三、数列——三年（2021-2023）高考数学创新真题精编1. 【2023年天津卷】已知数列是等差数列，，.(1)求的通项公式和；(2)已知
为等比数列，对于任意，若，则.(i)当时，求证：；(ii)求的通项公式及其前n项和.2. 【2023年上海卷】国内生产总值(GDP
)是衡量一个国家或地区经济状况和发展水平的重要指标.根据统计数据显示，某市在2020年间经济高质量增长，GDP稳定增长，第一季度和
第四季度的GDP分别为232亿元和241亿元，且四个季度的GDP逐季度增长，中位数与平均数相等，则该市2020年的GDP总额为__
______亿元.3. 【2023年新课标Ⅱ卷】已知为等差数列，.记，分别为数列，的前n项和，若，.(1)求的通项公式；(2)证明
：当时，.4. 【2022年北京卷】设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的( )A.充分而不
必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5. 【2022年北京卷】已知数列的各项均为正数，其前n项和满
足.给出下列四个结论：①的第2项小于3；②为等比数列；③为递减数列；④中存在小于的项.其中所有正确结论的序号是______.6.
【2022年浙江卷】已知数列满足，，则( )A.B.C.D.7. 【2022年上海卷】已知等差数列的公差不为零，为其前n项和，
若，则中不同的数值有__________个.8. 【2022年上海卷】已知无穷数列中，，，若对于任意的正整数，都存在正整数，使得.
（1）求的所有可能值.（2）已知命题p：若，，，…，成等差数列，则.证明命题p为真命题，同时写出命题p的逆命题q，若命题q是真命题
，则证明之；若命题q是假命题，请举反例.（3）若对于任意的正整数m，都有成立，求数列的通项公式.9. 【2021年天津卷】已知是公
差为2的等差数列，其前8项和为64.是公比大于0的等比数列，，.（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）记，.（i）证明是等比数列；（ii）证
明.10. 【2021年上海卷】已知，对任意的，或中有且仅有一个成立，且，，则的最小值为___________.答案以及解析1.答
案：(1)(2)(i)证明见解析(ii)通项公式，前n项和为解析：(1)设的公差为d，由，得，解得，所以的通项公式为.，.从到共有
(项).所以.(或).(2)(i)因为当时，，所以当时，，可得.因为为递增数列，所以若，则，得.同理可得.故可得，所以.综上，当时
，.(ii)由题意知是的正项等比数列，设的通项公式为(，且)，由(i)知，，即，则有.①当，即时，，使得，与矛盾；②当，，即且时，
，使得，与矛盾.故.因为，所以.设的前n项和为，则.2.答案：946解析：依题意，将2020年四个季度的GDP数据分别记为，，，，
则，，四个季度GDP数据的中位数为，平均数为，则，，故该市2020年的GDP总额为(亿元).3.答案：(1)(2)证明见解析解析：
(1)设等差数列的公差为d.因为，所以，，.因为，，所以，整理，得，解得，所以的通项公式为.(2)由(1)知，所以.当n为奇数时，
.当时，，所以.当n为偶数时，.当时，，所以.综上.可知，当时，.4.答案：C解析：设无穷等差数列的公差为，则，若为递增数列，则，
则存在正整数，使得当时，，所以充分性成立；若存在正整数，使得当时，，即，对任意的，均成立，由于时，，且，所以，为递增数列，必要性成
立.故选C.5.答案：①③④解析：因为，所以，又，所以，，即，得，所以①正确；当时，由，得，两式作差可得，即，整理得，若数列为等比
数列，则当时，为常数，即数列从第2项起各项均为同一个常数，易知当时不成立，以②不正确；因为，所以，由数列的各项均为正数，得，所以，
所以③正确；对于④，若数列的所有项均大于等于，取，由且，得，所以，与已知矛盾，所以④正确.综上，所有正确结论的序号是①③④.6.答
案：B解析：因为，，所以，易知，所以有，所以可得.由，可得，即.一方面，由，累加可得（），所以，从而.另一方面，由（）式可得，
所以，又，所以，由，累加可得，所以，所以.综上可知，.故选B.7.答案：98解析：设等差数列的公差为，则，，即，.列举的前几项，，
，，，，，，则，，，，，，.，，.当，时，易知单调递增；当，时，易知单调递减.中不同的数值有(个).8、（1）答案：或9解析：当时
，，当时，，或.或9.（2）答案：见解析解析：若，，，…，成等差数列，则，（，）.，，因此命题p为真命题.命题p的逆命题q：若，则
，，，…，成等差数列.命题q为假命题，反例：，，，，，，，，.（，）（3）答案：解析：若对于任意的正整数m，都有成立，则，，，，，
.猜想：（，），（，），（，）.下面用数学归纳法证明：(Ⅰ)当时，，成立，成立；(Ⅱ)假设时均成立，即，，，…，，，，，.（，），
（，，），，，中至少有一个大于或等于.先证为递增数列：①时，；②假设当（，）时，，则时，（，），，，为递增数列.(ⅰ)若，则，该不
等式不成立；(ⅱ)若，则，，，该不等式不可能成立..由数学归纳法得证..9.答案：（I）由题可知数列中，得解得，故通项公式为设数列
的公比为q，则解得或（舍去），故通项公式为（Ⅱ）（i）证明：所以是以8为首项，以4为公比的等比数列.（ii）证明：设，其前n项和为
，则有两式相减得解得所以解析：10.答案：31解析：令，则依题意，和中，仅有一个为1（即只能隔项为1）若，则，，，，，，，，，此时的最小值为31.若，则，，，，，，，此时的最小值为32；故最小值为31. |
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