2020 江 苏 常 州 中 考 数 学 真 题 及 答 案注 意 事 项 ：1． 本 试 卷 共 6页 ． 全 卷 满 分 120分 ． 考 试 时 间 为 120分 钟 ． 考 生 应 将 答 案 全 部 填 写 在 答 题卡 相 应 位 置 上 ， 写 在 本 试 卷 上 无 效 ． 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回 ． 考 试 时不 允 许 使 用 计 算 器 ．2． 答 题 前 ， 考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名 、 考 试 证 号 填 写 在 试 卷 上 ， 并 填 写 好 答 题 卡 上 的 考 生 信息 ．3． 作 图 必 须 用 2B铅 笔 作 答 ， 并 请 加 黑 加 粗 ， 描 写 清 楚 ．
一 、 选 择 题 （ 本 大 题 共 8 小 题 ， 每 小 题 2 分 ， 共 16 分 ． 在 每 小 题 所 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只有 一 项 是 正 确 的 ）1. 2 的 相 反 数 是 （ ）A. 12? B. 12 C. 2 D. 2?【 答 案 】 D【 解 析 】【 分 析 】根 据 相 反 数 的 概 念 解 答 即 可 ．
【 详 解 】 2的 相 反 数 是 -2，故 选 D．2.计 算 6 2m m? 的 结 果 是 （ ）A. 3m B. 4m C. 8m D. 12m【 答 案 】 B【 解 析 】【 分 析 】直 接 利 用 同 底 数 幂 除 法 的 运 算 法 则 解 答 即 可 ．
【 详 解 】 解 ： 6 2 6 2 4m m m m?? ? ? ．故 选 ： B．【 点 睛 】 本 题 考 查 了 同 底 数 幂 除 法 ， 掌 握 公 式 mm nmm m m ??? 是 解 答 本 题 的 关 键 ．3.如 图 是 某 几 何 体 的 三 视 图 ， 该 几 何 体 是 （ ）
A. 圆 柱 B. 三 棱 柱 C. 四 棱 柱 D. 四 棱锥【 答 案 】 C【 解 析 】【 分 析 】通 过 俯 视 图 为 圆 得 到 几 何 体 为 柱 体 ， 然 后 通 过 主 视 图 和 左 视 图 可 判 断 几 何 体 为 四 棱 柱 ．【 详 解 】 解 ： 由 图 可 知 ：该 几 何 体 是 四 棱 柱 ．故 选 ： C．
【 点 睛 】 本 题 考 查 了 由 三 视 图 判 断 几 何 体 ： 由 三 视 图 想 象 几 何 体 的 形 状 ， 首 先 ， 应 分 别 根据 主 视 图 、 俯 视 图 和 左 视 图 想 象 几 何 体 的 前 面 、 上 面 和 左 侧 面 的 形 状 ， 然 后 综 合 起 来 考 虑整 体 形 状 ． 熟 记 一 些 简 单 的 几 何 体 的 三 视 图 对 复 杂 几 何 体 的 想 象 会 有 帮 助 ．4.8的 立 方 根 是 （ ）A. 2 2 B. ± 2 C. ± 2 2 D. 2【 答 案 】 D【 解 析 】【 详 解 】 解 ： 根 据 立 方 根 的 定 义 ， 由 2
3=8， 可 得 8 的 立 方 根 是 2故 选 ： D．【 点 睛 】 本 题 考 查 立 方 根 ．5.如 果 x y? ， 那 么 下 列 不 等 式 正 确 的 是 （ ）A. 2 2x y? B. 2 2x y? ?? C. 1 1x y? ? ? D.1 1x y? ? ?【 答 案 】 A【 解 析 】
【 分 析 】根 据 不 等 式 的 性 质 对 各 选 项 分 析 判 断 后 利 用 排 除 法 求 解 ．【 详 解 】 解 ： A、 由 x＜ y可 得 ： 2 2x y? ， 故 选 项 成 立 ；B、 由 x＜ y可 得 ： 2 2x y? ?? ， 故 选 项 不 成 立 ；C、 由 x＜ y可 得 ： 1 1x y? ? ? ， 故 选 项 不 成 立 ；D、 由 x＜ y可 得 ： 1 1x y? ? ? ， 故 选 项 不 成 立 ；故 选 A.
【 点 睛 】 本 题 考 查 了 不 等 式 的 性 质 ： （ 1） 不 等 式 两 边 加 （ 或 减 ） 同 一 个 数 （ 或 式 子 ） ， 不 等号 的 方 向 不 变 ． （ 2） 不 等 式 两 边 乘 （ 或 除 以 ） 同 一 个 正 数 ， 不 等 号 的 方 向 不 变 ． （ 3） 不 等式 两 边 乘 （ 或 除 以 ） 同 一 个 负 数 ， 不 等 号 的 方 向 改 变 ．6.如 图 ， 直 线 a、 b 被 直 线 c 所 截 ， //a b ， 1 140? ? ?， 则 2? 的 度 数 是 （ ）
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°【 答 案 】 B【 解 析 】【 分 析 】先 根 据 邻 补 角 相 等 求 得 ∠ 3， 然 后 再 根 据 两 直 线 平 行 、 内 错 角 相 等 即 可 解 答 ．【 详 解 】 解 ： ∵ ∠ 1+∠ 3=180° ， 1 140? ? ?∴ ∠ 3=180° -∠ 1=180° -140° =40°∵ //a b∴ ∠ 2=∠ 3=40° ．
故 答 案 为 B．
【 点 睛 】 本 题 考 查 了 平 行 线 的 性 质 ， 掌 握 “ 两 直 线 平 行 、 内 错 角 相 等 ” 是 解 答 本 题 的 关 键 ．7.如 图 ， AB是 O? 的 弦 ， 点 C是 优 弧 AB上 的 动 点 （ C 不 与 A、 B 重 合 ） ， CH AB? ， 垂足 为 H， 点 M 是 BC的 中 点 ． 若 O? 的 半 径 是 3， 则 MH 长 的 最 大 值 是 （ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【 答 案 】 A【 解 析 】【 分 析 】根 据 直 角 三 角 形 斜 边 中 线 定 理 ， 斜 边 上 的 中 线 等 于 斜 边 的 一 半 可 知 MH= 12 BC， 当 BC 为 直 径时 长 度 最 大 ， 即 可 求 解 ．【 详 解 】 解 ： ∵ CH AB?∴ ∠ BHC=90°∵ 在 Rt△ BHC中 ， 点 M 是 BC的 中 点
∴ MH= 12 BC∵ BC 为 O? 的 弦∴ 当 BC为 直 径 时 ， MH最 大∵ O? 的 半 径 是 3∴ MH 最 大 为 3．故 选 ： A．
【 点 睛 】 本 题 考 查 了 直 角 三 角 形 斜 边 中 线 定 理 ， 数 形 结 合 是 结 题 关 键 ．8.如 图 ， 点 D 是 OABC? 内 一 点 ， CD与 x 轴 平 行 ， BD与 y 轴 平 行 ，2, 135 , 2ABDBD ADB S? ? ? ? ?? ． 若 反 比 例 函 数 ? ?0ky xx? ? 的 图 像 经 过 A、 D 两 点 ， 则k的 值 是 （ ）
A. 2 2 B. 4 C. 3 2 D. 6【 答 案 】 D【 解 析 】【 分 析 】作 AE BD? 交 BD 的 延 长 线 于 点 E， 作 AF x? 轴 于 点 F， 计 算 出 AE 长 度 ， 证 明BCD AOF?△ △ ， 得 出 AF长 度 ， 设 出 点 A 的 坐 标 ， 表 示 出 点 D的 坐 标 ， 使 用 D D A Ax y x y? ，可 计 算 出 k值 ．【 详 解 】 作 AE BD? 交 BD 的 延 长 线 于 点 E， 作 AF x? 轴 于 点 F
∵ 135ADB ?? ?∴ 45ADE ?? ?∴ ADE? 为 等 腰 直 角 三 角 形∵ 2, 2BD S ABD? ?△∴ 1 22ABDS BD AE? ? ?△ ， 即 2 2AE?∴ DE=AE=2 2∵ BC=AO， 且 //BC AO， //CD OF
∴ BCD AOF? ??∴ BCD AOF?△ △
∴ 2AF BD? ?∴ 3 2Dy ?设 点 A( , 2)m ， ( 2 2,3 2)D m?∴ 2 ( 2 2) 3 2m m? ? ?解 得 ： 3 2m?∴ 3 2 2 6k ? ? ?
