高考数学通 为你的高考数学提分加油 2024年高考数学真题试卷(新课标全国Ⅱ卷) 扫描二维码下载APP 一、选择题:本题共 8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只 有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1.已知 ,则 (???????) A.0 B.1 D.2 C. 2.已知命题p: , ;命题q: , ,则(???????) A.p 和 q 都是真命题 B. 和 q 都是真命题 C.p 和 都是真命题 D. 和 都是真命题 3.已知向量 满足 ,且 ,则 (???????) A. B. D.1 C. 4.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg )并整理如下表 亩产 [900, [950, [1000, [1100,1150 [1150, [1050,1100) 量 950) 1000) 1050) ) 1200) 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据,下列结论中正确的是(???????) B.100 块稻田中亩产量低于 1100kg 的稻田所占比 A.100 块稻田亩产量的中位数小于 1050kg 例超过 80% C.100 块稻田亩产量的极差介于 200kg 至 D.100 块稻田亩产量的平均值介于 900kg 至 300kg 之间 1000kg 之间 5.已知曲线C: ( ),从C上任意一点P向x轴作垂线段 , 为垂足,则线段 的中点M的轨迹方程为(???????) A. ( ) B. ( ) C. ( ) D. ( ) 6.设函数 , ,当 时,曲线 与 恰 有一个交点,则 (???????) A. B. 内部资料 请勿外传 1/17 高考数学通C.1 D.2 7.已知正三棱台 的体积为 , , ,则 与平面ABC所成角的正切 值为(???????) B.1 A. C.2 D.3 8.设函数 ,若 ,则 的最小值为(???????) A. B. D.1 C. 二、多项选择题:本大题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的四个 选项中,有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分,选对但不全的得部分分,有选错 的得0分. 9.对于函数 和 ,下列说法中正确的有(???????) A. 与 有相同的零点 B. 与 有相同的最大值 C. 与 有相同的最小正周期 D. 与 的图象有相同的对称轴 10.抛物线C: 的准线为l,P为C上的动点,过P作 的一条切线,Q为切 点,过P作l的垂线,垂足为B,则(???????) A.l 与 相切 B.当 P , A , B 三点共线时, C.当 时, D.满足 的点 有且仅有 2 个 11.设函数 ,则(???????) A.当 时, 有三个零点 B.当 时, 是 的极大值点 C.存在 a , b ,使得 为曲线 D.存在 a ,使得点 为曲线 的对称轴 的对称中心 三、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分. 12.记 为等差数列 的前n项和,若 , ,则 _______________. 13.已知 为第一象限角, 为第三象限角, , ,则 _______________. 14.在如图的4×4的方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰有一个方格被选中,则共有 _______________种选法,在所有符合上述要求的选法中,选中方格中的4个数之和的最大值是 _______________. 内部资料 请勿外传 2/17 高考数学通 四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 15.记 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 . 15.1.求 A . 15.2.若 , ,求 的周长. 16.