2022年中考数学甘肃省武威卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1. 的相反数为（ ）
A. B.2
C. D.
2.若 ，则 的余角的大小是（ ）
A.50 ° B.60 °
C.140 ° D.160 °
3.不等式 的解集是（ ）
A. B.
C. D.
4.用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5.若 ， ， ，则 （?????）
A. B.
C. D.
6.2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，飞行任务取得圆满成功
．“出差”太空半年的神舟十三号航天员乘组顺利完成既定全部任务，并解锁了多个“首次”．其
中，航天员们在轨驻留期间共完成37项空间科学实验，如图是完成各领域科学实验项数的扇形统计
图，下列说法错误的是（?????）
A.完成航天医学领域实验项数最多 B.完成空间应用领域实验有 5 项
C.完成人因工程技术实验项数比空间应用领域
实验项数多
D.完成人因工程技术实验项数占空间科学实验总项
数的 24.3 %
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7.大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图 1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料
，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图 2，一个巢房的横截面为正
六边形 ，若对角线 的长约为 8mm，则正六边形 的边长为（ ?????）
A.2mm B.
C. D.4mm
8.《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海，七日至
北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”大意是：今有野鸭从南海起飞， 7天到
北海；大雁从北海起飞， 9天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞，问经过多少天相遇？设
经过 x天相遇，根据题意可列方程为（ ?????）
A. B.
C. D.
9.如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧（ ），点 是这段弧所在圆的圆
心，半径 ，圆心角 ，则这段弯路（ ）的长度为（ ?????）
A. B.
C. D.
10.如图 1，在菱形 中， ，动点 从点 出发，沿折线 方向匀
速运动，运动到点 停止．设点 的运动路程为 ， 的面积为 ， 与 的函数图象如图 2所示
，则 的长为（ ?????）
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A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．
11.计算： _______________．
12.因式分解： _______________．
13.若一次函数 y=kxnull 2的函数值 y随着自变量 x值的增大而增大，则 k=_______________（写出一个满
足条件的值）．
14.如图，菱形 中，对角线 与 相交于点 ，若 ， ，则 的
长为 _______________cm．
15.如图，在⊙ O内接四边形 中，若 ，则 _______________ ．
16.如图，在四边形 中， ， ，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形
成为一个矩形，只需添加的一个条件是 _______________．
17.如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线
．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度 （单位： m）与飞行时间 （单位： s）之间具有函数关系：
，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间 _______________s．
18.如图，在矩形 ABCD中， AB=6cm， BC=9cm，点 E， F分别在边 AB， BC上， AE=2cm， BD， EF交于点 G
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，若 G是 EF的中点，则 BG的长为 _______________cm．
三、解答题：本大题共5小题，共26分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程
或演算步骤．
19.计算： ．
20.化简： ．
21.中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图 1），书中记载了大
量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：
原文 释义
甲乙丙为定直角．
以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧；
以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交
点己；
再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交
点庚；
乙与己及庚相连作线．
如图 2， 为直角．
以点 为圆心，以任意长为半径画弧，交射线 ， 分别于
点 ， ；
以点 为圆心，以 长为半径画弧与 交于点 ；
再以点 为圆心，仍以 长为半径画弧与 交于点 ；
作射线 ， ．