故 选 ： D．【 点 睛 】 本 题 考 查 了 反 比 例 函 数 与 几 何 图 形 的 综 合 ， 利 用 点 Ａ 和 点 Ｄ 表 示 出 ｋ 的 计 算 是 解题 的 关 键 ．二 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 10小 题 ， 每 小 题 2 分 ， 共 20分 ． 不 需 写 出 解 答 过 程 ， 请 把 答 案 直接 填 写 在 答 题 卡 相 应 位 置 上 ）9.计 算 ： |－ 2|＋ (π － 1)
0＝ ____．【 答 案 】 3【 解 析 】【 分 析 】根 据 绝 对 值 和 0次 幂 的 性 质 求 解 即 可 ．【 详 解 】 原 式 =2＋ 1=3．故 答 案 为 ： 3．【 点 睛 】 本 题 考 查 了 绝 对 值 和 0 次 幂 的 性 质 ．
10.若 代 数 式 11x? 有 意 义 ， 则 实 数 x 的 取 值 范 围 是 ________．【 答 案 】 x≠ 1
【 解 析 】【 分 析 】分 式 有 意 义 时 ， 分 母 x-1≠ 0， 据 此 求 得 x 的 取 值 范 围 ．【 详 解 】 解 ： 依 题 意 得 ： x-1≠ 0，解 得 x≠ 1，故 答 案 为 ： x≠ 1．【 点 睛 】 本 题 考 查 了 分 式 有 意 义 的 条 件 ． （ 1） 分 式 有 意 义 的 条 件 是 分 母 不 等 于 零 ． （ 2） 分式 无 意 义 的 条 件 是 分 母 等 于 零 ．11.地 球 半 径 大 约 是 6400km， 将 6400用 科 学 记 数 法 表 示 为 ________．
【 答 案 】 36.4 10?【 解 析 】【 分 析 】对 于 一 个 绝 对 值 较 大 的 数 ， 用 科 学 记 数 法 写 成 10na? 的 形 式 ， 其 中 1 10a? ? ， n 是 比 原整 数 位 数 少 1 的 数 .【 详 解 】 6400= 36.4 10? .故 答 案 为 ： 36.4 10? .【 点 睛 】 此 题 考 查 了 科 学 记 数 法 的 表 示 方 法 ， 科 学 记 数 法 的 表 示 形 式 为 a× 10
n的 形 式 ， 其中 1≤ |a|＜ 10， n 为 整 数 ， 表 示 时 关 键 要 正 确 确 定 a的 值 以 及 n 的 值 ．12.分 解 因 式 ： 3x － x=__________．【 答 案 】 x（ x+1） （ x－ 1）【 解 析 】解 ： 原 式
13.若 一 次 函 数 2y kx? ? 的 函 数 值 y 随 自 变 量 x 增 大 而 增 大 ， 则 实 数 k 的 取 值 范 围 是__________．【 答 案 】 k＞ 0【 解 析 】【 分 析 】
直 角 利 用 一 次 函 数 增 减 性 与 系 数 的 关 系 解 答 即 可 ．【 详 解 】 解 ： ∵ 一 次 函 数 2y kx? ? 的 函 数 值 y 随 自 变 量 x 增 大 而 增 大∴ k＞ 0．故 答 案 为 k＞ 0．【 点 睛 】 本 题 主 要 考 查 了 一 次 函 数 增 减 性 与 系 数 的 关 系 ， 当 一 次 函 数 的 一 次 项 系 数 大 于 零时 ， 一 次 函 数 的 函 数 值 随 着 自 变 量 x 的 增 大 而 增 大 ．14.若 关 于 x 的 方 程 2 2 0x ax? ? ? 有 一 个 根 是 1， 则 a?_________．【 答 案 】 1
【 解 析 】【 分 析 】根 据 一 元 二 次 方 程 的 解 的 定 义 ， 把 x=1 代 入 方 程 得 到 关 于 a 的 一 次 方 程 ， 然 后 解 此 一 次 方程 即 可 ．【 详 解 】 解 ： 把 x=1代 入 方 程 2 2 0x ax? ? ? 得 1+a-2=0，解 得 a=1．故 答 案 是 ： 1．【 点 睛 】 本 题 考 查 了 一 元 二 次 方 程 的 解 ： 能 使 一 元 二 次 方 程 左 右 两 边 相 等 的 未 知 数 的 值 是
一 元 二 次 方 程 的 解 ．15.如 图 ， 在 ABC? 中 ， BC的 垂 直 平 分 线 分 别 交 BC、 AB于 点 E、 F． 若 AFC△ 是 等边 三 角 形 ， 则 B? ?_________° ．【 答 案 】 30【 解 析 】
【 分 析 】根 据 垂 直 平 分 线 的 性 质 得 到 ∠ B=∠ BCF， 再 利 用 等 边 三 角 形 的 性 质 得 到 ∠ AFC=60° ， 从 而 可得 ∠ B.
【 详 解 】 解 ： ∵ EF 垂 直 平 分 BC，∴ BF=CF，∴ ∠ B=∠ BCF，∵ △ ACF为 等 边 三 角 形 ，∴ ∠ AFC=60° ，∴ ∠ B=∠ BCF=30° .故 答 案 为 ： 30.【 点 睛 】 本 题 考 查 了 垂 直 平 分 线 的 性 质 ， 等 边 三 角 形 的 性 质 ， 外 角 的 性 质 ， 解 题 的 关 键 是利 用 垂 直 平 分 线 的 性 质 得 到 ∠ B=∠ BCF.
