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大 王 老 师 会 员 专 享 资 料 第 （ 三 ） 版小 学 1-6 专 项 复 习 （ 找 规 律 ， 数 列 ， 式 子 ）— — 大 王 老 师 亲 自 整 理 （ 2023 年 7 月 23 日 ）★★★知识归纳总结知识归纳总结知识归纳总结一、算术中的规律
在 数 学 算 式 中 探 索 规 律 ， 应 认 真 观 察 算 式 的 特 点 ， 再 观 察 结 果 的 特 点 ， 进 而 ， 根 据 规 律 填出 这 一 类 算 式 的 结 果 ．例 如 ： 1× 1=1；11× 11=121；111× 111=12321；1111× 1111=1234321；通 过 观 察 发 现 ： 每 个 算 式 中 ， 两 个 因 数 各 个 数 位 上 的 数 字 都 是 1， 且 个 数 相 同 ． 积 里 的 数 字呈 对 称 形 式 ， 且 前 半 部 分 是 从 1 开 始 ， 写 至 某 个 数 字 （ 此 数 即 因 数 的 位 数 ） ， 积 的 后 半 部 分再 顺 次 写 出 ．
① 一 个 数 乘 11， 101 的 规 律一 个 数 乘 11 的 规 律 ： 可 采 用 “ 两 头 一 拉 ， 中 间 相 加 ” 的 方 法 计 算 ．如 ： 123× 11=1353一 个 数 乘 101 的 规 律 ： 可 采 用 “ 两 两 一 位 ， 隔 位 一 加 ” 的 方 法 计 算 ．如 ： 58734× 101=5932134
② 一 个 数 乘 5， 15， 25， 125 的 规 律
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一 个 数 乘 5， 转 化 为 一 个 数 乘 10， 然 后 ， 再 除 以 2．如 ： 28× 5=28× 10÷ 2=280÷ 2=140这 种 情 况 可 以 概 括 为 “ 添 0 求 半 ” ． 根 据 同 级 运 算 可 交 换 位 置 的 性 质 ， 也 可 以 先 除 以 2， 再乘 10．如 ： 28× 5=28÷ 2× 10=14× 10=140． 即 “ 求 半 添 0” 的 方 法 ．一 个 数 乘 15， 可 分 解 为 先 用 这 个 数 乘 10， 再 加 上 这 个 数 乘 5， 乘 5 的 方 法 同 上 ．如 ： 264× 15=264× 10+264× 5=2640+264× 10÷ 2=2640+2640÷ 2=2640+1320=3960．这 种 情 况 可 以 概 括 为 “ 添 0 补 半 ”一 个 数 乘 125， 因 为 125× 8=1000， 所 以 ， 可 将 一 个 数 乘 125 转 化 为 先 乘 1000， 再 除 以 8，
或 先 除 以 8， 再 乘 1000．如 ： 864× 125=864× 1000÷ 8=864000÷ 8=108000．例1：请把你猜想的结果填在横线上．9×6＝54；99×96＝9504；999×996＝995004；9999×9996＝99950004；
99999×99996＝9999500004．【分析】首先计算出99乘96得到9504，999乘996得到995004，则发现规律：两个因数每增加一个9，则结果相应的前面增加一个9，中间增加一个0；照此规律，依次写出，即可得解．【解答】解：9×6＝54，99×96＝9504，999×996＝995004，9999×9996＝99950004，99999×99996＝9999500004，
故答案为：99950004，9999500004．【点评】认真观察，找出规律是解决此题的关键．
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例2：观察下面一组算式的左边三题，再填出右边括号里的数．21×9＝189 54321×9＝488889321×9＝2889 654321×9＝58888894321×9＝38889 7654321×9＝68888889．【分析】通过观察发现，积的第一位数字是第一个因数的第二位数字，中间数字8的个数是第一个因数的第二位数字的数量，最后是数字9．据此规律即可写出得数．【解答】解：54321×9＝488889；654321×9＝5888889；7654321×9＝68888889．