21.1.根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图 2 中完成这道作图题（保留作图痕迹
，不写作法）；
21.2.根据（ 1 ）完成的图，直接写出 ， ， 的大小关系．
22.灞陵桥位于甘肃省渭源县城南清源河（渭河上游）上，始建于明洪武初年，因“渭水绕长安，绕
灞陵，为玉石栏杆灞陵桥”之语，得名灞陵桥（图 1），该桥为全国独一无二的纯木质叠梁拱桥．某
综合实践研究小组开展了测量汛期某天 “ 灞陵桥拱梁顶部到水面的距离 ” 的实践活动，过程如下：
方案设计：如图 2，点 C为桥拱梁顶部（最高点），在地面上选取 A， B两处分别测得∠ CAF和∠ CBF的
度数（ A， B， D， F在同一条直线上），河边 D处测得地面 AD到水面 EG的距离 DE（ C， F， G在同一条直
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线上， DF∥ EG， CG⊥ AF， FG=DE）．
数据收集：实地测量地面上 A， B两点的距离为 8.8m，地面到水面的距离 DE=1.5m，∠ CAF=26.6° ，∠
CBF=35° ．
问题解决：求灞陵桥拱梁顶部 C到水面的距离 CG（结果保留一位小数）．
参考数据： sin26.6°≈0.45 ， cos26.6°≈0.89 ， tan26.6°≈0.50 ， sin35°≈0.57 ，
cos35°≈0.82 ， tan35°≈0.70 ．
根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
23.第 24届冬季奥林匹克运动会于 2022年 2月 4至 20日在我国北京 -张家口成功举办，其中张家口赛区
设有四个冬奥会竞赛场馆，分别为： A．云顶滑雪公园、 B．国家跳台滑雪中心、 C．国家越野滑雪中
心、 D．国家冬季两项中心．小明和小颖都是志愿者，他们被随机分配到这四个竞赛场馆中的任意一
个场馆的可能性相同．
23.1.小明被分配到 D ．国家冬季两项中心场馆做志愿者的概率是多少？
23.2.利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率．
四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程
或演算步骤．
24.受疫情影响，某初中学校进行在线教学的同时，要求学生积极参与“增强免疫力、丰富学习生活
”为主题的居家体育锻炼活动，并实施锻炼时间目标管理．为确定一个合理的学生居家锻炼时间的
完成目标，学校随机抽取了 30名学生周累计居家锻炼时间（单位： h）的数据作为一个样本，并对这
些数据进行了收集、整理和分析，过程如下：
【数据收集】
7???????8???????6???????5???????9???????10???????4???????6???????7???????5???????11
???????12???????8???????7???????6
4???????6???????3???????6???????8???????9???????10???????10???????13???????6???????7
???????8???????3???????5???????10
【数据整理】
将收集的 30个数据按 A， B， C， D， E五组进行整理统计，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方
图（说明： A． ， B． ， C． ， D． ， E． ，其中 表示
锻炼时间）；
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【数据分析】
统计量 平均数 众数 中位数
锻炼时间（ h） 7.3 7
根据以上信息解答下列问题：
24.1.填空： ___________；
24.2.补全频数分布直方图；
24.3.如果学校将管理目标确定为每周不少于 7h ，该校有 600 名学生，那么估计有多少名学生能
完成目标？你认为这个目标合理吗？说明理由．
25.如图， B， C是反比例函数 y= （ k≠0 ）在第一象限图象上的点，过点 B的直线 y=x-1与 x轴交于点 A
， CD⊥ x轴，垂足为 D， CD与 AB交于点 E， OA=AD， CD=3．
25.1.求此反比例函数的表达式；
25.2.求 △ BCE 的面积．
26.如图， 内接于 ， ， 是 的直径， 是 延长线上一点，且
．
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26.1.求证： 是 的切线；
26.2.若 ， ，求线段 的长．
27.1. 已知正方形 ， 为对角线 上一点．
27.1.【建立模型】如图 1 ，连接 ， ．求证： ；
27.2.【模型应用】如图 2 ， 是 延长线上一点， ， 交 于点 ．
①判断 的形状并说明理由；
②若 为 的中点，且 ，求 的长．
27.3.【模型迁移】如图 3 ， 是 延长线上一点， ， 交 于点 ，
．求证： ．
28.如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点，点
在 轴上，且 ， ， 分别是线段 ， 上的动点（点 ， 不与点 ， ， 重合）．
28.1.求此抛物线的表达式；
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28.2.连接 并延长交抛物线于点 ，当 轴，且 时，求 的长；
28.3.连接 ．
① 如图 2，将 沿 轴翻折得到 ，当点 在抛物线上时，求点 的坐标；
② 如图 3，连接 ，当 时，求 的最小值．
参考答案
1.B????解析：
根据相反数的概念得出答案．
∵
∴ 的相反数为 ．
故选： B
2.A
解析： 用 90° 减去 40° 即可求解．
解：∵ ，
∴ 的余角= ，
故选 A
3.C
解析： 按照解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为 1