16.数 学 家 笛 卡 尔 在 《 几 何 》 一 书 中 阐 述 了 坐 标 几 何 的 思 想 ， 主 张 取 代 数 和 几 何 中 最 好 的 东西 ， 互 相 以 长 补 短 ． 在 菱 形 ABCD中 ， 2, 120AB DAB? ? ? ?． 如 图 ， 建 立 平 面 直 角 坐 标系 xOy， 使 得 边 AB在 x 轴 正 半 轴 上 ， 点 D 在 y 轴 正 半 轴 上 ， 则 点 C 的 坐 标 是 _________．
【 答 案 】 (2， 3)【 解 析 】【 分 析 】根 据 菱 形 的 性 质 可 知 AD=AB=CD=2， ∠ OAD=60° ， 由 三 角 函 数 即 可 求 出 线 段 OD的 长 度 ， 即 可得 到 答 案 ．【 详 解 】 解 ： ∵ 四 边 形 ABCD为 菱 形 ， 2AB?∴ AD=AB=CD=2， AB//CD∵ 120DAB? ? ?
∴ 60DAO? ? ?在 Rt△ DOA中 ， 3sin60 = 2ODAD? ?
∴ OD= 3∴ 点 C的 坐 标 是 (2， 3)．故 答 案 为 ： (2， 3)．【 点 睛 】 本 题 考 查 了 平 面 直 接 坐 标 系 中 直 角 三 角 形 的 计 算 问 题 ， 以 及 菱 形 的 性 质 ， 熟 练 掌握 特 殊 三 角 函 数 值 是 解 题 关 键 ．17.如 图 ， 点 C 在 线 段 AB上 ， 且 2AC BC? ， 分 别 以 AC、 BC为 边 在 线 段 AB的 同 侧 作正 方 形 ACDE、 BCFG， 连 接 EC、 EG， 则 tan CEG? ?_________．
【 答 案 】 12【 解 析 】【 分 析 】设 BC=a， 则 AC=2a， 然 后 利 用 正 方 形 的 性 质 求 得 CE、 CG的 长 、 ∠ GCD=ECD=45° ， 进 而 说 明△ ECG为 直 角 三 角 形 ， 最 后 运 用 正 切 的 定 义 即 可 解 答 ．【 详 解 】 解 ： 设 BC=a， 则 AC=2a∵ 正 方 形 ACDE∴ EC= ? ? ? ?2 22 2 2 2a a a? ? ， ∠ ECD=1 452 ACD? ? ?
同 理 ： CG= 2a,∠ GCD=1 452 BCD? ? ?∴ 2 1tan 22 2CG aCEG CE a? ? ? ? ．故 答 案 为 12 ．
【 点 睛 】 本 题 考 查 了 正 方 形 的 性 质 和 正 切 的 定 义 ， 根 据 正 方 形 的 性 质 说 明 △ ECG是 直 角 三 角形 是 解 答 本 题 的 关 键 ．18.如 图 ， 在 ABC? 中 ， 45 , 6 2B AB? ? ? ? ， D、 E分 别 是 AB、 AC的 中 点 ， 连 接 DE，在 直 线 DE和 直 线 BC上 分 别 取 点 F、 G， 连 接 BF 、 DG． 若 3BF DG? ， 且 直 线 BF 与直 线 DG互 相 垂 直 ， 则 BG的 长 为 _______．
【 答 案 】 4或 2【 解 析 】【 分 析 】分 当 点 F 在 点 D右 侧 时 ， 当 点 F在 点 D左 侧 时 ， 两 种 情 况 ， 分 别 画 出 图 形 ， 结 合 三 角 函 数 ，勾 股 定 理 以 及 平 行 四 边 形 的 性 质 求 解 即 可 .【 详 解 】 解 ： 如 图 ， 当 点 F 在 点 D右 侧 时 ，过 点 F作 FM∥ DG， 交 直 线 BC于 点 M， 过 点 B 作 BN⊥ DE， 交 直 线 DE于 点 N，∵ D， E分 别 是 AB和 AC 中 点 ， AB=6 2，
∴ DE∥ BC， BD=AD=3 2， ∠ FBM=∠ BFD，∴ 四 边 形 DGMF 为 平 行 四 边 形 ，则 DG=FM，∵ DG⊥ BF， BF=3DG，
∴ ∠ BFM=90° ，∴ tan∠ FBM= 13FMBF ? =tan∠ BFD，∴ 13BNFN ? ，∵ ∠ ABC=45° =∠ BDN，∴ △ BDN为 等 腰 直 角 三 角 形 ，∴ BN=DN= 32BD ? ，∴ FN=3BN=9， DF=GM=6，
∵ BF= 2 2BN NF? =3 10，∴ FM=13BF = 10 ，∴ BM= 2 2 10BF FM? ? ，∴ BG=10-6=4；
当 点 F在 点 D 左 侧 时 ， 过 点 B作 BN⊥ DE， 交 直 线 DE于 N， 过 点 B 作 BM∥ DG， 交 直 线 DE 于M， 延 长 FB和 DG， 交 点 为 H，可 知 ： ∠ H=∠ FBM=90° ， 四 边 形 BMDG 为 平 行 四 边 形 ，∴ BG=MD， BM=DG，∵ BF=3DG，∴ tan∠ BFD= 13BM DH BNBF FH FN? ? ? ，同 理 可 得 ： △ BDN为 等 腰 直 角 三 角 形 ， BN=DN=3，∴ FN=3BN=9，
∴ BF= 2 29 3 3 10? ? ，
设 MN=x， 则 MD=3-x， FM=9+x，在 Rt△ BFM和 Rt△ BMN中 ，有 2 2 2 2FM BF MN BN? ? ? ，即 ? ? ? ?2 2 29 3 10 3x x? ? ? ? ，解 得 ： x=1， 即 MN=1，∴ BG=MD=ND-MN=2.
