高中数学知识点灵活运用130讲之126-高中数学考前知识回顾精编

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2023-12-09 | 阅：转： | 分享

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若函数 y ? x ? 2 ax ? 2 的单调增区间为 2, ? ? ，则 a 的范围是什么？答： a ? 2
? ?
高中数学考前回归教材资料
2
若函数 y ? x ? 2 ax ? 2 在 x ? 2, ? ? 上单调递增，则 a 的范围是什么？答： a ? 2
? ?
亲爱的高 2 0 1 6 届 1 4 班同学，当您即将迈向梦想节时，对于以下问题，您是否有清醒的认识？肖老师最后一课，务必阅读！
两题结果为什么不一样呢？
1 ．集合中的元素具有无序性和互异性 . 如集合 a,2 隐含条件 a ? 2 ，集合 x | ( x ?1)( x ? a) ? 0 不能直接化成 1, a .
? ? ? ? ? ?
1 1 . 函数单调性的证明方法是什么？（定义法、导数法）判定和证明是两回事呀！判断方法：图象法、复合函数法等 . 还记得函数单调性与奇偶性逆用的例子吗？（ ⑴ 比较大
3 2
2 . 研究集合问题，一定要抓住集合中的代表元素，如 : { x| y ?lg x } 与 { y| y ?lg x } 及 {( x, y)| y ?lg x } 三集合并不表示同一集合；再如： “ 设 A = { 直线 } ， B = { 圆 } ，问 A ∩
小； ⑵ 解不等式； ⑶ 求参数的范围 . ）如已知 f ( x) ? 5sin x ? x ，， f (1 ? a) ? f (1 ? a ) ? 0 ，求 a 的范围 . 答： (1, 2)
x ?( ?1,1)
B 中元素有几个？能回答是一个，两个或没有吗？ ” 与 “ A = { ( x , y ) | x + 2 y = 3 } ,
求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号 “ ∪ ” 和 “ 或 ” ；单调区间是区间不能用集合或不等式表示 .
2 2
B = { ( x , y ) | x + y = 2 } , A ∩ B 中元素有几个？ ” 有无区别？
1 2 . 判断函数的奇偶性时，注意到定义域的特点了吗？（定义域关于原点对称这个函数具有奇偶性的必要非充分条件） .
2
过关题：设集合 M ? { x | y ? x ? 3} ，集合 N ＝ y | y ? x ?1, x ? M ，则 M ? N ? _ _ _ （答：[1, ? ?) ）
? ? 1
2
过关题： f ( x ) = a x + b x + 3 a + b 是偶函数，其定义域为 [ a – 1 , 2 a ] ，则 a = , b = . 答：
;0
3
3 . 进行集合的交、并、补运算时，不要忘了集合本身和空集的特殊情况，不要忘了借助于数轴和韦恩图进行求解；若 A ? B = ? ，则说明集合 A 和集合 B 没公共元素，你注
1 3 . 常见函数的图象作法你掌握了吗？哪三种图象变换法？（平移、对称、伸缩变换）
n n n
2
意到两种极端情况了吗？ A ? ? 或 B ? ? ；对于含有 n 个元素的有限集合 M ，其子集、真子集、和非空真子集的个数分别是 2 、 2 ?1 和 2 ? 2 ，你知道吗？
函数的图象不可能关于 x 轴对称，（为什么？）如： y = 4 x 是函数吗？
你会用补集法求解吗？
函数图象与 x 轴的垂线至多一个公共点，但与 y 轴的垂线的公共点可能没有，也可能任意个；
函数图象一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图象；如圆；
A 是 B 的子集 ? A ∪ B = B ? A ∩ B = A ? A ? B ，你可要注意 A ? ? 的情况 .
图象关于 y 轴对称的函数是偶函数，图象关于原点对称的函数是奇函数 . 指数函数与对数函数关于直线 y ? x 对称，你知道吗？
1
过关题：函数 y = 2 f ( x – 1 ) 的图象可以由函数 y = f ( x ) 的图象经过怎样的变换得到？
过关题：已知集合 A = { - 1 , 2 } , B = { x | m x + 1 = 0 } ，若 A ∩ B = B ，则所有实数 m 组成的集合为 . 答： m ? {0,1, ? }
过关题：已知函数 y = f ( x ) ( a ≤ x ≤ b ) ，则集合 { ( x , y ) | y = f ( x ) , a ≤ x ≤ b } ∩ { ( x , y ) | x = 0 } 中，含有元素的个数为（）
2
A . 0 或 1 B . 0 C . 1 D . 无数个
3
2 2
已知函数 f ( x) ? 4 x ? 2( p ? 2) x ? 2 p ? p ?1 在区间[ ?1,1] 上至少存在一个实数 c ，使 f ( c) ? 0 ，求实数 p 的取值范围 . 答： ( ?3, ) ）答： A
2
1 4 . 由函数 y ? f ( x) 图象怎么得到函数 y ? f ( ? x) 的图象？答：以 y 轴为对称轴翻折
4 . （ 1 ）求不等式（方程）的解集，或求定义域时，你按要求写成集合或区间的形式了吗？（ 2 ）你会求分式函数的对称中心吗？
由函数 y ? f ( x) 图象怎么得到函数 y ? ? f ( x) 的图象？答：以 x 轴为对称轴翻折
a ? x
过关题：已知函数 f ( x) ? 的对称中心是 ( 3 , - 1 ) ，则不等式 f ( x ) > 0 的解集是 .
由函数图象怎么得到函数的图象？答：以为对称中心翻折
y ? f ( x) y ? ? f ( ? x) (0,0)
x ? a ?1
由函数 y ? f ( x) 图象怎么得到函数 y ? f (| x |) 的图象？答：去左翻右
答：{ x | 2 ? x ? 3}
5 . 求一个函数的解析式，你注明了该函数的定义域了吗？
⑴ 曲线 C : f ( x, y) ? 0 关于 x 轴的对称的曲线 C 是： . 答： f ( x, ? y) ? 0
1
6 . 四种命题是指原命题、逆命题、否命题和逆否命题，它们之间有哪三种关系？只有互为逆否的命题同真假！复合命题的真值表你记住了吗？命题的否定和否命题不一样，
差别在哪呢？充分条件、必要条件和充要条件的概念记住了吗？如何判断？反证法证题的三部曲你还记得吗？假设、推矛、得果 . ⑵ 曲线 C : f ( x, y) ? 0 关于 y 轴的对称的曲线 C 是： . 答： f ( ? x, y) ? 0
2
原命题 : p ? q ; 逆命题 : q ? p ; 否命题 : ? p ? ? q ；逆否命题 : ? q ? ? p ；互为逆否的两个命题是等价的 .
⑶ 曲线 C : f ( x, y) ? 0 关于直线 y ? x 的对称的曲线 C 是： . 答： f ( y, x) ? 0
3
如： “ sin ? ? sin ? ” 是 “ ? ? ? ” 的条件 . （答：充分非必要条件）
⑷ 曲线 C : f ( x, y) ? 0 关于直线 y ? ? x 对称的曲线 C 是： . 答： f ( ? y, ? x) ? 0
4
若 p ? q 且 q ? ? p ; 则 p 是 q 的充分非必要条件（或 q 是 p 的必要非充分条件） ;
⑸ 曲线 C : f ( x, y) ? 0 关于直线 y ? x ? m 的对称的曲线 C 是： . 答： f ( y ? m, x ? m) ? 0
注意命题 p ? q 的否定与它的否命题的区别 :
5
命题 p ? q 的否定是 p ? ? q ；否命题是 ? p ? ? q
⑹ 曲线 C : f ( x, y) ? 0 关于直线 y ? ? x ? m 的对称的曲线 C 是： . 答： f ( m ? y, m ? x) ? 0
6
命题 “ p 或 q ” 的否定是 “ ┐ P 且 ┐ Q ” ， “ p 且 q ” 的否定是 “ ┐ P 或 ┐ Q ”
⑺ 曲线 C : f ( x, y) ? 0 关于直线 x ? m 对称的曲线 C 是： . 答： f (2 m ? x, y) ? 0
7
注意：如 “ a, b ? Z ，若 a 和 b 都是偶数，则 a ? b 是偶数 ” 的否命题是 “ 若 a 和 b 不都是偶数，则 a ? b 是奇数 ” ；否定是 “ 若 a 和 b 都是偶数，则 a ? b
是奇数 ” ⑻ 曲线 C : f ( x, y) ? 0 关于直线 y ? m 对称的曲线 C 是： . 答： f ( x,2 m ? y) ? 0
8
7 . 绝对值的几何意义是什么？不等式| a x ? b | ? c ，| a x ? b | ? c ( c ? 0) 的解法掌握了吗？
⑼ 曲线 C : f ( x, y) ? 0 关于原点的对称的曲线 C 是： . 答： f ( ? x, ? y) ? 0
9
过关题： | x | + | x – 1 | < a 的解集非空，则 a 的取值范围是，
x
| x | – | x – 1 | < a 恒成立，则 a 的取值范围是 . 有解，则 a 的取值范围是 .
过关题： f ( x ) = l o g x 关于直线 y ? x 的对称函数（反函数） . 答： y ? 2
2
答： a ? 1 ； a ? 1 ； a ? ?1
k
2
1 5 . 函数 y ? x ? ( k ? 0) 的图象及单调区间掌握了吗？如何利用它求函数的最值？与利用基本不等式求最值的联系是什么？若 k ＜ 0 呢？你知道函数
8 . 如何利用二次函数求最值？注意对 x 项的系数进行讨论了吗？
x
2
若 ( a ? 2) x ? 2( a ? 2) x ?1 ? 0 恒成立，你对 a ? 2 = 0 的情况进行讨论了吗？
b b b b
2
的单调区间吗？（该函数在 ( ? ?, ? ] 或[ , ? ?) 上单调递增；在 (0, ] 或[ ? ,0) 上单调递减）这可是一个应用广泛
若改为二次不等式 ( a ? 2) x ? 2( a ? 2) x ?1 ? 0 恒成立，情况又怎么样呢？
a a a a
9 . （ 1 ）二次函数的三种形式：一般式、交点式、和顶点式，你了解各自的特点吗？
的函数！
（ 2 ）二次函数与二次方程及一元二次不等式之间的关系你清楚吗？你能相互转化吗？（ 3 ）方程有解问题，你会求解吗？处理的方法有几种？
求函数的最值，一般要指出取得最值时相应的自变量的值 .
1 1
1 6 . ( 1 ) 切记：研究函数性质注意一定在该函数的定义域内进行！一般是先求定义域，后化简，再研究性质 .
2
过关题：不等式 a x + b x + 2 > 0 的解集为{ x | ? ? x ? } ，则 a + b = .
