小 学 数 学 应 用 题 2 1 种 类 型 总 结 （ 附 例 题 、 解 题 思 路 ）
1 、 归 一 问 题
【 含 义 】
在 解 题 时 ， 先 求 出 一 份 是 多 少 （ 即 单 一 量 ） ， 然 后 以 单 一 量 为 标 准 ， 求 出 所 要
求 的 数 量 。 这 类 应 用 题 叫 做 归 一 问 题 。
【 数 量 关 系 】
总 量 ÷ 份 数 ＝ 1 份 数 量
1 份 数 量 × 所 占 份 数 ＝ 所 求 几 份 的 数 量
另 一 总 量 ÷ （ 总 量 ÷ 份 数 ） ＝ 所 求 份 数
【 解 题 思 路 和 方 法 】
先 求 出 单 一 量 ， 以 单 一 量 为 标 准 ， 求 出 所 要 求 的 数 量 。
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例 1
买 5 支 铅 笔 要 0 . 6 元 钱 ， 买 同 样 的 铅 笔 1 6 支 ， 需 要 多 少 钱 ？
解
（ 1 ） 买 1 支 铅 笔 多 少 钱 ？ 0 . 6 ÷ 5 ＝ 0 . 1 2 （ 元 ）
（ 2 ） 买 1 6 支 铅 笔 需 要 多 少 钱 ？ 0 . 1 2 × 1 6 ＝ 1 . 9 2 （ 元 ）
列 成 综 合 算 式 0 . 6 ÷ 5 × 1 6 ＝ 0 . 1 2 × 1 6 ＝ 1 . 9 2 （ 元 ）
答 ： 需 要 1 . 9 2 元 。
例 2
3 台 拖 拉 机 3 天 耕 地 9 0 公 顷 ， 照 这 样 计 算 ， 5 台 拖 拉 机 6 天 耕 地 多 少 公 顷 ？
解
（ 1 ） 1 台 拖 拉 机 1 天 耕 地 多 少 公 顷 ？ 9 0 ÷ 3 ÷ 3 ＝ 1 0 （ 公 顷 ）
（ 2 ） 5 台 拖 拉 机 6 天 耕 地 多 少 公 顷 ？ 1 0 × 5 × 6 ＝ 3 0 0 （ 公 顷 ）
列 成 综 合 算 式 9 0 ÷ 3 ÷ 3 × 5 × 6 ＝ 1 0 × 3 0 ＝ 3 0 0 （ 公 顷 ）
答 ： 5 台 拖 拉 机 6 天 耕 地 3 0 0 公 顷 。
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例 3
5 辆 汽 车 4 次 可 以 运 送 1 0 0 吨 钢 材 ， 如 果 用 同 样 的 7 辆 汽 车 运 送 1 0 5 吨 钢 材 ，
需 要 运 几 次 ？
解
（ 1 ） 1 辆 汽 车 1 次 能 运 多 少 吨 钢 材 ？ 1 0 0 ÷ 5 ÷ 4 ＝ 5 （ 吨 ）
（ 2 ） 7 辆 汽 车 1 次 能 运 多 少 吨 钢 材 ？ 5 × 7 ＝ 3 5 （ 吨 ）
（ 3 ） 1 0 5 吨 钢 材 7 辆 汽 车 需 要 运 几 次 ？ 1 0 5 ÷ 3 5 ＝ 3 （ 次 ）
列 成 综 合 算 式 1 0 5 ÷ （ 1 0 0 ÷ 5 ÷ 4 × 7 ） ＝ 3 （ 次 ）
答 ： 需 要 运 3 次 。
2 、 归 总 问 题
【 含 义 】
解 题 时 ， 常 常 先 找 出 “ 总 数 量 ” ， 然 后 再 根 据 其 它 条 件 算 出 所 求 的 问 题 ， 叫 归
总 问 题 。 所 谓 “ 总 数 量 ” 是 指 货 物 的 总 价 、 几 小 时 （ 几 天 ） 的 总 工 作 量 、 几 公
亩 地 上 的 总 产 量 、 几 小 时 行 的 总 路 程 等 。
【 数 量 关 系 】
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1 份 数 量 × 份 数 ＝ 总 量
总 量 ÷ 1 份 数 量 ＝ 份 数
总 量 ÷ 另 一 份 数 ＝ 另 一 每 份 数 量
【 解 题 思 路 和 方 法 】
先 求 出 总 数 量 ， 再 根 据 题 意 得 出 所 求 的 数 量 。
例 1
服 装 厂 原 来 做 一 套 衣 服 用 布 3 . 2 米 ， 改 进 裁 剪 方 法 后 ， 每 套 衣 服 用 布 2 . 8 米 。
原 来 做 7 9 1 套 衣 服 的 布 ， 现 在 可 以 做 多 少 套 ？
解
（ 1 ） 这 批 布 总 共 有 多 少 米 ？ 3 . 2 × 7 9 1 ＝ 2 5 3 1 . 2 （ 米 ）
（ 2 ） 现 在 可 以 做 多 少 套 ？ 2 5 3 1 . 2 ÷ 2 . 8 ＝ 9 0 4 （ 套 ）
列 成 综 合 算 式 3 . 2 × 7 9 1 ÷ 2 . 8 ＝ 9 0 4 （ 套 ）
答 ： 现 在 可 以 做 9 0 4 套 。
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例 2
小 华 每 天 读 2 4 页 书 ， 1 2 天 读 完 了 《 红 岩 》 一 书 。 小 明 每 天 读 3 6 页 书 ， 几 天
可 以 读 完 《 红 岩 》 ？
解
（ 1 ） 《 红 岩 》 这 本 书 总 共 多 少 页 ？ 2 4 × 1 2 ＝ 2 8 8 （ 页 ）
（ 2 ） 小 明 几 天 可 以 读 完 《 红 岩 》 ？ 2 8 8 ÷ 3 6 ＝ 8 （ 天 ）
列 成 综 合 算 式 2 4 × 1 2 ÷ 3 6 ＝ 8 （ 天 ）
答 ： 小 明 8 天 可 以 读 完 《 红 岩 》 。
例 3
食 堂 运 来 一 批 蔬 菜 ， 原 计 划 每 天 吃 5 0 千 克 ， 3 0 天 慢 慢 消 费 完 这 批 蔬 菜 。 后 来
根 据 大 家 的 意 见 ， 每 天 比 原 计 划 多 吃 1 0 千 克 ， 这 批 蔬 菜 可 以 吃 多 少 天 ？
解
（ 1 ） 这 批 蔬 菜 共 有 多 少 千 克 ？ 5 0 × 3 0 ＝ 1 5 0 0 （ 千 克 ）
（ 2 ） 这 批 蔬 菜 可 以 吃 多 少 天 ？ 1 5 0 0 ÷ （ 5 0 ＋ 1 0 ） ＝ 2 5 （ 天 ）
列 成 综 合 算 式 5 0 × 3 0 ÷ （ 5 0 ＋ 1 0 ） ＝ 1 5 0 0 ÷ 6 0 ＝ 2 5 （ 天 ）
答 ： 这 批 蔬 菜 可 以 吃 2 5 天 。
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3 、 和 差 问 题
【 含 义 】
已 知 两 个 数 量 的 和 与 差 ， 求 这 两 个 数 量 各 是 多 少 ， 这 类 应 用 题 叫 和 差 问 题 。
【 数 量 关 系 】
大 数 ＝ （ 和 ＋ 差 ） ÷ 2
小 数 ＝ （ 和 － 差 ） ÷ 2
【 解 题 思 路 和 方 法 】
简 单 的 题 目 可 以 直 接 套 用 公 式 ； 复 杂 的 题 目 变 通 后 再 用 公 式 。
例 1
甲 乙 两 班 共 有 学 生 9 8 人 ， 甲 班 比 乙 班 多 6 人 ， 求 两 班 各 有 多 少 人 ？
解 甲 班 人 数 ＝ （ 9 8 ＋ 6 ） ÷ 2 ＝ 5 2 （ 人 ）
乙 班 人 数 ＝ （ 9 8 － 6 ） ÷ 2 ＝ 4 6 （ 人 ）
答 ： 甲 班 有 5 2 人 ， 乙 班 有 4 6 人 。
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例 2
长 方 形 的 长 和 宽 之 和 为 1 8 厘 米 ， 长 比 宽 多 2 厘 米 ， 求 长 方 形 的 面 积 。
解
长 ＝ （ 1 8 ＋ 2 ） ÷ 2 ＝ 1 0 （ 厘 米 ）
宽 ＝ （ 1 8 － 2 ） ÷ 2 ＝ 8 （ 厘 米 ）
长 方 形 的 面 积 ＝ 1 0 × 8 ＝ 8 0 （ 平 方 厘 米 ）
答 ： 长 方 形 的 面 积 为 8 0 平 方 厘 米 。
例 3
有 甲 乙 丙 三 袋 化 肥 ， 甲 乙 两 袋 共 重 3 2 千 克 ， 乙 丙 两 袋 共 重 3 0 千 克 ， 甲 丙 两 袋
共 重 2 2 千 克 ， 求 三 袋 化 肥 各 重 多 少 千 克 。
解
甲 乙 两 袋 、 乙 丙 两 袋 都 含 有 乙 ， 从 中 可 以 看 出 甲 比 丙 多 （ 3 2 － 3 0 ） ＝ 2 千 克 ，
且 甲 是 大 数 ， 丙 是 小 数 。 由 此 可 知
甲 袋 化 肥 重 量 ＝ （ 2 2 ＋ 2 ） ÷ 2 ＝ 1 2 （ 千 克 ）
丙 袋 化 肥 重 量 ＝ （ 2 2 － 2 ） ÷ 2 ＝ 1 0 （ 千 克 ）
乙 袋 化 肥 重 量 ＝ 3 2 － 1 2 ＝ 2 0 （ 千 克 ）
答 ： 甲 袋 化 肥 重 1 2 千 克 ， 乙 袋 化 肥 重 2 0 千 克 ， 丙 袋 化 肥 重 1 0 千 克 。
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例 4
甲 乙 两 车 原 来 共 装 苹 果 9 7 筐 ， 从 甲 车 取 下 1 4 筐 放 到 乙 车 上 ， 结 果 甲 车 比 乙 车
还 多 3 筐 ， 两 车 原 来 各 装 苹 果 多 少 筐 ？
解
“ 从 甲 车 取 下 1 4 筐 放 到 乙 车 上 ， 结 果 甲 车 比 乙 车 还 多 3 筐 ” ， 这 说 明 甲 车 是
大 数 ， 乙 车 是 小 数 ， 甲 与 乙 的 差 是 （ 1 4 × 2 ＋ 3 ） ， 甲 与 乙 的 和 是 9 7 ， 因 此 甲 车
筐 数 ＝ （ 9 7 ＋ 1 4 × 2 ＋ 3 ） ÷ 2 ＝ 6 4 （ 筐 ）
乙 车 筐 数 ＝ 9 7 － 6 4 ＝ 3 3 （ 筐 ）
答 ： 甲 车 原 来 装 苹 果 6 4 筐 ， 乙 车 原 来 装 苹 果 3 3 筐 。
4 、 和 倍 问 题
【 含 义 】
已 知 两 个 数 的 和 及 大 数 是 小 数 的 几 倍 （ 或 小 数 是 大 数 的 几 分 之 几 ） ， 要 求 这 两
个 数 各 是 多 少 ， 这 类 应 用 题 叫 做 和 倍 问 题 。
【 数 量 关 系 】
总 和 ÷ （ 几 倍 ＋ 1 ） ＝ 较 小 的 数
总 和 － 较 小 的 数 ＝ 较 大 的 数
较 小 的 数 × 几 倍 ＝ 较 大 的 数
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【 解 题 思 路 和 方 法 】
简 单 的 题 目 直 接 利 用 公 式 ， 复 杂 的 题 目 变 通 后 利 用 公 式 。
例 1
果 园 里 有 杏 树 和 桃 树 共 2 4 8 棵 ， 桃 树 的 棵 数 是 杏 树 的 3 倍 ， 求 杏 树 、 桃 树 各 多