即可得出答案．
解： 3x-2＞ 4，
移项得： 3x＞ 4+2，
合并同类项得： 3x＞ 6，
系数化为 1得： x＞ 2．
故选： C．
4.C
解析： 方程左右两边都加上 1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
解： x2-2x=2，
x2-2x+1=2+1，即（ x-1） 2=3．
故选： C．
5.D
解析： 根据△ ABC∽△ DEF，可以得到 然后根据 BC=6， EF=4，即可求解．
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解：∵
∴
， ，
故选 D
6.B????解析：
根据扇形统计图中的数据逐项分析即可．
解： A．由扇形统计图可得，完成航天医学领域实验项数最多，所以 A选项说法正确，故 A选项不符合
题意；
B．由扇形统计图可得，完成空间应用领域实验占完成总实验数的 5.4%，实验次项数为 5.4%×37≈2
项，所以 B选项说法错误，故 B选项符合题意；
C．完成人因工程技术实验占完成总实验数的 24.3%，完成空间应用领域实验占完成总实验数的 5.4%
，所以完成人因工程技术实验项数比空间应用领域实验项数多，说法正确，故 C选项不符合题意；
D．完成人因工程技术实验项数占空间科学实验总项数的 24.3%，所以 D选项说法正确，故 D选项不符
合题意．
故选： B．
7.D????解析：
如图，连接 CF与 AD交于点 O，易证△ COD为等边三角形，从而 CD=OC=OD= AD，即可得到答案．
连接 CF与 AD交于点 O，
∵ 为正六边形，
∴∠ COD= =60°， CO=DO， AO=DO= AD=4mm，
∴△ COD为等边三角形，
∴ CD=CO=DO=4mm，
即正六边形 的边长为 4mm，
故选： D．
8.A????解析：
设总路程为 1，野鸭每天飞 ，大雁每天飞 ，当相遇的时候，根据野鸭的路程 +大雁的路程 =总路程
即可得出答案．
解：设经过 x天相遇，
根据题意得： x+ x=1，
∴（ + ） x=1，
故选： A．
9.C????解析：
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根据题目中的数据和弧长公式，可以计算出这段弯路（ ）的长度．
解：∵半径 OA=90m，圆心角∠ AOB=80° ，
这段弯路（ ）的长度为： ，
故选 C
10.B????解析：
根据图 1和图 2判定三角形 ABD为等边三角形，它的面积为 解答即可．
解：在菱形 ABCD中， ∠ A=60° ，
∴△ ABD为等边三角形，
设 AB=a，由图 2可知， △ ABD的面积为 ，
∴△ ABD的面积
解得： a=
故选 B
11.
解析： 根据单项式的乘法直接计算即可求解．
解：原式＝ ．
故答案为： ．
12.
解析： 原式提取 m，再利用平方差公式分解即可．
解：原式 =m（ m2-4） =m（ m+2）（ m-2），
故答案为： m（ m+2）（ m-2）
13.2（ 答案不唯一 ）
解析： 根据函数值 y随着自变量 x值的增大而增大得到 k＞ 0，写出一个正数即可．
解：∵函数值 y随着自变量 x值的增大而增大，
∴ k＞ 0，
∴ k=2（答案不唯一）．
故答案为： 2（答案不唯一）．
14.8????解析：
利用菱形对角线互相垂直且平分的性质结合勾股定理得出答案即可．
解： 菱形 中，对角线 ， 相交于点 ， AC=4，
， ， AO=OC= AC=2
，
，
，
故答案为： 8．
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此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握菱形的性质，运用勾股定理解直角三角
形，是解题关键．
15.80????解析：
根据圆内接四边形的性质计算出 即可．
解：∵ ABCD是⊙ O的内接四边形，∠ ABC＝ 100° ，
∴∠ ABC+∠ ADC=180° ，
∴ ．
故答案为 ．
16. （答案不唯一）
解析： 】 先证四边形 ABCD是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论．
解：需添加的一个条件是∠ A=90° ，理由如下：
∵ AB∥ DC， AD∥ BC，
∴四边形 ABCD是平行四边形，
又∵∠ A=90° ，
∴平行四边形 ABCD是矩形，
故答案为：∠ A=90° （答案不唯一）．
17.2
解析： 把一般式化为顶点式，即可得到答案．
解：∵ h=-5t2+20t=-5（ t-2） 2+20，
且 -5＜ 0，
∴当 t=2时， h取最大值 20，
故答案为： 2．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握将二次函数一般式化为顶点式．
18. ????解析：
根据矩形的性质可得 AB=CD=6cm，∠ ABC=∠ C=90° ， AB∥ CD，从而可得∠ ABD=∠ BDC，然后利用直角
三角形斜边上的中线可得 EG=BG，从而可得∠ BEG=∠ ABD，进而可得∠ BEG=∠ BDC，再证明 △ EBF∽△
DCB，利用相似三角形的性质可求出 BF的长，最后在 Rt△ BEF中，利用勾股定理求出 EF的长，即可解
答．
解：∵四边形 ABCD是矩形，
∴ AB=CD=6cm，∠ ABC=∠ C=90° ， AB∥ CD，
∴∠ ABD=∠ BDC，
∵ AE=2cm，
∴ BE=AB-AE=6-2=4（ cm），
∵ G是 EF的中点，
∴ EG=BG= EF，
∴∠ BEG=∠ ABD，
∴∠ BEG=∠ BDC，
∴△ EBF∽△ DCB，
∴ ，
∴ ，
∴ BF=6，
∴ EF= （ cm），
∴ BG=
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EF= （ cm），
故答案为： ．
19.