综 上 ： BG 的 值 为 4 或 2.故 答 案 为 ： 4 或 2.【 点 睛 】 本 题 考 查 了 等 腰 直 角 三 角 形 的 判 定 和 性 质 ， 三 角 函 数 ， 平 行 四 边 形 的 判 定 和 性 质 ，勾 股 定 理 ， 难 度 较 大 ， 解 题 的 关 键 是 根 据 题 意 画 出 图 形 ， 分 清 情 况 .三 、 解 答 题 （ 本 大 题 共 10小 题 ， 共 84分 ， 请 在 答 题 卡 指 定 区 域 内 作 答 ， 如 无 特 殊 说 明 ，解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 演 算 步 骤 或 推 理 过 程 ）19.先 化 简 ， 再 求 值 ： 2( 1) ( 1)x x x? ? ? ， 其 中 2x? ．【 答 案 】 1x? ； 3
【 解 析 】【 分 析 】先 利 用 完 全 平 方 公 式 和 单 项 式 乘 多 项 式 化 简 ， 再 代 入 求 值 即 可 ．【 详 解 】 解 ： 2( 1) ( 1)x x x? ? ?= 2 21 2x x x x? ? ? ?= 1x?将 x=2代 入 ，
原 式 =3.【 点 睛 】 本 题 主 要 考 查 了 整 式 的 混 合 运 算 ， 解 题 的 关 键 是 正 确 的 化 简 ．20.解 方 程 和 不 等 式 组 ：（ 1） 2 21 1xx x? ?? ? ；（ 2） 2 6 0,3 6.xx? ?????【 答 案 】 （ 1） x=0； （ 2） ﹣ 2≤ x＜ 3【 解 析 】
【 分 析 】（ 1） 分 式 方 程 去 分 母 转 化 为 整 式 方 程 ， 求 出 整 式 方 程 的 解 得 到 x 的 值 ， 经 检 验 即 可 得 到 分式 方 程 的 解 ；（ 2） 分 别 求 出 不 等 式 组 中 两 不 等 式 的 解 集 ， 找 出 两 解 集 的 方 法 部 分 即 可 ．【 详 解 】 解 ： （ 1） 2 21 1xx x? ?? ?去 分 母 得 ： x 2=2x 2－ －解 得 x=0，经 检 验 x=0是 分 式 方 程 的 解 ；
（ 2） 2 6 03 6xx? ????? ， ①， ②由 ① 得 ： x＜ 3由 ② 得 ： x≥ ﹣ 2则 不 等 式 组 的 解 集 为 ﹣ 2≤ x＜ 3．【 点 睛 】 本 题 考 查 了 解 分 式 方 程 与 解 不 等 式 组 ， 解 分 式 方 程 的 基 本 思 想 是 “ 转 化 思 想 ” ， 把分 式 方 程 转 化 为 整 式 方 程 求 解 ． 解 一 元 一 次 不 等 式 组 要 注 意 不 等 号 的 变 化 ．21.为 了 解 某 校 学 生 对 球 类 运 动 的 喜 爱 情 况 ， 调 查 小 组 就 打 排 球 、 打 乒 乓 球 、 打 篮 球 、 踢 足球 四 项 球 类 运 动 对 该 校 学 生 进 行 了 “ 你 最 喜 爱 的 球 类 运 动 ” 的 抽 样 调 查 ， 并 根 据 调 查 结 果
绘 制 成 如 下 统 计 图 ．
（ 1） 本 次 抽 样 调 查 的 样 本 容 量 是 _________；（ 2） 补 全 条 形 统 计 图 ；（ 3） 该 校 共 有 2000名 学 生 ， 请 你 估 计 该 校 最 喜 爱 “ 打 篮 球 ” 的 学 生 人 数 ．【 答 案 】 （ 1） 100； （ 2） 见 解 析 ； （ 3） 300人 ．【 解 析 】【 分 析 】（ 1） 用 条 形 统 计 图 中 最 喜 爱 打 排 球 的 人 数 除 以 扇 形 统 计 图 中 最 喜 爱 打 排 球 的 人 数 所 占 百 分比 即 可 求 出 本 次 抽 样 调 查 的 样 本 容 量 ；（ 2） 用 总 人 数 乘 以 最 喜 爱 打 乒 乓 球 的 人 数 所 占 百 分 比 即 可 求 出 最 喜 爱 打 乒 乓 球 的 人 数 ， 用
总 人 数 减 去 最 喜 爱 其 它 三 项 运 动 的 人 数 即 得 最 喜 爱 踢 足 球 的 人 数 ， 进 而 可 补 全 条 形 统 计 图 ；（ 3） 用 最 喜 爱 打 篮 球 的 人 数 除 以 总 人 数 再 乘 以 2000即 可 求 出 结 果 ．【 详 解 】 解 ： （ 1） 本 次 抽 样 调 查 的 样 本 容 量 是 25÷ 25%=100；故 答 案 为 ： 100；（ 2） 打 乒 乓 球 的 人 数 为 100× 35%=35 人 ， 踢 足 球 的 人 数 为 100－ 25－ 35－ 15=25人 ；补 全 条 形 统 计 图 如 图 所 示 ：
（ 3） 152000 300100? ? 人 ；答 ： 估 计 该 校 最 喜 爱 “ 打 篮 球 ” 的 学 生 有 300人 ．【 点 睛 】 本 题 考 查 了 条 形 统 计 图 、 扇 形 统 计 图 、 样 本 容 量 以 及 利 用 样 本 估 计 总 体 等 知 识 ，属 于 基 本 题 型 ， 熟 练 掌 握 上 述 基 本 知 识 是 解 题 关 键 ．22.在 3 张 相 同 的 小 纸 条 上 分 别 标 上 1、 2、 3 这 3 个 号 码 ， 做 成 3 支 签 ， 放 在 一 个 不 透 明 的盒 子 中 ．（ 1） 搅 匀 后 从 中 随 机 抽 出 1 支 签 ， 抽 到 1 号 签 的 概 率 是 _________；（ 2） 搅 匀 后 先 从 中 随 机 抽 出 1 支 签 （ 不 放 回 ） ， 再 从 余 下 的 2支 签 中 随 机 抽 出 1支 签 ， 求
抽 到 的 2 支 签 上 签 号 的 和 为 奇 数 的 概 率 ．【 答 案 】 （ 1） 13； （ 2） 23【 解 析 】【 分 析 】（ 1） 由 概 率 公 式 即 可 得 出 答 案 ；（ 2） 画 出 树 状 图 ， 得 到 所 有 等 可 能 的 情 况 ， 再 利 用 概 率 公 式 求 解 即 可 ．【 详 解 】 解 ： （ 1） ∵ 共 有 3 个 号 码 ，∴ 抽 到 1 号 签 的 概 率 是 13，
故 答 案 为 ： 13；（ 2） 画 树 状 图 如 下 ：