少 棵 ？
解
（ 1 ） 杏 树 有 多 少 棵 ？ 2 4 8 ÷ （ 3 ＋ 1 ） ＝ 6 2 （ 棵 ）
（ 2 ） 桃 树 有 多 少 棵 ？ 6 2 × 3 ＝ 1 8 6 （ 棵 ） 答 ： 杏 树 有 6 2 棵 ， 桃 树 有 1 8 6 棵 。
例 2
东 西 两 个 仓 库 共 存 粮 4 8 0 吨 ， 东 库 存 粮 数 是 西 库 存 粮 数 的 1 . 4 倍 ， 求 两 库 各 存
粮 多 少 吨 ？
解
（ 1 ） 西 库 存 粮 数 ＝ 4 8 0 ÷ （ 1 . 4 ＋ 1 ） ＝ 2 0 0 （ 吨 ）
（ 2 ） 东 库 存 粮 数 ＝ 4 8 0 － 2 0 0 ＝ 2 8 0 （ 吨 ）
答 ： 东 库 存 粮 2 8 0 吨 ， 西 库 存 粮 2 0 0 吨 。
例 3
甲 站 原 有 车 5 2 辆 ， 乙 站 原 有 车 3 2 辆 ， 若 每 天 从 甲 站 开 往 乙 站 2 8 辆 ， 从 乙 站
开 往 甲 站 2 4 辆 ， 几 天 后 乙 站 车 辆 数 是 甲 站 的 2 倍 ？
解 每 天 从 甲 站 开 往 乙 站 2 8 辆 ， 从 乙 站 开 往 甲 站 2 4 辆 ， 相 当 于 每 天 从 甲 站 开 往
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乙 站 （ 2 8 － 2 4 ） 辆 。 把 几 天 以 后 甲 站 的 车 辆 数 当 作 1 倍 量 ， 这 时 乙 站 的 车 辆 数
就 是 2 倍 量 ， 两 站 的 车 辆 总 数 （ 5 2 ＋ 3 2 ） 就 相 当 于 （ 2 ＋ 1 ） 倍 ， 那 么 ， 几 天 以
后 甲 站 的 车 辆 数 减 少 为 （ 5 2 ＋ 3 2 ） ÷ （ 2 ＋ 1 ） ＝ 2 8 （ 辆 ）
所 求 天 数 为 （ 5 2 － 2 8 ） ÷ （ 2 8 － 2 4 ） ＝ 6 （ 天 ）
答 ： 6 天 以 后 乙 站 车 辆 数 是 甲 站 的 2 倍 。
例 4
甲 乙 丙 三 数 之 和 是 1 7 0 ， 乙 比 甲 的 2 倍 少 4 ， 丙 比 甲 的 3 倍 多 6 ， 求 三 数 各 是
多 少 ？
解
乙 丙 两 数 都 与 甲 数 有 直 接 关 系 ， 因 此 把 甲 数 作 为 1 倍 量 。
因 为 乙 比 甲 的 2 倍 少 4 ， 所 以 给 乙 加 上 4 ， 乙 数 就 变 成 甲 数 的 2 倍 ；
又 因 为 丙 比 甲 的 3 倍 多 6 ， 所 以 丙 数 减 去 6 就 变 为 甲 数 的 3 倍 ；
这 时 （ 1 7 0 ＋ 4 － 6 ） 就 相 当 于 （ 1 ＋ 2 ＋ 3 ） 倍 。 那 么 ，
甲 数 ＝ （ 1 7 0 ＋ 4 － 6 ） ÷ （ 1 ＋ 2 ＋ 3 ） ＝ 2 8
乙 数 ＝ 2 8 × 2 － 4 ＝ 5 2 丙 数 ＝ 2 8 × 3 ＋ 6 ＝ 9 0
答 ： 甲 数 是 2 8 ， 乙 数 是 5 2 ， 丙 数 是 9 0 。
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5 、 差 倍 问 题
【 含 义 】
已 知 两 个 数 的 差 及 大 数 是 小 数 的 几 倍 （ 或 小 数 是 大 数 的 几 分 之 几 ） ， 要 求 这 两
个 数 各 是 多 少 ， 这 类 应 用 题 叫 做 差 倍 问 题 。
【 数 量 关 系 】
两 个 数 的 差 ÷ （ 几 倍 － 1 ） ＝ 较 小 的 数
较 小 的 数 × 几 倍 ＝ 较 大 的 数
【 解 题 思 路 和 方 法 】
简 单 的 题 目 直 接 利 用 公 式 ， 复 杂 的 题 目 变 通 后 利 用 公 式 。
例 1
果 园 里 桃 树 的 棵 数 是 杏 树 的 3 倍 ， 而 且 桃 树 比 杏 树 多 1 2 4 棵 。 求 杏 树 、 桃 树 各
多 少 棵 ？
解
（ 1 ） 杏 树 有 多 少 棵 ？ 1 2 4 ÷ （ 3 － 1 ） ＝ 6 2 （ 棵 ）
（ 2 ） 桃 树 有 多 少 棵 ？ 6 2 × 3 ＝ 1 8 6 （ 棵 ）
答 ： 果 园 里 杏 树 是 6 2 棵 ， 桃 树 是 1 8 6 棵 。
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例 2
爸 爸 比 儿 子 大 2 7 岁 ， 今 年 ， 爸 爸 的 年 龄 是 儿 子 年 龄 的 4 倍 ， 求 父 子 二 人 今 年
各 是 多 少 岁 ？
解
（ 1 ） 儿 子 年 龄 ＝ 2 7 ÷ （ 4 － 1 ） ＝ 9 （ 岁 ）
（ 2 ） 爸 爸 年 龄 ＝ 9 × 4 ＝ 3 6 （ 岁 ）
答 ： 父 子 二 人 今 年 的 年 龄 分 别 是 3 6 岁 和 9 岁 。
例 3
商 场 改 革 经 营 管 理 办 法 后 ， 本 月 盈 利 比 上 月 盈 利 的 2 倍 还 多 1 2 万 元 ， 又 知 本
月 盈 利 比 上 月 盈 利 多 3 0 万 元 ， 求 这 两 个 月 盈 利 各 是 多 少 万 元 ？
解
如 果 把 上 月 盈 利 作 为 1 倍 量 ， 则 （ 3 0 － 1 2 ） 万 元 就 相 当 于 上 月 盈 利 的 （ 2 － 1 ）
倍 ， 因 此
上 月 盈 利 ＝ （ 3 0 － 1 2 ） ÷ （ 2 － 1 ） ＝ 1 8 （ 万 元 ）
本 月 盈 利 ＝ 1 8 ＋ 3 0 ＝ 4 8 （ 万 元 ）
答 ： 上 月 盈 利 是 1 8 万 元 ， 本 月 盈 利 是 4 8 万 元 。
例 4
粮 库 有 9 4 吨 小 麦 和 1 3 8 吨 玉 米 ， 如 果 每 天 运 出 小 麦 和 玉 米 各 是 9 吨 ， 问 几 天
后 剩 下 的 玉 米 是 小 麦 的 3 倍 ？
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解
由 于 每 天 运 出 的 小 麦 和 玉 米 的 数 量 相 等 ， 所 以 剩 下 的 数 量 差 等 于 原 来 的 数 量 差
（ 1 3 8 － 9 4 ） 。 把 几 天 后 剩 下 的 小 麦 看 作 1 倍 量 ， 则 几 天 后 剩 下 的 玉 米 就 是 3
倍 量 ， 那 么 ， （ 1 3 8 － 9 4 ） 就 相 当 于 （ 3 － 1 ） 倍 ， 因 此
剩 下 的 小 麦 数 量 ＝ （ 1 3 8 － 9 4 ） ÷ （ 3 － 1 ） ＝ 2 2 （ 吨 ）
运 出 的 小 麦 数 量 ＝ 9 4 － 2 2 ＝ 7 2 （ 吨 ）
运 粮 的 天 数 ＝ 7 2 ÷ 9 ＝ 8 （ 天 ）
答 ： 8 天 以 后 剩 下 的 玉 米 是 小 麦 的 3 倍 。
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6 、 倍 比 问 题
【 含 义 】
有 两 个 已 知 的 同 类 量 ， 其 中 一 个 量 是 另 一 个 量 的 若 干 倍 ， 解 题 时 先 求 出 这 个 倍
数 ， 再 用 倍 比 的 方 法 算 出 要 求 的 数 ， 这 类 应 用 题 叫 做 倍 比 问 题 。
【 数 量 关 系 】
总 量 ÷ 一 个 数 量 ＝ 倍 数
另 一 个 数 量 × 倍 数 ＝ 另 一 总 量
【 解 题 思 路 和 方 法 】
先 求 出 倍 数 ， 再 用 倍 比 关 系 求 出 要 求 的 数 。
例 1
1 0 0 千 克 油 菜 籽 可 以 榨 油 4 0 千 克 ， 现 在 有 油 菜 籽 3 7 0 0 千 克 ， 可 以 榨 油 多 少 ？
解
（ 1 ） 3 7 0 0 千 克 是 1 0 0 千 克 的 多 少 倍 ？ 3 7 0 0 ÷ 1 0 0 ＝ 3 7 （ 倍 ）
（ 2 ） 可 以 榨 油 多 少 千 克 ？ 4 0 × 3 7 ＝ 1 4 8 0 （ 千 克 ）
列 成 综 合 算 式 4 0 × （ 3 7 0 0 ÷ 1 0 0 ） ＝ 1 4 8 0 （ 千 克 ）
答 ： 可 以 榨 油 1 4 8 0 千 克 。
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例 2
今 年 植 树 节 这 天 ， 某 小 学 3 0 0 名 师 生 共 植 树 4 0 0 棵 ， 照 这 样 计 算 ， 全 县 4 8 0 0 0
名 师 生 共 植 树 多 少 棵 ？
解
（ 1 ） 4 8 0 0 0 名 是 3 0 0 名 的 多 少 倍 ？ 4 8 0 0 0 ÷ 3 0 0 ＝ 1 6 0 （ 倍 ）
（ 2 ） 共 植 树 多 少 棵 ？ 4 0 0 × 1 6 0 ＝ 6 4 0 0 0 （ 棵 ）
列 成 综 合 算 式 4 0 0 × （ 4 8 0 0 0 ÷ 3 0 0 ） ＝ 6 4 0 0 0 （ 棵 ）
答 ： 全 县 4 8 0 0 0 名 师 生 共 植 树 6 4 0 0 0 棵 。
例 3
凤 翔 县 今 年 苹 果 大 丰 收 ， 田 家 庄 一 户 人 家 4 亩 果 园 收 入 1 1 1 1 1 元 ， 照 这 样 计 算 ，
全 乡 8 0 0 亩 果 园 共 收 入 多 少 元 ？ 全 县 1 6 0 0 0 亩 果 园 共 收 入 多 少 元 ？
解
（ 1 ） 8 0 0 亩 是 4 亩 的 几 倍 ？ 8 0 0 ÷ 4 ＝ 2 0 0 （ 倍 ）
（ 2 ） 8 0 0 亩 收 入 多 少 元 ？ 1 1 1 1 1 × 2 0 0 ＝ 2 2 2 2 2 0 0 （ 元 ）
（ 3 ） 1 6 0 0 0 亩 是 8 0 0 亩 的 几 倍 ？ 1 6 0 0 0 ÷ 8 0 0 ＝ 2 0 （ 倍 ）
（ 4 ） 1 6 0 0 0 亩 收 入 多 少 元 ？ 2 2 2 2 2 0 0 × 2 0 ＝ 4 4 4 4 4 0 0 0 （ 元 ）
答 ： 全 乡 8 0 0 亩 果 园 共 收 入 2 2 2 2 2 0 0 元 ， 全 县 1 6 0 0 0 亩 果 园 共 收 入 4 4 4 4 4 0 0 0
元 。
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7 、 相 遇 问 题
【 含 义 】
两 个 运 动 的 物 体 同 时 由 两 地 出 发 相 向 而 行 ， 在 途 中 相 遇 。 这 类 应 用 题 叫 做 相 遇
问 题 。
【 数 量 关 系 】