已知函数 . 16.1.当 时,求曲线 在点 处的切线方程; 16.2.若 有极小值,且极小值小于0,求a的取值范围. 17.如图,平面四边形ABCD中, , , , , ,点E,F满足 , ,将 沿EF翻折至 ,使得 . 17.1.证明: ; 17.2.求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值. 18.某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成,比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队 中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成绩为0分;若至少投中一次,则该队进 入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次,每次投篮投中得5分,未投中得0分.该队的比赛 成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p,乙每次投 中的概率为q,各次投中与否相互独立. 18.1.若 , ,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率. 18.2.假设 , 内部资料 请勿外传 3/17 高考数学通(i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,应该由谁参加第一阶段比赛? (ii)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛? 19.已知双曲线 ,点 在 上, 为常数, .按 照如下方式依次构造点 :过 作斜率为 的直线与 的左支交于点 ,令 为 关于 轴的对称点,记 的坐标为 . 19.1.若 ,求 ; 19.2.证明:数列 是公比为 的等比数列; 19.3.设 为 的面积,证明:对任意正整数 , . 参考答案 1.C????解析: 由复数模的计算公式直接计算即可. 若 ,则 . 故选:C. 2.B????解析: 对于两个命题而言,可分别取 、 ,再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 对于 而言,取 ,则有 ,故 是假命题, 是真命题, 对于 而言,取 ,则有 ,故 是真命题, 是假命题, 综上, 和 都是真命题. 故选:B. 3.B????解析: 由 得 ,结合 ,得 ,由此即可得解. 因为 ,所以 ,即 , 又因为 , 所以 , 内部资料 请勿外传 4/17 高考数学通从而 . 故选:B. 4.C????解析: 计算出前三段频数即可判断A;计算出低于1100kg的频数,再计算比例即可判断B;根据极差计算方 法即可判断C;根据平均值计算公式即可判断D. 对于 A, 根据频数分布表可知, , 所以亩产量的中位数不小于 , 故 A 错误; 对于B,亩产量不低于 的频数为 , 所以低于 的稻田占比为 ,故B错误; 对于C,稻田亩产量的极差最大为 ,最小为 ,故C正确; 对于D,由频数分布表可得,平均值为 ,故D错误 . 故选;C. 5.A????解析: 设点 ,由题意,根据中点的坐标表示可得 ,代入圆的方程即可求解. 设点 ,则 , 因为 为 的中点,所以 ,即 , 又 在圆 上, 所以 ,即 , 即点 的轨迹方程为 . 故选:A 6.D????解析: 解法一:令 ,分析可知曲线 与 恰有一个交点 ,结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上,即可得 ,并代入检验即可;解法二:令 ,可知 为偶函数,根据偶函数的对称性可知 的零 点只能为0,即可得 ,并代入检验即可. 解法一:令 ,即 ,可得 , 令 , 原题意等价于当 时,曲线 与 恰有一个交点, 注意到 均为偶函数,可知该交点只能在y轴上, 可得 ,即 ,解得 , 若 ,令 ,可得 因为 ,则 ,当且仅当 时,等号成立, 可得 ,当且仅当 时,等号成立, 则方程 有且仅有一个实根0,即曲线 与 恰有一个交点, 所以 符合题意; 综上所述: . 