所 有 等 可 能 的 情 况 有 6 种 ， 其 中 抽 到 的 2 支 签 上 签 号 的 和 为 奇 数 的 有 4种 ，∴ 抽 到 的 2支 签 上 签 号 的 和 为 奇 数 的 概 率 为 ： 46 =23 .【 点 睛 】 此 题 考 查 了 列 表 法 与 树 状 图 法 ， 用 到 的 知 识 点 为 ： 概 率 =所 求 情 况 数 与 总 情 况 数 之比 ．23.已 知 ： 如 图 ， 点 A、 B、 C、 D 在 一 条 直 线 上 ， // , ,EA FB EA FB AB CD? ? ．
（ 1） 求 证 ： E F? ?? ；（ 2） 若 40 , 80A D? ? ? ? ? ?， 求 E? 的 度 数 ．【 答 案 】 （ 1） 见 解 析 ； （ 2） 60°【 解 析 】【 分 析 】（ 1） 根 据 已 知 条 件 证 明 △ ACE≌ △ BDF， 即 可 得 到 结 论 ；（ 2） 根 据 全 等 三 角 形 的 性 质 得 到 ∠ D=∠ ACE=80° ， 再 利 用 三 角 形 内 角 和 定 理 求 出 结 果 .【 详 解 】 解 ： （ 1） ∵ AE∥ BF，∴ ∠ A=∠ DBF，
∵ AB=CD，∴ AB+BC=CD+BC， 即 AC=BD，又 ∵ AE=BF，∴ △ ACE≌ △ BDF（ SAS） ，∴ ∠ E=∠ F；
（ 2） ∵ △ ACE≌ △ BDF，∴ ∠ D=∠ ACE=80° ，∵ ∠ A=40° ，∴ ∠ E=180° -∠ A-∠ ACE=60° .【 点 睛 】 本 题 考 查 了 全 等 三 角 形 的 判 定 和 性 质 和 三 角 形 内 角 和 ， 解 题 的 关 键 是 找 出 三 角 形全 等 的 条 件 .24.某 水 果 店 销 售 苹 果 和 梨 ， 购 买 1 千 克 苹 果 和 3 千 克 梨 共 需 26 元 ， 购 买 2千 克 苹 果 和 1千 克 梨 共 需 22 元 ．（ 1） 求 每 千 克 苹 果 和 每 千 克 梨 的 售 价 ；
（ 2） 如 果 购 买 苹 果 和 梨 共 15千 克 ， 且 总 价 不 超 过 100元 ， 那 么 最 多 购 买 多 少 千 克 苹 果 ？【 答 案 】 （ 1） 每 千 克 苹 果 售 价 8 元 ， 每 千 克 梨 6千 克 ； （ 2） 最 多 购 买 5千 克 苹 果【 解 析 】【 分 析 】（ 1） 设 每 千 克 苹 果 售 价 x 元 ， 每 千 克 梨 y 千 克 ， 由 题 意 列 出 x、 y的 方 程 组 ， 解 之 即 可 ；（ 2） 设 购 买 苹 果 a 千 克 ， 则 购 买 梨 （ 15-a） 千 克 ， 由 题 意 列 出 a 的 不 等 式 ， 解 之 即 可 解 答 ．【 详 解 】 （ 1） 设 每 千 克 苹 果 售 价 x元 ， 每 千 克 梨 y 千 克 ， 由 题 意 ，得 ： 3 262 22x yx y? ??? ? ?? ，
解 得 ： 86xy??? ?? ，答 ： 每 千 克 苹 果 售 价 8 元 ， 每 千 克 梨 6千 克 ，（ 2） 设 购 买 苹 果 a 千 克 ， 则 购 买 梨 （ 15-a） 千 克 ， 由 题 意 ，得 ： 8a+6(15-a)≤ 100，解 得 ： a≤ 5，∴ a 最 大 值 为 5，答 ： 最 多 购 买 5千 克 苹 果 ．【 点 睛 】 本 题 考 查 了 二 元 一 次 方 程 组 的 应 用 、 一 元 一 次 不 等 式 的 应 用 ， 解 答 的 关 键 是 认 真
审 题 ， 分 析 相 关 信 息 ， 正 确 列 出 方 程 组 和 不 等 式 ．25.如 图 ， 正 比 例 函 数 y kx? 的 图 像 与 反 比 例 函 数 ? ?8 0y xx? ? 的 图 像 交 于 点 ? ?,4A a ． 点
B为 x轴 正 半 轴 上 一 点 ， 过 B 作 x 轴 的 垂 线 交 反 比 例 函 数 的 图 像 于 点 C， 交 正 比 例 函 数 的 图像 于 点 D．（ 1） 求 a 的 值 及 正 比 例 函 数 y kx? 的 表 达 式 ；
（ 2） 若 10BD? ， 求 ACD△ 的 面 积 ．【 答 案 】 （ 1） a=2； y=2x； （ 2） 635【 解 析 】【 分 析 】（ 1） 已 知 反 比 例 函 数 解 析 式 ， 点 A 在 反 比 例 函 数 图 象 上 ， 故 a 可 求 ； 求 出 点 A 的 坐 标 后 ，点 A 同 时 在 正 比 例 函 数 图 象 上 ， 将 点 A 坐 标 代 入 正 比 例 函 数 解 析 式 中 ， 故 正 比 例 函 数 的 解析 式 可 求 ．（ 2） 根 据 题 意 以 及 第 一 问 的 求 解 结 果 ， 我 们 可 设 B 点 坐 标 为 (b， 0)， 则 D 点 坐 标 为 (b， 2b)，
根 据 BD=10， 可 求 b值 ， 然 后 确 认 三 角 形 的 底 和 高 ， 最 后 根 据 三 角 形 面 积 公 式 即 可 求 解 ．【 详 解 】 （ 1） 已 知 反 比 例 函 数 解 析 式 为 y=8x ， 点 A(a， 4)在 反 比 例 函 数 图 象 上 ,将 点 A坐 标代 入 ， 解 得 a=2， 故 A点 坐 标 为 (2， 4)， 又 ∵ A 点 也 在 正 比 例 函 数 图 象 上 ， 设 正 比 例 函 数 解析 为 y=kx， 将 点 A(2， 4)代 入 正 比 例 函 数 解 析 式 中 ， 解 得 k=2， 则 正 比 例 函 数 解 析 式 为 y=2x．故 a=2； y=2x．（ 2） 根 据 第 一 问 的 求 解 结 果 ， 以 及 BD垂 直 x 轴 ， 我 们 可 以 设 B 点 坐 标 为 (b， 0)， 则 C 点坐 标 为 (b， 8b)、 D 点 坐 标 为 (b， 2b)， 根 据 BD=10， 则 2b=10， 解 得 b=5， 故 点 B 的 坐 标 为 (5，0)， D点 坐 标 为 (5， 10)， C 点 坐 标 为 (5， 85)， 则 在 △ ACD中 ，? ?1 810 5 22 5S ? ?? ? ? ? ?? ?? ?