相 遇 时 间 ＝ 总 路 程 ÷ （ 甲 速 ＋ 乙 速 ）
总 路 程 ＝ （ 甲 速 ＋ 乙 速 ） × 相 遇 时 间
【 解 题 思 路 和 方 法 】
简 单 的 题 目 可 直 接 利 用 公 式 ， 复 杂 的 题 目 变 通 后 再 利 用 公 式 。
例 1
南 京 到 上 海 的 水 路 长 3 9 2 千 米 ， 同 时 从 两 港 各 开 出 一 艘 轮 船 相 对 而 行 ， 从 南 京
开 出 的 船 每 小 时 行 2 8 千 米 ， 从 上 海 开 出 的 船 每 小 时 行 2 1 千 米 ， 经 过 几 小 时 两
船 相 遇 ？
解 3 9 2 ÷ （ 2 8 ＋ 2 1 ） ＝ 8 （ 小 时 ）
答 ： 经 过 8 小 时 两 船 相 遇 。
例 2
小 李 和 小 刘 在 周 长 为 4 0 0 米 的 环 形 跑 道 上 跑 步 ， 小 李 每 秒 钟 跑 5 米 ， 小 刘 每 秒
钟 跑 3 米 ， 他 们 从 同 一 地 点 同 时 出 发 ， 反 向 而 跑 ， 那 么 ， 二 人 从 出 发 到 第 二 次
相 遇 需 多 长 时 间 ？
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解
“ 第 二 次 相 遇 ” 可 以 理 解 为 二 人 跑 了 两 圈 。
因 此 总 路 程 为 4 0 0 × 2
相 遇 时 间 ＝ （ 4 0 0 × 2 ） ÷ （ 5 ＋ 3 ） ＝ 1 0 0 （ 秒 ）
答 ： 二 人 从 出 发 到 第 二 次 相 遇 需 1 0 0 秒 时 间 。
例 3
甲 乙 二 人 同 时 从 两 地 骑 自 行 车 相 向 而 行 ， 甲 每 小 时 行 1 5 千 米 ， 乙 每 小 时 行 1 3
千 米 ， 两 人 在 距 中 点 3 千 米 处 相 遇 ， 求 两 地 的 距 离 。
解 “ 两 人 在 距 中 点 3 千 米 处 相 遇 ” 是 正 确 理 解 本 题 题 意 的 关 键 。 从 题 中 可 知 甲 骑
得 快 ， 乙 骑 得 慢 ， 甲 过 了 中 点 3 千 米 ， 乙 距 中 点 3 千 米 ， 就 是 说 甲 比 乙 多 走 的 路
程 是 （ 3 × 2 ） 千 米 ， 因 此 ，
相 遇 时 间 ＝ （ 3 × 2 ） ÷ （ 1 5 － 1 3 ） ＝ 3 （ 小 时 ）
两 地 距 离 ＝ （ 1 5 ＋ 1 3 ） × 3 ＝ 8 4 （ 千 米 ） 答 ： 两 地 距 离 是 8 4 千 米 。
8 、 追 及 问 题
【 含 义 】
两 个 运 动 物 体 在 不 同 地 点 同 时 出 发 （ 或 者 在 同 一 地 点 而 不 是 同 时 出 发 ， 或 者 在
不 同 地 点 又 不 是 同 时 出 发 ） 作 同 向 运 动 ， 在 后 面 的 ， 行 进 速 度 要 快 些 ， 在 前 面
的 ， 行 进 速 度 较 慢 些 ， 在 一 定 时 间 之 内 ， 后 面 的 追 上 前 面 的 物 体 。 这 类 应 用 题
就 叫 做 追 及 问 题 。
【 数 量 关 系 】
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追 及 时 间 ＝ 追 及 路 程 ÷ （ 快 速 － 慢 速 ）
追 及 路 程 ＝ （ 快 速 － 慢 速 ） × 追 及 时 间
【 解 题 思 路 和 方 法 】
简 单 的 题 目 直 接 利 用 公 式 ， 复 杂 的 题 目 变 通 后 利 用 公 式 。
例 1
好 马 每 天 走 1 2 0 千 米 ， 劣 马 每 天 走 7 5 千 米 ， 劣 马 先 走 1 2 天 ， 好 马 几 天 能 追 上
劣 马 ？
解 （ 1 ） 劣 马 先 走 1 2 天 能 走 多 少 千 米 ？ 7 5 × 1 2 ＝ 9 0 0 （ 千 米 ）
（ 2 ） 好 马 几 天 追 上 劣 马 ？ 9 0 0 ÷ （ 1 2 0 － 7 5 ） ＝ 2 0 （ 天 ）
列 成 综 合 算 式 7 5 × 1 2 ÷ （ 1 2 0 － 7 5 ） ＝ 9 0 0 ÷ 4 5 ＝ 2 0 （ 天 ）
答 ： 好 马 2 0 天 能 追 上 劣 马 。
例 2
小 明 和 小 亮 在 2 0 0 米 环 形 跑 道 上 跑 步 ， 小 明 跑 一 圈 用 4 0 秒 ， 他 们 从 同 一 地 点
同 时 出 发 ， 同 向 而 跑 。 小 明 第 一 次 追 上 小 亮 时 跑 了 5 0 0 米 ， 求 小 亮 的 速 度 是 每
秒 多 少 米 。
解 小 明 第 一 次 追 上 小 亮 时 比 小 亮 多 跑 一 圈 ， 即 2 0 0 米 ， 此 时 小 亮 跑 了 （ 5 0 0 －
2 0 0 ） 米 ， 要 知 小 亮 的 速 度 ， 须 知 追 及 时 间 ， 即 小 明 跑 5 0 0 米 所 用 的 时 间 。 又 知
小 明 跑 2 0 0 米 用 4 0 秒 ， 则 跑 5 0 0 米 用 ［ 4 0 × （ 5 0 0 ÷ 2 0 0 ） ］ 秒 ， 所 以 小 亮 的
速 度 是
（ 5 0 0 － 2 0 0 ） ÷ ［ 4 0 × （ 5 0 0 ÷ 2 0 0 ） ］ ＝ 3 0 0 ÷ 1 0 0 ＝ 3 （ 米 ）
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答 ： 小 亮 的 速 度 是 每 秒 3 米 。
例 3
我 人 民 解 放 军 追 击 一 股 逃 窜 的 敌 人 ， 敌 人 在 下 午 1 6 点 开 始 从 甲 地 以 每 小 时 1 0
千 米 的 速 度 逃 跑 ， 解 放 军 在 晚 上 2 2 点 接 到 命 令 ， 以 每 小 时 3 0 千 米 的 速 度 开 始
从 乙 地 追 击 。 已 知 甲 乙 两 地 相 距 6 0 千 米 ， 问 解 放 军 几 个 小 时 可 以 追 上 敌 人 ？
解
敌 人 逃 跑 时 间 与 解 放 军 追 击 时 间 的 时 差 是 （ 2 2 － 1 6 ） 小 时 ， 这 段 时 间 敌 人 逃 跑
的 路 程 是 ［ 1 0 × （ 2 2 － 6 ） ］ 千 米 ， 甲 乙 两 地 相 距 6 0 千 米 。 由 此 推 知
追 及 时 间 ＝ ［ 1 0 × （ 2 2 － 6 ） ＋ 6 0 ］ ÷ （ 3 0 － 1 0 ） ＝ 2 2 0 ÷ 2 0 ＝ 1 1 （ 小 时 ）
答 ： 解 放 军 在 1 1 小 时 后 可 以 追 上 敌 人 。
例 4
一 辆 客 车 从 甲 站 开 往 乙 站 ， 每 小 时 行 4 8 千 米 ； 一 辆 货 车 同 时 从 乙 站 开 往 甲 站 ，
每 小 时 行 4 0 千 米 ， 两 车 在 距 两 站 中 点 1 6 千 米 处 相 遇 ， 求 甲 乙 两 站 的 距 离 。
解
这 道 题 可 以 由 相 遇 问 题 转 化 为 追 及 问 题 来 解 决 。 从 题 中 可 知 客 车 落 后 于 货 车 （ 1 6
× 2 ） 千 米 ， 客 车 追 上 货 车 的 时 间 就 是 前 面 所 说 的 相 遇 时 间 ，
这 个 时 间 为 1 6 × 2 ÷ （ 4 8 － 4 0 ） ＝ 4 （ 小 时 ）
所 以 两 站 间 的 距 离 为 （ 4 8 ＋ 4 0 ） × 4 ＝ 3 5 2 （ 千 米 ）
列 成 综 合 算 式 （ 4 8 ＋ 4 0 ） × ［ 1 6 × 2 ÷ （ 4 8 － 4 0 ） ］
＝ 8 8 × 4 ＝ 3 5 2 （ 千 米 ） 答 ： 甲 乙 两 站 的 距 离 是 3 5 2 千 米 。
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9 、 植 树 问 题
【 含 义 】
按 相 等 的 距 离 植 树 ， 在 距 离 、 棵 距 、 棵 数 这 三 个 量 之 间 ， 已 知 其 中 的 两 个 量 ，
要 求 第 三 个 量 ， 这 类 应 用 题 叫 做 植 树 问 题 。
【 数 量 关 系 】
线 形 植 树 棵 数 ＝ 距 离 ÷ 棵 距 ＋ 1
环 形 植 树 棵 数 ＝ 距 离 ÷ 棵 距
方 形 植 树 棵 数 ＝ 距 离 ÷ 棵 距 － 4
三 角 形 植 树 棵 数 ＝ 距 离 ÷ 棵 距 － 3
面 积 植 树 棵 数 ＝ 面 积 ÷ （ 棵 距 × 行 距 ）
【 解 题 思 路 和 方 法 】
先 弄 清 楚 植 树 问 题 的 类 型 ， 然 后 可 以 利 用 公 式 。
例 1
一 条 河 堤 1 3 6 米 ， 每 隔 2 米 栽 一 棵 垂 柳 ， 头 尾 都 栽 ， 一 共 要 栽 多 少 棵 垂 柳 ？
解 1 3 6 ÷ 2 ＋ 1 ＝ 6 8 ＋ 1 ＝ 6 9 （ 棵 ） 答 ： 一 共 要 栽 6 9 棵 垂 柳 。
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例 2
一 个 圆 形 池 塘 周 长 为 4 0 0 米 ， 在 岸 边 每 隔 4 米 栽 一 棵 白 杨 树 ， 一 共 能 栽 多 少 棵
白 杨 树 ？
解
4 0 0 ÷ 4 ＝ 1 0 0 （ 棵 ）
答 ： 一 共 能 栽 1 0 0 棵 白 杨 树 。
例 3
一 个 正 方 形 的 运 动 场 ， 每 边 长 2 2 0 米 ， 每 隔 8 米 安 装 一 个 照 明 灯 ， 一 共 可 以 安
装 多 少 个 照 明 灯 ？
解
2 2 0 × 4 ÷ 8 － 4 ＝ 1 1 0 － 4 ＝ 1 0 6 （ 个 ）
答 ： 一 共 可 以 安 装 1 0 6 个 照 明 灯 。
例 4
给 一 个 面 积 为 9 6 平 方 米 的 住 宅 铺 设 地 板 砖 ， 所 用 地 板 砖 的 长 和 宽 分 别 是 6 0 厘 米
和 4 0 厘 米 ， 问 至 少 需 要 多 少 块 地 板 砖 ？
解 9 6 ÷ （ 0 . 6 × 0 . 4 ） ＝ 9 6 ÷ 0 . 2 4 ＝ 4 0 0 （ 块 ）
答 ： 至 少 需 要 4 0 0 块 地 板 砖 。
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例 5
一 座 大 桥 长 5 0 0 米 ， 给 桥 两 边 的 电 杆 上 安 装 路 灯 ， 若 每 隔 5 0 米 有 一 个 电 杆 ，
每 个 电 杆 上 安 装 2 盏 路 灯 ， 一 共 可 以 安 装 多 少 盏 路 灯 ？
解
