 160（ 人 ）答 ： 这 队 学 生 共 160人 。22 商 品 利 润 问 题【 含 义 】 这 是 一 种 在 生 产 经 营 中 经 常 遇 到 的 问 题 ， 包 括 成 本 、 利 润 、 利 润 率 和 亏 损 、 亏 损率 等 方 面 的 问 题 。【 数 量 关 系 】 利 润 ＝ 售 价 － 进 货 价利 润 率 ＝ （ 售 价 － 进 货 价 ） ÷ 进 货 价 × 100%

售 价 ＝ 进 货 价 × （ 1＋ 利 润 率 ）亏 损 ＝ 进 货 价 － 售 价亏 损 率 ＝ （ 进 货 价 － 售 价 ） ÷ 进 货 价 × 100%【 解 题 思 路 和 方 法 】 简 单 的 题 目 可 以 直 接 利 用 公 式 ， 复 杂 的 题 目 变 通 后 利 用 公 式 。例 1 某 商 品 的 平 均 价 格 在 一 月 份 上 调 了 10%， 到 二 月 份 又 下 调 了 10%， 这 种 商 品 从 原 价 到 二月 份 的 价 格 变 动 情 况 如 何 ？解 设 这 种 商 品 的 原 价 为 1， 则 一 月 份 售 价 为 （ 1＋ 10%） ， 二 月 份 的 售 价 为 （ 1＋ 10%） × （ 1

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－ 10%） ， 所 以 二 月 份 售 价 比 原 价 下 降 了1－ （ 1＋ 10%） × （ 1－ 10%） ＝ 1%答 ： 二 月 份 比 原 价 下 降 了 1%。例 2 某 服 装 店 因 搬 迁 ， 店 内 商 品 八 折 销 售 。 苗 苗 买 了 一 件 衣 服 用 去 52元 ， 已 知 衣 服 原 来 按期 望 盈 利 30%定 价 ， 那 么 该 店 是 亏 本 还 是 盈 利 ？ 亏 （ 盈 ） 率 是 多 少 ？解 要 知 亏 还 是 盈 ， 得 知 实 际 售 价 52元 比 成 本 少 多 少 或 多 多 少 元 ， 进 而 需 知 成 本 。 因 为 52元 是 原 价 的 80%， 所 以 原 价 为 （ 52÷ 80%） 元 ； 又 因 为 原 价 是 按 期 望 盈 利 30%定 的 ，所 以 成 本 为 52÷ 80%÷ （ 1＋ 30%） ＝ 50（ 元 ）可 以 看 出 该 店 是 盈 利 的 ， 盈 利 率 为 （ 52－ 50） ÷ 50＝ 4%

答 ： 该 店 是 盈 利 的 ， 盈 利 率 是 4%。例 3 成 本 0.25 元 的 作 业 本 1200 册 ， 按 期 望 获 得 40%的 利 润 定 价 出 售 ， 当 销 售 出 80%后 ， 剩下 的 作 业 本 打 折 扣 ， 结 果 获 得 的 利 润 是 预 定 的 86%。 问 剩 下 的 作 业 本 出 售 时 按 定 价 打 了 多 少折 扣 ？解 问 题 是 要 计 算 剩 下 的 作 业 本 每 册 实 际 售 价 是 原 定 价 的 百 分 之 几 。 从 题 意 可 知 ， 每 册 的 原定 价 是 0.25× （ 1＋ 40%） ， 所 以 关 键 是 求 出 剩 下 的 每 册 的 实 际 售 价 ， 为 此 要 知 道 剩 下 的 每 册盈 利 多 少 元 。 剩 下 的 作 业 本 售 出 后 的 盈 利 额 等 于 实 际 总 盈 利 与 先 售 出 的 80%的 盈 利 额 之 差 ，即0.25× 1200× 40%× 86%－ 0.25× 1200× 40%× 80%＝ 7.20（ 元 ）

剩 下 的 作 业 本 每 册 盈 利 7.20÷ ［ 1200× （ 1－ 80%） ］ ＝ 0.03（ 元 ）又 可 知 （ 0.25＋ 0.03） ÷ ［ 0.25× （ 1＋ 40%） ］ ＝ 80%答 ： 剩 下 的 作 业 本 是 按 原 定 价 的 八 折 出 售 的 。23 存 款 利 率 问 题【 含 义 】 把 钱 存 入 银 行 是 有 一 定 利 息 的 ， 利 息 的 多 少 ， 与 本 金 、 利 率 、 存 期 这 三 个 因 素 有关 。 利 率 一 般 有 年 利 率 和 月 利 率 两 种 。 年 利 率 是 指 存 期 一 年 本 金 所 生 利 息 占 本 金 的 百 分 数 ；月 利 率 是 指 存 期 一 月 所 生 利 息 占 本 金 的 百 分 数 。