故答案为：488889，5888889，68888889．【点评】此题考查了学生观察能力，以及分析问题、总结规律的能力．例3：循环小数0. 2345678的小数点后第2014位上的数字是7．【分析】循环小数0. 2345678是按照123456789九位进行循环的，求出2014里面有多少个这样的循环节，还余几个数字，再根据余数判断即可．【解答】解：循环小数0. 2345678是按照123456789九位进行循环的；2014÷9＝223…7；余数是7，第2014位就和第7位相同是7．
故答案为：7．【点评】解决这类问题往往是把重复出现的部分看成一组，先找出排列的周期性规律，再根据规律求解．例4：阅读理解题+＝＝；+＝＝；+＝＝。（1）请在理解上面计算方法的基础上，把下面两个数表示成两个分数的和的形式（分别写出表示的过程和结果）＝＝+；
＝＝+。（2）利用以上所得的规律进行计算：﹣+﹣+﹣+﹣+；
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（3）结合以上规律，通过适当变形，进行计算：﹣+﹣【分析】根据举例找出算术中的规律，拆分成如题的形式后进行运算。【解答】解：（1）＝＝+，＝＝+。（2）﹣+﹣+﹣+﹣+＝﹣﹣+ +﹣﹣+ +﹣﹣+ +﹣﹣+ +＝（3）﹣+﹣
＝（2×﹣+﹣）÷2＝（﹣+﹣）÷2＝（+﹣﹣+ +﹣﹣）÷2＝（﹣）÷2＝÷2＝【点评】此题在于考查学生总结规律的能力。
例5：观察与计算．计算：1+2+3+…+99+100+99+98+…+3+2+1＝【分析】通过观察，上面三个算式的得数为中间数的平方数．在1+2+3+…+99+100+99+98+…+3+2+1算式中，中间数是100，此算式得数为100的平方数．【解答】解：1+2+3+…+99+100+99+98+…+3+2+1
＝100×100＝10000．
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【点评】本题考查学生对有规律的算式的观察能力，重点应总结规律．二、数列中的规律按 一 定 的 次 序 排 列 的 一 列 数 ， 叫 做 数 列 ．（ 1） 规 律 蕴 涵 在 相 邻 两 数 的 差 或 倍 数 中 ．例 如 ： 1， 2， 3， 4， 5， 6… 相 邻 的 差 都 为 1；1， 2， 4， 8， 16， 32… 相 邻 的 两 数 为 2 倍 关 系 ．
（ 2） 前 后 几 项 为 一 组 ， 以 组 为 单 位 找 关 系 ， 便 于 找 到 规 律 ．例 如 ： 1， 0， 0， 1， 1， 0， 0， 1… 从 左 到 右 ， 每 四 项 为 一 组 ；1， 2， 3， 5， 8， 13， 21… 规 律 为 ， 从 第 三 个 数 开 始 ， 每 个 数 都 是 它 前 面 两 个 数 的 和 ．（ 3） 需 将 数 列 本 身 分 解 ， 通 过 对 比 ， 发 现 规 律 ．例 如 ， 12， 15， 17， 30， 22， 45， 27， 60… 在 这 里 ， 第 1， 3， 5… 项 依 次 相 差 5， 第 2， 4，6… 项 依 次 相 差 15．（ 4） 相 邻 两 数 的 关 系 中 隐 含 着 规 律 ．例 如 ， 18， 20， 24， 30， 38， 48， 60… 相 邻 两 数 依 次 差 2， 4， 6， 8， 10， 12…
例1：找规律填数。（1）81，64，49，36，25，16。（2）【分析】（1）从左到右，依次为9、8、7、6……的平方。（2）用中间数除以圆圈的个数即为圆圈里的数。【解答】解：（1）81，64，49，36，25，16。故答案为：25，16。
（2）
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【点评】根据题中的已知条件，找出规律，根据规律解题是学生应具备的基本能力。例2：按规律填一填、涂一涂。（1）（2）【分析】（1）根据所给数据发现，前一组数依次加5；后一组数依次减1；（2）根据所给数据，每组1个白色，黑色依次加1。【解答】解：（1）
（2）【点评】通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。例3：找规律，填一填。（1）（2）
【分析】（1）根据所给数据发现，后一个数等于前一个数加1，前一个数等于后一个数减去1，据此解答。（2）根据所给数据，三角形两个底角上数字的和等于顶角上的数字，据此解答。【解答】解：（1）13﹣1＝1213+1＝14如图：（2）13﹣8＝518﹣9＝9
6+13＝19如图：