（ 1 ） 桥 的 一 边 有 多 少 个 电 杆 ？ 5 0 0 ÷ 5 0 ＋ 1 ＝ 1 1 （ 个 ）
（ 2 ） 桥 的 两 边 有 多 少 个 电 杆 ？ 1 1 × 2 ＝ 2 2 （ 个 ）
（ 3 ） 大 桥 两 边 可 安 装 多 少 盏 路 灯 ？ 2 2 × 2 ＝ 4 4 （ 盏 ）
答 ： 大 桥 两 边 一 共 可 以 安 装 4 4 盏 路 灯 。
1 0 、 年 龄 问 题
【 含 义 】
这 类 问 题 是 根 据 题 目 的 内 容 而 得 名 ， 它 的 主 要 特 点 是 两 人 的 年 龄 差 不 变 ， 但 是 ，
两 人 年 龄 之 间 的 倍 数 关 系 随 着 年 龄 的 增 长 在 发 生 变 化 。
【 数 量 关 系 】
年 龄 问 题 往 往 与 和 差 、 和 倍 、 差 倍 问 题 有 着 密 切 联 系 ， 尤 其 与 差 倍 问 题 的 解 题
思 路 是 一 致 的 ， 要 紧 紧 抓 住 “ 年 龄 差 不 变 ” 这 个 特 点 。
【 解 题 思 路 和 方 法 】
可 以 利 用 “ 差 倍 问 题 ” 的 解 题 思 路 和 方 法 。
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例 1
爸 爸 今 年 3 5 岁 ， 亮 亮 今 年 5 岁 ， 今 年 爸 爸 的 年 龄 是 亮 亮 的 几 倍 ？ 明 年 呢 ？
解
3 5 ÷ 5 ＝ 7 （ 倍 ）
（ 3 5 + 1 ） ÷ （ 5 + 1 ） ＝ 6 （ 倍 ）
答 ： 今 年 爸 爸 的 年 龄 是 亮 亮 的 7 倍 ， 明 年 爸 爸 的 年 龄 是 亮 亮 的 6 倍 。
例 2
母 亲 今 年 3 7 岁 ， 女 儿 今 年 7 岁 ， 几 年 后 母 亲 的 年 龄 是 女 儿 的 4 倍 ？
解
（ 1 ） 母 亲 比 女 儿 的 年 龄 大 多 少 岁 ？ 3 7 － 7 ＝ 3 0 （ 岁 ）
（ 2 ） 几 年 后 母 亲 的 年 龄 是 女 儿 的 4 倍 ？ 3 0 ÷ （ 4 － 1 ） － 7 ＝ 3 （ 年 ）
列 成 综 合 算 式 （ 3 7 － 7 ） ÷ （ 4 － 1 ） － 7 ＝ 3 （ 年 ）
答 ： 3 年 后 母 亲 的 年 龄 是 女 儿 的 4 倍 。
例 3
甲 对 乙 说 ： “ 当 我 的 岁 数 曾 经 是 你 现 在 的 岁 数 时 ， 你 才 4 岁 ” 。 乙 对 甲 说 ： “ 当
我 的 岁 数 将 来 是 你 现 在 的 岁 数 时 ， 你 将 6 1 岁 ” 。 求 甲 乙 现 在 的 岁 数 各 是 多 少 ？
解
这 里 涉 及 到 三 个 年 份 ： 过 去 某 一 年 、 今 年 、 将 来 某 一 年 。 列 表 分 析 ：
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过 去 某 一 年 今 年 将 来 某 一 年
甲 □ 岁 △ 岁 6 1 岁 乙
4 岁 □ 岁 △ 岁
表 中 两 个 “ □ ” 表 示 同 一 个 数 ， 两 个 “ △ ” 表 示 同 一 个 数 。
因 为 两 个 人 的 年 龄 差 总 相 等 ： □ － 4 ＝ △ － □ ＝ 6 1 － △ ， 也 就 是 4 ， □ ， △ ， 6 1 成
等 差 数 列 ， 所 以 ， 6 1 应 该 比 4 大 3 个 年 龄 差 ，
因 此 二 人 年 龄 差 为 （ 6 1 － 4 ） ÷ 3 ＝ 1 9 （ 岁 ）
甲 今 年 的 岁 数 为 △ ＝ 6 1 － 1 9 ＝ 4 2 （ 岁 ）
乙 今 年 的 岁 数 为 □ ＝ 4 2 － 1 9 ＝ 2 3 （ 岁 ）
答 ： 甲 今 年 的 岁 数 是 4 2 岁 ， 乙 今 年 的 岁 数 是 2 3 岁 。
1 1 、 行 船 问 题
【 含 义 】
行 船 问 题 也 就 是 与 航 行 有 关 的 问 题 。 解 答 这 类 问 题 要 弄 清 船 速 与 水 速 ， 船 速 是
船 只 本 身 航 行 的 速 度 ， 也 就 是 船 只 在 静 水 中 航 行 的 速 度 ； 水 速 是 水 流 的 速 度 ，
船 只 顺 水 航 行 的 速 度 是 船 速 与 水 速 之 和 ； 船 只 逆 水 航 行 的 速 度 是 船 速 与 水 速 之
差 。
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【 数 量 关 系 】
（ 顺 水 速 度 ＋ 逆 水 速 度 ） ÷ 2 ＝ 船 速
（ 顺 水 速 度 － 逆 水 速 度 ） ÷ 2 ＝ 水 速
顺 水 速 ＝ 船 速 × 2 － 逆 水 速 ＝ 逆 水 速 ＋ 水 速 × 2
逆 水 速 ＝ 船 速 × 2 － 顺 水 速 ＝ 顺 水 速 － 水 速 × 2
【 解 题 思 路 和 方 法 】
大 多 数 情 况 可 以 直 接 利 用 数 量 关 系 的 公 式 。
例 1
一 只 船 顺 水 行 3 2 0 千 米 需 用 8 小 时 ， 水 流 速 度 为 每 小 时 1 5 千 米 ， 这 只 船 逆 水
行 这 段 路 程 需 用 几 小 时 ？
解
由 条 件 知 ， 顺 水 速 ＝ 船 速 ＋ 水 速 ＝ 3 2 0 ÷ 8 ， 而 水 速 为 每 小 时 1 5 千 米 ， 所 以 ，
船 速 为 每 小 时 3 2 0 ÷ 8 － 1 5 ＝ 2 5 （ 千 米 ）
船 的 逆 水 速 为 2 5 － 1 5 ＝ 1 0 （ 千 米 ）
船 逆 水 行 这 段 路 程 的 时 间 为 3 2 0 ÷ 1 0 ＝ 3 2 （ 小 时 ）
答 ： 这 只 船 逆 水 行 这 段 路 程 需 用 3 2 小 时 。
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例 2
甲 船 逆 水 行 3 6 0 千 米 需 1 8 小 时 ， 返 回 原 地 需 1 0 小 时 ； 乙 船 逆 水 行 同 样 一 段 距
离 需 1 5 小 时 ， 返 回 原 地 需 多 少 时 间 ？
解
由 题 意 得 甲 船 速 ＋ 水 速 ＝ 3 6 0 ÷ 1 0 ＝ 3 6
甲 船 速 － 水 速 ＝ 3 6 0 ÷ 1 8 ＝ 2 0
可 见 （ 3 6 － 2 0 ） 相 当 于 水 速 的 2 倍 ，
所 以 ， 水 速 为 每 小 时 （ 3 6 － 2 0 ） ÷ 2 ＝ 8 （ 千 米 ）
又 因 为 ， 乙 船 速 － 水 速 ＝ 3 6 0 ÷ 1 5 ，
所 以 ， 乙 船 速 为 3 6 0 ÷ 1 5 ＋ 8 ＝ 3 2 （ 千 米 ）
乙 船 顺 水 速 为 3 2 ＋ 8 ＝ 4 0 （ 千 米 ）
所 以 ， 乙 船 顺 水 航 行 3 6 0 千 米 需 要
3 6 0 ÷ 4 0 ＝ 9 （ 小 时 ）
答 ： 乙 船 返 回 原 地 需 要 9 小 时 。
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1 2 、 列 车 问 题
【 含 义 】
这 是 与 列 车 行 驶 有 关 的 一 些 问 题 ， 解 答 时 要 注 意 列 车 车 身 的 长 度 。
【 数 量 关 系 】
火 车 过 桥 ： 过 桥 时 间 ＝ （ 车 长 ＋ 桥 长 ） ÷ 车 速
火 车 追 及 ： 追 及 时 间 ＝ （ 甲 车 长 ＋ 乙 车 长 ＋ 距 离 ） ÷ （ 甲 车 速 － 乙 车 速 ）
火 车 相 遇 ： 相 遇 时 间 ＝ （ 甲 车 长 ＋ 乙 车 长 ＋ 距 离 ） ÷ （ 甲 车 速 ＋ 乙 车 速 ）
【 解 题 思 路 和 方 法 】
大 多 数 情 况 可 以 直 接 利 用 数 量 关 系 的 公 式 。
例 1
一 座 大 桥 长 2 4 0 0 米 ， 一 列 火 车 以 每 分 钟 9 0 0 米 的 速 度 通 过 大 桥 ， 从 车 头 开 上
桥 到 车 尾 离 开 桥 共 需 要 3 分 钟 。 这 列 火 车 长 多 少 米 ？
解
火 车 3 分 钟 所 行 的 路 程 ， 就 是 桥 长 与 火 车 车 身 长 度 的 和 。
（ 1 ） 火 车 3 分 钟 行 多 少 米 ？ 9 0 0 × 3 ＝ 2 7 0 0 （ 米 ）
（ 2 ） 这 列 火 车 长 多 少 米 ？ 2 7 0 0 － 2 4 0 0 ＝ 3 0 0 （ 米 ）
列 成 综 合 算 式 9 0 0 × 3 － 2 4 0 0 ＝ 3 0 0 （ 米 ）
答 ： 这 列 火 车 长 3 0 0 米 。
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例 2
一 列 长 2 0 0 米 的 火 车 以 每 秒 8 米 的 速 度 通 过 一 座 大 桥 ， 用 了 2 分 5 秒 钟 时 间 ，
求 大 桥 的 长 度 是 多 少 米 ？
解
火 车 过 桥 所 用 的 时 间 是 2 分 5 秒 ＝ 1 2 5 秒 ， 所 走 的 路 程 是 （ 8 × 1 2 5 ） 米 ， 这 段
路 程 就 是 （ 2 0 0 米 ＋ 桥 长 ） ， 所 以 ， 桥 长 为
8 × 1 2 5 － 2 0 0 ＝ 8 0 0 （ 米 ）
答 ： 大 桥 的 长 度 是 8 0 0 米 。
例 3
一 列 长 2 2 5 米 的 慢 车 以 每 秒 1 7 米 的 速 度 行 驶 ， 一 列 长 1 4 0 米 的 快 车 以 每 秒 2 2
米 的 速 度 在 后 面 追 赶 ， 求 快 车 从 追 上 到 追 过 慢 车 需 要 多 长 时 间 ？
解
从 追 上 到 追 过 ， 快 车 比 慢 车 要 多 行 （ 2 2 5 ＋ 1 4 0 ） 米 ， 而 快 车 比 慢 车 每 秒 多 行 （ 2 2
－ 1 7 ） 米 ， 因 此 ， 所 求 的 时 间 为
（ 2 2 5 ＋ 1 4 0 ） ÷ （ 2 2 － 1 7 ） ＝ 7 3 （ 秒 ）
答 ： 需 要 7 3 秒 。
例 4
一 列 长 1 5 0 米 的 列 车 以 每 秒 2 2 米 的 速 度 行 驶 ， 有 一 个 扳 道 工 人 以 每 秒 3 米 的
速 度 迎 面 走 来 ， 那 么 ， 火 车 从 工 人 身 旁 驶 过 需 要 多 少 时 间 ？
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解
如 果 把 人 看 作 一 列 长 度 为 零 的 火 车 ， 原 题 就 相 当 于 火 车 相 遇 问 题 。
1 5 0 ÷ （ 2 2 ＋ 3 ） ＝ 6 （ 秒 ）