2
2 3
过关题： y ? log ? x ? 2 x 的单调递增区间是 _ _ _ _ _ _ _ _ ( 答：（ 1 , 2 ） ) .
? ?
1
答： ?14 2
2 2 2
过关题：方程 2 s i n x – s i n x + a – 1 = 0 有实数解，则 a 的取值范围是 . 已知函数 f ( x ) = l o g x + 2 , x ∈ [ 1 , 9 ] ，则函数 g ( x ) = [ f ( x ) ] + f ( x ) 的最大值为 . 答： 1 3
3
求解中你注意到函数 g ( x ) 的定义域吗？
9
( 2 ) 抽象函数在填空题中，你会用特殊函数去验证吗？（即找函数原型）
答：[ ?2, ]
8
T
2 2 2
过关题 1 2 ：已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为 T ，则 f ( ? ) ? _ _ （答： 0 ）
特别提醒：二次方程 a x ? b x ? c ? 0 的两根即为不等式 a x ? b x ? c ? 0 ( ? 0) 解集的端点值，也是二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象与 x 轴的交
2
点的横坐标 .
几类常见的抽象函数：
2
对二次函数 y ? ax ? bx ? c ，你了解系数对图象开口方向、在轴上的截距、对称轴等的影响吗？ ① 正比例函数型： f ( x) ? k x( k ? 0) - - - - - - - - - - - - - - - f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ；
a, b, c y
2 2 2
x f ( x)
对函数 y ? lg( x ? 2 ax ?1) 若定义域为 R ，则 x ? 2 a x ?1 的判别式小于零；若值域为 R ，则 x ? 2 a x ?1 的判别式大于或等于零，你了解其道理吗？
2
② 幂函数型： f ( x) ? x - - - - - - - - - - - - - - f ( x y) ? f ( x) f ( y) ， f ( ) ? ；
2 2
例如： y = l g ( x + 1 ) 的值域为， y = l g ( x – 1 ) 的值域为，你有点体会吗？
y f ( y)
答：[0, ? ?);( ? ?, ? ?)
f ( x)
x
2 2
③ 指数函数型： f ( x) ? a - - - - - - - - - - f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ， f ( x ? y) ? ；
1 0 求函数的单调区间，你考虑函数的定义域了吗？如求函数 y ?log ( x ?2 x ?3) 的单调增区间？再如已知函数 y ? log ( x ?2 a x ?1) 在区间[2,3] 上单调减，你
2 a
f ( y)
3
x
会求 a 的范围吗？答： 0 ? a ?
④ 对数函数型： f ( x) ? log x - - - f ( x y) ? f ( x) ? f ( y) ， f ( ) ? f ( x) ? f ( y) ；
a
4
y
- 1 -f ( x) ? f ( y) 3 4 3
2
（答：）
⑤ 三角函数型： f ( x) ? tan x - - - - - f ( x ? y) ? . y ? ? 1 ? x ? x( ? x ? 1)
1 ? f ( x) f ( y) 5 5 5
x
?
1 7 ．解对数函数问题时注意到真数与底数的限制条件了吗？指数、对数函数的图象特征与性质明确了吗？对指数函数 y ? a ，底数 a 与 1 的接近程度确定了其图象与直线
（ 3 ）若 x = 是函数 y = a s i n x – b c o s x 的一条对称轴，则函数 y = b s i n x – a c o s x 的一条对称轴是
log N
6
a
接近程度；对数函数呢？你还记得对数恒等式（）和换底公式吗？
y ? 1 y ? log x a ? N
a
? ? ?
A . B . C . D . π （）答： B
n
n
知道： log N ? log N 吗？
6 3 2
m
a
a
m
| ? |
m m
? 2 1 . 会用五点法画 y ? Asin( ? x ? ?) 的草图吗？哪五点？会根据图象求参数 A 、 ? 、 ? 的值吗？什么是振幅、初相、相位、频率？答： A, ?, w x ? ?,
n m 0
1
n n
a ? a
指数式、对数式：， a ? ， a ? 1 ， log 1 ? 0 ， log a ?1 ， lg 2 ? lg 5 ? 1 ， log x ? ln x ， 2 ?
m a a e
n 2 2 . 同角三角函数的三个基本关系，你记住了吗？三角函数诱导公式的本质是： “ 奇变偶不变，符号看象限 ”
a
b log N 5 ?
? ?
a
a ? N ? log N ? b( a ? 0, a ? 1, N ? 0) ， a ? N .
函数的奇偶性是 _ _ _ _ _ _ （答：偶函数）
a y ? s i n ? 2 x
? ?
2
? ?
1 log 8 1
2
2 3 . 正弦定理、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？会用它们解斜三角形吗？如何实现边角互化？（用：面积公式，正弦定理，余弦定理，大角对大边等实现转化），三角形
如 ( ) 的值为 _ _ _ _ _ _ _ _ ( 答： )
2 64 解的个数题型你熟悉吗（一解、两解、无解）？
2 4 . 你对三角变换中的几种常见变换清楚吗？
1 8 . 你还记得什么叫终边相同的角？若角 ? 与 ? 的终边相同，则 ? ? ? ? 2 k ? ,( k ? Z )
（ 1 ）角的变换 : 和差、倍角公式、异角化同角、单复角互化；（ 2 ）名的变换：见切化弦；（ 3 ）次的变换：降幂公式；
若角 ? 与的终边共线，则：
? ? ? ? ? k ? ,( k ? Z )
? ?
2 2
（ 4 ）形的变换：通分、去根式、 1 的代换1 ? sin ? ? cos ? =tan ?sin ?cos0 ）等，这些统称为 1 的代换 .
若角 ? 与 ? 的终边关于 x 轴对称，则： ? ? ? ? ? 2 k ? ,( k ? Z)
4 2
2 5 . 在已知三角函数中求一个角时，你（ 1 ）注意考虑两方面了吗？（先判定角的范围，再求出某一个三角函数值）（ 2 ）注意考虑到函数的单调性吗？
若角 ? 与 ? 的终边关于 y 轴对称，则： ? ? ? ? ? ? 2 k ? ,( k ? Z )
1 ? ? 3
若角 ? 与 ? 的终边关于原点对称，则： ? ? ? ? (2 k ?1) ? ,( k ? Z )
过关题： sin ? cos ? ? , 且 ? ? ? ，则 c o s ? - s i n ? 的值为 . 答： ?
? 8 4 2 2
?
若角与 ? 的终边关于直线 y ? x 对称，则： ? ? ? ? ? 2 k ? ,( k ? Z)
2 5 10 ?
过关题 : sin ? = ,sin ? ? , 且 ? , ? 为锐角 , 则 ? ? ? = . 答：
各象限三角函数值的符号：一全正，二正弦，三两切，四余弦；角的正弦、余弦、正切值还记得吗？
15?,75 ?
5 10 4
2 6 . 形如 y ? Asin( ? x ? ?) + b ， y ? Atan( ? x ? ?) 的最小正周期会求吗？有关周期函数的结论还记得多少？周期函数对定义域有什么要求吗？求三角函数周期的几
?
3
2
?cos ? ?
种方法你记得吗？怎么证明函数为周期函数？
1 9 . 什么叫正弦线、余弦线、正切线？借助于三角函数线解三角不等式或不等式组的步骤还清楚吗？如：；由三角函数线，我们很容易得
sin x ?
? 2
2 7 、 y ? Asin( ? x ? ?) + b 与 y = s i n x 变换关系 : φ 正左移负右移； b 正上移负下移 ;
2
?
tan ? ?1
?
1
横坐标伸缩到原来的倍
左或右平移| ?|
?
到函数 y ? sin x ， y ? cos x 和 y ? tan x 的单调区间； y ? sin x ? ? ? ? ? ? y ? sin( x ? ?) ? ? ? ? ? ? ? ? ? y ? sin( ? x ? ?)
三角函数（正弦、余弦、正切）图象的草图能迅速画出吗？能写出它们的单调区间、对
1 ?
横坐标伸缩到原来的倍左或右平移 | |
称中心、对称轴及其取得最值时的 x 值的集合吗？（别忘了 k ? Z ） ? ?
y ? sin x ? ? ? ? ? ? ? ? ? y ? sin ? x ? ? ? ? ? ? y ? sin( ? x ? ?)
? ? ?
纵坐标伸缩到原来的 A 倍上或下平移| b|
函数 y = 2 s i n ( – 2 x ) 的单调递增区间是[ ? ? k ? , ? k ? ]( k ? Z) 吗？你知道错误的原因吗？
? ? ? ? ? ? ? ? ? y ? Asin( ? x ? ?) ? ? ? ? ? ? y ? Asin( ? x ? ?) ? b
6 6 3
1 1 1
k ?
2 8 . 在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖出正余弦的有界性了吗？过关题：已知 sin ? cos ? ? ，求sin ? cos ? 的变化范围 . 答：[ ? , ]
y ? tan x 图象的对称中心是点 ( ,0) ，而不是点 ( k ? ,0) ( k ? Z ) 你可不能搞错了！
2 2 2
2
提示：整体换元，令 sin ? cos ? = t ，然后与 sin ? cos ? 相加、相减，求交集 .
?
你会用单位圆比较 s i n x 与 c o s x 的大小吗？当时， x , s i n x , t a n x 的大小关系如何？
x ?(0, )
5
2
2 9 . 请记住 ( s i n ? ? c o s ? ) 与sin ? cos ? 之间的关系 . 过关题：求函数 y = s i n 2 x + s i n x + c o s x 的值域 . 答：[ ? , 2 ?1]
4
过关题 : 函数 y ? tan x 与函数图象在 x ∈ [ - 2 π , 2 π ] 上的交点的个数有个？答：5
y ? sin x
? ?
2 2
3 0 常见角的范围 ① 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次是 (0, ] ，[0, ] ，[0, ? ] ；
2 0 ．三角函数中，两角的和、差公式及其逆用、变形用都掌握了吗？倍角公式、降次公式呢？ a sin x ? b cos x ? a ? b sin( x ? ?) 中角是如何
? 、 ? ?
2 2
? a
?
cos ? ?
? ② 直线的倾斜角、与的夹角的取值范围依次是[0, ? ) ， [0, ]
2 2
b
a ? b
?
2
确定的？（可由确定，也可由tan ? ? 及 a, b 的符号来确定）公式的作用太多了，有此体会吗？
?
3 1 以下几个结论你记住了吗？
b a
?
sin ? ?
⑴ 如果函数 f ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称，那么函数 f ( x) 满足关系式为，
2 2
?
a ? b
?
且函数 f ( x) 若为奇函数，则函数 f ( x) 的周期为 .
1 ?cos2 ?