△ ACD =635 ．故 △ ACD的 面 积 为 635 ．
【 点 睛 】 （ 1） 本 题 主 要 考 查 求 解 正 比 例 函 数 及 反 比 例 函 数 解 析 式 ， 掌 握 求 解 正 比 例 函 数 和反 比 例 函 数 解 析 式 的 方 法 是 解 答 本 题 的 关 键 ．（ 2） 本 题 根 据 第 一 问 求 解 的 结 果 以 及 BD 垂 直 x轴 ， 利 用 待 定 系 数 法 ， 设 B、 C、 D 三 点 坐标 ， 求 出 B、 C、 D 三 点 坐 标 ， 是 解 答 本 题 的 关 键 ， 同 时 掌 握 三 角 形 面 积 公 式 ， 即 可 求 解 ．26.如 图 1， 点 B在 线 段 CE上 ， Rt△ ABC≌ Rt△ CEF， 90ABC CEF? ?? ? ?，30BAC? ? ?， 1BC? ．
（ 1） 点 F 到 直 线 CA的 距 离 是 _________；（ 2） 固 定 △ ABC， 将 △ CEF绕 点 C按 顺 时 针 方 向 旋 转 30° ， 使 得 CF与 CA重 合 ， 并 停止 旋 转 ．① 请 你 在 图 1 中 用 直 尺 和 圆 规 画 出 线 段 EF 经 旋 转 运 动 所 形 成 的 平 面 图 形 （ 用 阴 影 表 示 ，保 留 画 图 痕 迹 ， 不 要 求 写 画 法 ） 该 图 形 的 面 积 为 _________；② 如 图 2， 在 旋 转 过 程 中 ， 线 段 CF与 AB交 于 点 O， 当 OE OB? 时 ， 求 OF 的 长 ．【 答 案 】 （ 1） 1； （ 2） 12? ； （ 3） 23OF ?【 解 析 】
【 分 析 】（ 1） 根 据 直 角 三 角 形 的 性 质 和 全 等 三 角 形 的 性 质 可 得 ∠ ACF=∠ ECF=30° ， 即 CF 是 ∠ ACB的 平 分 线 ， 然 后 根 据 角 平 分 线 的 性 质 可 得 点 F 到 直 线 CA的 距 离 即 为 EF的 长 ， 于 是 可 得 答案 ；（ 2） ① 易 知 E点 和 F点 的 运 动 轨 迹 是 分 别 以 CF和 CE为 半 径 、 圆 心 角 为 30° 的 圆 弧 ， 据 此即 可 画 出 旋 转 后 的 平 面 图 形 ； 在 图 3 中 ， 先 解 Rt△ CEF求 出 CF 和 CE的 长 ， 然 后 根 据 S
阴 影 =（ S△ CEF+S 扇 形 ACF） － （ S△ ACG+S 扇 形 CEG） 即 可 求 出 阴 影 面 积 ；
② 作 EH⊥ CF于 点 H， 如 图 4， 先 解 Rt△ EFH求 出 FH和 EH的 长 ， 进 而 可 得 CH 的 长 ， 设 OH=x，则 CO 和 OE2都 可 以 用 含 x 的 代 数 式 表 示 ， 然 后 在 Rt△ BOC中 根 据 勾 股 定 理 即 可 得 出 关 于 x的 方 程 ， 解 方 程 即 可 求 出 x 的 值 ， 进 一 步 即 可 求 出 结 果 ．【 详 解 】 解 ： （ 1） ∵ 30BAC? ? ?， 90ABC? ? ?， ∴ ∠ ACB=60° ，∵ Rt△ ABC≌ Rt△ CEF，∴ ∠ ECF=∠ BAC=30° ， EF=BC=1，∴ ∠ ACF=30° ， ∴ ∠ ACF=∠ ECF=30° ，∴ CF 是 ∠ ACB的 平 分 线 ，∴ 点 F到 直 线 CA的 距 离 =EF=1；
故 答 案 为 ： 1；（ 2） ① 线 段 EF 经 旋 转 运 动 所 形 成 的 平 面 图 形 如 图 3 中 的 阴 影 所 示 ：
在 Rt△ CEF中 ， ∵ ∠ ECF=30° ， EF=1，∴ CF=2， CE= 3，由 旋 转 的 性 质 可 得 ： CF=CA=2， CE=CG= 3， ∠ ACG=∠ ECF=30° ，∴ S
阴 影 =（ S△ CEF+S 扇 形 ACF） － （ S△ ACG+S 扇 形 CEG） =S 扇 形 ACF－ S 扇 形 CEG= ? ?22 30 330 2360 360 12?? ??? ? ? ；故 答 案 为 ： 12? ；② 作 EH⊥ CF于 点 H， 如 图 4，在 Rt△ EFH中 ， ∵ ∠ F=60° ， EF=1，
∴ 1 3,2 2FH EH? ? ，∴ CH= 1 32 2 2? ? ，设 OH=x， 则 32OC x? ? ， 22 2 2 2 23 32 4OE EH OH x x? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ，∵ OB=OE， ∴ 2 234OB x? ? ，在 Rt△ BOC中 ， ∵ 2 2 2OB BC OC? ? ， ∴ 223 314 2x x? ?? ? ? ?? ?? ? ，
解 得 ： 16x? ，∴ 1 1 22 6 3OF ? ? ? ．
【 点 睛 】 本 题 考 查 了 旋 转 的 性 质 和 旋 转 作 图 、 全 等 三 角 形 的 性 质 、 角 平 分 线 的 性 质 、 扇 形面 积 公 式 、 勾 股 定 理 和 解 直 角 三 角 形 等 知 识 ， 涉 及 的 知 识 点 多 ， 综 合 性 较 强 ， 熟 练 掌 握 上述 知 识 、 灵 活 应 用 整 体 思 想 和 方 程 思 想 是 解 题 的 关 键 ．27.如 图 1， ⊙ I与 直 线 a相 离 ， 过 圆 心 I 作 直 线 a 的 垂 线 ， 垂 足 为 H， 且 交 ⊙ I 于 P、 Q 两点 （ Q 在 P、 H 之 间 ） ． 我 们 把 点 P 称 为 ⊙ I 关 于 直 线 a的 “ 远 点 ” ， 把 PQ PH? 的 值 称 为 ⊙ I关 于 直 线 a的 “ 特 征 数 ” ．
（ 1） 如 图 2， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 点 E 的 坐 标 为 ? ?0,4 ， 半 径 为 1的 ⊙ O 与 两 坐 标轴 交 于 点 A、 B、 C、 D．① 过 点 E 画 垂 直 于 y轴 的 直 线 m， 则 ⊙ O 关 于 直 线 m 的 “ 远 点 ” 是 点 _________（ 填 “ A” 、 “ B” 、“ C” 或 “ D” ） ， ⊙ O关 于 直 线 m 的 “ 特 征 数 ” 为 _________；② 若 直 线 n的 函 数 表 达 式 为 3 4y x? ? ， 求 O? 关 于 直 线 n的 “ 特 征 数 ” ；（ 2） 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 直 线 l 经 过 点 ? ?1,4M ， 点 F 是 坐 标 平 面 内 一 点 ， 以 F为 圆 心 ， 2 为 半 径 作 ⊙ F． 若 ⊙ F与 直 线 l相 离 ， 点 ? ?1,0N ? 是 ⊙ F 关 于 直 线 l 的 “ 远 点 ” ，