答 ： 火 车 从 工 人 身 旁 驶 过 需 要 6 秒 钟 。
1 3 、 时 钟 问 题
【 含 义 】
就 是 研 究 钟 面 上 时 针 与 分 针 关 系 的 问 题 ， 如 两 针 重 合 、 两 针 垂 直 、 两 针 成 一 线 、
两 针 夹 角 为 6 0 度 等 。 时 钟 问 题 可 与 追 及 问 题 相 类 比 。
【 数 量 关 系 】
分 针 的 速 度 是 时 针 的 1 2 倍 ，
二 者 的 速 度 差 为 1 1 / 1 2 。
通 常 按 追 及 问 题 来 对 待 ， 也 可 以 按 差 倍 问 题 来 计 算 。
【 解 题 思 路 和 方 法 】
变 通 为 “ 追 及 问 题 ” 后 可 以 直 接 利 用 公 式 。
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例 1
从 时 针 指 向 4 点 开 始 ， 再 经 过 多 少 分 钟 时 针 正 好 与 分 针 重 合 ？
解
钟 面 的 一 周 分 为 6 0 格 ， 分 针 每 分 钟 走 一 格 ， 每 小 时 走 6 0 格 ； 时 针 每 小 时 走 5
格 ， 每 分 钟 走 5 / 6 0 ＝ 1 / 1 2 格 。 每 分 钟 分 针 比 时 针 多 走 （ 1 － 1 / 1 2 ） ＝ 1 1 / 1 2
格 。 4 点 整 ， 时 针 在 前 ， 分 针 在 后 ， 两 针 相 距 2 0 格 。 所 以
分 针 追 上 时 针 的 时 间 为 2 0 ÷ （ 1 － 1 / 1 2 ） ≈ 2 2 （ 分 ）
答 ： 再 经 过 2 2 分 钟 时 针 正 好 与 分 针 重 合 。
例 2
四 点 和 五 点 之 间 ， 时 针 和 分 针 在 什 么 时 候 成 直 角 ？
解
钟 面 上 有 6 0 格 ， 它 的 1 / 4 是 1 5 格 ， 因 而 两 针 成 直 角 的 时 候 相 差 1 5 格 （ 包 括
分 针 在 时 针 的 前 或 后 1 5 格 两 种 情 况 ） 。 四 点 整 的 时 候 ， 分 针 在 时 针 后 （ 5 × 4 ）
格 ， 如 果 分 针 在 时 针 后 与 它 成 直 角 ， 那 么 分 针 就 要 比 时 针 多 走 （ 5 × 4 － 1 5 ） 格 ，
如 果 分 针 在 时 针 前 与 它 成 直 角 ， 那 么 分 针 就 要 比 时 针 多 走 （ 5 × 4 ＋ 1 5 ） 格 。 再
根 据 1 分 钟 分 针 比 时 针 多 走 （ 1 － 1 / 1 2 ） 格 就 可 以 求 出 二 针 成 直 角 的 时 间 。
（ 5 × 4 － 1 5 ） ÷ （ 1 － 1 / 1 2 ） ≈ 6 （ 分 ）
（ 5 × 4 ＋ 1 5 ） ÷ （ 1 － 1 / 1 2 ） ≈ 3 8 （ 分 ）
答 ： 4 点 0 6 分 及 4 点 3 8 分 时 两 针 成 直 角 。
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例 3
六 点 与 七 点 之 间 什 么 时 候 时 针 与 分 针 重 合 ？
解
六 点 整 的 时 候 ， 分 针 在 时 针 后 （ 5 × 6 ） 格 ， 分 针 要 与 时 针 重 合 ， 就 得 追 上 时 针 。
这 实 际 上 是 一 个 追 及 问 题 。
（ 5 × 6 ） ÷ （ 1 － 1 / 1 2 ） ≈ 3 3 （ 分 ）
答 ： 6 点 3 3 分 的 时 候 分 针 与 时 针 重 合 。
1 4 、 盈 亏 问 题
【 含 义 】
根 据 一 定 的 人 数 ， 分 配 一 定 的 物 品 ， 在 两 次 分 配 中 ， 一 次 有 余 （ 盈 ） ， 一 次 不
足 （ 亏 ） ， 或 两 次 都 有 余 ， 或 两 次 都 不 足 ， 求 人 数 或 物 品 数 ， 这 类 应 用 题 叫 做
盈 亏 问 题 。
【 数 量 关 系 】
一 般 地 说 ， 在 两 次 分 配 中 ， 如 果 一 次 盈 ， 一 次 亏 ， 则 有 ：
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参 加 分 配 总 人 数 ＝ （ 盈 ＋ 亏 ） ÷ 分 配 差
如 果 两 次 都 盈 或 都 亏 ， 则 有 ：
参 加 分 配 总 人 数 ＝ （ 大 盈 － 小 盈 ） ÷ 分 配 差
参 加 分 配 总 人 数 ＝ （ 大 亏 － 小 亏 ） ÷ 分 配 差
【 解 题 思 路 和 方 法 】
大 多 数 情 况 可 以 直 接 利 用 数 量 关 系 的 公 式 。
例 1
给 幼 儿 园 小 朋 友 分 苹 果 ， 若 每 人 分 3 个 就 余 1 1 个 ； 若 每 人 分 4 个 就 少 1 个 。
问 有 多 少 小 朋 友 ？ 有 多 少 个 苹 果 ？
解
按 照 “ 参 加 分 配 的 总 人 数 ＝ （ 盈 ＋ 亏 ） ÷ 分 配 差 ” 的 数 量 关 系 ：
（ 1 ） 有 小 朋 友 多 少 人 ？ （ 1 1 ＋ 1 ） ÷ （ 4 － 3 ） ＝ 1 2 （ 人 ）
（ 2 ） 有 多 少 个 苹 果 ？ 3 × 1 2 ＋ 1 1 ＝ 4 7 （ 个 ）
答 ： 有 小 朋 友 1 2 人 ， 有 4 7 个 苹 果 。
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例 2
修 一 条 公 路 ， 如 果 每 天 修 2 6 0 米 ， 修 完 全 长 就 得 延 长 8 天 ； 如 果 每 天 修 3 0 0 米 ，
修 完 全 长 仍 得 延 长 4 天 。 这 条 路 全 长 多 少 米 ？
解
题 中 原 定 完 成 任 务 的 天 数 ， 就 相 当 于 “ 参 加 分 配 的 总 人 数 ” ， 按 照 “ 参 加 分 配
的 总 人 数 ＝ （ 大 亏 － 小 亏 ） ÷ 分 配 差 ” 的 数 量 关 系 ， 可 以 得 知
原 定 完 成 任 务 的 天 数 为
（ 2 6 0 × 8 － 3 0 0 × 4 ） ÷ （ 3 0 0 － 2 6 0 ） ＝ 2 2 （ 天 ）
这 条 路 全 长 为 3 0 0 × （ 2 2 ＋ 4 ） ＝ 7 8 0 0 （ 米 ）
答 ： 这 条 路 全 长 7 8 0 0 米 。
例 3
学 校 组 织 春 游 ， 如 果 每 辆 车 坐 4 0 人 ， 就 余 下 3 0 人 ； 如 果 每 辆 车 坐 4 5 人 ， 就
刚 好 坐 完 。 问 有 多 少 车 ？ 多 少 人 ？
解
本 题 中 的 车 辆 数 就 相 当 于 “ 参 加 分 配 的 总 人 数 ” ， 于 是 就 有
（ 1 ） 有 多 少 车 ？ （ 3 0 － 0 ） ÷ （ 4 5 － 4 0 ） ＝ 6 （ 辆 ）
（ 2 ） 有 多 少 人 ？ 4 0 × 6 ＋ 3 0 ＝ 2 7 0 （ 人 ）
答 ： 有 6 辆 车 ， 有 2 7 0 人 。
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1 5 、 工 程 问 题
【 含 义 】
工 程 问 题 主 要 研 究 工 作 量 、 工 作 效 率 和 工 作 时 间 三 者 之 间 的 关 系 。 这 类 问 题 在
已 知 条 件 中 ， 常 常 不 给 出 工 作 量 的 具 体 数 量 ， 只 提 出 “ 一 项 工 程 ” 、 “ 一 块 土
地 ” 、 “ 一 条 水 渠 ” 、 “ 一 件 工 作 ” 等 ， 在 解 题 时 ， 常 常 用 单 位 “ 1 ” 表 示 工 作 总
量 。
【 数 量 关 系 】
解 答 工 程 问 题 的 关 键 是 把 工 作 总 量 看 作 “ 1 ” ， 这 样 ， 工 作 效 率 就 是 工 作 时 间 的 倒
数 （ 它 表 示 单 位 时 间 内 完 成 工 作 总 量 的 几 分 之 几 ） ， 进 而 就 可 以 根 据 工 作 量 、 工
作 效 率 、 工 作 时 间 三 者 之 间 的 关 系 列 出 算 式 。
工 作 量 ＝ 工 作 效 率 × 工 作 时 间
工 作 时 间 ＝ 工 作 量 ÷ 工 作 效 率
工 作 时 间 ＝ 总 工 作 量 ÷ （ 甲 工
作 效 率 ＋ 乙 工 作 效 率 ）
【 解 题 思 路 和 方 法 】
变 通 后 可 以 利 用 上 述 数 量 关 系 的 公 式 。
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例 1
一 项 工 程 ， 甲 队 单 独 做 需 要 1 0 天 完 成 ， 乙 队 单 独 做 需 要 1 5 天 完 成 ， 现 在 两 队
合 作 ， 需 要 几 天 完 成 ？
解
题 中 的 “ 一 项 工 程 ” 是 工 作 总 量 ， 由 于 没 有 给 出 这 项 工 程 的 具 体 数 量 ， 因 此 ，
把 此 项 工 程 看 作 单 位 “ 1 ” 。 由 于 甲 队 独 做 需 1 0 天 完 成 ， 那 么 每 天 完 成 这 项 工
程 的 1 / 1 0 ； 乙 队 单 独 做 需 1 5 天 完 成 ， 每 天 完 成 这 项 工 程 的 1 / 1 5 ； 两 队 合 做 ，
每 天 可 以 完 成 这 项 工 程 的 （ 1 / 1 0 ＋ 1 / 1 5 ） 。
由 此 可 以 列 出 算 式 ： 1 ÷ （ 1 / 1 0 ＋ 1 / 1 5 ） ＝ 1 ÷ 1 / 6 ＝ 6 （ 天 ）
答 ： 两 队 合 做 需 要 6 天 完 成 。
例 2
一 批 零 件 ， 甲 独 做 6 小 时 完 成 ， 乙 独 做 8 小 时 完 成 。 现 在 两 人 合 做 ， 完 成 任 务
时 甲 比 乙 多 做 2 4 个 ， 求 这 批 零 件 共 有 多 少 个 ？
解 一
设 总 工 作 量 为 1 ， 则 甲 每 小 时 完 成 1 / 6 ， 乙 每 小 时 完 成 1 / 8 ， 甲 比 乙 每 小 时 多 完
成 （ 1 / 6 － 1 / 8 ） ， 二 人 合 做 时 每 小 时 完 成 （ 1 / 6 ＋ 1 / 8 ） 。 因 为 二 人 合 做 需 要 ［ 1
÷ （ 1 / 6 ＋ 1 / 8 ） ］ 小 时 ， 这 个 时 间 内 ， 甲 比 乙 多 做 2 4 个 零 件 ， 所 以
（ 1 ） 每 小 时 甲 比 乙 多 做 多 少 零 件 ？
2 4 ÷ ［ 1 ÷ （ 1 / 6 ＋ 1 / 8 ） ］ ＝ 7 （ 个 ）