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【 数 量 关 系 】 年 （ 月 ） 利 率 ＝ 利 息 ÷ 本 金 ÷ 存 款 年 （ 月 ） 数 × 100%利 息 ＝ 本 金 × 存 款 年 （ 月 ） 数 × 年 （ 月 ） 利 率本 利 和 ＝ 本 金 ＋ 利 息＝ 本 金 × ［ 1＋ 年 （ 月 ） 利 率 × 存 款 年 （ 月 ） 数 ］【 解 题 思 路 和 方 法 】 简 单 的 题 目 可 直 接 利 用 公 式 ， 复 杂 的 题 目 变 通 后 再 利 用 公 式 。例 1 李 大 强 存 入 银 行 1200元 ， 月 利 率 0.8%， 到 期 后 连 本 带 利 共 取 出 1488元 ， 求 存 款 期 多长 。解 因 为 存 款 期 内 的 总 利 息 是 （ 1488－ 1200） 元 ，所 以 总 利 率 为 （ 1488－ 1200） ÷ 1200 又 因 为 已 知 月 利 率 ，

所 以 存 款 月 数 为 （ 1488－ 1200） ÷ 1200÷ 0.8%＝ 30（ 月 ）答 ： 李 大 强 的 存 款 期 是 30月 即 两 年 半 。例 2 银 行 定 期 整 存 整 取 的 年 利 率 是 ： 二 年 期 7.92%， 三 年 期 8.28%， 五 年 期 9%。 如 果 甲 乙二 人 同 时 各 存 入 1 万 元 ， 甲 先 存 二 年 期 ， 到 期 后 连 本 带 利 改 存 三 年 期 ； 乙 直 存 五 年 期 。 五年 后 二 人 同 时 取 出 ， 那 么 ， 谁 的 收 益 多 ？ 多 多 少 元 ？解 甲 的 总 利 息 ［ 10000× 7.92%× 2＋ ［ 10000× （ 1＋ 7.92%× 2） ］ × 8.28%× 3＝ 1584＋ 11584× 8.28%× 3＝ 4461.47（ 元 ）乙 的 总 利 息 10000× 9%× 5＝ 4500（ 元 ）4500－ 4461.47＝ 38.53（ 元 ）

答 ： 乙 的 收 益 较 多 ， 乙 比 甲 多 38.53元 。24 溶 液 浓 度 问 题【 含 义 】 在 生 产 和 生 活 中 ， 我 们 经 常 会 遇 到 溶 液 浓 度 问 题 。 这 类 问 题 研 究 的 主 要 是 溶 剂 （ 水或 其 它 液 体 ） 、 溶 质 、 溶 液 、 浓 度 这 几 个 量 的 关 系 。 例 如 ， 水 是 一 种 溶 剂 ， 被 溶 解 的 东 西 叫溶 质 ， 溶 解 后 的 混 合 物 叫 溶 液 。 溶 质 的 量 在 溶 液 的 量 中 所 占 的 百 分 数 叫 浓 度 ， 也 叫 百 分 比浓 度 。【 数 量 关 系 】 溶 液 ＝ 溶 剂 ＋ 溶 质

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浓 度 ＝ 溶 质 ÷ 溶 液 × 100%【 解 题 思 路 和 方 法 】 简 单 的 题 目 可 直 接 利 用 公 式 ， 复 杂 的 题 目 变 通 后 再 利 用 公 式 。例 1 爷 爷 有 16%的 糖 水 50克 ， （ 1） 要 把 它 稀 释 成 10%的 糖 水 ， 需 加 水 多 少 克 ？ （ 2） 若 要 把它 变 成 30%的 糖 水 ， 需 加 糖 多 少 克 ？解 （ 1） 需 要 加 水 多 少 克 ？ 50× 16%÷ 10%－ 50＝ 30（ 克 ）（ 2） 需 要 加 糖 多 少 克 ？ 50× （ 1－ 16%） ÷ （ 1－ 30%） － 50＝ 10（ 克 ）答 ： （ 1） 需 要 加 水 30克 ， （ 2） 需 要 加 糖 10克 。例 2 要 把 30%的 糖 水 与 15%的 糖 水 混 合 ， 配 成 25%的 糖 水 600 克 ， 需 要 30%和 15%的 糖 水 各