解法二:令 , 原题意等价于 有且仅有一个零点, 内部资料 请勿外传 5/17 高考数学通因为 , 则 为偶函数, 根据偶函数的对称性可知 的零点只能为0, 即 ,解得 , 若 ,则 , 又因为 当且仅当 时,等号成立, 可得 ,当且仅当 时,等号成立, 即 有且仅有一个零点0,所以 符合题意; 故选:D. 7.B????解析: 解法一:根据台体的体积公式可得三棱台的高 ,做辅助线,结合正三棱台的结构特征求得 ,进而根据线面夹角的定义分析求解;解法二:将正三棱台 补成正三棱 锥 , 与平面ABC所成角即为 与平面ABC所成角,根据比例关系可得 ,进而可求正三棱锥 的高,即可得结果. 解法一:分别取 的中点 ,则 , 可知 , 设正三棱台 的为 , 则 ,解得 , 如图,分别过 作底面垂线,垂足为 ,设 , 则 , , 可得 , 结合等腰梯形 可得 , 即 ,解得 , 所以 与平面ABC所成角的正切值为 ; 解法二:将正三棱台 补成正三棱锥 , 内部资料 请勿外传 6/17 高考数学通则 与平面ABC所成角即为 与平面ABC所成角, 因为 ,则 , 可知 ,则 , 设正三棱锥 的高为 ,则 ,解得 , 取底面ABC的中心为 ,则 底面ABC,且 , 所以 与平面ABC所成角的正切值 . 故选:B. 8.C????解析: 解法一:由题意可知: 的定义域为 ,分类讨论 与 的大小关系,结合 符号分析判断,即可得 ,代入可得最值;解法二:根据对数函数的性质分析 的符 号,进而可得 的符号,即可得 ,代入可得最值. 解法一:由题意可知: 的定义域为 , 令 解得 ;令 解得 ; 若 ,当 时,可知 , 此时 ,不合题意; 若 ,当 时,可知 , 此时 ,不合题意; 若 ,当 时,可知 ,此时 ; 当 时,可知 ,此时 ; 可知若 ,符合题意; 若 ,当 时,可知 , 此时 ,不合题意; 综上所述: ,即 , 则 ,当且仅当 时,等号成立, 所以 的最小值为 ; 解法二:由题意可知: 的定义域为 , 令 解得 ;令 解得 ; 则当 时, ,故 ,所以 ; 时, ,故 ,所以 ; 故 , 则 , 当且仅当 时,等号成立, 所以 的最小值为 . 故选:C. 关键点点睛:分别求 、 的根,以根和函数定义域为临界,比较大小分类讨论 ,结合符号性分析判断. 9.BC????解析: 根据正弦函数的零点,最值,周期公式,对称轴方程逐一分析每个选项即可. A选项,令 ,解得 ,即为 零点, 内部资料 请勿外传 7/17 高考数学通令 ,解得 ,即为 零点, 显然 零点不同,A选项错误; B选项,显然 ,B选项正确; C选项,根据周期公式, 的周期均为 ,C选项正确; D选项,根据正弦函数的性质 的对称轴满足 , 的对称轴满足 , 显然 图像的对称轴不同,D选项错误. 故选:BC 10.ABD????解析: A选项,抛物线准线为 ,根据圆心到准线的距离来判断;B选项, 三点共线时,先求 出 的坐标,进而得出切线长;C选项,根据 先算出 的坐标,然后验证 是否成立;D选项,根据抛物线的定义, ,于是问题转化成 的 点的存在性问题,此时考察 的中垂线和抛物线的交点个数即可,亦可 直接设 点坐标进行求解. A选项,抛物线 的准线为 , 的圆心 到直线 的距离显然是 ,等于圆的半径, 故准线 和 相切,A选项正确; B选项, 三点共线时,即 ,则 的纵坐标 , 由 ,得到 ,故 , 此时切线长 ,B选项正确; C选项,当 时, ,此时 ,故 或 , 当 时, , , , 不满足 ; 当 时, , , , 不满足 ; 于是 不成立,C选项错误; D选项,方法一:利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义, ,这里 , 于是 时 点的存在性问题转化成 时 点的存在性问题, , 中点 , 中垂线的斜率为 , 于是 的中垂线方程为: ,与抛物线 联立可得 , ,即 的中垂线和抛物线有两个交点, 即存在两个 点,使得 ,D选项正确. 方法二:(设点直接求解) 设 ,由 可得 ,又 ,又 , 根据两点间的距离公式, ,整理得 , ,则关于 的方程有两个解, 即存在两个这样的 点,D选项正确. 内部资料 请勿外传 8/17 高考数学通故选:ABD 11.AD????