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故答案为：12，14；5，9，19。【点评】通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。例4：找规律，在□里填数或画图。【分析】（1）依次加2；（2）竖线表示5，横线表示1。【解答】解：
【点评】通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。例5：找规律填数：。【分析】依次加7。【解答】解：
【点评】通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。三、“式”的规律把 一 些 算 式 排 列 在 一 起 ， 从 中 发 现 规 律 ， 也 是 探 索 规 律 的 重 要 内 容 ． 在 探 索 “ 式 ” 的 规 律时 ， 要 从 组 成 “ 式 ” 的 要 素 中 去 探 索 ．
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例1：写一组有规律的除法算式，并写出你的发现。算式：发现：【分析】可以写出被除数是1～9，除数都是11的除法算式；据此解答即可。【解答】解：答案不唯一1÷11＝0.0909……2÷11＝0.1818……3÷11＝0.2727……4÷11＝0.3636……
5÷11＝0.4545……6÷11＝0.5454……7÷11＝0.6363……8÷11＝0.7272……9÷11＝0.8181……观察商的规律可以发现：商都是循环小数，循环节的两位数字的和为9，且循环节的第一个数字依次加1；第二个数字依次减1。【点评】本题考查“式”的规律，找到循环节的规律是解本题的关键。例2：用计算器计算前三题，找规律，直接写出后三题的答案。
88.2÷9＝88.83÷9＝88.884÷9＝88.8885÷9＝88.88886÷9＝88.888887÷9＝【分析】被除数整数部分都是88，小数部分末位由上而下分别是2、3、4……；小数部分除末位外都是8，由上而下是0个8、1个8、2个8……除数都是9；用计算器算出前面3个算式由上而下分别是9.8、9.87、9.876，整数部分都是9，小数部分依次是8、87、
876……；小数位数与被除数小数位数相同。据此可直接写出后三题的答案。【解答】解：88.2÷9＝9.8
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88.83÷9＝9.8788.884÷9＝9.87688.8885÷9＝9.876588.88886÷9＝9.8765488.888887÷9＝9.876543【点评】关键是根据已知的式子或数得出前后算式或前后数之间的变化关系和规律，然后再利用这个变化规律再回到问题中去解决问题。例3：81﹣18＝（8﹣1）×9＝6372﹣27＝（7﹣2）×9＝45
63﹣36＝（6﹣3）×9＝2754﹣45＝（5﹣4）×9＝9【分析】这些数都是9的倍数，并且十位数字与个位数字互换位詈，得数是十位数字与个位数字的差，再乘9，据此解答即可。【解答】解：81﹣18＝（8﹣1）×9＝6372﹣27＝（7﹣2）×9＝4563﹣36＝（6﹣3）×9＝2754﹣45＝（5﹣4）×9＝9故答案为：6；3；27；5；4；9。
【点评】本题考查了“式”的规律，关键是根据已知的式子或数得出前后算式或前后数之间的变化关系和规律，然后再利用这个变化规律再回到问题中去解决问题即可。例4：12345679×9＝11111111112345679×9×2＝22222222212345679×9×4＝44444444412345679×9×9＝999999999【分析】根据积的变化规律：两数相乘，如果一个因数不变，另一个因数扩大几倍（0除外），积也会随之扩大相同的倍数。第一个因数都是12345679，第二个因数分别是9，9的2倍、9的3倍……其积分别是
111111111、222222222、333333333……据此解答即可得到答案。【解答】解：12345679×9＝111111111
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12345679×9×2＝22222222212345679×9×4＝44444444412345679×9×9＝999999999故答案为：444444444；999999999。【点评】本题考查了积的变化规律知识，关键是根据给出的式子与所求式子的关系，找出规律，进而解决问题。例5：下面是亮亮写的一则日记。2022年8月13日星期六晴