多 少 克 ？解 假 设 全 用 30%的 糖 水 溶 液 ， 那 么 含 糖 量 就 会 多 出 600× （ 30%－ 25%） ＝ 30（ 克 ）这 是 因 为 30%的 糖 水 多 用 了 。 于 是 ， 我 们 设 想 在 保 证 总 重 量 600克 不 变 的 情 况 下 ， 用 15%的溶 液 来 “ 换 掉 ” 一 部 分 30%的 溶 液 。 这 样 ， 每 “ 换 掉 ” 100 克 ， 就 会 减 少 糖 100× （ 30%－15%） ＝ 15（ 克 ） 所 以 需 要 “ 换 掉 ” 30%的 溶 液 （ 即 “ 换 上 ” 15%的 溶 液 ） 100× （ 30÷ 15）＝ 200（ 克 ）由 此 可 知 ， 需 要 15%的 溶 液 200克 。需 要 30%的 溶 液 600－ 200＝ 400（ 克 ）答 ： 需 要 15%的 糖 水 溶 液 200克 ， 需 要 30%的 糖 水 400克 。

例 3 甲 容 器 有 浓 度 为 12%的 盐 水 500克 ， 乙 容 器 有 500克 水 。 把 甲 中 盐 水 的 一 半 倒 入 乙 中 ，混 合 后 再 把 乙 中 现 有 盐 水 的 一 半 倒 入 甲 中 ， 混 合 后 又 把 甲 中 的 一 部 分 盐 水 倒 入 乙 中 ， 使 甲乙 两 容 器 中 的 盐 水 同 样 多 。 求 最 后 乙 中 盐 水 的 百 分 比 浓 度 。解 由 条 件 知 ， 倒 了 三 次 后 ， 甲 乙 两 容 器 中 溶 液 重 量 相 等 ， 各 为 500 克 ， 因 此 ， 只 要 算 出 乙容 器 中 最 后 的 含 盐 量 ， 便 会 知 所 求 的 浓 度 。 下 面 列 表 推 算 ：甲 容 器 乙 容 器原 有 盐 水 500 水 500

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盐 500× 12%＝ 60第 一 次 把 甲 中 一 半 倒 入 乙中 后 盐 水 500÷ 2＝ 250盐 60÷ 2＝ 30 盐 水 500＋ 250＝ 750盐 30第 而 次 把 乙 中 一 半 倒 入 甲中 后 盐 水 250＋ 375＝ 625盐 30＋ 15＝ 45 盐 水 750÷ 2＝ 375盐 30÷ 2＝ 15第 三 次 使 甲 乙 中 盐 水 同 样多 盐 水 500盐 45－ 9＝ 36 盐 水 500盐 45－ 36＋ 15＝ 24由 以 上 推 算 可 知 ，

乙 容 器 中 最 后 盐 水 的 百 分 比 浓 度 为 24÷ 500＝ 4.8%答 ： 乙 容 器 中 最 后 的 百 分 比 浓 度 是 4.8%。25 构 图 布 数 问 题【 含 义 】 这 是 一 种 数 学 游 戏 ， 也 是 现 实 生 活 中 常 用 的 数 学 问 题 。 所 谓 “ 构 图 ” ， 就 是 设 计出 一 种 图 形 ； 所 谓 “ 布 数 ” ， 就 是 把 一 定 的 数 字 填 入 图 中 。 “ 构 图 布 数 ” 问 题 的 关 键 是 要 符合 所 给 的 条 件 。【 数 量 关 系 】 根 据 不 同 题 目 的 要 求 而 定 。【 解 题 思 路 和 方 法 】 通 常 多 从 三 角 形 、 正 方 形 、 圆 形 和 五 角 星 等 图 形 方 面 考 虑 。 按 照 题 意来 构 图 布 数 ， 符 合 题 目 所 给 的 条 件 。

例 1 十 棵 树 苗 子 ， 要 栽 五 行 子 ， 每 行 四 棵 子 ， 请 你 想 法 子 。解 符 合 题 目 要 求 的 图 形 应 是 一 个 五 角 星 。4× 5÷ 2＝ 10因 为 五 角 星 的 5 条 边 交 叉 重 复 ， 应 减 去 一 半 。例 2 九 棵 树 苗 子 ， 要 栽 十 行 子 ， 每 行 三 棵 子 ， 请 你 想 法 子 。解 符 合 题 目 要 求 的 图 形 是 两 个 倒 立 交 叉 的 等 腰 三 角 形 ，一 个 三 角 形 的 顶 点 在 另 一 个 三 角 形 底 边 的 中 线 上 。例 3 九 棵 树 苗 子 ， 要 栽 三 行 子 ， 每 行 四 棵 子 ， 请 你 想 法 子 。