解析: A选项,先分析出函数的极值点为 ,根据零点存在定理和极值的符号判断出 在 上各有一个零点;B选项,根据极值和导函数符号的关系进行分析;C选项 ,假设存在这样的 ,使得 为 的对称轴,则 为恒等式,据此计算判断 ;D选项,若存在这样的 ,使得 为 的对称中心,则 ,据此 进行计算判断,亦可利用拐点结论直接求解. A选项, ,由于 , 故 时 ,故 在 上单调递增, 时, , 单调递减, 则 在 处取到极大值,在 处取到极小值, 由 , ,则 , 根据零点存在定理 在 上有一个零点, 又 , ,则 , 则 在 上各有一个零点,于是 时, 有三个零点,A选项正确; B选项, , 时, , 单调递减, 时 , 单调递增, 此时 在 处取到极小值,B选项错误; C选项,假设存在这样的 ,使得 为 的对称轴, 即存在这样的 使得 , 即 , 根据二项式定理,等式右边 展开式含有 的项为 , 于是等式左右两边 的系数都不相等,原等式不可能恒成立, 于是不存在这样的 ,使得 为 的对称轴,C选项错误; D选项, 方法一:利用对称中心的表达式化简 ,若存在这样的 ,使得 为 的对称中心, 则 ,事实上, , 于是 即 内部资料 请勿外传 9/17 高考数学通,解得 ,即存在 使得 是 的对称中心,D选项正确. 方法二:直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心,对称中心的横坐标是二阶导数的零点, , , , 由 ,于是该三次函数的对称中心为 , 由题意 也是对称中心,故 , 即存在 使得 是 的对称中心,D选项正确. 故选:AD 结论点睛:(1) 的对称轴为 ;(2) 关于 对称 ;(3)任何三次函数 都有对称中心,对称中 心是三次函数的拐点,对称中心的横坐标是 的解,即 是三次函数的对 称中心 12.95????解析: 利用等差数列通项公式得到方程组,解出 ,再利用等差数列的求和公式节即可得到答案. 因为数列 为等差数列,则由题意得 ,解得 , 则 . 故答案为: . 13. ????解析: 法一:根据两角和与差的正切公式得 ,再缩小 的范围,最后结合同角的 平方和关系即可得到答案;法二:利用弦化切的方法即可得到答案. 法一:由题意得 , 因为 , , 则 , , 又因为 , 则 , ,则 , 则 ,联立 ,解得 . 法二: 因为 为第一象限角, 为第三象限角,则 , , , 则 故答案为: . 14.24 112????解析: 由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选;利用列举法写出所有的可能结果 内部资料 请勿外传 10/17 高考数学通,即可求解. 由题意知,选4个方格,每行和每列均恰有一个方格被选中, 则第一列有4个方格可选,第二列有3个方格可选, 第三列有2个方格可选,第四列有1个方格可选, 所以共有 种选法; 每种选法可标记为 , 分别表示第一、二、三、四列的数字, 则所有的可能结果为: , , , , 所以选中的方格中, 的4个数之和最大,为 . 故答案为:24;112 关键点点睛:解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选,利用列举 法写出所有的可能结果. 15.1. ????解析: 方法一:常规方法(辅助角公式) 由 可得 ,即 , 由于 ,故 ,解得 方法二:常规方法(同角三角函数的基本关系) 由 ,又 ,消去 得到: ,解得 , 又 ,故 方法三:利用极值点求解 设 ,则 , 显然 时, ,注意到 , ,在开区间 上取到最大值,于是 必定是极值点, 即 ,即 , 又 ,故 方法四:利用向量数量积公式(柯西不等式) 设 ,由题意, , 根据向量的数量积公式, , 则 ,此时 ,即 同向共线, 根据向量共线条件, , 内部资料 请勿外传 11/17 高考数学通又 ,故 方法五:利用万能公式求解 设 ,根据万能公式, , 整理可得, , 解得 ,根据二倍角公式, , 又 ,故 15.2. ????解析: 由题设条件和正弦定理 , 又 ,则 ,进而 ,得到 , 于是 , , 由正弦定理可得, ,即 , 解得 , 故 的周长为 16.1. ????解析: 当 时,则 , , 可得 , , 即切点坐标为 ,切线斜率 , 所以切线方程为 ,即 . 