今天，我和爸爸聊到了回文数。我告诉爸爸，像1056501这样的数就是回文数。爸爸说：“不止有回文数，还有回文算式呢!”他写出四个两位数和三位数相乘的回文算式让我观察。13×341﹣143×3134×473＝374×4362×286＝682×2636×693＝396×63爸爸还出了三道题，让我按照上面回文算式的规律填一填。（1）12×231＝□□□×□□
（2）23×□□□＝253×□□（3）□□×275＝572×□□我很快做出了第一题和第二题。做第三题时，我以为填任意一个两位数都可以，就随意写了一个，但后来算了一下发现不行，这是怎么回事呢？我要好好研究研究。认真阅读亮亮的日记，观察前四个回文算式，然后按规律把后三个回文算式写完整（每个□里只填一个数字），并把思考过程写在下面。【分析】观察可得，回文算式等号左边的第一个乘数的个位上的数字与十位上的数字相加的和是第二个乘数的十位上的数字，第二个乘数的个位上的数字与百位上的数字是第
一个乘数十位上和个位上的数字。等号右边的三位数的百位、十位、个位上的数字分别是左边三位数从右往左的数字，两位数的数字是左边两位数字的个位与十位的交换。【解答】解：（1）12×231＝□□□×□□等号左边第一个乘数是12，1+2＝3，第二个乘数就是231；右边第一个乘数是231的倒
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写132，两位数是12的倒写21。12×231＝132×21（2）23×□□□＝253×□□2+3＝5，等号左边的三位数就是352；等号右边的三位数是253，两位数是32。23×352＝253×32（3）□□×275＝572×□□等号左边三位数是275，两位数就是52；等号右边的三位数是275的倒写572，两位数是52的倒写25。52×275＝572×25
【点评】仔细观察，比较总结规律是解决本题的关键。★★★拔高训练备考拔高训练备考拔高训练备考一．选择题（共8小题）1．按规律填数：18，9，4.5，2.25，1.125，（），0.28125。A．0.5625 B．0.125 C．0.65 D．56352．仔细观察下面几个算式的规律，7÷11的得数应是（）。1÷11＝0.0909……；2÷11＝0.1818……；3÷11＝0.2727……；4÷11＝0.3636……A．0.4545……B．0.5454……C．0.6363……D．0.7272……
3．循环小数0.253253…，小数部分第98位上的数字是（）A．2 B．3 C．54．按照这样的规律，□里应该填（）A．3 B．4 C．5 D．65．16、24、32、（）、……，按照规律括号里应填（）A．36 B．38 C．406．有一棵奇妙的树，原来只有一个树枝，第一年长出1个树枝，第二年每个树枝分别长出
1个新枝，第三年每个树枝又分别长出1个新枝，照这样计算，第五年这棵树上一共有（）个树枝？A．16 B．20 C．30 D．32
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7．根据你发现的规律，算式1234567×8+7的得数是（）1×8+1＝912×8+2＝98123×8+3＝987A．9876 B．98765 C．987654 D．98765438．在□里填上合适的数（）1×9+2＝1112×9+3＝111
123×9+4＝1111□×9+□＝11111……A．1234，5 B．1234，4 C．12345，5二．填空题（共10小题）9．99×99＝9801，999×999＝998001，9999×9999＝99980001．不用计算，直接写出99999×99999＝．10．找规律填一填。
123×9＝1107 1234×9＝11106 12345×9＝111105123456×9＝1234567×9＝11．按规律填数或画图。（1）2，6，18，54，，。（2），，，，。
12．按规律填一填10，18，26，，，，。13．找规律，在横线上填数。
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1×9+2＝1112×9+3＝111123×9+4＝1111，1234×9+＝×9+＝1111111。14．7÷11的结果是小数，这个小数的小数点后面第99位上的数字是，前99位的数字和是15．找规律填数。（1）21，28，35，，。