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解 符 合 题 目 要 求 的 图 形 是 一 个 三 角 形 ， 每 边 栽 4棵 树 ， 三 个 顶 点 上 重 复 应 减 去 ， 正 好 9棵 。4× 3－ 3＝ 9例 4 把 12拆 成 1到 7 这 七 个 数 中 三 个 不 同 数 的 和 ， 有 几 种 写 法 ？ 请 设 计 一 种 图 形 ， 填 入 这七 个 数 ， 每 个 数 只 填 一 处 ， 且 每 条 线 上 三 个 数 的 和 都 等 于 12。解 共 有 五 种 写 法 ， 即 12＝ 1＋ 4＋ 7 12＝ 1＋ 5＋ 6 12＝ 2＋ 3＋ 712＝ 2＋ 4＋ 6 12＝ 3＋ 4＋ 5在 这 五 个 算 式 中 ， 4 出 现 三 次 ， 其 余 的 1、 2、 3、 5、 6、 7 各 出 现 两 次 ， 因 此 ， 4 应 位 于 三条 线 的 交 点 处 ， 其 余 数 都 位 于 两 条 线 的 交 点 处 。26 幻 方 问 题

【 含 义 】 把 n× n 个 自 然 数 排 在 正 方 形 的 格 子 中 ， 使 各 行 、 各 列 以 及 对 角 线 上 的 各 数 之 和都 相 等 ， 这 样 的 图 叫 做 幻 方 。 最 简 单 的 幻 方 是 三 级 幻 方 。【 数 量 关 系 】 每 行 、 每 列 、 每 条 对 角 线 上 各 数 的 和 都 相 等 ， 这 个 “ 和 ” 叫 做 “ 幻 和 ” 。（ 1-9） 三 级 幻 方 的 幻 和 ＝ 45÷ 3＝ 15（ 1-25） 五 级 幻 方 的 幻 和 ＝ 325÷ 5＝ 65【 解 题 思 路 和 方 法 】 首 先 要 确 定 每 行 、 每 列 以 及 每 条 对 角 线 上 各 数 的 和 （ 即 幻 和 ） ， 其 次 是确 定 正 中 间 方 格 的 数 ， 然 后 再 确 定 其 它 方 格 中 的 数 。例 1 把 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9 这 九 个 数 填 入 九 个 方 格 中 ， 使 每 行 、 每 列 、 每 条 对 角线 上 三 个 数 的 和 相 等 。

解 幻 和 的 3 倍 正 好 等 于 这 九 个 数 的 和 ， 所 以 幻 和 为（ 1＋ 2＋ 3＋ 4＋ 5＋ 6＋ 7＋ 8＋ 9） ÷ 3＝ 45÷ 3＝ 15九 个 数 在 这 八 条 线 上 反 复 出 现 构 成 幻 和 时 ， 每 个 数 用 到 的 次 数 不 全 相 同 ， 最 中 心 的 那 个 数要 用 到 四 次 （ 即 出 现 在 中 行 、 中 列 和 两 条 对 角 线 这 四 条 线 上 ） ， 四 角 的 四 个 数 各 用 到 三 次 ，其 余 的 四 个 数 各 用 到 两 次 。 看 来 ， 用 到 四 次 的 “ 中 心 数 ” 地 位 重 要 ， 宜 优 先 考 虑 。设 “ 中 心 数 ” 为 Χ ， 因 为 Χ 出 现 在 四 条 线 上 ， 而 每 条 线 上 三 个 数 之 和 等 于 15， 所 以 （ 1＋ 2＋ 3＋ 4＋ 5＋ 6＋ 7＋ 8＋ 9） ＋ （ 4－ 1） Χ ＝ 15× 4

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即 45＋ 3Χ ＝ 60 所 以 Χ ＝ 5接 着 用 奇 偶 分 析 法 寻 找 其 余 四 个 偶 数 的 位 置 ， 它 们分 别 在 四 个 角 ， 再 确 定 其 余 四 个 奇 数 的 位 置 ， 它 们 分 别在 中 行 、 中 列 ， 进 一 步 尝 试 ， 容 易 得 到 正 确 的 结 果 。例 2 把 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10这 九 个 数 填 到 九 个 方 格 中 ，使 每 行 、 每 列 、 以 及 对 角 线 上 的 各 数 之 和 都 相 等 。解 只 有 三 行 ， 三 行 用 完 了 所 给 的 9 个 数 ， 所 以 每 行 三 数 之 和 为（ 2＋ 3＋ 4＋ 5＋ 6＋ 7＋ 8＋ 9＋ 10） ÷ 3＝ 18假 设 符 合 要 求 的 数 都 已 经 填 好 ， 那 么 三 行 、 三 列 、 两 条 对 角 线 共 8 行 上