1 ? cos2 ? ? 1 ?cos ? sin ? 1 ?cos ? ? ? ? ?
2 2
2
重要公式：；．； ; 等，你还记住哪些变形
sin ? ? cos ? ? tan ? ? ? ?
1 ? sin ? ? (cos ? sin ) ? cos ? sin
答： f ( a ? x) ? f ( a ? x),4 | a |
2 2 2 1 ?cos ? 1 ?cos ? sin ?
2 2 2 2
⑵ 如果函数 f ( x) 满足关于点（ a , b ）中心对称，那么函数 f ( x) 满足关系式为；
公式？特殊角三角函数值你记清楚了吗？
5 ? 5 ?
2 答： f ( a ? x) ? f ( a ? x) ? 2 b
如：函数 f ( x ) ? 5 s i n x c o s x ? 5 3 c o s x ? 3 ( x ? R ) 的单调递增区间为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （答： [ k ? ? , k ? ? ] ( k ? Z ) ）
2 12 12
⑶ 如果函数 f ( x) 的图象既关于直线 x ? a 成轴对称，又关于点 ( b, c) 成中心对称，
巧变角：如，，，
? ? ( ? ? ?) ? ? ? ( ? ? ?) ? ? 2 ? ? ( ? ? ?) ? ( ? ? ?) 2 ? ? ( ? ? ?) ?( ? ? ?)
那么 f ( x) 是周期函数，周期是 T = 4 | a ? b | .
? ? ? ? ? ? ?
a ? b
?
? ? ? ? 2 ? ， ? ? ? ? ? ? 等），
? ? （ 4 ） f ( x ? a) ? f ( b ? x) ，则 f ( x) 的图象关于 x ? 对称 .
? ?
2 2 2 2
2
2 ? 1 ? 3
过关题：已知函数 f ( x ) 是偶函数， g ( x ) 是奇函数，且满足 g ( x ) = f ( x – 1 ) ，则 f ( 2 0 0 6 ) + f ( 2 0 0 7 ) + f ( 2 0 0 8 ) = . 答： 0
如（ 1 ）已知，，那么的值是 _ _ _ _ _ （答：）；
tan( ? ? ? ) ? tan( ? ? ) ? tan( ? ? )
5 4 4 4 22 1
3 2 . 你还记得弧度制下的弧长公式和扇形面积公式吗？ l ?| ? | r, S ? l r 若 ? 是角度，公式又是什么形式呢？
3
2
（ 2 ）已知 ?, ? 为锐角， sin ? ? x,cos ? ? y ， cos( ? ? ? ) ? ? ，则 y 与 x 的函数关系为 _ _ _ _ _ _
2
5
过关题 : 已知扇形 A O B 的周长是 6 c m ，该扇形的中心角是 1 弧度，求该扇形的面积 . （答： 2 cm ），
- 2 -
3 2
x ? 2cos ?
? ? 4 ? 如 : 解不等式 ( x ? 3)( x ?1) ( x ? 2) ? 0 . （答：{ x | x ?1 或 x ? ?3 或 x ? ?2} ）；
曲线（ ? 为参数 , 且 ? ? ? ? ? ? ）的长度为 . 答：
?
f ( x)
y ? 2sin ? 3 3
?
4 2 . 解分式不等式 ? a( a ? 0) 应注意什么问题？（在不能肯定分母正负的情况下，
g( x)
3 3 . 三角形中的三角函数的几个结论你还记得吗？
一般不能去分母而是移项通分）
A B ? C
4 3 . 解含参数不等式怎样讨论？注意解完之后要写上： “ 综上，原不等式的解集是 … ”
⑴ 内角和定理：三角形三内角和为 ? , sin A ?sin( B ? C) ,cos A ? ?cos( B ? C) ,sin ?cos( )
2
2 2
ax
解不等式 ? x( a ? R) （综上，当 a ? 0 时，原不等式的解集是{ x | x ? 0} ；
a b c
ax ?1
⑵ 正弦定理： ? ? ? 2 R （ R 为三角形外接圆的半径） ,
sin A sin B sin C
1 1
当 a ? 0 时，原不等式的解集是{ x | x ? 或 x ? 0} ；当 a ? 0 时，原不等式的解集是{ x | ? x ? 0 } ）
注意：已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解
a a
2 2 2 2 2
b ? c ? a ( b ? c) ? a
2 2 2
⑶ 余弦定理： a ? b ? c ? 2 b c cos A ， cos A ? ? ?1 等，常选用余弦定理鉴定三角形的类型 .
ax ?1
2 bc 2 bc 过关题：解关于 x 的不等式： ?1 ，（ | a | ≠ 1 ）答： a ?1,{ x | x ? 0 x ? ?1} a =1, ? 0 ? a ?1,{ x | ?1 ? x ? 0}
x ?1
1 1 a b c
2 S
? A B C
⑷ 面积公式： S ? a h ? a bsin C ? ，内切圆半径 r = 4 4 . 含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？ ( 一般是根据定义分类讨论、平方转化或换元转化）
a
a ? b ? c
2 2 4 R 4 5 . 解对数不等式应注意什么问题？（化成同底，利用单调性，底数和真数都大于零）
（ 5 ）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，大角对大边，大边对大角，你注意到了吗？sin A ?sin B ? A ? B ?cos A ?cos B ，你会证明吗？ 1
2
过关题：解关于 x 的不等式： . 答： (2,3)
log ( x ? x ? 2) ? log x ?1 ?
1 1
（ 6 ）已知 a, b, A 时三角形解的个数的判定：
2
4 2
4 6 . 会用不等式|| a | ? | b || ?| a ? b | ?| a | ? | b | 证一些简单问题吗？取等号需满足什么条件的？
C
其中 h=bsinA, ⑴A 为锐角时： ①a4 7 . 不等式恒成立问题有哪几种处理方式？（特别注意一次函数型和二次函数型，还有恒成立理论）
b
②a=h 时，一解（直角）； ③ha
过关题：对任意的 a ∈ [ - 1 , 1 ] ，函数 f ( x ) = x + ( a – 4 ) x + 4 – 2 a 的值总大于 0 ，则 x 的取值范围是 . 答： ( ? ?,1) ? (3, ? ?)
?
一钝角）； ④a b 时，一解（一锐角）.
h
2 2
过关题：当 P ( m , n ) 为圆 x + ( y – 1 ) = 1 上任意一点时，不等式 m + n + c ≥ 0 恒成立，则 c 的取值范围是 . 答：[ 2 ?1, ? ?)
?
⑵A 为直角或钝角时： ①a b 时，无解； ②a>b 时，
4 8 . 等差、等比数列的重要性质你记得吗？证明方法是什么？
A
2
一解（锐角）.
（等差数列中的重要性质：若，则；等差数列的通项公式： a ? k n ? b 型前 n 项和： S ? A n ? B n 型
n n
（ 7 ）三角形为锐角三角形满足什么条件？
3 4 ．常见的三角换元法：
等比数列中的重要性质：若，则
2 2 2
已知 x ? y ? a ，可设 x ? a cos ? , y ? a sin ? ；
2 2
用等比数列求前 n 项和时一定要注意公比 q 是否为 1 ？（时，；时，）
已知 x ? y ? 1 ，可设 x ? r cos ? , y ? r sin ? ( 0 ? r ? 1 ) ；
2 2
x y 2 3 n
过关题：求和： S ? x ? 2 x ? 3 x ? ? ? nx 要注意什么？
已知 ? ? 1 ，可设 x ? a cos ? , y ? bsin ? ； n
2 2
a b
4 9 . 等差数列、等比数列的重要性质： a ? a ? d( a 为常数) 的数列有什么性质？若{ a } 为等差数列，则{ a } ， { k a ? b} 也是等差数列，它们的公差
n ?1 n ?1 n 2 n ?1 n
3 5 . 重要不等式的指哪几个不等式？
是什么？
2 2
a ? b a ? b 2
5 0 . 数列通项公式的常见求法：
若，（ 1 ） ? ? ab ? （当且仅当 a ? b 时取等号）；
a, b ? 0
2 2 1 1
? 观察法（通过观察数列前几项与项数之间的关系归纳出第 n 项 a 与项数 n 之间的关系）
n
a b
S n ?1
?
b b ? m 1
2 2 2
公式法（利用等差、等比数列的通项公式或利用 a ? 直接写出所求数列的通项公式）
（ 2 ） a 、 b 、 c ? R ， a ? b ? c ? a b ? b c ? c a （当且仅当 a ? b ? c 时，取等号）；（ 3 ）若 a ? b ? 0, m ? 0 ，则 ? （糖水的浓度问题） .
?
n
S ? S n ? 2
a a ? m
? n n ?1
1 1 1 1 1 1
a
n ?1
3 6 . 倒数法则还记得吗？（指 a b ? 0, a ? b ? ? ，常用如下形式： a ? b ?0 ?0 ? ? ， a ? b ?0 ?0 ? ? ）用此求值域的注意点是什么？
叠加法（适用于递推关系为 a ? a ? f ( n) 型）连乘法（适用于递推关系为 ? f ( n) 型）
n ?1 n
a b a b a b
a
n
1
1
x ?1
构造新数列法（如递推关系 a ? pa ? q; a ? pa ? b ( b 为等差数列或等比数列) 型）
如求函数 y ? 的值域，求函数 y ? 2 的值域呢？ n ?1 n n ?1 n n n
x
2 ?1 5 1 . 数列求和的常用方法：
2 公式法： ⑴ 等差数列的求和公式（两种形式）， ⑵ 等比数列的求和公式
( a ? b)
2 2
3 7 . 不等式证明的基本方法都掌握了吗？（比较法、分析法、综合法及放缩法）（ a ? b ? ? 2 | a b | ）等号成立的条件是什么？基本变形： ① n( n ?1)
2
⑶1 ?2 ? ? ? n ? ， 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2 n ?1) ? n ，
2
2
a ? b
2
1
a ? b ? ； ( ) ? ；
2
2 2 2 2
1 ?3 ?5 ? ? ?(2 n ?1) ? ( n ?1) ；1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n( n ?1)(2 n ?1)
2
6
3 8 利用重要不等式求函数的最值时，是否注意到一正，二定，三相等？
n
分组求和法：在直接运用公式求和有困难时常，将 “ 和式 ” 中的 “ 同类项 ” 先合并在一起，再运用公式法求和（如：通项中含 ( - 1 ) 因式，周期数列等等）
9 1
x y
如： ① 函数 y ? 4 x ? ( x ? ) 的最小值 . （答： 8 ） ② 若若 x ? 2 y ? 1 ，则 2 ? 4 的最小值是 _ _ _ _ _ _ （答： 2 2 ）；
倒序相加法：在数列求和中，如果和式到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，那么常可考虑选用倒序相加法，（等差数列求和公式）
2 ? 4 x 2
错位相减法：（ “ 差比数列 ” 的求和）
裂项相消法：如果数列的通项可 “ 分裂成两项差 ” 的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和，常用裂项形式有：
1 1
③ 正数 x, y 满足 x ? 2 y ? 1 ，则 ? 的最小值为 _ _ _ _ _ _ （答： 3 ? 2 2 ）；
1 1 1 1 1 1 1
x y
⑴ ? ? ⑵ ? ( ? )
3 9 . 二元函数求最值的三种方法掌握了吗？方法一：转化为一元问题，用消元或换元的方法；方法二：利用基本不等式；方法三：数形结合法，距离型、截距型、斜率型）
n( n ?1) n n ?1 n( n ? k) k n n ? k
过关题：若正数 a , b 满足 a b = a + b + 3 , 则 a + b 的取值范围是 . （答： 6, ? ? ）
? ?