（2）24，32，40，。（3）54，45，36，，。16．找规律填数：1.8，2.7，3.6，4.5，，，。17．王明在计算机课上编制了一个计算小程序。如果输入一个数后，小程序通过计算会输出另—个数。如表是王明几次操作的情况：①输入5，输出11。②输入8，输出17。③输入11，输出23。
根据小程序的运算规律，如果输入14，输出。18．根据下面算式的规律，可以推算出2+4＝2×32+4+6＝3×42+4+6+8＝4×52+4+6+8+……+16＝。三．判断题（共5小题）19．5. 2的小数部分第八位上的数字是2．
20．根据4，12，36，□，324中的规律，可知□里应填72。21．0.9，0.99，0.999，……在这列数中每一项越来越大，越来越接近1。22．根据9.9×7.7＝76.23；9.99×77.7＝776.223；9.999×777.7＝7776.2223可知，9.9999×7777.7＝77776.22223。
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23．1除以111的商的小数部分第15位数字是0．四．应用题（共7小题）24．自学下面这段材料，然后回答问题。我们知道，在整数中“两个数的和等于这两个数的积”的情形并不多，例如：2+2＝2×2。但是在分数中，这种现象却很普遍。请观察下面的几个例子：因为：+＝4，×＝4，所以+＝×。因为：+＝5，×＝5，所以+＝×。
根据以上结果，我们发现了这样的一个规律：两个分数，如果它们的相同，并且，那么这两个分数的和等于它们的积。例如：+＝×。25．在计算一个数与15相乘时，有一种简便的算法﹣﹣“加半添0”法．例如，计算24×15，先用24的一半（即12）与24相加，得36；再在36的末尾添一个0，得360．你能用这种方法计算下面各题吗？26×1528×1532×15
48×1526．工人叔叔要堆放木材，如果最上面一层放1根，第二层放2根，第三层放3根，按这样的规律，这堆木材一共有20层，一共有多少根木材？27．小明在学习分数除注时做了下面的3道计算题，小明发现：“一个数（0除外）除以一个分数，所得的商一定大于它本身”．
①如果让你继续研究分数除法，你还想研究什么问题，请在下面写出来．②请对你提出的问题进行研究，看看能得出什么结论？28．任意写一个四位数（各个数位上的数字互不相同），将这个四位数的四个数字重新组合，
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求出其中最大的数与最小的数的差，再将得到的差像上面那样重新组合，重复这个过程，你发现了什么？29．海豹是生活在海洋中的哺乳动物，它们一般靠肺呼吸，所以必须经常不断地浮到海面呼吸空气。一只海豹6时开始从海底经过9分钟慢慢浮到海面，然后浮出海面呼吸2分钟，最后再经过9分钟回到海底，这样有规律地进行这个过程。7时整海豹会在什么位置？（请你用喜欢的方式表示出你的思考过程和结果）30．根据如图箭头所示的方向和图中的数字写出88与98之间的数字是多少？
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参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．【分析】规律：依次除以2即可。【解答】解：1.125÷2＝0.5625故选：A。【点评】本题考查了数列的规律，找出规律，然后根据规律解答即可。2．【分析】观察商的规律：商都是循环小数，循环节的两位数字的和为9，且循环节的第一个数字依次加1。据此解答。
【解答】解：7÷11＝0.6363……故选：C。【点评】本题考查“式”的规律，找到循环节的规律是解本题的关键。3．【分析】此题首先分析循环小数0.253253…的循环节有几位数字，然后用98除以循环节的位数，余数是几，第98位上的数字就是循环节的第几位数字．【解答】解：0.253253…，循环节为253，有3位数字，因为98÷3＝32…2，循环节中第2个数是5，所以这个循环小数的小数部分第98位上的数字是5．故选：C．
【点评】此题属于探索规律的题目，找规律，要从给出的条件着手，仔细观察，发现解决问题的最佳办法，解决问题．4．【分析】上面两个数的商等于下面的一个数。据此解答。【解答】解：12÷3＝4所以，□里应该填4。故选：B。【点评】通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。5．【分析】依次加8。