的 三 个 数 之 和 都 等 于 18， 我 们 看 18能 写 成 哪 三 个 数 之 和 ：最 大 数 是 10： 18＝ 10＋ 6＋ 2＝ 10＋ 5＋ 3最 大 数 是 9： 18＝ 9＋ 7＋ 2＝ 9＋ 6＋ 3＝ 9＋ 5＋ 4最 大 数 是 8： 18＝ 8＋ 7＋ 3＝ 8＋ 6＋ 4最 大 数 是 7： 18＝ 7＋ 6＋ 5 刚 好 写 成 8 个 算 式 。首 先 确 定 正 中 间 方 格 的 数 。 第 二 横 行 、 第 二 竖 行 、 两 个 斜 行 都 用 到 正 中 间 方 格 的 数 ， 共 用了 四 次 。 观 察 上 述 8个 算 式 ， 只 有 6 被 用 了 4 次 ， 所 以 正 中 间 方 格 中 应 填 6。然 后 确 定 四 个 角 的 数 。 四 个 角 的 数 都 用 了 三 次 ， 而 上 述 8个 算 式 中 只 有 9、 7、 5、 3被 用 了三 次 ， 所 以 9、 7、 5、 3应 填 在 四 个 角 上 。 但 还 应 兼 顾 两 条 对 角 线 上 三 个 数 的 和 都 为 18。

最 后 确 定 其 它 方 格 中 的 数 。 如 图 。27 抽 屉 原 则 问 题【 含 义 】 把 3个 苹 果 放 进 两 个 抽 屉 中 ， 会 出 现 哪 些 结 果 呢 ？ 要 么 把 2个 苹 果 放 进 一 个 抽 屉 ，剩 下 的 一 个 放 进 另 一 个 抽 屉 ； 要 么 把 3 个 苹 果 都 放 进 同 一 个 抽 屉 中 。 这 两 种 情 况 可 用 一 句话 表 示 ： 一 定 有 一 个 抽 屉 中 放 了 2个 或 2个 以 上 的 苹 果 。 这 就 是 数 学 中 的 抽 屉 原 则 问 题 。【 数 量 关 系 】 基 本 的 抽 屉 原 则 是 ： 如 果 把 n＋ 1 个 物 体 （ 也 叫 元 素 ） 放 到 n 个 抽 屉 中 ， 那么 至 少 有 一 个 抽 屉 中 放 着 2个 或 更 多 的 物 体 （ 元 素 ） 。

2 7 69 5 14 3 89 2 74 6 8

5 10 3

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抽 屉 原 则 可 以 推 广 为 ： 如 果 有 m 个 抽 屉 ， 有 k× m＋ r（ 0＜ r≤ m） 个 元 素 那 么 至 少 有 一 个 抽屉 中 要 放 （ k＋ 1） 个 或 更 多 的 元 素 。通 俗 地 说 ， 如 果 元 素 的 个 数 是 抽 屉 个 数 的 k 倍 多 一 些 ， 那 么 至 少 有 一 个 抽 屉 要 放 （ k＋ 1）个 或 更 多 的 元 素 。【 解 题 思 路 和 方 法 】 （ 1） 改 造 抽 屉 ， 指 出 元 素 ；（ 2） 把 元 素 放 入 （ 或 取 出 ） 抽 屉 ；（ 3） 说 明 理 由 ， 得 出 结 论 。例 1 育 才 小 学 有 367个 2000 年 出 生 的 学 生 ， 那 么 其 中 至 少 有 几 个 学 生 的 生 日 是 同 一 天 的 ？解 由 于 2000 年 是 闰 年 ， 全 年 共 有 366 天 ， 可 以 看 作 366 个 “ 抽 屉 ” ， 把 367 个 1999 年 出

生 的 学 生 看 作 367 个 “ 元 素 ” 。 367个 “ 元 素 ” 放 进 366 个 “ 抽 屉 ” 中 ， 至 少 有 一 个 “ 抽 屉 ”中 放 有 2 个 或 更 多 的 “ 元 素 ” 。 这 说 明 至 少 有 2个 学 生 的 生 日 是 同 一 天 的 。例 2 据 说 人 的 头 发 不 超 过 20万 跟 ， 如 果 陕 西 省 有 3645 万 人 ， 根 据 这 些 数 据 ， 你 知 道 陕 西省 至 少 有 多 少 人 头 发 根 数 一 样 多 吗 ？解 人 的 头 发 不 超 过 20万 根 ， 可 看 作 20万 个 “ 抽 屉 ” ， 3645 万 人 可 看 作 3645 万 个 “ 元 素 ” ，把 3645 万 个 “ 元 素 ” 放 到 20万 个 “ 抽 屉 ” 中 ， 得 到3645÷ 20＝ 182… … 5 根 据 抽 屉 原 则 的 推 广 规 律 ， 可 知 k＋ 1＝ 183答 ： 陕 西 省 至 少 有 183人 的 头 发 根 数 一 样 多 。