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
⑶ ? ? ( ? ) ? ? ? ? ? ?
2 2 2
2 k k ?1 2 k ?1 k ?1 k k ?1 ( k ?1) k k ( k ?1) k k ?1 k
4 0 不等式的大小比较，你会用特殊值比较吗？过关题：已知 a > b > 0 ，且 a b = 1 ，设 c ? , P ? log a, N ? log b, M ? log a b ，
c c c
a ? b 1 1 1 1 n 1 1
⑷ ? [ ? ] ⑸ ? ?
则 A . P < M < N B . M < P < N C . N < P < M D . P < N < M ( ) 答： A
n( n ?1)( n ? 2) 2 n( n ?1) ( n ?1)( n ? 2) n ?1 ! n! n ?1 !
? ? ? ?
4 1 不等式解集的规范格式是什么？（一般要写成区间或集合的形式），另外 “ 序轴标根法 ” 解不等式的注意事项是什么？
将不等式整理成一边为零的形式，将非零的那边因式分解，要求每个因式中未知量 x 的最高次数项的系数均为正值，求各因式的零点，画轴，穿线，注意零点的重数，
在写解集时还得考虑解集中是否包含零点 .
- 3 -a// ? ?// ?
? ?
1
? a ? ? ? ? a // b ?
⑹ 2( n ?1 ? n) ? ? 2( n ? n ?1) ⑺ a ? S ? S ( n ? 2)
② 线线平行 : ; ; ;
n n n ?1 a ? ? ? a// b ? ? ? ? a ? a// b
? a // b ? c // b
? ? ? ?
n b ? ? a // c
? ?
? ?
? ? ? ? b ? ? ? ? b
? ?
m ?1 m m m m m ?1
⑻ （理科）
C ? C ? C ? C ? C ? C
n n n ?1 n n ?1 n
a ? ?, b ? ?
?
n n
a ? ? ? // ?
分组法求数列的和：如 a = 2 n + 3 、错位相减法求和：如 a = ( 2 n - 1 ) 2 、 ? ?
n n ?
③ 面面平行 : a ? b ? O ? ? // ? ; ? ? // ? ; ? ? // ?
? ? ?
1 1 1 2 n a ? ? ? // ?
? ?
?
裂项法求和：如求和：1 ? ? ? ? ? ? （答：）、 a // ?, b// ?
?
1 ? 2 1 ? 2 ? 3 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n n ?1
P O ? ?
?
a ? ?
0 1 2 n n ? 0
?
④ 线线垂直 : ; 所成角 9 0 ； ( 三垂线 ) ; 逆定理 ?
倒序相加法求和：如 ① 求证： C ? 3 C ? 5 C ? ? ? (2 n ?1) C ? ( n ?1) ?2 ；（理科） ? a ? b
? a ? ? ? a ? P A
n n n n ?
b ? ?
?
?
2 a ? A O
?
x 1 1 1 7
② 已知 f ( x) ? ，则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ＝ _ _ _ （答：） a ? ?, b ? ? ? ? ?
? ?
2 ?// ? a // b
? ?
? ?
1 ? x 2 3 4 2 ⑤ 线面垂直 : ; ; ;
? a ? ? ? b ? ?
a ? b ? O ? l ? ? ? ? ? ? l ? a ? ? ? ?
? ?
a ? ? a ? ?
求数列 { a } 的最大、最小项的方法（函数思想）： ? ?
n
? ?
l ? a, l ? b a ? ?, a ? l
? ?
? ? 0 ? ? 1
n a ? ? ? a // ? ?
0
a 9 ( n ?1)
? ?
⑥ 面面垂直：二面角 9 0 ; ? ? ? ? ; ? ? ? ?
n ?1
? ?
2
1 a - a = … … ? 0 如 a n = - 2 n + 2 9 n - 3 ? ? ? 1 ( a n > 0 ) 如 a n =
n + 1 n a ? ? a ? ?
? ?
n ? ?
a 10
n
? ?
5 3 . 异面直线所成的角如何求？（异面问题相交化，即转化到同一平面上去求解），范围是什么？
? 0 ? 1
? ?
过关题：在正方体 A B C D – A B C D 中，点 P 在线段 A C 上运动，异面直线 B P 与 A D 所成的角为 θ ，则角 θ 的取值范围是 .
1 1 1 1 1 1 1
S n ?1 ? ?
?
n
1
两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角的平面角的取值范围依次是： (0, ] 、[0, ] 、[0, ? ] .
③ a n = f ( n ) 研究函数 f ( n ) 的增减性如 a n = 求通项常法 : （ 1 ）可利用公式 : a ?
?
n
2
2 2
S ? S n ? 2
n ?156
? n n ?1
( 3 ) 在用向量法求异面直线所成的角、线面角、二面角的平面角时，应注意什么问题？
“ 作、证、算 ” 三个步骤可一个都不能少啊！（理科）
1 1 1 14, n ?1
如：数列{ a } 满足 a ? a ? ? ? a ? 2 n ? 5 ，求 a （答： a ? ）
n ?1
n 1 2 n n n
2 n ?
求空间角 ① 异面直线所成角 ? 的求法：
2 , n ? 2
2 2 2
?
（ 2 ）先猜后证
（ 1 ）范围：；（ 2 ）求法：平移以及补形法、向量法 .
? ?(0, ]
（ 3 ）递推式为 a ＝ a ＋ f ( n ) ( 采用累加法 ) ； a ＝ a × f ( n ) ( 采用累积法 ) ；
2
n ＋1 n n ＋1 n
1
3
如已知数列{ a } 满足 a ? 1 ， a ? a ? ( n ? 2) ，则 a = _ _ _ _ _ _ _ _ （答： a ? n ?1 ? 2 ?1 ）
如（ 1 ）正四棱锥 P ? A B C D 的所有棱长相等， E 是 P C 的中点，那么异面直线 B E 与 P A 所成的角的余弦值等于 _ _ _ _ （答：）；
n 1 n n ?1 n n
n ? 1 ? n 3
（ 2 ）在正方体 A C 1 中， M 是侧棱 D D 1 的中点， O 是底面 A B C D 的中心， P 是棱 A 1 B 1 上的一点，则 O P 与 A M 所成的角的大小为 _ _ _ _ （答： 9 0 ° ）；
n
（ 4 ）构造法形如 a ? k a ? b 、 a ? k a ? b （ k, b 为常数）的递推数列
n n ?1 n n ?1
?
n ?1
② 直线和平面所成的角：（ 1 ）范围[0, ] ；（ 2 ）斜线与平面中所有直线所成角中最小的角 . ：（ 3 ）求法：作垂线找射影或求点线距离（向量法）；
如已知 a ?1, a ? 3 a ? 2 ，求 a （答： a ? 2 ?3 ?1 ）；
1 n n ?1 n n
2
（ 5 ）涉及递推公式的问题，常借助于 “ 迭代法 ” 解决，适当注意以下 2 个公式的合理运用
6
a n ＝（ a n － a n - 1 ） + ( a n - 1 － a n - 2 ) + … … ＋（ a 2－ a 1）＋ a 1 ；
如（理）（ 1 ）在正三棱柱 A B C - A 1 B 1 C 1 中，已知 A B = 1 ， D 在棱 B B 1 上， B D = 1 ，则 A D 与平面 A A 1 C 1 C 所成的角正弦为 _ _ _ _ _ _ （答：）；
a a a
4
n n －1 2
a ＝ ? ? a （ a ? 0 ）
n
1 i
a a a
3
n －1 n －2 1
（ 2 ）正方体 A B C D - A B C D 中， E 、 F 分别是 A B 、 C D 的中点，则棱 A B 与截面 A E C F 所成的角的余弦值是 _ _ _ _ _ _ （答：）；
1 1 1 1 1 1 1 1 1
a
3
n ?1
（ 6 ）倒数法形如 a ? 的递推数列都可以用倒数法求通项 .
n
?
k a ? b 如（ 1 ）正方形 A B C D - A B C D 中，二面角 B - A C - A 的大小为 _ _ _ _ _ _ _ _ （答： 60 ）；
1 1 1 1 1
n ?1
a 1 6
n ?1
如 ① 已知 a ? 1, a ? ，求 a （答： a ? ）；（ 2 ）正四棱柱 A B C D — A 1 B 1 C 1D 1 中对角线 B D 1 ＝ 8 ， B D 1 与侧面 B 1 B C C 1 所成的为 3 0 ° ，则二面角 C 1 — B D 1— B 1 的正弦为 _ _ _ _ _ _ （答：）；
1 n n n
3 a ?1 3 n ? 2 3
n ?1
1
1
（ 3 ）从点 P 出发引三条射线 P A 、 P B 、 P C ，每两条的夹角都是 6 0 ° ，则二面角 B - P A - C 的余弦值是 _ _ _ _ _ _ （答：）；
② 已知数列满足 a = 1 ， a ? a ? a a ，求 a （答： a ? ），
1 n ?1 n n n ?1 n n
2
3
n
5 4 . （ 1 ）有关长方体的性质和结论，你记得吗？
1 1
o o
过关题：平面 ? 、 ? 、 ? 两两互相垂直，直线 l 与平面 ? 、 ? 所成的角分别为 3 0 、 4 5 ，则直线 l 与平面 ? 所成的角为 . 答： 30?
已知函数 f ( x ) = ? 4 ? , 数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 点 P n ( a n , ? ) ( n ∈ N ) 在曲线 y = f ( x ) 上 , 且 a 1 = 1 , a n > 0 . ( 1 ) 求数列 { a n } 的通项公式 ; ( 2 ) 求证 : S
2
（ 2 ）有关正四面体的性质和结论，你记得吗？正方体中有一个正四面体的模型，你知道吗？你能灵活运用吗？侧棱与底面所成的角的余弦值为；侧面与底面所成的
x a
n ?1
二面角的余弦值为；正四面体的内切球半径 r 与外接球的半径 R 之比为，它们与正四面体的高 h 之间的关系分别为、 .