【解答】解：16、24、32、（）、……，按照规律括号里应填40。故选：C。【点评】通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具
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备的基本能力。6．【分析】第一年这棵树上一共有2个树枝，第二年一共有（2×2）个树枝，第三年一共有（2×2×2）个树枝。据此解答。【解答】解：2×2×2×2×2＝32（个）答：第五年这棵树上一共有32个树枝。故选：D。【点评】本题是一道有关打电话问题的题目，侧重考查知识点的应用能力。7．【分析】根据题意，1×8+1＝9，12×8+2＝98，123×8+3＝987，发现：第二个因数都是8，加号右边的数与等号右边个位上的数之和＝10，第一个因数与等号右边数的各个位
上的数的和是10，进而完成选择。【解答】解：1+9＝2+8＝3+7＝4+6＝5+5＝6+4＝7+3，算式1234567×8+7＝9876543。故选：D。【点评】此题重点考查根据已知式子总结出规律，应用规律解决问题。8．【分析】通过观察前三个算式，都是从1开始的几个连续自然数组成的几位数乘9加从2开始的连续自然数，后面的加数是几，结果就是几个连续1组成的多位数；依照此规律，即可得解。【解答】解：1×9+2＝11
12×9+3＝111123×9+4＝11111234×9+5＝11111故选：A。【点评】仔细观察，比较总结出规律是解决本题的关键。二．填空题（共10小题）9．【分析】99×99＝9801，999×999＝998001，9999×9999＝99980001，不难看出有几个9相乘，结果就有（几﹣1）个9、一个8、（几﹣1）个0和一个1按顺序构成．【解答】解：99×99＝9801，999×999＝998001，9999×9999＝99980001．不用计算，
直接写出99999×99999＝9999800001．故答案为：9999800001．
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【点评】此题考查了算术中的规律，认真找出规律，是解决此题的关键．10．【分析】纵观各式，第二个因数都是9，第一个因数依次是12、123、1234、12345……，积的位数等于两个因数位数之和，积的个十位数字是0，除个位外，其余位上都是1，且各位上的数字之和等于第二个因数9。【解答】解：123×9＝1107 1234×9＝11106 12345×9＝111105123456×9＝1111104 1234567×9＝11111103故答案为：1111104；11111103。
【点评】解答此题的关键是观察所给出的算式，找出算式之间数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题。11．【分析】（1）2×3＝6，6×3＝18，18×3＝54，前一个数乘3等于后一个数。（2）÷2＝，÷2＝，前一幅图圆的个数除以2等于后一幅图圆的个数。
【解答】解：（1）54×3＝162162×3＝486则2，6，18，54，162，486。（2）÷2＝，÷2＝则，，，，。故答案为：（1）162，486；（2）。。
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【点评】通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。12．【分析】后一个数比前一个数多8，由此求解。【解答】解：26+8＝3434+8＝4242+8＝5050+8＝58这组数就是：10，18，26，34，42，50，58。故答案为：34，42，50，58。
【点评】通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。13．【分析】纵观各算式：都是乘、加混合运算，由上而下，第一个因数是1、12、123……，第二个因数都是9，加数是2、3、4……，计算结果各位上的数字都是1，且1的个数等于加数；根据这一规律解答即可。【解答】解：1×9+2＝1112×9+3＝111123×9+4＝11111234×9+5＝11111
123456×9+7＝1111111故答案为：5，11111；123456，7。【点评】“式”的规律：关键是根据已知的式子或数得出前后算式或前后数之间的变化