例 3 一 个 袋 子 里 有 一 些 球 ， 这 些 球 仅 只 有 颜 色 不 同 。 其 中 红 球 10个 ， 白 球 9个 ， 黄 球 8个 ，蓝 球 2 个 。 某 人 闭 着 眼 睛 从 中 取 出 若 干 个 ， 试 问 他 至 少 要 取 多 少 个 球 ， 才 能 保 证 至 少 有 4个 球 颜 色 相 同 ？解 把 四 种 颜 色 的 球 的 总 数 （ 3＋ 3＋ 3＋ 2） ＝ 11 看 作 11 个 “ 抽 屉 ” ， 那 么 ， 至 少 要 取 （ 11＋ 1） 个 球 才 能 保 证 至 少 有 4 个 球 的 颜 色 相 同 。答 ； 他 至 少 要 取 12个 球 才 能 保 证 至 少 有 4 个 球 的 颜 色 相 同 。

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28 公 约 公 倍 问 题【 含 义 】 需 要 用 公 约 数 、 公 倍 数 来 解 答 的 应 用 题 叫 做 公 约 数 、 公 倍 数 问 题 。【 数 量 关 系 】 绝 大 多 数 要 用 最 大 公 约 数 、 最 小 公 倍 数 来 解 答 。【 解 题 思 路 和 方 法 】 先 确 定 题 目 中 要 用 最 大 公 约 数 或 者 最 小 公 倍 数 ， 再 求 出 答 案 。 最 大 公约 数 和 最 小 公 倍 数 的 求 法 ， 最 常 用 的 是 “ 短 除 法 ” 。例 1 一 张 硬 纸 板 长 60厘 米 ， 宽 56厘 米 ， 现 在 需 要 把 它 剪 成 若 干 个 大 小 相 同 的 最 大 的 正 方形 ， 不 许 有 剩 余 。 问 正 方 形 的 边 长 是 多 少 ？解 硬 纸 板 的 长 和 宽 的 最 大 公 约 数 就 是 所 求 的 边 长 。60和 56的 最 大 公 约 数 是 4。

答 ： 正 方 形 的 边 长 是 4 厘 米 。例 2 甲 、 乙 、 丙 三 辆 汽 车 在 环 形 马 路 上 同 向 行 驶 ， 甲 车 行 一 周 要 36 分 钟 ， 乙 车 行 一 周 要30分 钟 ， 丙 车 行 一 周 要 48分 钟 ， 三 辆 汽 车 同 时 从 同 一 个 起 点 出 发 ， 问 至 少 要 多 少 时 间 这 三辆 汽 车 才 能 同 时 又 在 起 点 相 遇 ？解 要 求 多 少 时 间 才 能 在 同 一 起 点 相 遇 ， 这 个 时 间 必 定 同 时 是 36、 30、 48 的 倍 数 。 因 为 问至 少 要 多 少 时 间 ， 所 以 应 是 36、 30、 48的 最 小 公 倍 数 。 36、 30、 48的 最 小 公 倍 数 是 720。答 ： 至 少 要 720分 钟 （ 即 12小 时 ） 这 三 辆 汽 车 才 能 同 时 又 在 起 点 相 遇 。例 3 一 个 四 边 形 广 场 ， 边 长 分 别 为 60米 ， 72米 ， 96米 ， 84米 ， 现 要 在 四 角 和 四 边 植 树 ，若 四 边 上 每 两 棵 树 间 距 相 等 ， 至 少 要 植 多 少 棵 树 ？

解 相 邻 两 树 的 间 距 应 是 60、 72、 96、 84 的 公 约 数 ， 要 使 植 树 的 棵 数 尽 量 少 ， 须 使 相 邻 两树 的 间 距 尽 量 大 ， 那 么 这 个 相 等 的 间 距 应 是 60、 72、 96、 84这 几 个 数 的 最 大 公 约 数 12。所 以 ， 至 少 应 植 树 （ 60＋ 72＋ 96＋ 84） ÷ 12＝ 26（ 棵 ）答 ： 至 少 要 植 26棵 树 。例 4 一 盒 围 棋 子 ， 4个 4 个 地 数 多 1个 ， 5个 5 个 地 数 多 1个 ， 6 个 6 个 地 数 还 多 1 个 。 又知 棋 子 总 数 在 150 到 200 之 间 ， 求 棋 子 总 数 。解 如 果 从 总 数 中 取 出 1个 ， 余 下 的 总 数 便 是 4、 5、 6 的 公 倍 数 。 因 为 4、 5、 6的 最 小 公 倍

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数 是 60， 又 知 棋 子 总 数 在 150到 200之 间 ， 所 以 这 个 总 数 为60× 3＋ 1＝ 181（ 个 ）答 ： 棋 子 的 总 数 是 181个 。29 最 值 问 题【 含 义 】 科 学 的 发 展 观 认 为 ， 国 民 经 济 的 发 展 既 要 讲 求 效 率 ， 又 要 节 约 能 源 ， 要 少 花 钱 多办 事 ， 办 好 事 ， 以 最 小 的 代 价 取 得 最 大 的 效 益 。 这 类 应 用 题 叫 做 最 值 问 题 。【 数 量 关 系 】 一 般 是 求 最 大 值 或 最 小 值 。【 解 题 思 路 和 方 法 】 按 照 题 目 的 要 求 ， 求 出 最 大 值 或 最 小 值 。例 1 在 火 炉 上 烤 饼 ， 饼 的 两 面 都 要 烤 ， 每 烤 一 面 需 要 3 分 钟 ， 炉 上 只 能 同 时 放 两 块 饼 ， 现