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（ 2 ） 这 批 零 件 共 有 多 少 个 ？
7 ÷ （ 1 / 6 － 1 / 8 ） ＝ 1 6 8 （ 个 ）
答 ： 这 批 零 件 共 有 1 6 8 个 。
解 二
上 面 这 道 题 还 可 以 用 另 一 种 方 法 计 算 ：
两 人 合 做 ， 完 成 任 务 时 甲 乙 的 工 作 量 之 比 为 1 / 6 ∶ 1 / 8 ＝ 4 ∶ 3
由 此 可 知 ， 甲 比 乙 多 完 成 总 工 作 量 的 4 － 3 / 4 ＋ 3 ＝ 1 / 7
所 以 ， 这 批 零 件 共 有 2 4 ÷ 1 / 7 ＝ 1 6 8 （ 个 ）
例 3
一 件 工 作 ， 甲 独 做 1 2 小 时 完 成 ， 乙 独 做 1 0 小 时 完 成 ， 丙 独 做 1 5 小 时 完 成 。
现 在 甲 先 做 2 小 时 ， 余 下 的 由 乙 丙 二 人 合 做 ， 还 需 几 小 时 才 能 完 成 ？
解
必 须 先 求 出 各 人 每 小 时 的 工 作 效 率 。 如 果 能 把 效 率 用 整 数 表 示 ， 就 会 给 计 算 带
来 方 便 ， 因 此 ， 我 们 设 总 工 作 量 为 1 2 、 1 0 、 和 1 5 的 某 一 公 倍 数 ， 例 如 最 小 公
倍 数 6 0 ， 则 甲 乙 丙 三 人 的 工 作 效 率 分 别 是
6 0 ÷ 1 2 ＝ 5 6 0 ÷ 1 0 ＝ 6 6 0 ÷ 1 5 ＝ 4
因 此 余 下 的 工 作 量 由 乙 丙 合 做 还 需 要
（ 6 0 － 5 × 2 ） ÷ （ 6 ＋ 4 ） ＝ 5 （ 小 时 ）
答 ： 还 需 要 5 小 时 才 能 完 成 。
4
36
例 4
一 个 水 池 ， 底 部 装 有 一 个 常 开 的 排 水 管 ， 上 部 装 有 若 干 个 同 样 粗 细 的 进 水 管 。
当 打 开 4 个 进 水 管 时 ， 需 要 5 小 时 才 能 注 满 水 池 ； 当 打 开 2 个 进 水 管 时 ， 需 要
1 5 小 时 才 能 注 满 水 池 ； 现 在 要 用 2 小 时 将 水 池 注 满 ， 至 少 要 打 开 多 少 个 进 水 管 ？
解
注 （ 排 ） 水 问 题 是 一 类 特 殊 的 工 程 问 题 。 往 水 池 注 水 或 从 水 池 排 水 相 当 于 一 项
工 程 ， 水 的 流 量 就 是 工 作 量 ， 单 位 时 间 内 水 的 流 量 就 是 工 作 效 率 。
要 2 小 时 内 将 水 池 注 满 ， 即 要 使 2 小 时 内 的 进 水 量 与 排 水 量 之 差 刚 好 是 一 池 水 。
为 此 需 要 知 道 进 水 管 、 排 水 管 的 工 作 效 率 及 总 工 作 量 （ 一 池 水 ） 。 只 要 设 某 一
个 量 为 单 位 1 ， 其 余 两 个 量 便 可 由 条 件 推 出 。
我 们 设 每 个 同 样 的 进 水 管 每 小 时 注 水 量 为 1 ， 则 4 个 进 水 管 5 小 时 注 水 量 为 （ 1
× 4 × 5 ） ， 2 个 进 水 管 1 5 小 时 注 水 量 为 （ 1 × 2 × 1 5 ） ， 从 而 可 知
每 小 时 的 排 水 量 为 （ 1 × 2 × 1 5 － 1 × 4 × 5 ） ÷ （ 1 5 － 5 ） ＝ 1
即 一 个 排 水 管 与 每 个 进 水 管 的 工 作 效 率 相 同 。 由 此 可 知
一 池 水 的 总 工 作 量 为 1 × 4 × 5 － 1 × 5 ＝ 1 5
又 因 为 在 2 小 时 内 ， 每 个 进 水 管 的 注 水 量 为 1 × 2 ，
所 以 ， 2 小 时 内 注 满 一 池 水
至 少 需 要 多 少 个 进 水 管 ？ （ 1 5 ＋ 1 × 2 ） ÷ （ 1 × 2 ）
＝ 8 . 5 ≈ 9 （ 个 ）
答 ： 至 少 需 要 9 个 进 水 管 。
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1 6 、 正 反 比 例 问 题
【 含 义 】
两 种 相 关 联 的 量 ， 一 种 量 变 化 ， 另 一 种 量 也 随 着 变 化 ， 如 果 这 两 种 量 中 相 对 应
的 两 个 数 的 比 的 比 值 一 定 （ 即 商 一 定 ） ， 那 么 这 两 种 量 就 叫 做 成 正 比 例 的 量 ，
它 们 的 关 系 叫 做 正 比 例 关 系 。 正 比 例 应 用 题 是 正 比 例 意 义 和 解 比 例 等 知 识 的 综
合 运 用 。
两 种 相 关 联 的 量 ， 一 种 量 变 化 ， 另 一 种 量 也 随 着 变 化 ， 如 果 这 两 种 量 中 相 对 应
的 两 个 数 的 积 一 定 ， 这 两 种 量 就 叫 做 成 反 比 例 的 量 ， 它 们 的 关 系 叫 做 反 比 例 关
系 。 反 比 例 应 用 题 是 反 比 例 的 意 义 和 解 比 例 等 知 识 的 综 合 运 用 。
【 数 量 关 系 】
判 断 正 比 例 或 反 比 例 关 系 是 解 这 类 应 用 题 的 关 键 。 许 多 典 型 应 用 题 都 可 以 转 化
为 正 反 比 例 问 题 去 解 决 ， 而 且 比 较 简 捷 。
【 解 题 思 路 和 方 法 】
解 决 这 类 问 题 的 重 要 方 法 是 ： 把 分 率 （ 倍 数 ） 转 化 为 比 ， 应 用 比 和 比 例 的 性 质
去 解 应 用 题 。
正 反 比 例 问 题 与 前 面 讲 过 的 倍 比 问 题 基 本 类 似 。
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例 1
修 一 条 公 路 ， 已 修 的 是 未 修 的 1 / 3 ， 再 修 3 0 0 米 后 ， 已 修 的 变 成 未 修 的 1 / 2 ，
求 这 条 公 路 总 长 是 多 少 米 ？
解
由 条 件 知 ， 公 路 总 长 不 变 。
原 已 修 长 度 ∶ 总 长 度 ＝ 1 ∶ （ 1 ＋ 3 ） ＝ 1 ∶ 4 ＝ 3 ∶ 1 2
现 已 修 长 度 ∶ 总 长 度 ＝ 1 ∶ （ 1 ＋ 2 ） ＝ 1 ∶ 3 ＝ 4 ∶ 1 2
比 较 以 上 两 式 可 知 ， 把 总 长 度 当 作 1 2 份 ， 则 3 0 0 米 相 当 于 （ 4 － 3 ） 份 ， 从 而
知 公 路 总 长 为 3 0 0 ÷ （ 4 － 3 ） × 1 2 ＝ 3 6 0 0 （ 米 ）
答 ： 这 条 公 路 总 长 3 6 0 0 米 。
例 2
张 晗 做 4 道 应 用 题 用 了 2 8 分 钟 ， 照 这 样 计 算 ， 9 1 分 钟 可 以 做 几 道 应 用 题 ？
解
做 题 效 率 一 定 ， 做 题 数 量 与 做 题 时 间 成 正 比 例 关 系
设 9 1 分 钟 可 以 做 X 应 用 题 则 有 2 8 ∶ 4 ＝ 9 1 ∶ X
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2 8 X ＝ 9 1 × 4 X ＝ 9 1 × 4 ÷ 2 8 X ＝ 1 3
答 ： 9 1 分 钟 可 以 做 1 3 道 应 用 题 。
例 3
孙 亮 看 《 十 万 个 为 什 么 》 这 本 书 ， 每 天 看 2 4 页 ， 1 5 天 看 完 ， 如 果 每 天 看 3 6
页 ， 几 天 就 可 以 看 完 ？
解
书 的 页 数 一 定 ， 每 天 看 的 页 数 与 需 要 的 天 数 成 反 比 例 关 系
设 X 天 可 以 看 完 ， 就 有 2 4 ∶ 3 6 ＝ X ∶ 1 5
3 6 X ＝ 2 4 × 1 5 X ＝ 1 0
答 ： 1 0 天 就 可 以 看 完 。
1 7 、 按 比 例 分 配 问 题
【 含 义 】
所 谓 按 比 例 分 配 ， 就 是 把 一 个 数 按 照 一 定 的 比 分 成 若 干 份 。 这 类 题 的 已 知 条 件
一 般 有 两 种 形 式 ： 一 是 用 比 或 连 比 的 形 式 反 映 各 部 分 占 总 数 量 的 份 数 ， 另 一 种
是 直 接 给 出 份 数 。
【 数 量 关 系 】
从 条 件 看 ， 已 知 总 量 和 几 个 部 分 量 的 比 ； 从 问 题 看 ， 求 几 个 部 分 量 各 是 多 少 。
总 份 数 ＝ 比 的 前 后 项 之 和
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【 解 题 思 路 和 方 法 】
先 把 各 部 分 量 的 比 转 化 为 各 占 总 量 的 几 分 之 几 ， 把 比 的 前 后 项 相 加 求 出 总 份 数 ，
再 求 各 部 分 占 总 量 的 几 分 之 几 （ 以 总 份 数 作 分 母 ， 比 的 前 后 项 分 别 作 分 子 ） ，
再 按 照 求 一 个 数 的 几 分 之 几 是 多 少 的 计 算 方 法 ， 分 别 求 出 各 部 分 量 的 值 。
例 1
学 校 把 植 树 5 6 0 棵 的 任 务 按 人 数 分 配 给 五 年 级 三 个 班 ， 已 知 一 班 有 4 7 人 ， 二
班 有 4 8 人 ， 三 班 有 4 5 人 ， 三 个 班 各 植 树 多 少 棵 ？
解
总 份 数 为 4 7 ＋ 4 8 ＋ 4 5 ＝ 1 4 0
一 班 植 树 5 6 0 × 4 7 / 1 4 0 ＝ 1 8 8 （ 棵 ）
二 班 植 树 5 6 0 × 4 8 / 1 4 0 ＝ 1 9 2 （ 棵 ）
三 班 植 树 5 6 0 × 4 5 / 1 4 0 ＝ 1 8 0 （ 棵 ）
答 ： 一 、 二 、 三 班 分 别 植 树 1 8 8 棵 、 1 9 2 棵 、 1 8 0 棵 。
例 2
用 6 0 厘 米 长 的 铁 丝 围 成 一 个 三 角 形 ， 三 角 形 三 条 边 的 比 是 3 ∶ 4 ∶ 5 。 三 条 边 的
长 各 是 多 少 厘 米 ？
解
3 ＋ 4 ＋ 5 ＝ 1 2 6 0 × 3 / 1 2 ＝ 1 5 （ 厘 米 ）
6 0 × 4 / 1 2 ＝ 2 0 （ 厘 米 ）
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6 0 × 5 / 1 2 ＝ 2 5 （ 厘 米 ）