且 ⊙ F关 于 直 线 l 的 “ 特 征 数 ” 是 4 5， 求 直 线 l 的 函 数 表 达 式 ．【 答 案 】 （ 1） ① D； 10； ② ⊙ O关 于 直 线 n的 “ 特 征 数 ” 为 6； （ 2） 直 线 l 的 解 析 式 为 y=-3x+7或 y=13x+113【 解 析 】【 分 析 】（ 1） ① 根 据 题 干 中 “ 远 点 ” 及 “ 特 征 数 ” 的 定 义 直 接 作 答 即 可 ； ② 过 圆 心 O 作 OH⊥ 直 线 n，垂 足 为 点 H， 交 ⊙ O 于 点 P、 Q， 首 先 判 断 直 线 n 也 经 过 点 E（ 0， 4） ， 在 Rt△ EOF中 ， 利 用三 角 函 数 求 出 ∠ EFO=60° ， 进 而 求 出 PH的 长 ， 再 根 据 “ 特 征 数 ” 的 定 义 计 算 即 可 ；
（ 2） 连 接 NF 并 延 长 ， 设 直 线 l 的 解 析 式 为 y=kx+b1,用 待 定 系 数 法 得 到 1 14=k bn mk b??? ? ?? ①② ，再 根 据 两 条 直 线 互 相 垂 直 ， 两 个 一 次 函 数 解 析 式 的 系 数 k 互 为 负 倒 数 的 关 系 可 设 直 线 NF 的
解 析 式 为 y= 1k? x+b2,用 待 定 系 数 法 同 理 可 得 2 210= bk mn bk? ????? ?? ??? ④⑤ ， 消 去 b1和 b2， 得 到 关 于 m、n的 方 程 组 4 1n mk kmn k k? ? ????? ? ??? ； 根 据 ⊙ F 关 于 直 线 l的 “ 特 征 数 ” 是 4 5， 得 出 NA= 10 ，再 利 用 两 点 之 间 的 距 离 公 式 列 出 方 程 (m+1)
2+n2=10， 把 2 22 4 114 21k km kkn k? ? ???? ?? ?? ?? ?? 代 入 ， 求 出 k 的 值 ，便 得 到 m、 n 的 值 即 点 A的 坐 标 ， 再 根 据 待 定 系 数 法 求 直 线 l 的 函 数 表 达 式 ． 注 意 有 两 种 情况 ， 不 要 遗 漏 ．【 详 解 】 解 ： （ 1） ① ⊙ O关 于 直 线 m 的 “ 远 点 ” 是 点 D，⊙ O 关 于 直 线 m的 “ 特 征 数 ” 为 DB· DE=2× 5=10；② 如 下 图 ： 过 圆 心 O作 OH⊥ 直 线 n， 垂 足 为 点 H， 交 ⊙ O 于 点 P、 Q，
∵ 直 线 n 的 函 数 表 达 式 为 3 4y x? ? ，当 x=0时 ， y=4； 当 y=0 时 ， x= 4 33? ，∴ 直 线 n 经 过 点 E（ 0， 4） ， 点 F（ 4 33? ， 0） ，
在 Rt△ EOF中 ， ∵ tan∠ FEO=FOEO= 4 334 = 33 ，∴ ∠ FEO=30° ，∴ ∠ EFO=60° ，在 Rt△ HOF中 ， ∵ sin∠ HFO=HOFO ，∴ HO= sin∠ HFO· FO=2，∴ PH=HO+OP=3，∴ PQ· PH=2× 3=6，
∴ ⊙ O关 于 直 线 n 的 “ 特 征 数 ” 为 6；（ 2） 如 下 图 ， ∵ 点 F 是 圆 心 ， 点 ? ?1,0N ? 是 “ 远 点 ” ，∴ 连 接 NF 并 延 长 ， 则 直 线 NF⊥ 直 线 l， 设 NF 与 直 线 l 的 交 点 为 点 A（ m， n） ，
设 直 线 l 的 解 析 式 为 y=kx+b1（ k≠ 0） ,将 点 ? ?1,4M 与 A（ m， n） 代 入 y=kx+b1中 ，1 14=k bn mk b??? ? ?? ①②② -① 得 ： n-4=mk-k， ③又 ∵ 直 线 NF⊥ 直 线 l，∴ 设 直 线 NF的 解 析 式 为 y= 1k? x+b
2（ k≠ 0） ,
将 点 ? ?1,0N ? 与 A（ m， n） 代 入 y= 1k? x+b2中 ，2 210= bk mn bk? ????? ?? ??? ④⑤④ -⑤ 得 ： -n=1k +mk ， ⑥联 立 方 程 ③ 与 方 程 ⑥ ， 得 ：4 1n mk kmn k k? ? ????? ? ???
解 得 ： 2 22 4 114 21k km kkn k? ? ???? ?? ?? ?? ?? ，∴ 点 A的 坐 标 为 （ 2 24 11k kk? ?? ， 24 21kk?? ） ；又 ∵ ⊙ F 关 于 直 线 l的 “ 特 征 数 ” 是 4 5， ⊙ F 的 半 径 为 2 ，∴ NB· NA=4 5，即 2 2 · NA=4 5，
解 得 ： NA= 10 ，∴ [m-(-1)]2+(n-0)2=( 10 )2，即 (m+1)2+n2=10，把 2 22 4 114 21k km kkn k? ? ???? ?? ?? ?? ?? 代 入 ， 解 得 k=-3 或 k=13；当 k=-3时 ， m=2， n=1，∴ 点 A的 坐 标 为 （ 2， 1） ，
把 点 A（ 2， 1） 与 点 ? ?1,4M 代 入 y=kx+b1中 ， 解 得 直 线 l的 解 析 式 为 y=-3x+7；
当 k=13时 ， m=-2， n=3，∴ 点 A的 坐 标 为 （ -2， 3） ，把 点 A（ -2， 3） 与 点 ? ?1,4M 代 入 y=kx+b1中 ， 解 得 直 线 l的 解 析 式 为 y=13x+113 ．∴ 直 线 l 的 解 析 式 为 y=-3x+7或 y=13x+113 ．【 点 睛 】 本 题 是 一 次 函 数 与 圆 的 综 合 题 ， 考 查 了 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 、 一 次 函 数 的 图 象 和性 质 、 解 直 角 三 角 形 等 ， 理 解 “ 远 点 ” 和 “ 特 征 数 ” 的 意 义 ， 熟 练 掌 握 一 次 函 数 的 图 象 和性 质 、 两 点 之 间 距 离 公 式 、 两 条 直 线 互 相 垂 直 的 两 个 一 次 函 数 解 析 式 中 系 数 k 互 为 负 倒 数的 关 系 是 解 题 的 关 键 ．
28.如 图 ， 二 次 函 数 2 3y x bx? ? ? 的 图 像 与 y 轴 交 于 点 A， 过 点 A 作 x 轴 的 平 行 线 交 抛 物线 于 另 一 点 B， 抛 物 线 过 点 ? ?1,0C ， 且 顶 点 为 D， 连 接 AC、 BC、 BD、 CD．
（ 1） 填 空 ： b?________；（ 2） 点 P 是 抛 物 线 上 一 点 ， 点 P 的 横 坐 标 大 于 1， 直 线 PC交 直 线 BD于 点 Q． 若CQD ACB? ?? ， 求 点 P的 坐 标 ；（ 3） 点 E 在 直 线 AC上 ， 点 E 关 于 直 线 BD对 称 的 点 为 F， 点 F关 于 直 线 BC对 称 的 点 为G， 连 接 AG． 当 点 F 在 x 轴 上 时 ， 直 接 写 出 AG的 长 ．【 答 案 】 （ 1） -4； （ 2） （ 3， 0） 或 （ 53， 89） ； （ 3） 10【 解 析 】【 分 析 】
（ 1） 根 据 待 定 系 数 法 求 解 即 可 ；