在 需 要 烤 三 块 饼 ， 最 少 需 要 多 少 分 钟 ？解 先 将 两 块 饼 同 时 放 上 烤 ， 3 分 钟 后 都 熟 了 一 面 ， 这 时 将 第 一 块 饼 取 出 ， 放 入 第 三 块 饼 ，翻 过 第 二 块 饼 。 再 过 3 分 钟 取 出 熟 了 的 第 二 块 饼 ， 翻 过 第 三 块 饼 ， 又 放 入 第 一 块 饼 烤 另 一面 ， 再 烤 3 分 钟 即 可 。 这 样 做 ， 用 的 时 间 最 少 ， 为 9 分 钟 。答 ： 最 少 需 要 9 分 钟 。例 2 在 一 条 公 路 上 有 五 个 卸 煤 场 ， 每 相 邻 两 个 之 间 的 距 离 都 是 10千 米 ， 已 知 1号 煤 场 存 煤100 吨 ， 2 号 煤 场 存 煤 200 吨 ， 5 号 煤 场 存 煤 400 吨 ， 其 余 两 个 煤 场 是 空 的 。 现 在 要 把 所 有的 煤 集 中 到 一 个 煤 场 里 ， 每 吨 煤 运 1 千 米 花 费 1元 ， 集 中 到 几 号 煤 场 花 费 最 少 ？解 我 们 采 用 尝 试 比 较 的 方 法 来 解 答 。

集 中 到 1 号 场 总 费 用 为 1× 200× 10＋ 1× 400× 40＝ 18000（ 元 ）集 中 到 2 号 场 总 费 用 为 1× 100× 10＋ 1× 400× 30＝ 13000（ 元 ）集 中 到 3 号 场 总 费 用 为 1× 100× 20＋ 1× 200× 10＋ 1× 400× 10＝ 12000（ 元 ）集 中 到 4 号 场 总 费 用 为 1× 100× 30＋ 1× 200× 20＋ 1× 400× 10＝ 11000（ 元 ）集 中 到 5 号 场 总 费 用 为 1× 100× 40＋ 1× 200× 30＝ 10000（ 元 ）经 过 比 较 ， 显 然 ， 集 中 到 5号 煤 场 费 用 最 少 。答 ： 集 中 到 5号 煤 场 费 用 最 少 。

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例 3 北 京 和 上 海 同 时 制 成 计 算 机 若 干 台 ， 北 京 可 调 运 外 地 10台 ， 上 海 可 调 运 外 地 4 台 。 现决 定 给 重 庆 调 运 8 台 ， 给 武 汉 调 运 6 台 ，若 每 台 运 费 如 右 表 ， 问 如 何 调 运 才 使 运 费 最 省 ？解 北 京 调 运 到 重 庆 的 运 费 最 高 ， 因 此 ， 北 京往 重 庆 应 尽 量 少 调 运 。 这 样 ， 把 上 海 的 4台 全 都 调往 重 庆 ， 再 从 北 京 调 往 重 庆 4 台 ， 调 往 武 汉 6 台 ， 运 费 就 会 最 少 ， 其 数 额 为500× 4＋ 800× 4＋ 400× 6＝ 7600（ 元 ）答 ： 上 海 调 往 重 庆 4台 ， 北 京 调 往 武 汉 6台 ， 调 往 重 庆 4 台 ， 这 样 运 费 最 少 。30 列 方 程 问 题

【 含 义 】 把 应 用 题 中 的 未 知 数 用 字 母 Χ 代 替 ， 根 据 等 量 关 系 列 出 含 有 未 知 数 的 等 式 — — 方程 ， 通 过 解 这 个 方 程 而 得 到 应 用 题 的 答 案 ， 这 个 过 程 ， 就 叫 做 列 方 程 解 应 用 题 。【 数 量 关 系 】 方 程 的 等 号 两 边 数 量 相 等 。【 解 题 思 路 和 方 法 】 可 以 概 括 为 “ 审 、 设 、 列 、 解 、 验 、 答 ” 六 字 法 。（ 1） 审 ： 认 真 审 题 ， 弄 清 应 用 题 中 的 已 知 量 和 未 知 量 各 是 什 么 ， 问 题 中 的 等 量 关 系 是 什 么 。（ 2） 设 ： 把 应 用 题 中 的 未 知 数 设 为 Χ 。（ 3） 列 ： 根 据 所 设 的 未 知 数 和 题 目 中 的 已 知 条 件 ， 按 照 等 量 关 系 列 出 方 程 。（ 4） 解 ： 求 出 所 列 方 程 的 解 。（ 5） 验 ： 检 验 方 程 的 解 是 否 正 确 ， 是 否 符 合 题 意 。