解析： 根据二次根式的混合运算进行计算即可求解．
解：原式
.
20.1
解析： 将除法转化为乘法，因式分解，约分，根据分式的加减法法则化简即可得出答案．
解：原式
=1．
21.1.见解析 ????解析：
解：（ 1）如图：
21.2. ????解析：
．
理由：连接 DF， EG如图所示
则 BD=BF=DF， BE=BG=EG
即 和 均为等边三角形
∴
∵
∴
22.16.9m
解析： 设 BF=x m，根据题意可得： DE=FG=1.5m，然后在 Rt△ CBF中，利用锐角三角函数的定义求出 CF
的长，再在 Rt△ ACF中，利用锐角三角函数的定义列出关于 x的方程，进行计算即可解答．
解：设 BF=x m，
由题意得：
DE=FG=1.5m，
在 Rt△ CBF中，∠ CBF=35° ，
∴ CF=BF?tan35°≈0.7 x（ m），
∵ AB=8.8m，
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∴ AF=AB+BF=（ 8.8+x） m，
在 Rt△ ACF中，∠ CAF=26.6° ，
∴ tan26.6°= ≈0.5 ，
∴ x=22，
经检验： x=22是原方程的根，
∴ CG=CF+FG=0.7x+1.5=16.9（ m），
∴灞陵桥拱梁顶部 C到水面的距离 CG约为 16.9m．
23.1. ????解析：
解：小明被分配到 D．国家冬季两项中心场馆做志愿者的概率是 ；
23.2. ????解析：
解：画树状图如下：
共有 16种等可能的结果，其中小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的结果有 4种，
∴小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率为 ．
24.1.6????解析：
由数据可知， 6出现的次数最多，
∴ m=6．
故答案为： 6．
24.2.见解析 ????解析：
补全频数分布直方图如下：
24.3.340名；合理，见解析 ????解析：
.
答：估计有 340名学生能完成目标；
目标合理．
理由：过半的学生都能完成目标．
25.1. ????解析：
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解：当 y=0时，即 x-1=0，
∴ x=1，
即直线 y=x-1与 x轴交于点 A的坐标为（ 1， 0），
∴ OA=1=AD，
又∵ CD=3，
∴点 C的坐标为（ 2， 3），
而点 C（ 2， 3）在反比例函数 y= 的图象上，
∴ k=2×3=6 ，
∴反比例函数的图象为 y= ；
25.2.1????解析：
解：方程组 的正数解为 ，
∴点 B的坐标为（ 3， 2），
当 x=2时， y=2-1=1，
∴点 E的坐标为（ 2， 1），即 DE=1，
∴ EC=3-1=2，
∴ S△ BCE= ×2× （ 3-2） =1，
答： △ BCE的面积为 1．
26.1.见解析 ????解析：
证明： ∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又 ∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的半径，
∴ 是 的切线；
26.2.4????解析：
由（ 1）知 ，
在 和 中， ∵ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，解得 ．
27.1.见解析 ????解析：
）证明：∵四边形 为正方形， 为对角线，
∴ ， .
∵ ，
∴ ，
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∴ .
27.2.①等腰三角形，见解析；② ????解析：
① 为等腰三角形 .理由如下：
∵四边形 为正方形，
∴ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
由（ 1）得 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形 .
②如图 1，过点 作 ，垂足为 .
∵四边形 为正方形，点 为 的中点， ，
∴ ， .
由①知 ，
∴ ，
∴ .
在 与 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
在 中， .
27.3.见解析 ????解析：
如图 2，∵ ，
∴ .
在 中， ，
∴ .
由（ 1）得 ，
由（ 2）得 ，
∴ .
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28.1. ????解析：
解：∵ 在抛物线 上，
∴ ，解得 ，
∴ ，即 ；
28.2. ????解析：
在 中，令 ，得 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
28.3.① ；② ????解析：
①连接 交 于点 ，如图1所示：
∵ 与 关于 轴对称，
∴ ， ，
设 ，则 ，
，
∴ ，
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∵ 点 在抛物线 上，
∴ ，
解得 （舍去）， ，
∴ ；
② 在 下方作 且 ，连接 ， ，如图 2所示：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 当 ， ， 三点共线时， 最小，最小为 ，
过 作 ，垂足为 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
， ，
，
∴
，
即 的最小值为 ．
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