T
2 n T
n 2
?1 n
3 1 1 h 3 h
n > ( n ∈ N ) ; ( 3 ) 若数列 { b n } 的前 n 项和为 T n , 且满足 ? ?16 n ? 8 n ? 3 , 试确定 b 1 的值 , 使得数列 { b n } 是等差数列 .
2 2
答： ; ; ; r ? ; R ?
4 n ?1 ?1 a a
n n ?1
3 3 3 4 4
（ 3 ）正三棱锥、正四棱锥的性质，你记得吗？它们的特征直角三角形，你会应用吗？
1 1 2 2
（ 4 ）求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、等体积法、换点法）
答：（ 1 ） a ? （ 2 ）提示： a ? ? ? （ 3 ） b ?1
n n 1
（ 5 ）求多面体体积的常规方法有哪些？（直接法、等体积法、割补法）
4 n ? 3
4 n ? 3 2 4 n ? 3 4 n ? 3 ? 4 n ?1
5 5 . 球的表面积、柱、锥、球的表面积会求吗？体积公式都记得吗？
S n ?1
?
1
过关题：一个四面体的所有棱长都是 2 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 . 答： 3 ?
由 a ? S ? S ，求数列通项时注意到 n ? 2 了吗？一般情况是： a ?
?
n n n ?1 n
5 6 ．平行六面体 → 直平行六面体 → 长方体 → 正四棱柱 → 正方体间联系
S ? S n ? 2
? n n ?1
三棱锥中 : 侧棱长相等 ( 侧棱与底面所成角相等 ) ? 顶点在底面射影为底面外心 ; 侧棱两两垂直 ( 两对对棱垂直 ) ? 顶点在底面射影为底面垂心 ; 斜高相等 ( 侧面与底面所成
5 2 . 立体几何中平行、垂直关系证明思路明确了吗？各种平行、垂直转换的条件是什么？
相等 ) ? 顶点在底面射影为底面内心 ; 正棱锥各侧面与底面所成角相等为 θ , 则 S c o s θ = S ; 正三角形四心 ? 内切外接圆半径 ? ;
侧底
① 空间两直线 : 平行、相交、异面 ; 判定异面直线用定义或反证法
5 7 . 向量运算的几何形式和坐标形式，请注意：向量运算中向量的起点、终点及其坐标的特征
② 直线与平面 : a ∥ α 、 a ∩ α = A ( a ? α ) 、 a ? α
? ?
? ? ?
?
③ 平面与平面 : α ∥ β 、 α ∩ β = a
a ? b
⑴ 几个概念：零向量、单位向量、与 a 同方向的单位向量，平行向量，相等向量，相反向量，以及一个向量在另一向量上的投影（ a 在 b 方向上的投影是| a | cos ? ? ? , ?
线 / / 线 ? 线 / / 面 ? 面 / / 面，线 ⊥ 线 ? 线 ⊥ 面 ? 面 ⊥ 面 .
| b |
a// b ? ? ? ? ?
? ?
? // ?
? ? ?
为向量 a 与 b 的夹角）一定要记住 !
b ? ? ? a// ? a ? ? ? a// ?
常用定理 : ① 线面平行 ; ? a // ? ;
? ?
?
a ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
1
a ? ? a ? ?
? ?
过关题：在直角坐标平面上，向量 O A ? (4,1) 与 O B ? (2, ?3) 在直线 l 上的射影长度相等，则 l 的斜率为 . 答： ?
2
- 4 -
? ? ?
y ? y x ? x x y
1 1
⑵ 0 和 0 是有区别的了， 0 的模是 0 ，它不是没有方向，而是方向不确定； 0 可以看成与任意向量平行，但与任意向量都不垂直 .
两点式 : ? ; 截距式 : ? ? 1 ( a ≠ 0 ; b ≠ 0 ) ; 求直线方程时要防止由于零截距和无斜率造成丢解 , 直线 A x + B y + C = 0 的方向向量为 a = ( B , - A )
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
y ? y x ? x a b
2 1 2 1
⑶ 若 a ? 0 ，则 a ? b ? 0 ，但是由 a ? b ? 0 ，不能得到 a ? 0 或 b ? 0 ，你知道理由吗？
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
6 6 . 方程： y ? k x ? b, x ? m y ? a 中 k, b, m, a 的几何意义是啥？
还有： a ? c 时， a ? b ? c ? b 成立，但是由 a ? b ? c ? b 不能得到 a ? c ，即消去律不成立 .
6 7 . 截距是距离吗？ “ 截距相等 ” 意味什么？什么样的直线其方程有截距式？（斜率存在，斜率不为零，且不过原点）
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1
直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为零，直线在两轴上的截距相等 ? 直线的斜率为 ?1 或直线过原点；直线两截距互为相反数 ? 直线的斜率为 1 或直线过原点；
5 8 . 向量中的重要结论记住了吗？如：在三角形 A B C 中，点 D 为边 A B 的中点，则 C D ? ( C A ? C B) ；已知直线 A B 外一点 O ，点 C 在直线 A B 上的充
直线在两轴上的截距绝对值相等 ? 直线的斜率为 ?1 或直线过原点 .
2
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
平行线系、垂直线系、经过两直线交点的直线系方程你都知道吗？
要条件为 O C ? t O A ? (1 ? t) O B . （三点共线）
过关题：过点 ( 1 , 2 ) 且在坐标轴上截距相等的直线方程为 .
5 9 你会用向量法证明垂直、平行和共线及判断三角形的形状吗？
答： y ? 2 x, x ? y ? 3 ? 0
6 0 . 向量运算的有关性质你记住了吗？数乘向量，向量的内积，向量的平行，向量的垂直，向量夹角的求法，两向量的夹角为锐角等价于其数量积大于零吗？（不等价）
2 2
6 8 . （ 1 ）方程 x + y + D x + E y + F = 0 表示圆的充要条件是什么？二元二次方程表示圆的充要条件是什么？（ 2 ）点和圆的位置关系怎么判断？当点在圆上、圆外时怎么求切
线的？当点在圆外时，切线长、切点弦所在直线的方程，你记得求法吗？
向量定义、向量模、零向量、单位向量、相反向量 ( 长度相等方向相反的向量叫做相反向量 . a 的相反向量是－ a . ) 、共线向量、相等向量
2 2 2 2
如：过点 ( 1 , 2 ) 总可以作两条直线与圆 x + y + k x + 2 y + 5 = 0 相切，则实数 k 的取值范围是，在求解时，你注意到 x + y + k x + 2 y + 5 = 0 表示圆的充要条件
注意 : 不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）
吗？
2 2
6 1 、加、减法的平行四边形与三角形法则 : A B ? B C ? A C ; A B ? A C ? C B ; a ? b ? a ? b ? a ? b 过点 P ( 2 , 3 ) 向圆 ( x – 1 ) + ( y – 1 ) = 1 引切线，则切点弦方程为 .
答： ( ?14, ?4) ? (4, ? ?); x ? 2 y ? 4 ? 0
? ? ? ?
6 2 、向量数量积的性质：设两个非零向量 a ， b ，其夹角为 ? ，则： ① a ? b ? a ? b ? 0 ；
（ 3 ）直线和圆的位置关系利用什么方法判定？（圆心到直线的距离与圆的半径的比较或用代数方法）直线与圆锥曲线的位置关系怎样判断？
2 2 2 2 2 2 2
( 4 ) 圆 : 标准方程 ( x － a ) + ( y － b ) = r ; 一般方程 : x + y + D x + E y + F = 0 ( D + E - 4 F > 0 )
? ? ? ? ? ? ? ?
2
2 2
② 当 a ， b 同向时， a ? b ＝ a b ，特别地， a ? a ? a ? a , a ? a ；
x ? a ? rcos ?
?
参数方程 : ; 直径式方程 ( x - x ) ( x - x ) + ( y - y ) ( y - y ) = 0
1 2 1 2
?
? ?
y ? b ? rsin ?
?
当 a 与 b 反向时， a ? b ＝－ a b ；
2 2 2 2 2 2 2 2
( 5 ) 若 ( x - a ) + ( y - b ) < r ( = r , > r ) , 则 P ( x , y ) 在圆 ( x - a ) + ( y - b ) = r 内 ( 上、外 )
0 0 0 0
? ? ? ?
( 6 ) 直线与圆关系 , 常化为线心距与半径关系，如：用垂径定理 , 构造 R t △ 解决弦长问题，又 : ｄ > r ? 相离 ; d = r ? 相切 ; d < r ? 相交 .
当 ? 为锐角时， a ? b ＞ 0 ，且 a 、 b 不同向， a ? b ? 0 是 ? 为锐角的充要条件；
( 7 ) 圆与圆关系 , 常化为圆心距与两圆半径间关系 . 设圆心距为 d , 两圆半径分别为 r , R , 则 d > r + R ? 两圆相离 ; d ＝ r + R ? 两圆相外切 ; | R － r | < d < r + R ? 两圆相交 ; d ＝ | R －
? ? ? ?
r | ? 两圆相内切 ; d < | R － r | ? 两圆内含 ; d = 0 , 同心圆 .
当 ? 为钝角时， a ? b ＜ 0 ，且 a 、 b 不反向， a ? b ? 0 是 ? 为钝角的充要条件； 2 2 2 2
( 8 ) 把两圆 x + y + D x + E y + C = 0 与 x + y + D x + E y + C = 0 方程相减即得相交弦所在直线方程 :
1 1 1 2 2 2
? ? ? ? ? ? ? ?
4 1 ( D - D ) x + ( E - E ) y + ( C - C ) = 0 ; 推广 : 椭圆、双曲线、抛物线 ? 过曲线 f ( x , y ) = 0 与曲线 f ( x , y ) = 0 交点的曲线系方程为 : f ( x , y ) + λ f ( x , y ) = 0
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
③| a ? b | ?| a || b | . 如已知 a ? ( ?,2 ?) ， b ? (3 ?,2) ，如果 a 与 b 的夹角为锐角，则 ? 的取值范围是 _ _ _ _ _ _ （答： ? ? ? 或 ? ? 0 且 ? ? ）；
( 9 ) 圆上动点到某条直线 ( 或某点 ) 的距离的最大、最小值的求法 ( 过圆心 )
2 2 2 2 2 2 2 2
3 3
（ 1 0 ）过圆 x + y = r 上点 P ( x , y ) 的切线为 : x x + y y = r ; 过圆 x + y = r 外点 P ( x , y ) 作切线后切点弦方程 : x x + y y = r ; 过圆外点作圆切线有两条 . 若只求出一条 , 则另一条垂直ｘ
0 0 0 0 0 0 0 0
轴 .
a ? b
④ 向量 b 在 a 方向上的投影︱ b ︱ c o s ? ＝与圆有关的结论：
2 2 2 2
⑴ 过圆 x + y = r 上的点 M ( x 0 , y 0) 的切线方程为： x 0 x + y 0 y = r ；
a
2 2 2 2
过圆 ( x - a ) + ( y - b ) = r 上的点 M ( x , y ) 的切线方程为： ( x - a ) ( x - a ) + ( y - b ) ( y - b ) = r ；
0 0 0 0
? ? ? ? ?
