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选用合理参数解直线与圆锥曲线综合题
直线与圆锥曲线综合题一般通过直线方程与圆锥曲线方程的联立得到一个关于 或
的方程 ， 利用判别式和根与系数的关系求解 ， 但是利用向量或者三角函数有时也很简单 ， 其
中利用向量已经成为近年的考查热点 ， 我们首先通过一个题目的三种解法了解三种方法一般
过程 .
引例： 已知椭圆 上一动点 关于 轴的对称点为 ，点 的坐标为
，直线 交椭圆 于点 ，求证：直线 经过定点，并求定点的坐标 .
一、三种解法：
解法一（设 法）： 设 ，则 ，设 ，显然直线 有斜率 ，
设直线 的方程为 ，代入 并整理得：
.由题意必有 ，
于是由根与系数关系得： ，
直线 方程为 ，当 ，
令 有 ，
把 代入整理得：
，再将
代入上式化简得 .所以直线 过定点 .
当 时， ，直线 即 轴，也过定点 .
综上直线 过定点 .
xy2:143xyC??QxPD(4,0)PDFFk
1(,)xy1(,)xy?2(,)xyPP4?2:3C??22(34)610kxk???0??2212164,33kkxx????QF212()y??210yx?0y?
21()xy?12(4),(4)kxk?218??22121364,3kkxx?????QF(,0)210yx?210yx(1,0)QF(,)
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解法二（设 法）： 设 ，则 ，设 ，直线 与 轴交点为
，
则 ， ，
设 ， （由图知 ） ，
则有 ，即
又 ， 在 上，
所以 ，
得： ，
，注意到 ，
上式化简为 ，即 ，
由 知 ，于是 即 ，
这样我们有 ，
得 ，
即 ，注意到 ，所以 .
即直线 过定点 .
解法三（设 法）： 设
设直线 与 轴交点为 ，又 ，
?1(,)Pxy1(,)Qxy?2(,)FxyQFx(,0)Mm12(4,)(4,)DxyFxy???????112(,)(,)Mxmyxy???????P?Q????1212()xym???????12124()3()xym????????
1(,)Pxy2(,)F2:43xyC??22241(5)63xy?????????2(5)6???2222(4)(1x??????21(4)((1)x??
2????2530x???(),4?(3)1m?2147(8)5309xxm???????(7)8(9))()?10????1???mQF(,)?2cos,3in),(2cos,3in),(2cos,3in),PQF????x(0M4D
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显然 所在直线有斜率，
于是 ，即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
显然 ，否则 重合，于是 ，
由 三点共线得：
，于是当 时，
，
即直线 过定点 .
当 时， ，直线 即 轴，也过定点 .
综上直线 过定点 .
二、三种解法的比较：
仔细分析题意，可以发现，题目的条件有三个点在曲线上（考虑到 的对称，实
际上可以看作只有两个点在曲线上 ） ，有两个三点共线，现在把三种解法中对于点在曲线上
和三点共线的转化作一次比较 ， 我们希望从这个比较中看到它们的优点与缺点 ， 并进一步研
究面对具体问题应该如何选择简单的方法，请看下表：
三个点
在
的转化
三点共线
与 三点共线的转
化
方法比较
,PFD3sin03sin02co42co4????sinsi2co4c????ii(i)sn()2sncos2???????icoin???sn02?,PFcos2cs????,QFM3sin03in02cm???sinsi2cocm????si???(siosin)??2incos2cos1
s????????QF(1,0)sin????21y?QFx(1,0)(,) ,PQ,PQF
2:143xyC??,PFDQM
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设
法
点的横坐标转化为方程的根 ，
利用根与系数关系可得
与 的关系，化简目标十分
明确，但是注意没有斜率和
斜率为零的情况，这是解决
直线与圆锥曲线的一般方法 .
设
法
利用 可以消去
得 与 的关系 ， 化简的
目标需要仔细分析，明确消
去哪个未知数，但是由于化
简使用了平方差公式，使得
计算比较简单，而且避开了
有关斜率的讨论，这是向量
法的优越性 .
设
法
的关系直接化为
的关系 ， 利用三角恒等变
换寻求 的更加简明的关
系，直接求得 的值，但容
易忽视讨论，三角恒等变形
也是一个难点 .
三、在一个具体的问题中，如何选用这三种方法呢？ 下面结合具体的例子谈谈一般规律 ：
1、 当题目条件与结论涉及交点个数 ， 长度 ， 倾斜角与斜率等问题时 ， 一般选用设 法
这个一般方法：
例题 1： 过抛物线 的焦点 作弦 ， 且 ， 直线 与椭圆
交与两个不同的点，求直线 倾斜角 的取值范围 .
解： 由已知得 ，设直线 的方程为 .
由 得： .
显然 ， ，
所以 ，解得 .
k2(4),1.3yx???????1221(4),().ykx??????? 12,xk?212,43.xy??????12124(),,.xym????????12y??12,y,x?(2cos,3in),,i.PQF???3sin0si0,2co4c4.ssm????????
12x,y?,?mk
24yx?FAB|8?AB231xy???(,0)F(1)ykx??2(14ykx?????222()0kxx?0?222[()]416()k?????221| 8|kAB???2?
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由 得： ，显然 ，
，解得 .
所以 ，即 ，又 ，所以 .
2、当题目条件与结论涉诸点共线或者线段之比时，一般选用设 法：
例题 2： 已知椭圆 ，过右焦点 作直线 交椭圆 于 两点，交
轴于 点， 在 之间，求 的值 .
解 ： 设 ，则 ， ，其中
为坐标原点，设 ，由于 ，所以 ， ，
把 代入椭圆 得： ，去分母整理
得 ： ， 同 理 可 得 ， 所 以 是 方 程
的两个根，所以
结合图形可知， ，所以
3、遇到求曲线上的点与直线的距离的最值问题、范围问题时，选用设 法比较简单：
例题 3： 求椭圆 上的点与直线 距离的最大值 .
解： 设 椭圆 上任意一点，
到直线 的距离是 ，
当 时， ，
2(1)3ykx??????22(3)40kxk???23)0k??42226()8()???2?1|k??1|tan|3???[0,??2[,)(,]43????2:15xCy??FlC,AByM,BF,A||MBA?
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所以椭圆 上的点到椭圆 距离的最大值为 .
对于同一个题目，不同的方法计算量可能相差很大，因此要注意选用合理的方法 .
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