（ 6） 答 ： 回 答 题 目 所 问 ， 也 就 是 写 出 答 问 的 话 。同 学 们 在 列 方 程 解 应 用 题 时 ， 一 般 只 写 出 四 项 内 容 ， 即 设 未 知 数 、 列 方 程 、 解 方 程 、 答 语 。设 未 知 数 时 要 在 Χ 后 面 写 上 单 位 名 称 ， 在 方 程 中 已 知 数 和 未 知 数 都 不 带 单 位 名 称 ， 求 出 的Χ 值 也 不 带 单 位 名 称 ， 在 答 语 中 要 写 出 单 位 名 称 。 检 验 的 过 程 不 必 写 出 ， 但 必 须 检 验 。例 1 甲 乙 两 班 共 90人 ， 甲 班 比 乙 班 人 数 的 2倍 少 30人 ， 求 两 班 各 有 多 少 人 ？解 第 一 种 方 法 ： 设 乙 班 有 Χ 人 ， 则 甲 班 有 （ 90－ Χ ） 人 。找 等 量 关 系 ： 甲 班 人 数 ＝ 乙 班 人 数 × 2－ 30人 。

重 庆 武 汉北 京 800 400上 海 500 300

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列 方 程 ： 90－ Χ ＝ 2Χ － 30解 方 程 得 Χ ＝ 40 从 而 知 90－ Χ ＝ 50第 二 种 方 法 ： 设 乙 班 有 Χ 人 ， 则 甲 班 有 （ 2Χ － 30） 人 。列 方 程 （ 2Χ － 30） ＋ Χ ＝ 90解 方 程 得 Χ ＝ 40 从 而 得 知 2Χ － 30＝ 50答 ： 甲 班 有 50人 ， 乙 班 有 40人 。例 2 鸡 兔 35只 ， 共 有 94只 脚 ， 问 有 多 少 兔 ？ 多 少 鸡 ？解 第 一 种 方 法 ： 设 兔 为 Χ 只 ， 则 鸡 为 （ 35－ Χ ） 只 ， 兔 的 脚 数 为 4Χ 个 ， 鸡 的 脚 数 为 2（ 35－ Χ ） 个 。 根 据 等 量 关 系 “ 兔 脚 数 ＋ 鸡 脚 数 ＝ 94”

可 列 出 方 程 4Χ ＋ 2（ 35－ Χ ） ＝ 94 解 方 程 得 Χ ＝ 12 则 35－ Χ ＝ 23第 二 种 方 法 ： 可 按 “ 鸡 兔 同 笼 ” 问 题 来 解 答 。 假 设 全 都 是 鸡 ，则 有 兔 数 ＝ （ 实 际 脚 数 － 2× 鸡 兔 总 数 ） ÷ （ 4－ 2）所 以 兔 数 ＝ （ 94－ 2× 35） ÷ （ 4－ 2） ＝ 12（ 只 ）鸡 数 ＝ 35－ 12＝ 23（ 只 ）答 ： 鸡 是 23只 ， 兔 是 12只 。例 3 仓 库 里 有 化 肥 940 袋 ， 两 辆 汽 车 4 次 可 以 运 完 ， 已 知 甲 汽 车 每 次 运 125袋 ， 乙 汽 车 每次 运 多 少 袋 ？解 第 一 种 方 法 ： 求 出 甲 乙 两 车 一 次 共 可 运 的 袋 数 ， 再 减 去 甲 车 一 次 运 的 袋 数 ， 即 是 所 求 。

940÷ 4－ 125＝ 110（ 袋 ）第 二 种 方 法 ： 从 总 量 里 减 去 甲 汽 车 4 次 运 的 袋 数 ， 即 为 乙 汽 车 共 运 的 袋 数 ， 再 除 以 4， 即 是所 求 。（ 940－ 125× 4） ÷ 4＝ 110（ 袋 ）第 三 种 方 法 ： 设 乙 汽 车 每 次 运 Χ 袋 ， 可 列 出 方 程 940÷ 4－ Χ ＝ 125解 方 程 得 Χ ＝ 110第 四 种 方 法 ： 设 乙 汽 车 每 次 运 Χ 袋 ， 依 题 意 得

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（ 125＋ Χ ） × 4＝ 940 解 方 程 得 Χ ＝ 110答 ： 乙 汽 车 每 次 运 110袋 。