⑵ 以 A ( x ， y ) 、 B ( x , y ) 为直径的圆的方程： ( x － x ) ( x － x ) + ( y － y ) ( y － y ) = 0 .
1 2 2 2 1 2 1 2
⑤ e 和 e 是平面一组基底 , 则该平面任一向量 a ? ? e ? ? e ( ? , ? 唯一 )
1 2 1 1 2 2 1 2 6 9 . 圆锥曲线的两个定义，及其 “ 括号 ” 内的限制条件，在圆锥曲线问题中，
? ? ? ? ? ? ? ?
如果涉及到其焦点（两相异定点），那么将优先选用圆锥曲线第一定义；
特别： O P ＝则 ? ? ? ?1 是三点 P 、 A 、 B 共线的充要条件，向量基本定理是什么？
? O A ? ? O B
1 2
1 2 如果涉及到其焦点、准线（一定点和不过该点的一定直线）或离心率，那么将优先选用圆锥曲线的第二定义；
涉及到焦点三角形的问题，也要重视焦半径和三角形中正余弦定理等几何性质的应用 .
? ? ? ? ? ?
? ? ?
7 0 . 利用圆锥曲线第二定义解题时，你是否注意到定义中的定比前后项的顺序？定点要不在定直线上呀！离心率的大小与曲线的形状有何关系？（椭圆的圆扁程度，双曲线的
如（ 1 ）平面直角坐标系中， O 为坐标原点，已知两点 , , 若点 C 满足 O C ? ? O A ? ? O B , 其中 ? , ? ? R 且 ? ? ? ? 1 , 则
A(3,1) B( ?1,3)
1 2 1 2 1 2
张口大小）等轴双曲线的离心率是多少？
H
点 C 的轨迹是 _ _ _ （答：直线 A B ）
答：对于椭圆，离心率越小椭圆越圆；对于双曲线，离心率越大，张口越大； 2
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
H H
1
（ 2 ）在 ? A B C 中， ① P G ? ( P A ? P B ? P C) ? G 为 ? A B C 的重心，特别地 P A ? P B ? P C ? 0 ? P 为 ? A B C 的重心； ② A F ? ?
1 ? ecos ? 1 ecos ?
3
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
过关题：动点 P 到定点 A ( 1 , 2 ) 和直线 3 x – 2 y + 1 = 0 的距离相等，则动点 P 的轨迹方程为
P A ? P B ? P B ? P C ? P C ? P A ? P 为 ? A B C 的垂心；
A . 直线 B . 椭圆 C . 双曲线 D . 抛物线（）答： A
? ? ? ? ? ? ? ?
2 H
A B ?
A C
A B 2
? ? ? ? ? ? ? ?
③ 向量 ?( ? )( ? ? 0) 所在直线过 ? A B C 的内心 ( 是 ? B A C 的角平分线所在直线 ) ； 7 1 . 椭圆中，注意焦点、中心、短轴端点所组成的直角三角形．（ a ， b ， c ） 1 ? e cos ?
2 2
| A B | | A C |
x ? a cos ? | PF |
x y ?
椭圆 ① 方程 ( a > b > 0 ) ; 参数方程 ② 定义 : = e < 1 ; | P F | + | P F | = 2 a > 2 c
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 2
?
2 2
a b y ? bsin ? d
? 相应
如：（ 1 ）若 O 是 △ A B C 所在平面内一点，且满足 O B ? O C ? O B ? O C ? 2 O A ，则 ? A B C 的形状为 _ _ _ _ （答：直角三角形）；
2
? ? ? ?
c b
2 2 2
③ e = , a = b + c
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ?
| A P | 2
a
a
? ? ? ?
（ 2 ）若 D 为 ? A B C 的边 B C 的中点， ? A B C 所在平面内有一点 P ，满足 P A ? B P ? C P ? 0 ，设 ? ? ，则 ? 的值为 _ _ _ （答： 2 ）；
④ 长轴长为 2 a ，短轴长为 2 b ⑤ 焦半径左 P F = a + e x , 右 P F = a - e x ; 左焦点弦 , 右焦点弦
| P D | 1 2 AB ? 2a ? e(x ? x ) AB ? 2a ? e(x ? x )
A B A B
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? 2 2
2
a
（ 3 ）若点 O 是 △ A B C 的外心，且 O A ? O B ? C O ? 0 ，则 △ A B C 的内角 C 为 _ _ （答：120 ）； 2b
b ?
2
⑥ 准线 x = ? 、通径 ( 最短焦点弦 ) , 焦准距 p = ⑦ S = , 当 P 为短轴端点时 ∠ P F F 最大 , 近地 a - c 远地 a + c ;
b tan 1 2
?PF F
1 2
6 3 . 任何直线都有倾斜角，但只有倾斜角不等于直角的直线才有斜率，直线的斜率公式、点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式记住了吗？
c a c 2
直线的倾斜角的范围是什么？有关直线的倾斜角及范围，你会求吗？
2 2
2
x y | PF |
c b
2 2 2
双曲线 ① 方程 ? ?1 ( a , b > 0 ) ② 定义 : = e > 1 ; | | P F | - | P F | | = 2 a < 2 c ③ e = , c = a + b
? 3 ? 1 2 ? 1 ?
2 2
2
d
a b a a
如：直线 x c o s θ + y – 1 = 0 ( θ ∈ R ) 的倾斜角的范围是 . 答：[0, ] ?[ , ? )
相应
4 4
④ 四点坐标？ x , y 范围 ? 实虚轴、渐近线交点为中心
⑤ 焦半径、焦点弦用第二定义推 ( 注意左右支及左右焦点不同 ) ; 到焦点距离常化为到准线距离
y ? y
0 2 1
倾斜角 α ∈[0, ? ) , α = 9 0 斜率不存在 ; 斜率 k = t a n α =
2
2 2 2
x ? x 2 2
2 1 b
a 2b b x y b
⑥ 准线 x = ? 、通径 ( 最短焦点弦 ) , 焦准距 p = ⑦ S = ⑧ 渐近线 ? ? 0 或 y ? ? x ; 焦点到渐近线距离为 b ;
?PF F
2 2
1 2
对不重合的两条直线，，有 c a c a b a
tan ?
p p
l / / l ? A B ? A B ? 0, 且 l , l 不重合 ; 2
1 2 1 2 2 1 1 2
7 2 . 抛物线 ① 方程 y = 2 p x ② 定义 : | P F | = d ③ 顶点为焦点到准线垂线段中点 ; x , y 范围 ? 轴？焦点 F ( , 0 ) , 准线 x = - ,
准
2 2
6 4 . 何为直线的方向向量？法向量？直线的方向向量与直线的斜率有何关系？
2
如：经过点 ( 6 , – 2 ) 且方向向量为 e = ( 3 , – 2 ) 的直线方程为 .
p
2 p
④ 焦半径 AF ? x ? ; 焦点弦 AB ＝ x + x + p ; y y = － p , x x = 其中 A ( x , y ) 、 B ( x , y ) ⑤ 通径 2 p , 焦准距 p ;
1 2 1 2 1 2 1 1 2 2
A
6 5 . 在用点斜式、斜截式求直线方程时，你是否注意到了所设直线是否有斜率 k 不存在的情况？ 2
4
7 3 . 直线与椭圆的位置关系的研究类似于直线和圆，
方程： y ? y ? k( x ? x ) 只能表示过点 ( x , y ) 斜率存在的直线，而方程： x ? x ? t( y ? y ) 则能表示过点 ( x , y ) 且斜率不为零的直线，具体在什
0 0 0 0 0 0 0 0
直线和双曲线有且只有一个交点是该直线和此双曲线相切的什么条件？直线和抛物线只有一交点，能定该直线和抛物线相切吗？
么情况下选选择哪种形式？你清楚吗？
学了三次及三次以上的曲线的切线后，知道曲线的切线与该曲线的交点可能多于一个点，甚至有无穷多个交点 .
直线方程 : 点斜式 y - y = k ( x - x ) ; 斜截式 y = k x + b ; 一般式 : A x + B y + C = 0
1 1
7 4 . （ 1 ）用圆锥曲线方程与直线方程联立求解，在得到的方程中，你注意到 △ ≥ 0 这一条件了吗？圆锥曲线本身的范围你注意到了吗？
（ 2 ）过双曲线的一焦点作弦长等于定长的焦点弦的条数问题，你掌握方法了吗？
（ 3 ）过平面上一点能作几条直线与已知双曲线有且只有一个交点，知道要据该点在双曲线内、上、外，在外的时候又要分在一条渐近线上，还是在渐近线外，还是在双
- 5 -
曲线的中心等情况分别进行讨论吗？ 7 9 . 解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：
? ?
2
（ 1 ）给出直线的方向向量 u ? ?1, k ? 或 u ? ? m, n ? ；
y
2
如：已知双曲线 C : x ? ?1 ，过点 P ( 1 , 1 ) 作直线 l ，使 l 与双曲线 C 有且只有一个公共点，这样的直线 l 有几条？ A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 （）
4
（ 2 ）给出 O A ? O B 与 A B 相交 , 等于已知 O A ? O B 过 A B 的中点 ;
?
答： D
（ 3 ）给出 P M ? P N ? 0 , 等于已知 P 是 M N 的中点 ;
（ 4 ）双曲线的渐近线的倾斜角 ? 与双曲线的离心率 e 之间的关系，你还记得吗？
1 1 （ 4 ）给出 A P ? A Q ? ? ? B P ? B Q ? , 等于已知 A, B 与 P Q 的中点三点共线 ;
焦点在 x 轴上时， e ? ; 焦点在 y 轴上时， e ? .
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
cos ? sin ?
（ 5 ）给出以下情形之一： ① A B // A C ； ② 存在实数 ?, A B ? ? A C ； ③ 若存在实数 ?, ? , ? ? ? ? 1, O C ? ? O A ? ? O B , 等于已知
2 2
x y
A, B, C 三点共线 .