答 ： 三 角 形 三 条 边 的 长 分 别 是 1 5 厘 米 、 2 0 厘 米 、 2 5 厘 米 。
例 3
从 前 有 个 牧 民 ， 临 死 前 留 下 遗 言 ， 要 把 1 7 只 羊 分 给 三 个 儿 子 ， 大 儿 子 分 总 数 的
1 / 2 ， 二 儿 子 分 总 数 的 1 / 3 ， 三 儿 子 分 总 数 的 1 / 9 ， 并 规 定 不 许 把 羊 宰 割 分 ， 求
三 个 儿 子 各 分 多 少 只 羊 。
解 如 果 用 总 数 乘 以 分 率 的 方 法 解 答 ， 显 然 得 不 到 符 合 题 意 的 整 数 解 。 如 果 用 按
比 例 分 配 的 方 法 解 ， 则 很 容 易 得 到
1 / 2 ∶ 1 / 3 ∶ 1 / 9 ＝ 9 ∶ 6 ∶ 2
9 ＋ 6 ＋ 2 ＝ 1 7 1 7 × 9 / 1 7 ＝ 9
1 7 × 6 / 1 7 ＝ 6 1 7 × 2 / 1 7 ＝ 2
答 ： 大 儿 子 分 得 9 只 羊 ， 二 儿 子 分 得 6 只 羊 ， 三 儿 子 分 得 2 只 羊 。
例 4
某 工 厂 第 一 、 二 、 三 车 间 人 数 之 比 为 8 ∶ 1 2 ∶ 2 1 ， 第 一 车 间 比 第 二 车 间 少 8 0 人 ，
三 个 车 间 共 多 少 人 ？
解
8 0 ÷ （ 1 2 － 8 ） × （ 8 ＋ 1 2 ＋ 2 1 ） ＝ 8 2 0 （ 人 ）
答 ： 三 个 车 间 一 共 8 2 0 人 。
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1 8 、 百 分 数 问 题
【 含 义 】
百 分 数 是 表 示 一 个 数 是 另 一 个 数 的 百 分 之 几 的 数 。 百 分 数 是 一 种 特 殊 的 分 数 。
分 数 常 常 可 以 通 分 、 约 分 ， 而 百 分 数 则 无 需 ； 分 数 既 可 以 表 示 “ 率 ” ， 也 可 以
表 示 “ 量 ” ， 而 百 分 数 只 能 表 示 “ 率 ” ； 分 数 的 分 子 、 分 母 必 须 是 自 然 数 ， 而
百 分 数 的 分 子 可 以 是 小 数 ； 百 分 数 有 一 个 专 门 的 记 号 “ % ” 。
在 实 际 中 和 常 用 到 “ 百 分 点 ” 这 个 概 念 ， 一 个 百 分 点 就 是 1 % ， 两 个 百 分 点 就 是
2 % 。
【 数 量 关 系 】
掌 握 “ 百 分 数 ” 、 “ 标 准 量 ” “ 比 较 量 ” 三 者 之 间 的 数 量 关 系 ：
百 分 数 ＝ 比 较 量 ÷ 标 准 量
标 准 量 ＝ 比 较 量 ÷ 百 分 数
【 解 题 思 路 和 方 法 】
一 般 有 三 种 基 本 类 型 ：
（ 1 ） 求 一 个 数 是 另 一 个 数 的 百 分 之 几 ；
（ 2 ） 已 知 一 个 数 ， 求 它 的 百 分 之 几 是 多 少 ；
（ 3 ） 已 知 一 个 数 的 百 分 之 几 是 多 少 ， 求 这 个 数 。
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例 1
仓 库 里 有 一 批 化 肥 ， 用 去 7 2 0 千 克 ， 剩 下 6 4 8 0 千 克 ， 用 去 的 与 剩 下 的 各 占 原
重 量 的 百 分 之 几 ？
解
（ 1 ） 用 去 的 占 7 2 0 ÷ （ 7 2 0 ＋ 6 4 8 0 ） ＝ 1 0 %
（ 2 ） 剩 下 的 占 6 4 8 0 ÷ （ 7 2 0 ＋ 6 4 8 0 ） ＝ 9 0 %
答 ： 用 去 了 1 0 % ， 剩 下 9 0 % 。
例 2
红 旗 化 工 厂 有 男 职 工 4 2 0 人 ， 女 职 工 5 2 5 人 ， 男 职 工 人 数 比 女 职 工 少 百 分 之 几 ？
解
本 题 中 女 职 工 人 数 为 标 准 量 ， 男 职 工 比 女 职 工 少 的 人 数 是 比 较 量 所 以 （ 5 2 5 － 4 2 0 ）
÷ 5 2 5 ＝ 0 . 2 ＝ 2 0 %
或 者 1 － 4 2 0 ÷ 5 2 5 ＝ 0 . 2 ＝ 2 0 %
答 ： 男 职 工 人 数 比 女 职 工 少 2 0 % 。
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例 3
红 旗 化 工 厂 有 男 职 工 4 2 0 人 ， 女 职 工 5 2 5 人 ， 女 职 工 比 男 职 工 人 数 多 百 分 之 几 ？
解
本 题 中 以 男 职 工 人 数 为 标 准 量 ， 女 职 工 比 男 职 工 多 的 人 数 为 比 较 量 ， 因 此
（ 5 2 5 － 4 2 0 ） ÷ 4 2 0 ＝ 0 . 2 5 ＝ 2 5 %
或 者 5 2 5 ÷ 4 2 0 － 1 ＝ 0 . 2 5 ＝ 2 5 %
答 ： 女 职 工 人 数 比 男 职 工 多 2 5 % 。
例 4
红 旗 化 工 厂 有 男 职 工 4 2 0 人 ， 有 女 职 工 5 2 5 人 ， 男 、 女 职 工 各 占 全 厂 职 工 总 数
的 百 分 之 几 ？
解
（ 1 ） 男 职 工 占 4 2 0 ÷ （ 4 2 0 ＋ 5 2 5 ） ＝ 0 . 4 4 4 ＝ 4 4 . 4 %
（ 2 ） 女 职 工 占 5 2 5 ÷ （ 4 2 0 ＋ 5 2 5 ） ＝ 0 . 5 5 6 ＝ 5 5 . 6 %
答 ： 男 职 工 占 全 厂 职 工 总 数 的 4 4 . 4 % ， 女 职 工 占 5 5 . 6 % 。
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1 9 、 “ 牛 吃 草 ” 问 题
【 含 义 】
“ 牛 吃 草 ” 问 题 是 大 科 学 家 牛 顿 提 出 的 问 题 ， 也 叫 “ 牛 顿 问 题 ” 。 这 类 问 题 的
特 点 在 于 要 考 虑 草 边 吃 边 长 这 个 因 素 。
【 数 量 关 系 】
草 总 量 ＝ 原 有 草 量 ＋ 草 每 天 生 长 量 × 天 数
【 解 题 思 路 和 方 法 】
解 这 类 题 的 关 键 是 求 出 草 每 天 的 生 长 量 。
例 1
一 块 草 地 ， 1 0 头 牛 2 0 天 可 以 把 草 吃 完 ， 1 5 头 牛 1 0 天 可 以 把 草 吃 完 。 问 多 少
头 牛 5 天 可 以 把 草 吃 完 ？
解
草 是 均 匀 生 长 的 ， 所 以 ， 草 总 量 ＝ 原 有 草 量 ＋ 草 每 天 生 长 量 × 天 数 。 求 “ 多 少
头 牛 5 天 可 以 把 草 吃 完 ” ， 就 是 说 5 天 内 的 草 总 量 要 5 天 吃 完 的 话 ， 得 有 多 少
头 牛 ？ 设 每 头 牛 每 天 吃 草 量 为 1 ， 按 以 下 步 骤 解 答 ：
（ 1 ） 求 草 每 天 的 生 长 量
因 为 ， 一 方 面 2 0 天 内 的 草 总 量 就 是 1 0 头 牛 2 0 天 所 吃 的 草 ， 即 （ 1 × 1 0 × 2 0 ） ；
另 一 方 面 ， 2 0 天 内 的 草 总 量 又 等 于 原 有 草 量 加 上 2 0 天 内 的 生 长 量 ， 所 以
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1 × 1 0 × 2 0 ＝ 原 有 草 量 ＋ 2 0 天 内 生 长 量
同 理 1 × 1 5 × 1 0 ＝ 原 有 草 量 ＋ 1 0 天 内 生 长 量
由 此 可 知 （ 2 0 － 1 0 ） 天 内 草 的 生 长 量 为
1 × 1 0 × 2 0 － 1 × 1 5 × 1 0 ＝ 5 0
因 此 ， 草 每 天 的 生 长 量 为 5 0 ÷ （ 2 0 － 1 0 ） ＝ 5
（ 2 ） 求 原 有 草 量
原 有 草 量 ＝ 1 0 天 内 总 草 量 － 1 0 内 生 长 量 ＝ 1 × 1 5 × 1 0 － 5 × 1 0 ＝ 1 0 0
（ 3 ） 求 5 天 内 草 总 量
5 天 内 草 总 量 ＝ 原 有 草 量 ＋ 5 天 内 生 长 量 ＝ 1 0 0 ＋ 5 × 5 ＝ 1 2 5
（ 4 ） 求 多 少 头 牛 5 天 吃 完 草
因 为 每 头 牛 每 天 吃 草 量 为 1 ， 所 以 每 头 牛 5 天 吃 草 量 为 5 。
因 此 5 天 吃 完 草 需 要 牛 的 头 数 1 2 5 ÷ 5 ＝ 2 5 （ 头 ）
答 ： 需 要 5 头 牛 5 天 可 以 把 草 吃 完 。
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例 2
一 只 船 有 一 个 漏 洞 ， 水 以 均 匀 速 度 进 入 船 内 ， 发 现 漏 洞 时 已 经 进 了 一 些 水 。 如
果 有 1 2 个 人 淘 水 ， 3 小 时 可 以 淘 完 ； 如 果 只 有 5 人 淘
水 ， 要 1 0 小 时 才 能 淘 完 。 求 1 7 人 几 小 时 可 以 淘 完 ？
解
这 是 一 道 变 相 的 “ 牛 吃 草 ” 问 题 。 与 上 题 不 同 的 是 ， 最 后 一 问 给 出 了 人 数 （ 相
当 于 “ 牛 数 ” ） ， 求 时 间 。 设 每 人 每 小 时 淘 水 量 为 1 ， 按 以 下 步 骤 计 算 ：
（ 1 ） 求 每 小 时 进 水 量
因 为 ， 3 小 时 内 的 总 水 量 ＝ 1 × 1 2 × 3 ＝ 原 有 水 量 ＋ 3 小 时 进 水 量
1 0 小 时 内 的 总 水 量 ＝ 1 × 5 × 1 0 ＝ 原 有 水 量 ＋ 1 0 小 时 进 水 量
所 以 ， （ 1 0 － 3 ） 小 时 内 的 进 水 量 为 1 × 5 × 1 0 － 1 × 1 2 × 3 ＝ 1 4
因 此 ， 每 小 时 的 进 水 量 为 1 4 ÷ （ 1 0 － 3 ） ＝ 2
（ 2 ） 求 淘 水 前 原 有 水 量
原 有 水 量 ＝ 1 × 1 2 × 3 － 3 小 时 进 水 量 ＝ 3 6 － 2 × 3 ＝ 3 0
（ 3 ） 求 1 7 人 几 小 时 淘 完
1 7 人 每 小 时 淘 水 量 为 1 7 ， 因 为 每 小 时 漏 进 水 为 2 ， 所 以 实 际 上 船 中 每 小 时 减 少
的 水 量 为 （ 1 7 － 2 ） ， 所 以 1 7 人 淘 完 水 的 时 间 是