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关系和规律，然后再利用这个变化规律再回到问题中去解决问题。14．【分析】（1）首先计算78÷11的商，发现循环的数字，找出循环节，表示出来即可；（2）保留一位小数即精确到十分位，也就是精确到小数点后第一位数字，看小数点后面第二位上的数，运用“四舍五入”法解答即可；（3）把7÷11的商用循环小数表示出来，看看循环节有几位小数，然后用99除以循环节的位数即可判断第99位上的数字是几；（4）先求出一个循环节中两个数字的和，再乘99里面循环节的个数，最后加上多出的那个数字即可。
【解答】解：7÷11＝0.，循环节是63两个数字；7÷11的商是循环小数，保留一位小数是0.6；99÷2＝49…1，说明到第99位数字出现了49个循环节，又多出一个数字，所以第99位上的数字是6；（6+3）×49+6＝9×49+6＝441+6＝447
故答案为：循环，0.6，6，447。【点评】此题考查学生循环节的概念，以及分析判断能力，本题重点要确定循环节有几位小数，99里面有几个循环。15．【分析】（1）依次加7；（2）依次加8；（3）依次减9。【解答】解：（1）21，28，35，42，49。（2）24，32，40，48，56。（3）54，45，36，27，18。
故答案为：42，49；48，56；27，18。【点评】通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。16．【分析】依次加0.9。
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【解答】解：找规律填数：1.8，2.7，3.6，4.5，5.4，6.3，7.2。故答案为：5.4，6.3，7.2。【点评】通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。17．【分析】第一次：输入5，输出11。第二次，输入8，输出17。第三次：输入11，输出23。通过这三个小程序可以看出，输出的数为前一个数乘2加上1，所以输入14，输出就是14先乘2，再加上1，据此即可解答。
【解答】解：14×2+1＝28+1＝29故答案为：29。【点评】对于这种规律性的题目，要仔细观察特例，从中找出规律，根据规律解决问题。18．【分析】首先观察并发现规律，然后结合规律写出最终结果，结合2+4＝2×3，2+4+6＝3×4，2+4+6+8＝4×5发现规律：有几个数相加，则结果的第一个乘数就为几，第二个乘数为几加1；2+4+6+……+16一共有8个数相加，据此求解即可。【解答】解：2+4+6+8+……+16＝8×9
故答案为：8×9。【点评】本题主要考查的是找规律，解题的关键是熟练运用数据中的规律，锻炼概括归纳能力。三．判断题（共5小题）19．【分析】循环小数5. 2的循环节是027，用8除以3，判断出是第几个循环的第几个数，求出小数部分第八位上的数字是多少即可．【解答】解：循环小数5. 2的循环节是027，8÷3＝2…2
所以第八位上的数字是第3个循环的第2个数字，是2．原题说法正确．故答案为：√．
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【点评】此题主要考查了算术中的规律问题，注意观察总结出规律并能正确应用．20．【分析】后一个数等于前一个数乘3，据此计算并判断。【解答】解：36×3＝108所以□里应填108，原题说法错误。故答案为：×。【点评】通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力21．【分析】0.9，0.99，0.999，0.9999…每一个数都比上一个数的末尾增加一个9；这列数越来越大，就越来越接近1。
【解答】解：找规律：0.9，0.99，0.999，0.9999，0.99999，…这列数的每一项越来越大，越来越接近1，所以原题说法正确。故答案为：√。【点评】通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。22．【分析】观察可得，后一个乘法算式与前一个算式相比，后一个算式的第一个乘数的小数位、第二个乘数的最高位增加9和7，积的小数位的倒数第二位就增加2，积的整数部分最高位就增加7。【解答】解：根据9.9×7.7＝76.23；9.99×77.7＝776.223；9.999×777.7＝7776.2223可知，