过关题：已知双曲线 ? ?1 的离心率 e ?[ 2, 2] ，双曲线的两条渐近线构成的角中，以实轴为角平分线的角记为 ? ，则 ? 的取值范围是
2 2
a b
（ 6 ）给出 M A ? M B ?0 , 等于已知 M A ? M B , 即 ? A M B 是直角 , 给出 M A ? M B ? m ? 0 , 等于已知 ? A M B 是钝角或 π , 给出 M A ? M B ? m ? 0 ,
( ) 答： C
等于已知是锐角或 0 ,
? A M B
? ? ? ? ? 2 ? 2 ?
A . [ , ] B . [ , ] C .[ , ] D . [ , ? ] ? ?
? ?
M A M B
6 2 3 2 2 3 3
（ 7 ）给出 ? ? ? M P , 等于已知 M P 是 ? A M B 的平分线 /
? ?
7 5 . 在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，有 “ 函数方程思想 ” 和 “ 数形结合思想 ” 两种思路，等价求解，特别是：直线与圆锥曲线相交的条件是他们构成的方程组有实数解，
? M A M B ?
当出现一元二次方程时，务必 “ 判别式大于或等于 0 ” 尤其在应用韦达定理解题时，必须先有 ? ? 0 ；
? ?
2
x
2
（ 8 ）在平行四边形 A B C D 中，给出 ( A B ? A D) ?( A B ? A D) ?0 ，等于已知 A B C D 是菱形 ;
过关题：双曲线的两条渐近线方程为 x ± 2 y = 0 ，且过点 ( 2 3 , 2 ) 的双曲线方程为 . 答： y ? ?1
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
4
（ 9 ）在平行四边形 A B C D 中，给出| A B ? A D| ?| A B ? A D| ，等于已知 A B C D 是矩形 ;
7 6 . 解析几何求解中，平面几何知识利用了吗？题目中是否已经有了坐标系了？如果没有，怎么建直角坐标系呢？
2 2 2
7 7 . ( 1 ) 你会用圆锥曲线的定义解题吗？
（ 1 0 ）在 ? A B C 中，给出 O A ? O B ? O C ，等于已知 O 是 ? A B C 的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；
( 2 ) 要重视一些常见的寻求曲线方程的方法（待定系数法、定义法、直接法、动点转移法等），以及如何利用曲线的方程讨论曲线的几何性质
2 2
x y
（ 1 1 ）在 ? A B C 中，给出 O A ? O B ? O C ? 0 ，等于已知 O 是 ? A B C 的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；
过关题：点 P 是双曲线右支上的一点， F 是该双曲线的右焦点，点 M 是线段 P F 的中点，若 | O M | = 3 ，则点 P 到该双曲线右准线的距离为 ( )
? ?1
4 5
（ 1 2 ）在 ? A B C 中，给出 O A ? O B ? O B ? O C ? O C ? O A ，等于已知 O 是 ? A B C 的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；
? ? ? ? ? ? ? ?
答： A
A B A C
?
（ 1 3 ）在 ? A B C 中，给出 O P ? O A ? ?( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ( ? ? R ) 等于已知 A P 通过 ? A B C 的内心；
4 3 20
A . B . C . D . 4
| A B | | A C |
3 4 3
（ 1 4 ）在 ? A B C 中，给出 a ? O A ? b ? O B ? c ? O C ? 0, 等于已知 O 是 ? A B C 的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交
7 8 . 定义： ⑴ 椭圆：| M F | ? | M F | ? 2 a,(2 a ?| F F |) ；
1 2 1 2
点）；
⑵ 双曲线：|| M F | ? | M F || ? 2 a,(2 a ?| F F |) ； ⑶ 抛物线：略
1 2 1 2
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1
（ 1 5 ）在 ? A B C 中，给出 A D ? A B ? A C , 等于已知 A D 是 ? A B C 中 B C 边的中线 ;
p ? ?
结论 ⑴ 焦半径： ① 椭圆： P F ? a ? e x , P F ? a ? e x （ e 为离心率）；（左 “ + ” 右 “ - ” ）； ② 抛物线： P F ? x ? ⑵ 弦长公式： 2
1 0 2 0 0
2
8 0 . 解应用题应注意的最基本要求是什么？（审题、找准题目中的关键词，设未知数，列出函数关系式，代入初始条件，注明单位，写好答语）
8 1 . 导数的定义还记得吗？它的几何意义和物理意义分别是什么？利用导数可解决哪些问题？具体步骤还记得吗？
2 2 2
A B ? 1 ? k ? x ? x ? (1 ? k )[( x ? x ) ? 4 x x ]
2 1 1 2 1 2
8 2 . 利用导数求曲线的切线的步骤是什么？
一般都是设切点，求导函数在切点处的函数值，写切线方程 .
1 1
2
你看清了是求过曲线上某点的切线方程，还是在曲线上某点的切线方程了吗？
；
? 1 ? ? y ? y ? (1 ? ) ?[( y ? y ) ? 4 y y ]
2 1 1 2 1 2
2 2
/
k k
8 3 利用导数求函数单调区间时，你注意到了 “ 定义域优先 ” 了吗？由 f ( x) ? 0 解得的区间是单调增区间；利用导数求函数最值的步骤你还清楚吗？最好是列表！
2 p
2
“ 函数在某点取得极值 ” 你会灵活应用吗？不仅表示在该点的导函数值为零，而且导函数在该点两侧函数值的符号相异的 .
2 b
注：（ Ⅰ ）焦点弦长： ① 椭圆：| AB | ? 2 a ? e( x ? x ) ； ② 抛物线： A B ＝ x + x + p = ；（ Ⅱ ）通径（最短弦）： ① 椭圆、双曲线：； ② 抛物
1 2
1 2
2 ''
sin ? a 8 4 . 函数在上可导，若 x ?( a, b), f ( x) ? 0( ? 0) 恒成立，则在上递增（递减）；反之呢？
y ? f ( x) R y ? f ( x) ( a, b)
线： 2 p .
''
函数 y ? f ( x) 在 R 上可导，若在 x ? x 处取得极值，则 f ( x ) ? 0 . 反之呢？
2 2
0 0
⑶ 过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为： m x ? ny ? 1 （ m, n 同时大于 0 且不相等时表示椭圆， m n ? 0 时表示双曲线）；
导数应用 : ⑴ 过某点的切线不一定只有一条 ;
⑸ 双曲线中的结论：
3
2 2 2 2 如：已知函数 f ( x) ? x ? 3 x 过点 P(2, ?6) 作曲线 y ? f ( x) 的切线，求此切线的方程 .
x y x y
① 双曲线（ a > 0 , b > 0 ）的渐近线：；
? ? 1 ? ? 0
2 2 2 2
（答： 3 x ? y ? 0 或 24 x ? y ? 54 ? 0 ） .
a b a b
3
2 2
/ / /
b
x y ⑵ 研究单调性步骤 : 分析 y = f ( x ) 定义域 ; 求导数 ; 解不等式 f ( x ) ≥ 0 得增区间 ; 解不等式 f ( x ) ≤ 0 得减区间 ; 注意 f ( x ) = 0 的点 ; 如：设 a ? 0 函数 f ( x) ? x ? ax 在
② 共渐进线的双曲线标准方程为为参数， ? ≠ 0 ）；
y ? ? x ? ? ?( ?
2 2
a
a b
[1, ? ?) 上单调函数，则实数 a 的取值范围 _ _ _ _ _ _ （答： 0 ? a ? 3 ）；
? ?
⑶ 求极值、最值步骤 : 求导数 ; 求 f ( x) ? 0 的根 ; 检验 f ( x) 在根左右两侧符号 , 若左正右负 , 则 f ( x ) 在该根处取极大值 ; 若左负右正 , 则 f ( x ) 在该根处取极小值 ; 把极值与区间
④ 双曲线为等轴双曲线 ? e ? 2 ? 渐近线为 y ? ? x ? 渐近线互相垂直；
端点函数值比较 , 最大的为最大值 , 最小的是最小值 .
（ 6 ）抛物线中的结论：
f ( x ? ? x) ? f ( x )
2
0 0
p 8 5 . 导数： ⑴ 导数定义： f ( x ) 在点 x 0 处的导数记作；
? ?
y ? f ( x ) ? lim
2 2
x ? x 0
① 抛物线 y = 2 p x ( p > 0 ) 的焦点弦 A B 性质： x x = ； y y = － p ；
1 2 1 2 0
? x ? 0
? x
4
'' n '' n ?1 ''
2
② 抛物线 y = 2 p x ( p > 0 ) 内接直角三角形 O A B 的性质： ⑵ 常见函数的导数公式 : ① C ? 0 ； ② ( x ) ? nx ； ③ (sin x) ? cos x ；
2
③ 抛物线 y = 2 p x ( p > 0 ) ，对称轴上一定点 A( a,0) ，则：
1
'' x '' x x '' x ''
④ (cos x) ? ?sin x ； ⑤ ( a ) ? a ln a ； ⑥ ( e ) ? e ； ⑦ ；
(log x) ?
a
当 0 ? a ? p 时，顶点到点 A 距离最小，最小值为 a ；
x ln a
2
当 a ? p 时，抛物线上有关于 x 轴对称的两点到点 A 距离最小，最小值为 2 a p ? p .
1
u u ? v ? u v ?
''
⑧ (ln x) ? . ⑶ 导数的四则运算法则：
( u ? v) ? ? u ? ? v ?;( u v) ? ? u ? v ? u v ?;( ) ? ? ;
直线与圆锥曲线问题解法：（要求降低） 2
x v v
⑴ 直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解 .
⑷ （理科）复合函数的导数： y ? ? y ? ? u ? ; ⑸ 导数的应用：
注意以下问题： ① 联立的关于 “ x ” 还是关于 “ y ” 的一元二次方程？
x u x
1 利用导数求切线：注意： ⅰ 所给点是切点吗？ ⅱ 所求的是 “ 在 ” 还是 “ 过 ” 该点的切线？
② 直线斜率不存在时考虑了吗？ ③ 判别式验证了吗？
⑵ 设而不求（代点相减法）： - - - - - - - - 处理弦中点问题
2 利用导数判断函数单调性： ⅰ f ?( x) ? 0 ? f ( x) 是增函数；
y ? y
? ?
1 2 ⅱ f ( x) ? 0 ? f ( x) 为减函数； ⅲ f ( x) ? 0 ? f ( x) 为常数；
步骤如下： ① 设点 A ( x 1， y 1 ) 、 B ( x 2, y 2) ； ② 作差得 k ? ? ? ? ； ③ 解决问题 .
A B
注：反之，成立吗？求单调区间，先求定义域 .
x ? x
1 2
- 6 -③ 利用导数求极值： ⅰ 求导数 ? ； ⅱ 求方程 ? 的根； ⅲ 列表得极值 .
f ( x) f ( x) ? 0
④ 利用导数最大值与最小值： ⅰ 求的极值； ⅱ 求区间端点值（如果有）； ⅲ 得最值 .