3 0 ÷ （ 1 7 － 2 ） ＝ 2 （ 小 时 ） 答 ： 1 7 人 2 小 时 可 以 淘 完 水 。
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2 0 、 鸡 兔 同 笼 问 题
【 含 义 】
这 是 古 典 的 算 术 问 题 。 已 知 笼 子 里 鸡 、 兔 共 有 多 少 只 和 多 少 只 脚 ， 求 鸡 、 兔 各 有
多 少 只 的 问 题 ， 叫 做 第 一 鸡 兔 同 笼 问 题 。 已 知 鸡 兔 的 总 数 和 鸡 脚 与 兔 脚 的 差 ， 求
鸡 、 兔 各 是 多 少 的 问 题 叫 做 第 二 鸡 兔 同 笼 问 题 。
【 数 量 关 系 】
第 一 鸡 兔 同 笼 问 题 ：
假 设 全 都 是 鸡 ， 则 有
兔 数 ＝ （ 实 际 脚 数 － 2 × 鸡 兔 总 数 ） ÷ （ 4 － 2 ）
假 设 全 都 是 兔 ， 则 有
鸡 数 ＝ （ 4 × 鸡 兔 总 数 － 实 际 脚 数 ） ÷ （ 4 － 2 ）
第 二 鸡 兔 同 笼 问 题 ：
假 设 全 都 是 鸡 ， 则 有
兔 数 ＝ （ 2 × 鸡 兔 总 数 － 鸡 与 兔 脚 之 差 ） ÷ （ 4 ＋ 2 ）
假 设 全 都 是 兔 ， 则 有
鸡 数 ＝ （ 4 × 鸡 兔 总 数 ＋ 鸡 与 兔 脚 之 差 ） ÷ （ 4 ＋ 2 ）
【 解 题 思 路 和 方 法 】
解 答 此 类 题 目 一 般 都 用 假 设 法 ， 可 以 先 假 设 都 是 鸡 ， 也 可 以 假 设 都 是 兔 。 如 果
先 假 设 都 是 鸡 ， 然 后 以 兔 换 鸡 ； 如 果 先 假 设 都 是 兔 ， 然 后 以 鸡 换 兔 。 这 类 问 题
也 叫 置 换 问 题 。 通 过 先 假 设 ， 再 置 换 ， 使 问 题 得 到 解 决 。
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例 1
长 毛 兔 子 芦 花 鸡 ， 鸡 兔 圈 在 一 笼 里 。 数 数 头 有 三 十 五 ， 脚 数 共 有 九 十 四 。 请 你
仔 细 算 一 算 ， 多 少 兔 子 多 少 鸡 ？
解
假 设 3 5 只 全 为 兔 ， 则
鸡 数 ＝ （ 4 × 3 5 － 9 4 ） ÷ （ 4 － 2 ） ＝ 2 3 （ 只 ）
兔 数 ＝ 3 5 － 2 3 ＝ 1 2 （ 只 ）
也 可 以 先 假 设 3 5 只 全 为 鸡 ， 则
兔 数 ＝ （ 9 4 － 2 × 3 5 ） ÷ （ 4 － 2 ） ＝ 1 2 （ 只 ）
鸡 数 ＝ 3 5 － 1 2 ＝ 2 3 （ 只 ）
答 ： 有 鸡 2 3 只 ， 有 兔 1 2 只 。
例 2
2 亩 菠 菜 要 施 肥 1 千 克 ， 5 亩 白 菜 要 施 肥 3 千 克 ， 两 种 菜 共 1 6 亩 ， 施 肥 9 千 克 ，
求 白 菜 有 多 少 亩 ？
解 此 题 实 际 上 是 改 头 换 面 的 “ 鸡 兔 同 笼 ” 问 题 。 “ 每 亩 菠 菜 施 肥 （ 1 ÷ 2 ） 千 克 ”
与 “ 每 只 鸡 有 两 个 脚 ” 相 对 应 ， “ 每 亩 白 菜 施 肥 （ 3 ÷ 5 ） 千 克 ” 与 “ 每 只 兔 有 4 只
脚 ” 相 对 应 ， “ 1 6 亩 ” 与 “ 鸡 兔 总 数 ” 相 对 应 ， “ 9 千 克 ” 与 “ 鸡 兔 总 脚 数 ” 相
对 应 。 假 设 1 6 亩 全 都 是 菠 菜 ， 则 有
白 菜 亩 数 ＝ （ 9 － 1 ÷ 2 × 1 6 ） ÷ （ 3 ÷ 5 － 1 ÷ 2 ） ＝ 1 0 （ 亩 ）
答 ： 白 菜 地 有 1 0 亩 。
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例 3
李 老 师 用 6 9 元 给 学 校 买 作 业 本 和 日 记 本 共 4 5 本 ， 作 业 本 每 本 3 . 2 0 元 ， 日 记
本 每 本 0 . 7 0 元 。 问 作 业 本 和 日 记 本 各 买 了 多 少 本 ？
解
此 题 可 以 变 通 为 “ 鸡 兔 同 笼 ” 问 题 。 假 设 4 5 本 全 都 是 日 记 本 ， 则 有
作 业 本 数 ＝ （ 6 9 － 0 . 7 0 × 4 5 ） ÷ （ 3 . 2 0 － 0 . 7 0 ） ＝ 1 5 （ 本 ）
日 记 本 数 ＝ 4 5 － 1 5 ＝ 3 0 （ 本 ）
答 ： 作 业 本 有 1 5 本 ， 日 记 本 有 3 0 本 。
例 4
（ 第 二 鸡 兔 同 笼 问 题 ） 鸡 兔 共 有 1 0 0 只 ， 鸡 的 脚 比 兔 的 脚 多 8 0 只 ， 问 鸡 与 兔
各 多 少 只 ？
解
假 设 1 0 0 只 全 都 是 鸡 ， 则 有
兔 数 ＝ （ 2 × 1 0 0 － 8 0 ） ÷ （ 4 ＋ 2 ） ＝ 2 0 （ 只 ）
鸡 数 ＝ 1 0 0 － 2 0 ＝ 8 0 （ 只 ）
答 ： 有 鸡 8 0 只 ， 有 兔 2 0 只 。
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例 5
有 1 0 0 个 馍 1 0 0 个 和 尚 吃 ， 大 和 尚 一 人 吃 3 个 馍 ， 小 和 尚 3 人 吃 1 个 馍 ， 问
大 小 和 尚 各 多 少 人 ？
解
假 设 全 为 大 和 尚 ， 则 共 吃 馍 （ 3 × 1 0 0 ） 个 ， 比 实 际 多 吃 （ 3 × 1 0 0 － 1 0 0 ） 个 ，
这 是 因 为 把 小 和 尚 也 算 成 了 大 和 尚 ， 因 此 我 们 在 保 证 和 尚 总 数 1 0 0 不 变 的 情 况
下 ， 以 “ 小 ” 换 “ 大 ” ， 一 个 小 和 尚 换 掉 一 个 大 和 尚 可 减 少 馍 （ 3 － 1 / 3 ） 个 。
因 此 ， 共 有 小 和 尚
（ 3 × 1 0 0 － 1 0 0 ） ÷ （ 3 － 1 / 3 ） ＝ 7 5 （ 人 ）
共 有 大 和 尚 1 0 0 － 7 5 ＝ 2 5 （ 人 ）
答 ： 共 有 大 和 尚 2 5 人 ， 有 小 和 尚 7 5 人 。
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2 1 、 方 阵 问 题
【 含 义 】
将 若 干 人 或 物 依 一 定 条 件 排 成 正 方 形 （ 简 称 方 阵 ） ， 根 据 已 知 条 件 求 总 人 数 或
总 物 数 ， 这 类 问 题 就 叫 做 方 阵 问 题 。
【 数 量 关 系 】
（ 1 ） 方 阵 每 边 人 数 与 四 周 人 数 的 关 系 ：
四 周 人 数 ＝ （ 每 边 人 数 － 1 ） × 4
每 边 人 数 ＝ 四 周 人 数 ÷ 4 ＋ 1
（ 2 ） 方 阵 总 人 数 的 求 法 ：
实 心 方 阵 ： 总 人 数 ＝ 每 边 人 数 × 每 边 人 数
空 心 方 阵 ： 总 人 数 ＝ （ 外 边 人 数 ） ? － （ 内 边 人 数 ） ?
内 边 人 数 ＝ 外 边 人 数 － 层 数 × 2
（ 3 ） 若 将 空 心 方 阵 分 成 四 个 相 等 的 矩 形 计 算 ， 则 ：
总 人 数 ＝ （ 每 边 人 数 － 层 数 ） × 层 数 × 4
【 解 题 思 路 和 方 法 】
方 阵 问 题 有 实 心 与 空 心 两 种 。 实 心 方 阵 的 求 法 是 以 每 边 的 数 自 乘 ； 空 心 方 阵 的
变 化 较 多 ， 其 解 答 方 法 应 根 据 具 体 情 况 确 定 。
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53
例 1
在 育 才 小 学 的 运 动 会 上 ， 进 行 体 操 表 演 的 同 学 排 成 方 阵 ， 每 行 2 2 人 ， 参 加 体 操
表 演 的 同 学 一 共 有 多 少 人 ？
解
2 2 × 2 2 ＝ 4 8 4 （ 人 ）
答 ： 参 加 体 操 表 演 的 同 学 一 共 有 4 8 4 人 。
例 2
有 一 个 3 层 中 空 方 阵 ， 最 外 边 一 层 有 1 0 人 ， 求 全 方 阵 的 人 数 。
解
1 0 － （ 1 0 － 3 × 2 ） ?
＝ 8 4 （ 人 ）
答 ： 全 方 阵 8 4 人 。
例 3
有 一 队 学 生 ， 排 成 一 个 中 空 方 阵 ， 最 外 层 人 数 是 5 2 人 ， 最 内 层 人 数 是 2 8 人 ，
这 队 学 生 共 多 少 人 ？
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解
（ 1 ） 中 空 方 阵 外 层 每 边 人 数 ＝ 5 2 ÷ 4 ＋ 1 ＝ 1 4 （ 人 ）
（ 2 ） 中 空 方 阵 内 层 每 边 人 数 ＝ 2 8 ÷ 4 － 1 ＝ 6 （ 人 ）
（ 3 ） 中 空 方 阵 的 总 人 数 ＝ 1 4 × 1 4 － 6 × 6 ＝ 1 6 0 （ 人 ）
答 ： 这 队 学 生 共 1 6 0 人 。
例 4
一 堆 棋 子 ， 排 列 成 正 方 形 ， 多 余 4 棋 子 ， 若 正 方 形 纵 横 两 个 方 向 各 增 加 一 层 ，
则 缺 少 9 只 棋 子 ， 问 有 棋 子 多 少 个 ？
解
（ 1 ） 纵 横 方 向 各 增 加 一 层 所 需 棋 子 数 ＝ 4 ＋ 9 ＝ 1 3 （ 只 ）
（ 2 ） 纵 横 增 加 一 层 后 正 方 形 每 边 棋 子 数 ＝ （ 1 3 ＋ 1 ） ÷ 2 ＝ 7 （ 只 ）
（ 3 ） 原 有 棋 子 数 ＝ 7 × 7 － 9 ＝ 4 0 （ 只 ）
答 ： 棋 子 有 4 0 只 。
例 5
有 一 个 三 角 形 树 林 ， 顶 点 上 有 1 棵 树 ， 以 下 每 排 的 树 都 比 前 一 排 多 1 棵 ， 最 下
面 一 排 有 5 棵 树 。 这 个 树 林 一 共 有 多 少 棵 树 ？
解 第 一 种 方 法 ： 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ 5 ＝ 1 5 （ 棵 ） 第 二 种 方 法 ： （ 5 ＋ 1 ） × 5 ÷ 2 ＝ 1 5
（ 棵 ） 答 ： 这 个 三 角 形 树 林 一 共 有 1 5 棵 树 。
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