16.2. ????解析: 解法一:因为 的定义域为 ,且 , 若 ,则 对任意 恒成立, 可知 在 上单调递增,无极值,不合题意; 若 ,令 ,解得 ;令 ,解得 ; 可知 在 内单调递减,在 内单调递增, 则 有极小值 ,无极大值, 由题意可得: ,即 , 构建 ,则 , 可知 在 内单调递增,且 , 不等式 等价于 ,解得 , 所以a的取值范围为 ; 解法二:因为 的定义域为 ,且 , 若 有极小值,则 有零点, 令 ,可得 , 可知 与 有交点,则 , 内部资料 请勿外传 12/17 高考数学通若 ,令 ,解得 ;令 ,解得 ; 可知 在 内单调递减,在 内单调递增, 则 有极小值 ,无极大值,符合题意, 由题意可得: ,即 , 构建 , 因为则 在 内单调递增, 可知 在 内单调递增,且 , 不等式 等价于 ,解得 , 所以a的取值范围为 . 17.1.证明见解析????解析: 由 , 得 ,又 ,在 中, 由余弦定理得 , 所以 ,则 ,即 , 所以 ,又 平面 , 所以 平面 ,又 平面 , 故 ; 17.2. ????解析: 连接 ,由 ,则 , 在 中, ,得 , 所以 ,由(1)知 ,又 平面 , 所以 平面 ,又 平面 , 所以 ,则 两两垂直,建立如图空间直角坐标系 , 则 , 由 是 的中点,得 , 所以 , 设平面 和平面 的一个法向量分别为 , 则 , , 令 ,得 , 所以 , 所以 , 设平面 和平面 所成角为 ,则 , 内部资料 请勿外传 13/17 高考数学通即平面 和平面 所成角的正弦值为 . 18.1. ????解析: 甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分,则甲第一阶段至少投中1次,乙第二阶段也至少投中1次, 比赛成绩不少于5分的概率 . 18.2.(i)由甲参加第一阶段比赛;(i)由甲参加第一阶段比赛;????解析: (i)若甲先参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为 , 若乙先参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为 , , , ,应该由甲参加第一阶段比赛. (ii)若甲先参加第一阶段比赛,比赛成绩 的所有可能取值为0,5,10,15, , , , , 记乙先参加第一阶段比赛,比赛成绩 的所有可能取值为0,5,10,15, 同理 , 因为 ,则 , , 则 , 应该由甲参加第一阶段比赛. 19.1. , ????解析: 内部资料 请勿外传 14/17 高考数学通由已知有 ,故 的方程为 . 当 时,过 且斜率为 的直线为 ,与 联立得到 . 解得 或 ,所以该直线与 的不同于 的交点为 ,该点显然在 的左支上. 故 ,从而 , . 19.2.证明见解析????解析: 由于过 且斜率为 的直线为 ,与 联立,得到方程 . 展开即得 ,由于 已经是直线 和 的公共点,故方程必有一根 . 从而根据韦达定理,另一根 ,相应的 . 所以该直线与 的不同于 的交点为 ,而注意到 的横坐标亦可通 过韦达定理表示为 ,故 一定在 的左支上. 所以 . 这就得到 , . 所以 . 再由 ,就知道 ,所以数列 是公比为 的等比数列. 19.3.证明见解析????解析: 方法一:先证明一个结论:对平面上三个点 ,若 , ,则 .(若 在同一条直线上,约定 ) 证明: 内部资料 请勿外传 15/17 高考数学通. 证毕,回到原题. 由于上一小问已经得到 , , 故 . 再由 ,就知道 ,所以数列 是公比为 的等比数列. 所以对任意的正整数 ,都有 . 而又有 , , 故利用前面已经证明的结论即得 . 这就表明 的取值是与 无关的定值,所以 . 方法二:由于上一小问已经得到 , , 故 . 再由 ,就知道 ,所以数列 是公比为 的等比数列. 所以对任意的正整数 ,都有 . 这就得到 , 以及 . 两式相减,即得 . 移项得到 内部资料 请勿外传 16/17 高考数学通. 故 . 而 , . 所以 和 平行,这就得到 ,即 . 内部资料 请勿外传 17/17 高考数学通 |
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