⑤ 利用导数处理恒成立问题，证明不等式，解决实际应用问题
3 2
如：（ 1 ）函数 y ? 2 x ? 3 x ?12 x ? 5 在 [ 0 ， 3 ] 上的最大值、最小值分别是 _ _ _ （答： 5 ； ?15 ）；
15
3 2 3 2
（ 2 ）已知函数 f ( x) ? x ? bx ? c x ? d 在区间 [ － 1 , 2 ] 上是减函数，那么 b ＋ c 有最 _ _ 值 _ _ 答：大， ? ）（ 3 ）方程 x ? 6 x ? 9 x ?10 ? 0 的实根的个
2
数为 _ _ （答： 1 ）
特别提醒：（ 1 ） x 是极值点的充要条件是 x 点两侧导数异号，而不仅是 f ? ? x ? ＝ 0 ， f ? ? x ? ＝ 0 是 x 为极值点的必要而不充分条件 . （ 2 ）给出函数极大 ( 小 ) 值
0 0 0 0 0
?
的条件，一定要既考虑 f ( x ) ? 0 ，又要考虑检验 “ 左正右负 ” ( “ 左负右正 ” ) 的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！
0
3 2 2
如：函数 f x ? x ? a x ? b x ? a 在 x ?1 处有极小值 1 0 ，则 a + b 的值为 _ _ _ _ （答：－ 7 ）
? ?
8 6 . 三次多项式的图形和它的性质你了解吗？这对把握考点 “ 利用导数研究函数的单调性，极值，函数的最小和最大 ” 有极大的帮助 .
8 7 . 会用导数研究高次方程的根的问题吗？
3 2
过关题：函数 f ( x ) = x + 3 x – 9 x + 5 与 x 轴交点的个数为（）答： B
A . 1 个 B . 2 个 C . 3 个 D . 无法确定
3
过关题：方程 x – 3 x + m = 0 在 [ 0 , 2 ] 上有解，则实数 m 的取值范围是 . 答：[ ?2,2]
8 8 随机事件、必然事件、互斥事件、对立事件的概念你清楚吗？在解题中，你能借助于具体的事件去体会吗？
过关题：如果 A 、 B 互斥，那么（）答： B
A . A + B 是必然事件 B . A ? B 必然事件 C . A 与 B 一定不互斥 D . A 与 B 一定互斥
解概率应用题的一般步骤：设事件，指出这些事件间关系，及这些事件的概率，解 … ，答；
（ 3 ）随机事件 A 的概率 0 ? P( A) ? 1 ，
注意：必然事件的概率为 1 ，但概率为 1 的事件不一定是必然事件；不可能事件的概率为 0 ，但概率为 0 的事件不一定是不可能事件；
常规简答题得分策略：
（ 4 ）等可能事件的概率（古典概率）： : P ( A ) = m / n ; 如：设 1 0 件产品中有 4 件次品， 6 件正品，求下列事件的概率： ① 从中任取 2 件都是次品； ② 从中任取 5 件恰有 2 件次品；
1 、选择填空题：仔细读题两遍，常用特殊值排除答案，难题可加条件变简单。 1 0 和 1 5 的处理技巧，先放后做。
2 10 44 10
③ 从中有放回地任取 3 件至少有 2 件次品； ④ 从中依次取 5 件恰有 2 件次品 . （答： ① ； ② ； ③ ； ④ ）（ 6 ）几何概型：
2 、三角题： ( 1 ) 解题过程中用到的公式，最好写出 “ 原始形式 ” ，再计算，这样既保证公式正确，又展示得分点；
15 21 125 21
( 2 ) 准确的计算结果很关键。 ( 3 ) 角的范围，三角函数取值范围 ( 4 ) 注意正负号符号 ( 5 ) 偶尔会选择导数求解对称
构成事件 A 的区域长度（面积或体积等）
；
P( A) ?
轴或单调性
试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积等）
3 、立几题： ( 1 ) 证明写细一点，注意：失分点，面内外，相交否，第一问不会，可以跳过去做第二问。
8 9 . 你了解两种简单的随机抽样的方法吗？分层抽样的适用条件是什么？
( 2 ) 建系前必要证明。采用右手直角坐标系，与答案统一，正确表示出点的坐标，这一步有步骤分。
过关题：采用简单随机抽样，从含有 6 个个体的总体中抽取一个容量为 3 的样本，则个体 a 第一次被抽到的概率是；第一次未被抽到，第二次被抽到的概率是；
前两次未被抽到，第三次被抽到的概率是；在整个抽样过程中，被抽到的概率为 .
( 3 ) 第二问阅卷老师往往先看结果，如果正确往往不会再扣分了，所以计算仔细准确，显得尤为重要。
1 1 1 1
( 4 ) 翻折问题注意前后变与不变的量。 ( 5 ) 判断二面角为锐还是钝角二面角。
答： ; ; ;
6 6 6 2 4 、概率题： ( 1 ) 以应用题的形式出现，有些同学审题不清，答非所问。写清楚事件 A , B
a ? a ? ? ? a
( 2 ) 制定评分标准时，题目特点，概率题不是一分一分附的，而是一个点给几分，只要见到结果值，就给几分。
1 2 n
直方图、分层抽样、期望、方差等你都清楚吗？ a , a , a , ? a 的期望；
x ?
1 2 3 n
所以概率题的计算准确率要求相当高。典型错误是（审题不清，计算不准）
n
? ?
n
1
5 、数列题： ( 1 ) 常见错误，写掉（ n ≥ 2 ），
2 2 2 2 1
1
2 2 2 2
方差样本标准差 =
S ? [( a ? x) ? ( a ? x) ? ? ? ( a ? x) ]
S ? [( x ? x) ? ( x ? x) ? ? ? ? ? ( x ? x) ]
( x ? x)
1 2 n
1 2 n ? i
( 2 ) 错位相减格式，裂项的模式，证明数列增减性模式。
n
n n
i ?1
6 、解几题： ( 1 ) 第一问的准确性 ( 方程的简洁 ) 。
那么 a ? a ? b, a ? a ? b, ?, a ? a ? b 的期望和方差分别是多少呢？你会用样本平均数（期望值）估计期望值吗？样本的方差和标准差是衡量什么的？
1 2 n
( 2 ) 几何条件与代数条件的等价转换。
9 0 . 你会通过频率分布直方图估计样本数据得众数、中位数、平均数吗？
( 3 ) 通性通法为主流，规范答题是追求，严格程序化，强化格式，卷面的整洁。
9 1 ．（ 1 ）复数、共轭复数、虚数、纯虚数、复数的模的定义你清楚吗？复数相等、复数为 0 、复数为实数、复数为虚数、复数为纯虚数的充要条件你知道吗？
2 2
如：复数 z = （ m – 2 m – 3 ） + （ m – m – 6 ） I
7 、导数题： ( 1 ) 第一问导数求错 0 分，求导对 3 分，抓常规，保成绩，准确踩点得分，规范答题少丢分。严格书写有效得
（ 1 ）为实数，则 m = ，（ 2 ）为纯虚数，则 m = ，（ 3 ）为 0 ，则 m = ，（ 4 ）为虚数，则 m = .
分点。切忌拖沓冗长。 ( 第一问都要做，不放弃 )
答： ?2 或3; ?1;3;{ m | m ? R 且 m ? 3, m ? ?2}
( 2 ) 第二问尽量抓得分点，只要导出一个结论，就可能是得分点，实在不行，写出题目中应该用到的公式也是可
2 ? 3 i
以得分的。
复数的实部是，虚部是，它的模是，它的共轭复数是。
1 ? i 注重
( 1 ) 审题和解题的关系，匆匆一看急于下笔，以致题目的条件与要求都没有吃透，致予如果挖掘隐含条件，启发解题思路更无
1 5 26 1 5
答： ? ; ? ; ; ? + i
从谈起 .
2 2 2 2 2
( 2 ) 会做与得分的关系问题，将解题策略转化为得分点，主要靠准确完整的数学语言表达（务必重视）。
（ 2 ）几个重要的结论：
( 3 ) 快与准的关系问题：准尤为重要，一味求快，错误百出，适当地慢一点，可多得一点分。
2 2 2 2 2 2 1 ? i 1 ? i
2
； ⑶ ； ⑷
(1) z ? z ? z ? z ? 2( z ? z ); (2) z ? z ? z ? z (1 ? i) ? ?2 i
? i; ? ? i;
1 2 1 2 1 2
( 4 ) 多与简的关系问题：抓住知识点书写得分点。简明扼要。
1 ? i 1 ? i
4 n 4 n ?1 4 n ?2 4 n ?3
4 n 4 n ?1 4 ?2 4 n ?3 提升运算和推理能力，养成良好的解题习惯 ( 文字、图形、符号 ) ，基础牢，审题清；用通法， “ 分 ” 点明；计算准，步骤
⑸ i 性质： T = 4 ； i ? 1, i ? i, i ? ?1, i ? ? i ；
i ? i ? i ? i ? 0;
精；自分析，信心成；高考中，定成功。
9 2 . 算法初步：了解算法含义、流程图，理解算法用语 .
9 3 ．填空题要准确表示，解答题要认真做 . 匆忙看题，审题不清，断章取义，写了一大片，结果好象在练字，此乃考试时之大忌！
( 5 ) 自我补充：
9 4 . 解答开放型问题时，需要思维广阔全面，知识纵横联系．
解答信息型问题时，透彻理解问题中的新信息，这是准确解题的前提．
解答代数证明题，要善于与学过的函数模型作类比，找问题解决的突破口 .
解解答题，要有这样的习惯，题目做好后再看一遍题，千万不能答非所问 .
9 5 . 用换元法解题时，要注意换元前后的等价性；一般引入新变量都得指出新变量的取值范围 ; 同时注意消去的参数对留下来的参数的范围有一定的影响 .
9 6 . 解答多参型问题时，关键在于恰当地引出参变量 , 想方设法摆脱参变量的困绕．这当中，参变量的分离、集中、消去、代换以及反客为主等策略，似乎是解答这类问题的通性通法．
科学考试细心审题规范答题 . 细心是成功的基础，慎密是成功的阶梯！要相信自己；别人能，我也能，祝同学们在高考中，取得理想的成绩，谱写自己人生辉煌的一页 .
以上，我们为大家梳理了 9 6 个问题，最后一页留给同学们根据自己的情况补充几个模糊的知识点，并且在查阅书籍、咨询同学和老师后将知识点清晰化。
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(本文系瑞风瑞雨原创)

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