9.9999×7777.7＝77776.22223。故答案为：√。【点评】仔细观察，比较总结规律是解决本题的关键。23．【分析】先求出1除以111的商，看它的循环节是几位数，再根据“周期”问题，用15除以循环节的位数，如果能整除，则是循环节的末位上的数字，如果不能整除，余数是几，计算循环节的第几位上的数字．由此解答．【解答】解：1÷111＝0.009009…，循环节是009，三位，15÷3＝5，所以商的小数部分第15位数字是9．故答案为：×．
【点评】此题主要考查算术中的规律，以及根据“周期问题”判断循环小数的某一位上数字是几的方法．
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四．应用题（共7小题）24．【分析】（1）根据所给例子，我们发现了这样一个规律，两个分数，分子相同，并且两个分数的分母的和等于分子，两个分数的和等于它们的积。（2）根据找出的规律，写出符合规律的算式即可。【解答】解：（1）根据以上结果，我们发现了这样一个规律，两个分数，如果分子相同，并且两个分母的和等于分子，那么这两个分数的和等于它们的积。（2）根据规律写出算式为：。故答案为：分子；两个分母的和等于分子；；；；。
【点评】解决本题的关键是根据所给例子，我们发现了这样一个规律，两个分数，分子相同，并且两个分数的分母的和等于分子，两个数的和等于它们的积，再利用规律写算式即可。25．【分析】根据巧算的方法：“加半添0”法解答即可．【解答】解：26÷2+26＝39所以26×15＝39028÷2+28＝42所以28×15＝42032÷2+32＝48
所以32×15＝48048÷2+48＝72所以48×15＝720【点评】解答此题的关键是找出算式之间数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题．26．【分析】因为每一层都比上一层多1根，这堆木材形似梯形，上底为1，下底为20，高为20，利用梯形面积＝（上底+下底）×高÷2可求出这堆木材的根数。【解答】解：（1+20）×20÷2＝21×20÷2
＝420÷2＝210（根）答：一共有210根木材。
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【点评】此题重点考查利用梯形面积公式求等差数列的和。27．【分析】①观察给出的算式中除数都是真分数，都小于1，所以得到的商都是大于被除数；所以可以找一些除数是大于1的分数，再进行计算；②根据①的计算结果，得出结论．【解答】解：①问题：除数大于1时，被除数与商的大小关系是怎么样的？6÷＝6×＝44＜6；3.6÷＝3.6×＝2.7
2.7＜3.6；÷＝×＝＜．②根据①可得：一个数（0除外）除以一个大于1的数，商小于这个数．【点评】两个不为0的数相除，当除数大于1时，商小于被除数；当除数等于1时，商等于被除数；当除数小于1时，商大于被除数．28．【分析】按要求任意写一个四位数，将这个四位数的四个数字重新组合，组成一个最大
的数和一个最小的数，用大数减去小数，重复进行，找出规律。【解答】解：根据题意举例解答。如1234。4321﹣1234＝30878730﹣3078＝56526552﹣2556＝39969963﹣3699＝62646642﹣2466＝41767641﹣1467＝61747641﹣1467＝6174
我发现后面的算式会循环出现7641﹣1467＝6174。【点评】本题主要考查数列中的规律，找到规律是解题的规律。29．【分析】根据题意，6时到7时是1小时，为60分钟；海豹完成一次从海底到海面再
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回到海底的过程是需要9+2+9＝20（分钟），据此计算解答即可。【解答】解：6时到7时是1小时，为60分钟；海豹完成一次从海底到海面再回到海底的过程是需要9+2+9＝20（分钟）；60÷20＝3（次），即60分钟的时间，海豹正好可以完成3次海底到海面再回到海底的过程；7时整，海豹刚好回到海底。故答案为：海底。【点评】本题考查规律探究问题，根据整个过程所用时间计算即可。30．【分析】本题考查的是数学中找规律问题将题中图旋转180°可以得到以下数字：86，？，
88，89，90，91。由此可知每个数字依次增加1。据此解答。【解答】解：86+1＝87答：88与98之间的数字是87。【点评】本题考查的是数学中找规律问题，能够想到图旋转180°是解本题的关键。
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