（ 2） 分 点 Q在 CD上 方 和 点 Q在 CD下 方 时 ， 两 种 情 况 ， 结 合 三 角 函 数 ， 勾 股 定 理 等 知 识 求解 ；（ 3） 设 点 C 关 于 BD的 对 称 点 为 C′ ， BD 中 点 为 点 R， 直 线 AC与 直 线 BD交 于 N′ ， 设 C′（ p， q） ， 利 用 点 R 到 点 C 和 点 C′ 的 距 离 相 等 以 及 点 N′ 到 点 C 和 点 C′ 的 距 离 相 等 ， 求 出点 C′ 的 坐 标 ， 从 而 得 到 C′ N′ 直 线 的 解 析 式 ， 从 而 求 出 点 F坐 标 ， 再 利 用 点 F和 点 G 关于 直 线 BC 对 称 ， 结 合 BC的 表 达 式 可 求 出 点 G 坐 标 ， 最 后 得 到 AG 的 长 .【 详 解 】 解 ： （ 1） ∵ 抛 物 线 过 点 C（ 1， 0） ，∴ 将 C（ 1， 0） 代 入 2 3y x bx? ? ? 得 0=1+b+3，
解 得 b=-4，故 答 案 为 ： -4；（ 2） 由 （ 1） 可 得 抛 物 线 解 析 式 为 ： 2 4 3y x x? ? ? ，当 x=0时 ， y=3，∴ A 的 坐 标 为 （ 0， 3） ，当 y=3时 得 23 4 3x x? ? ? ，解 得 x
1=0， x2=4，∴ 点 B的 坐 标 为 （ 4， 3） ，∵ ? ?22 4 3 2 1y x x x? ? ? ? ? ? ，∴ 顶 点 D 的 坐 标 为 （ 2， -1） ，设 BD 与 x 轴 的 交 点 为 M， 作 CH⊥ AB于 H， DG⊥ CM于 G，
∴ tan∠ ACH= tan∠ OAC=13，
根 据 勾 股 定 理 可 得 BC=3 2， CD= 2 ， BD=2 5，∴ BD= 2 2BC CD? ，∴ ∠ BCD=90° ，∴ tan∠ CBD=13，∴ ∠ ACH=∠ CBM，∵ ∠ HCB=∠ BCM=45° ，∴ ∠ ACH+∠ HCB=∠ CBM+∠ MCB，即 ∠ ACB=∠ CMD，
Q在 CD上 方 时 ： 若 CQD ACB? ?? ， 则 Q 与 M 点 重 合 ，∵ 2 4 3y x x? ? ? 中 ， 令 y=0， 解 得 ： x=1或 3，∴ 抛 物 线 与 x 轴 的 另 一 个 交 点 坐 标 为 （ 3， 0） ，即 此 时 P 的 坐 标 为 （ 3， 0） ；Q在 CD下 方 时 ： 过 点 Q 作 QK⊥ x 轴 ， 过 点 C作 CL⊥ QM于 点 L， 过 点 A 作 AN⊥ BC于 点 N，可 得 ： AB=4， BC=3 2， AC= 10 ， 设 CN=x， 则 BN=3 2-x，在 △ ABC中 ， 2 2 2 2AC CN AB BN? ? ? ，
即 ? ? ? ?2 22 210 4 3 2x x? ? ? ? ， 解 得 ： x= 2 ，∴ cos∠ ACN=CNAC = 55 ，设 直 线 BD 的 表 达 式 为 ： y=mx+n， 将 B， D 代 入 得 ：3 41 2m nm n? ???? ? ?? ， 解 得 ： 25mn ??? ??? ，∴ 直 线 BD 的 表 达 式 为 y=2m-5，令 y=0， 则 x=52 ， 即 点 M（ 52 ， 0） ，设 点 Q坐 标 为 （ a， 2a-5） ，
则 QK=5-2a， CM=32 ， QM= ? ?2 25 2 52a a? ?? ? ?? ?? ? ，∵ ∠ ACB=∠ CMD， ∠ ACB=∠ CQD，
∴ ∠ CMD=∠ CQD， 即 CQ=CM=32 ,∴ cos∠ CQD=cos∠ ACB= 55QLCQ ? ,∴ QL=3 510 ， QM=3 55 ， CL=3 55 ，在 △ CQM中 ， 1 12 2CM KQ QM CL? ? ? ，即 3 3 5 3 52 5 5KQ? ? ? ， 解 得 ： KQ=65 ，
∴ CK= 2 2 910CQ KQ? ? ,∴ Q（ 1910， 65? ） ，设 直 线 CQ 表 达 式 为 ： y=sx+t， 将 点 C 和 点 Q 代 入 ，06 195 10s ts t? ????? ? ??? ， 解 得 ： 4343st? ?????? ??? ，则 CQ 表 达 式 为 ： 4 43 3y x?? ? ， 联 立 ：
2 4 43 34 3y xy x x? ?? ???? ? ? ?? ， 解 得 5389xy? ????? ???? ，即 点 P坐 标 为 （ 53， 89） ，综 上 ： 点 P的 坐 标 为 （ 3， 0） 或 （ 53， 89） ；
（ 3） 设 点 C 关 于 BD的 对 称 点 为 C′ ， BD 中 点 为 点 R， 直 线 AC与 直 线 BD交 于 N′ ，∴ R（ 3， 1） ， 设 C′ （ p， q） ，由 题 意 可 求 得 ： 直 线 AC 表 达 式 为 ： y=-3x+3，直 线 BD表 达 式 为 ： y=2x-5，直 线 BC的 表 达 式 为 ： y=x-1，令 -3x+3=2x-5， 解 得 ： x=85， 则 y= 95? ，∴ 点 N′ （ 85， 95? ） ，∵ 点 C和 C′ 关 于 直 线 BD对 称 ，
∴ CR=C′ R= 12 BD= 5， CN′ =C′ N′ = 2 28 9 3 101 5 5 5? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ，则 有 ? ? ? ? ? ?22 23 1 5p q? ? ? ? ， 22 28 9 3 105 5 5p q ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ，即 2 22 26 2 5 016 18 11 05 5 5p p q qp p q q? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ① ② ，① -② 得 ： 1 2p q? ? ③ ， 代 入 ① ，解 得 ： 65q?? 或 0（ 舍 ） ， 代 入 ③ 中 ， 得 ： 175p? ，
解 得 ： 17565pq? ????? ???? ， 即 点 C′ （ 175 ， 65? ） ，∵ N′ （ 85， 95? ） ，求 得 直 线 C′ N′ 的 表 达 式 为 ： 1 73 3y x? ? ，∵ 点 F在 x轴 上 ， 令 y=0， 则 x=7，∴ 点 F（ 7， 0） ，又 ∵ 点 F 和 点 G关 于 直 线 BC 对 称 ， BC： y=x-1， 连 接 CG，可 得 ∠ BCF=45° =∠ BCG，
∴ ∠ FCG=90° ，∴ CG=CF=6,∴ 点 G的 坐 标 为 （ 1,6） ， 又 A（ 0， 3） ，∴ AG 的 长 为 2 23 1 10? ? .
【 点 睛 】 本 题 是 二 次 函 数 综 合 题 ， 考 查 了 二 次 函 数 解 析 式 ， 一 次 函 数 ， 三 角 函 数 ， 面 积 法 ，对 称 的 性 质 ， 知 识 点 较 多 ， 难 度 较 大 ， 解 题 时 要 注 意 分 类 讨 论 ， 画 图 相 应 图 形 ， 利 用 数 形结 合 思 想 解 答 .
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